正定矩陣的性質(zhì)與應(yīng)用

1、本科生學年論文（設(shè)計）論文（設(shè)計）題目 正定矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用 作 者 分院、 專業(yè) 理學分院數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學專業(yè) 班 級 指導教師（職稱） 字 數(shù) 5488 成果完成時間 正定矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用摘 要：我們在化二次型為標準型的過程中，得到了正定矩陣的定義，而關(guān)于正定矩陣的等價定理及其性質(zhì)我們在本文中進行了詳細的舉例及證明同時，本文也就正定矩陣的性質(zhì)在矩陣、不等式和極值問題的應(yīng)用進行了深刻的探討關(guān)鍵詞：正定矩陣；等價定理；性質(zhì)；應(yīng)用The nature and application of positive definite matricesAbstract：We are of the two ty

2、pe is a standard process, obtained the positive definite matrix is defined, and on the positive definite matrix equivalence theorem and its properties in this paper we carried out a detailed examples and proved. At the same time, this paper also has the properties of positive definite matrix in matr

3、ix, inequalities and extremum problems for application of the profound discussion.Key words：Positive definite matrix; equivalence theorem; properties; application目 錄1引言12矩陣的概述12.1正定矩陣的等價定理12.2正定矩陣的性質(zhì)33矩陣的應(yīng)用53.1正定矩陣在矩陣運算中的的應(yīng)用53.2正定矩陣在不等式問題中的應(yīng)用63.2.1正定矩陣與一般不等式63.2.1正定矩陣與柯西不等式73.3正定矩陣在多元函數(shù)極值問題中的應(yīng)用84小結(jié)1

4、0正定矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用1引言代數(shù)學是數(shù)學學科中的一個重要分支，而正定矩陣又是其中的重中之重。在二次型證明過程中，我們設(shè)是一個實二次型，若對應(yīng)的任意一組不全為零的實數(shù)，都有，則稱為實正定二次型，它所對應(yīng)的對稱矩陣為正定對稱定稱陣，簡稱正定矩陣2矩陣的概述2.1正定矩陣的等價定理判定一個矩陣是否為正定矩陣時，除用定理外還可以運用一些等價定理以下為一些判定矩陣正定的一些充要條件:定理1 階實對稱矩陣是正定矩陣的充要條件是：矩陣合同于階單位矩陣證 充分性 由于階實對稱矩陣是正定矩陣，則其對應(yīng)的二次型為正二次型另外，正二次型可以經(jīng)非退化線性替換使得其中，所以矩陣合同于階單位矩陣必要性 由于矩陣合同于階單

5、位矩陣，則存在階可逆矩陣，使得，則其對應(yīng)二次型得到其中為正定二次型，則也是正定二次型，所以階實對稱矩陣是正定矩陣定理2 階實對稱矩陣是正定矩陣的充要條件是：矩陣的正慣性指數(shù)等于證 充分性 由于階實對稱矩陣是正定矩陣，由定理1得到矩陣合同于階單位矩陣，所以矩陣的正慣性指數(shù)等于 必要性 由于矩陣的正慣性指數(shù)等于，則其對應(yīng)的二次型為正定二次型，所以矩陣是正定矩陣 定理3 階實對稱矩陣是正定矩陣的充要條件是：存在滿秩矩陣，使得成立 證 充分性 由于矩陣是正定矩陣，則矩陣與同階單位矩陣合同，所以存在實可逆矩陣，使得 必要性 由于矩陣 ,且是實可逆矩陣，則對于所以矩陣是正定矩陣 定理4 階實對稱矩陣是正定

6、矩陣的充要條件是：個特征根全為正值證 充分性 由于階實對稱矩陣是正定矩陣，則存在正交矩陣，即，滿足，其中是矩陣的全部特征值，則矩陣對應(yīng)的二次型為令，則另外，由矩陣是正定矩陣得到二次型也為正二次型，所以矩陣的特征根全為正值必要性 由于 階實對稱矩陣的特征根全為正值則存在正交矩陣，即，滿足，則其對應(yīng)的二次型可表示為則為正二次型，所以其對應(yīng)的矩陣是正定矩陣 定理5 階實對稱矩陣是正定矩陣的充要條件是：矩陣所有順序主子式都大于零證 充分性 由于階實對稱矩陣是正定矩陣，則其對應(yīng)的二次型為正定二次型構(gòu)造二次型函數(shù)，則其也為正二次型，則對應(yīng)的矩陣為正定矩陣，即，所以正定矩陣所有順序主子式大于零必要性 由于階

7、實對稱矩陣所有順序主子式都大于零，則其構(gòu)造的順序主子式對應(yīng)的二次函數(shù)皆為正二次型得到當時的二次型為正二次型，所以對應(yīng)的階實對稱矩陣是正定矩陣 定理6 階實對稱矩陣是正定矩陣的充要條件是：存在滿秩矩陣，使成為對角線元素皆正的對角陣證 充分性 由于階實對稱矩陣是正定矩陣，則矩陣合同于階單位矩陣，且單位矩陣的對角線元素皆為正，而對角線元素皆正的對角陣必定與單位矩合同，所以存在滿秩矩陣，使成為對角線元素皆正的對角陣必要性 由于存在滿秩矩陣，使成為對角線元素皆正的對角陣，而對角線元素皆正的對角陣必定與單位矩合同，得帶矩陣與單位矩合同，所以矩陣是正定矩陣定理7 階實對稱矩陣是正定矩陣的充要條件是：存在對稱

8、正定陣，使得證 充分性 由于矩陣是正定矩陣，且，則對于任意，所以 矩陣是正定矩陣必要性 由于矩陣是階實對稱正定矩陣，則存在正交陣，使得其中（為矩陣的特征向量）所以記，得到 定理8 階實對稱矩陣是正定矩陣的充要條件是：是正定矩陣 證 充分性 由于矩陣是正定矩陣，則存在實可逆矩陣，使得另外，因為，所以得到矩陣是正定矩陣 必要性 由于矩陣是正定矩陣，則存在實可逆矩陣，使得另外，所以，矩陣是正定矩陣 定理9 階實對稱矩陣是正定矩陣的充要條件是：存在正交向量組，使 證 充分性 由于另外，因為向量組是正交向量組，則得到是正交矩陣，即所以，矩陣是正定矩陣 必要性 由于矩陣是正定矩陣，則存在正定矩陣，使得令則

9、為正交向量組，所以得到存在正交向量組，使得2.2正定矩陣的性質(zhì)從正定矩陣的定義及其等價條件我們可得知以下關(guān)系性質(zhì)：性質(zhì)1 正定矩陣與單位矩陣的關(guān)系：如果矩陣是正定矩陣，則矩陣與同階單位矩陣合同，即存在可逆矩陣,使得證 由于矩陣是正定矩陣，由定理1可得矩陣與同階單位矩陣合同，所以必定存在可逆矩陣,使得 性質(zhì)2 正定矩陣與二次型的關(guān)系：如果矩陣是正定矩陣，則矩陣對應(yīng)的實二次型的規(guī)范標準型為假設(shè)階實對稱矩陣對應(yīng)的二次型為 證 由于矩陣是正定矩陣，則存在可逆矩陣，使得另外，因為矩陣對應(yīng)的正定二次型為，令則可以得到所以關(guān)系成立 性質(zhì)3 正定矩陣與特征值的關(guān)系：如果矩陣的特征值都大于零 證 因為矩陣是正定

10、矩陣，是矩陣的特征根，則存在正交矩陣，使得，其中另外，因為矩陣對應(yīng)的正定二次型為，令，可以得到由于，所以得到矩陣的特征值都大于零 性質(zhì)4 正定矩陣與行列式的關(guān)系：如果矩陣是正定矩陣，則矩陣的順序主子式都大于零 證 因為矩陣是正定矩陣，則可設(shè)其對應(yīng)的正定二次型為令則得到是正定二次型，且對應(yīng)矩陣也是正定矩陣即存在非異階矩陣，使得故，所以，即證明正定矩陣的順序主子式都大于零性質(zhì)5 對任意實對稱矩陣，必有實數(shù)，使得與都為正定矩陣 證 由于且矩陣是正定矩陣，則存在正交矩陣，使得其中為矩陣的特征向量，且都大于零，得到故所以，即證明為正定矩陣 同樣，取，則，同理可得為正定矩陣 性質(zhì)6 若矩陣是正定矩陣，則矩

11、陣、（是正整數(shù)）都是正定矩陣證 由于矩陣是正定矩陣，則得到矩陣也是正定矩陣，且矩陣的特征根則矩陣的特征值，所以矩陣（是正整數(shù)）是正定矩陣又因為，且，所以矩陣是正定矩陣性質(zhì)7 正定矩陣中絕對值最大的元素一定在主對角線上 證 通過反證法假設(shè)是正定矩陣中絕對值最大的一個元素，取矩陣的二階式得到由于，則得到，即的絕對值大于所以或，即證明正定矩陣中絕對值最大的元素一定在主對角線上 性質(zhì)8 假設(shè)矩陣、都是實方陣（階數(shù)可以不同），如果是正定矩陣，則為證明此性質(zhì)我們先引入一條輔助性質(zhì)：若是正定矩陣，則也是正定矩陣證 由于是正定矩陣，則得到矩陣是正定矩陣，有逆矩陣令則因此為正定矩陣，所以子矩陣也是正定矩陣再看性

12、質(zhì)8證 由于是正定矩陣，則矩陣是正定矩陣，并有逆矩陣設(shè)，分別是與矩陣、同階的單位矩陣，則 由于上式右端與原矩陣合同，因此也是正定矩陣，得到對上式兩邊取行列式得到又因為，由輔助性質(zhì)得也是正定矩陣，即成立，所以3矩陣的應(yīng)用3.1正定矩陣在矩陣運算中的的應(yīng)用根據(jù)判定正定矩陣的各類等價條件及其各類性質(zhì)我們可以了解得出一下若干種應(yīng)用：（1）若與是同階正定矩陣，則也是正定矩陣證 由于矩陣、是正定矩陣，則矩陣、是實對稱矩陣，并且對于任意的，都有有，則，即也是實對稱矩陣，得到所以矩陣是正定矩陣（2）若與是同階正定矩陣，則矩陣的特征根都大于零證 由于矩陣、是正定矩陣，則存在非奇異矩陣，使得，得到因此矩陣是正定矩

13、陣，所以與矩陣相似的矩陣的特征根都大于零（3）若矩陣、是同階正定矩陣，且，則矩陣也是正定矩陣證 由性質(zhì)（2）得到矩陣的特征根都大于零，另外，且矩陣、是同階正定矩陣，得到，即矩陣是實對稱矩陣，所以矩陣是正定矩陣推論：設(shè)是階對稱陣，其中都大于零，若，則矩陣也是正定矩陣證 由于，且，則得到矩陣是正定的對稱陣再由性質(zhì)（3）即可證明矩陣是正定矩陣（4） 若矩陣、都是階正定矩陣，則證 由于矩陣、都是階正定矩陣，則存在可逆矩陣，使得，其中因此，將其帶入得到兩邊取行列式得到所以3.2正定矩陣在不等式問題中的應(yīng)用3.2.1正定矩陣與一般不等式實對稱矩陣是正定矩陣是由于其對應(yīng)的實二次型（其中）正定，而二次型正定是

14、指對于任意(其中不全為零)恒有由此，我們也可以通過這個性質(zhì)來證明不等式是否成立例1 證明：（其中是不全為零的實數(shù)）證 由題意可設(shè)， 則對應(yīng)的矩陣為得到矩陣的順序主子式：，得到矩陣是正定矩陣，即，所以不等式成立3.2.1正定矩陣與柯西不等式我們學過柯西不等式的表達式為同時，也可將其用內(nèi)積的形式來表示為設(shè)矩陣是一個階正定矩陣，對任意向量，我們定義，從中我們可以看出這是維向量的內(nèi)積相反，我們可以得出，對于維向量間的任意一種內(nèi)積，一定存在一個階正定矩陣使得對任意向量和可以由來定義因此，給定了一個階正定矩陣，在維向量間就可以由這個矩陣定義一個內(nèi)積，從而可以得到如下相應(yīng)柯西不等式：例2 證明不等式:對所有

15、實數(shù)和都成立證 由題意可得是由矩陣所定義的,則可以得到矩陣的順序主子式：，因此矩陣是正定矩陣,所以該不等式是由正定矩陣所確定的內(nèi)積產(chǎn)生的柯西不等式，即不等式成立從該例題中我們也可將不等式推廣為：其中，是任意實數(shù)3.3正定矩陣在多元函數(shù)極值問題中的應(yīng)用關(guān)于正定矩陣在多元函數(shù)極值的判斷中，我們有以下判別法則：設(shè)元實函數(shù)的一階偏導數(shù)等于零的點為，且在點處所有二階連續(xù)偏導數(shù)都存在，則得到矩陣當矩陣為正定矩陣時，有極小值；當矩陣為負定矩陣時，有極大值；當矩陣不是正（負）定矩陣時，無極值；當矩陣半正（負）定時，的極值不確定證 由于在處所有二階連續(xù)偏導數(shù)都存在,則由泰勒公式可得 （其中）另外,在處的一階偏導

16、為零,可以得到 因此可以得到（）其中當時，故由于時，（），因此存在的一個領(lǐng)域，使得在這個區(qū)域內(nèi)的符號與的符號一致，所以由實二次型及正定二次型的定義可以證得該判定法則是正確的例3 討論函數(shù)的極值解 由已知得到，令其都等于零，得到在處的一階偏導等于零，因此得到矩陣故得到矩陣的順序主子式：所以矩陣不是正定矩陣，即函數(shù)無極值例4 求函數(shù)的極值解 由已知得到， 令，得到，得到矩陣在處，得到矩陣的順序主子式所以矩陣不是正定矩陣，即不是極值點在處，得到矩陣的順序主子式:所以矩陣是正定矩陣，且是極小值點，極小值為.4小結(jié)在本文中我們以深刻探討了正定矩陣在的各類性質(zhì)及其在矩陣內(nèi)部、不等式、多元函數(shù)極值問題中的應(yīng)用作為在矩陣理論中占有特殊地位的正定矩陣，其應(yīng)用的范圍也更加廣泛，根據(jù)其性質(zhì)定理我們還可將其應(yīng)用于幾何學、物理學、概率論以及最優(yōu)化等諸多學科之中，繼而減少各類問