機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題答案

1、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題解答一、填空題1、用最速下降法求f(X)=100(x2- x12) 2+(1- x1) 2的最優(yōu)解時(shí)，設(shè)X（0）-0.5,0.5T，第一步迭代的搜索方向?yàn)?-47,-50T。2、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是尋找搜索方向，二是計(jì)算最優(yōu)步長(zhǎng)。3、當(dāng)優(yōu)化問(wèn)題是凸規(guī)劃的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、應(yīng)用進(jìn)退法來(lái)確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終點(diǎn)，它們的函數(shù)值形成 高低高 趨勢(shì)。5、包含n個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問(wèn)題，稱(chēng)為 n 維優(yōu)化問(wèn)題。6、函數(shù) 的梯度為B。7、設(shè)G為nn對(duì)稱(chēng)正定矩陣，若n維空間中有兩個(gè)非零向量d0，d1，滿(mǎn)足(d0)TG

2、d1=0，則d0、d1之間存在共軛關(guān)系。8、 設(shè)計(jì)變量 、 目標(biāo)函數(shù) 、 約束條件 是優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的基本要素。9、對(duì)于無(wú)約束二元函數(shù)，若在點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是 f(x10,x20)=0 ，充分條件是 2f(x10,x20)=0正定 。10、 K-T 條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線(xiàn)性組合。11、用黃金分割法求一元函數(shù)的極小點(diǎn)，初始搜索區(qū)間，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為 -2.36 10 。12、優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有設(shè)計(jì)變量、 目標(biāo)函數(shù) 、 約束條件。13、牛頓法的搜索方向dk= ，其計(jì)算量大 ，且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn) 附近

3、位置。14、將函數(shù)f(X)=x12+x22-x1x2-10x1-4x2+60表示成的形式 12x1x22-1-12x1x2+-10-4x1x2+60 。15、存在矩陣H，向量 d1，向量 d2，當(dāng)滿(mǎn)足d1THd2=0，向量 d1和向量 d2是關(guān)于H共軛。16、采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子r數(shù)列，具有單調(diào)遞增特點(diǎn)。17、采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求最優(yōu)步長(zhǎng)。二、選擇題1、下面C方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法B、共軛梯度法C、牛頓型法D、DFP法2、對(duì)于約束問(wèn)題根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線(xiàn)和約束曲線(xiàn)，判斷為 ，為 。

4、DA內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn) B. 外點(diǎn)；外點(diǎn) C. 內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn) D. 外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)3、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法可用于求解B優(yōu)化問(wèn)題。A 無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題 B只含有不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題 C 只含有等式的優(yōu)化問(wèn)題 D 含有不等式和等式約束的優(yōu)化問(wèn)題4、對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為a，b，中間插入兩個(gè)點(diǎn)a1、b1，a1b1，計(jì)算出f(a1)f(b1)，則縮短后的搜索區(qū)間為D。A a1，b1 B b1，b C a1，b D a，b1 5、D不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A設(shè)計(jì)變量 B約束條件 C目標(biāo)函數(shù) D 最佳步長(zhǎng)6、變尺度法的迭代公式為xk+1=xk-kHkf(xk)，下列不屬于Hk必須滿(mǎn)足的條件的是C 。A. Hk之間

5、有簡(jiǎn)單的迭代形式 B.擬牛頓條件C.與海塞矩陣正交 D.對(duì)稱(chēng)正定7、函數(shù)在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的A。A、最速上升方向 B、上升方向 C、最速下降方向 D、下降方向8、下面四種無(wú)約束優(yōu)化方法中，D在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒(méi)有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。A 梯度法 B 牛頓法 C 變尺度法 D 坐標(biāo)輪換法9、設(shè)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處B。A 正定 B 半正定 C 負(fù)定 D 半負(fù)定10、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是D，假設(shè)要求在區(qū)間a，b插入兩點(diǎn)1、2，且1, 因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第一迭代步完成

6、。2、試用牛頓法求f( X )=(x1-2)2+(x1-2x2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(0)=2,1T。解1：（注：題目出題不當(dāng)，初始點(diǎn)已經(jīng)是最優(yōu)點(diǎn)，解2是修改題目后解法。）牛頓法的搜索方向?yàn)镾(k)=-2f-1(f),因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x(0) 的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣f4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1 f（x(0)）=002f4-4-482f-1 = 142111 S(k)=-2f-1f=00 不用搜索，當(dāng)前點(diǎn)就是最優(yōu)點(diǎn)。解2：上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點(diǎn)選擇不當(dāng)。以下修改求解題目的初始點(diǎn)，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。 以非最優(yōu)點(diǎn)x(0)=1

7、,2T作為初始點(diǎn)，重新采用牛頓法計(jì)算牛頓法的搜索方向?yàn)镾(k)=-2f-1(f),因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x(0) 的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣梯度函數(shù)：f4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1 初始點(diǎn)梯度向量： f（x(0)）=-812 海色矩陣：2f4-4-48海色矩陣逆矩陣： 2f-1 = 142111 當(dāng)前步的搜索方向?yàn)椋篠(k)=-2f-1(f)- 142111-812-11新的迭代點(diǎn)位于當(dāng)前的搜索方向上 ：X（k+1）=X（k）+S（k）=X（0）+S（0） 12-111-2把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量的函數(shù)F() fXk+1=f1-2=

8、( + 1)2 + (3 + 3)2F() 令 dF()d=20+ 200，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長(zhǎng) -1 新的迭代點(diǎn)為 X(1)=X（0）+S（0） 12 -11 21 當(dāng)前梯度向量的長(zhǎng)度f(wàn)=12x12+8x8=14.4222, 因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第二迭代步：f4*x1 - 4*x2 - 48*x2 - 4*x1f（x(1)）=00f=002-2-248-440 因此2f正定, X*=x1x2=42是極小點(diǎn)，極值為f(X*)=-84、求目標(biāo)函數(shù)f( X )=x12+x1x2+2x22 +4x1+6x2+10的極值和極值點(diǎn)。解法同上5、試證明函數(shù) f( X )=2x12+5x22 +x

9、32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在點(diǎn)1，1，-2T處具有極小值。解： 必要條件：f 4*x1 + 2*x3 10*x2 + 2*x3 - 62*x1 + 2*x2 + 2*x3 將點(diǎn)1，1，-2T帶入上式，可得f 000充分條件2f4020102222440 40010400402010222280-40-162402f正定。因此函數(shù)在點(diǎn)1，1，-2T處具有極小值6、給定約束優(yōu)化問(wèn)題 min f(X)=(x1-3)2+(x2-2)2 s.t. g1(X)=x12x2250 g2(X)=x12x240 g3(X)= x10 g4(X)=x20 驗(yàn)證在點(diǎn)Kuhn-Tucker條件成立。解：

10、首先，找出在點(diǎn)起作用約束：g1(X) 0g2(X) 0g3(X) 2g4(X) 1因此起作用約束為g1(X)、g2(X)。然后，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標(biāo)函數(shù)梯度是否可以表示為起作用約束函數(shù)梯度的非負(fù)線(xiàn)性組合。 f2*x1 - 6 2*x2 - 4-2-2 g1 -2*x1 -2*x2-4-2, g2-1 -2 求解線(xiàn)性組合系數(shù) f=1g1+2g2 -2-2=1-4-2+2-1 -2 得到 113, 2=23, 均大于0因此在點(diǎn)Kuhn-Tucker條件成立7、設(shè)非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題用K-T條件驗(yàn)證為其約束最優(yōu)點(diǎn)。解法同上8、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)= x1+x2，受約束于：g1(X

11、)=-x12+x20g2(X)=x10寫(xiě)出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解： 內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)的一般公式為其中： r(1)r(2) r(3) r(k) 0 是一個(gè)遞減的正值數(shù)列r(k)Cr(k-1)， 0C1因此 罰函數(shù)為：X,rk=x1+x2+rk(1-x12+x2+1x1)9、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)=( x1-1)2+(x2+2)2受約束于：g1(X)=-x2-x1-10g2(X)=2-x1-x20g3(X)=x10g4(X)=x20試寫(xiě)出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解法同上10、如圖，有一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長(zhǎng)為x的方塊并折轉(zhuǎn)，造一個(gè)無(wú)蓋的箱子，問(wèn)如何截法（x取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫(xiě)出這一優(yōu)化

12、問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。11、某廠(chǎng)生產(chǎn)一個(gè)容積為8000cm3的平底無(wú)蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材料最少，試寫(xiě)出這一優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。12、一根長(zhǎng)l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問(wèn)應(yīng)以怎樣的比例截?cái)嚆U絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。14、薄鐵板寬20cm，折成梯形槽，求梯形側(cè)邊多長(zhǎng)及底角多大，才會(huì)使槽的斷面積最大。寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫(xiě)出M文件和求解命令）。15、已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長(zhǎng)度為c，高度為h，面積A=64516mm2，斜邊與底邊的夾角為，見(jiàn)圖1。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長(zhǎng)s的倒數(shù)成比例關(guān)系（s只包括底邊和兩側(cè)邊，不計(jì)頂邊）。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。寫(xiě)出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。并用matlab軟件的優(yōu)