2017考研數(shù)學(xué)模擬測(cè)試題完整版及參考答案解析(數(shù)三)

1、2017考研數(shù)學(xué)模擬測(cè)試題完整版及答案解析(數(shù)三)把所選一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求, 項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)中。bxf (x)dx , a(1) f(x)是在(0* 的單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，對(duì)任何ba0 ,記乂 =1 baN =-b f(x)dx+a f (x)dx,則必有()(A) M 之N ； (B) M MN ； (C) M = N ； (D) M =2N ； 設(shè)函數(shù)f (x)在(，收)內(nèi)連續(xù)，在(-,0) U(0,)內(nèi)可導(dǎo)，函數(shù)y = y(x)的圖像為(C)(D)(3)設(shè)有下列命題：OQOQqQOQ若(u (u2n工+u2

2、n)收斂，則Z un收斂；若z un收斂，則Un un視00收斂；n 1n 1n 1nJqQqQOQqQ若lim 4 1 ,則unun發(fā)散；若 (un +Vn)收斂，則 口口， Vn收斂n- unn 4n 4n 二n J正確的是()(A)(B)(C)(D)2 .(4)設(shè)四(1)；2ax(10)方程 f f(xt)dt=x +f(t)dt 滿足 f(0)=0 的特解為。 030 bX)=2,則()55(A) a=i,b = ；(B) a=0,b=2； (C) a=0,b = ；( D) a=1,b = 2 22(5)設(shè)A是n階矩陣，齊次線性方程組(I) Ax = 0有非零解，則非齊次線性方程組(

3、 II ) ATx = b ,對(duì)任何b =(b1,b2,|l|bn)T(A)不可能有唯一解；(B)必有無(wú)窮多解；(C)無(wú)解；(D)可能有唯一解，也可能有無(wú)窮多解 AT0 1.(6)設(shè)A,B均是n階可逆矩陣，則行列式2| 的值為I。B.(A) (-2)n |A|B ；(B) -2|AT|B|; (C) 2 網(wǎng)B|; ( D) (-2)2n | A| B總體XN(2,4), Xi,X2，川，Xn為來(lái)自X的樣本，X為樣本均值，則()1 ni n(A) Z (Xi -X)2 2(n -1) ; (B)Z (Xi -2)2 2(n-1);n T i mn -1 i dn X -2n X - X o 9(

4、C) z (XJ-)2 Z2(n) ; (D)2(X)2 /2(n);ia 2y 22,1(8)設(shè)隨機(jī)變量X ,Y相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布N”,。2),若概率P(aX-bY 口)=一則()2一；(C) a = _,b=一222/A、111(A) a=1,b=; (B) a=_,b =222、填空題：914小題，每小題4分，共24分。把答案填在題中的橫線上。(9)已知 y = f 1 3x_2 I, f (x) = arcsin x2,貝 蟲 =。l3x+2)dxx S22(11) y(與十卷。=。其中D為x2十y2wl。(12)1240x(1*26x+1 M)dx = 3!(13)設(shè)A是三階矩

5、陣，已知 A + E =0, A+2E =0, A + 3E| =0, B與A相似，則B的相似對(duì)角形為。(14)設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取的兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，則另一件也是 不合格品的概率為。三、解答題1523小題，共94分。解答應(yīng)寫文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟。(15)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)u = f (x, y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足等式；：2u-2ex_2_ 2+ 4十 32 = 0。確定 a, bFxFy2y-2的值，使等式在變換 亡=x+2丫戶=x+by下簡(jiǎn)化為 0 U = 0 0(16)(本題滿分10分)求哥級(jí)數(shù) n n(x-1)n的收斂域及

6、其在收斂域內(nèi)的和函數(shù)； n 1(17)(本題滿分10分)設(shè)f(x)在0,)連續(xù)，且J；f(x)dxJim上 =0。證明：至少韭氣0,收)，使得f (匕)+ E = 0。(18)(本題滿分10分)過(guò)橢圓3x2十2xy+3y2 =1上任一點(diǎn)作橢圓的切線，試求諸切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三(19)(本題滿分10分)設(shè)g(x)=f (x) -ex -xxax +b角形面積的最小值。x :二 0x ,其中f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且f(0)= f (0)=1。x -0(I) a、b為何值時(shí)g(x)在x=0處連續(xù)?(II ) a、b為何值時(shí)g(x)在x=0處可導(dǎo)?(20)(本題滿分11分)(21)(本題滿分

7、11分)設(shè)A為三階方陣，%,a2戶3為三維線性無(wú)關(guān)列向量組， 且有 吟 =a2 +ct3, Af.2 =口1 +a3 ,A3 =% +%。求(I )求A的全部特征值。(II ) A是否可以對(duì)角化？(22)(本題滿分11分)設(shè)A,B為相互獨(dú)立的隨機(jī)事件，已知 P(A) = p(0 p 0 ,則b1ba所以，M = xf (x)dx b f (x)dx a f (x)dx = N(2)B解：由于函數(shù)可導(dǎo)(除 x = 0)且取得兩個(gè)極值，故函數(shù)有兩個(gè)駐點(diǎn)，即導(dǎo)函數(shù)圖像與x軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),故A, C不正確。又由函數(shù)圖像，極大值應(yīng)小于極小值點(diǎn)，故D不正確。B00CO解：因級(jí)數(shù) 工Un長(zhǎng)00是 Un刪

8、除前1000項(xiàng)而得, n 1n 1.Q0qQ故當(dāng) un收斂時(shí)，去掉有限項(xiàng)依然收斂，因此 un+000收n 1n 1斂,4 U若lim 1 ,則存在正整數(shù)N ,使得n之N是, n-：: unQOUn不變號(hào)。若Un 0 ,有正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知 Un發(fā)n -N散。同理可知，如果8un 0,則正項(xiàng)級(jí)數(shù)Z (un)發(fā)散，因此n -NQO工un發(fā)散。故正確，選n -N(4) A解:ln(1 x) - (ax bx2)=limx 01/ (1 x) -(a 2bx)2x因 lxm0x=o,則liml/ (1 +x) -(a +2bx) =0 ,故 a=1。而 x_02、所以b = -52ln(1 x)

9、-(x bx ) ln(1 x) -xlim -T - lim 2-+b=2,故 2 + bX 0x2x 0 x2【也可以用泰勒公式計(jì)算】(5) A解：Ax = 0有非零解，充要條件是 r(A)n,由此即可找到答案。(6) D解：-2,AJ2A=卜2AT卜2B = (-2)2n|A|B|：0 B： 0-2B - 1應(yīng)填(j +/)，1.(12)應(yīng)填(1-e )211 11 1C一 、一2 X； 2解：由于 Xi N(2,22),所以- N(0,1)2(n)(8) B1因?yàn)閍X -bY服從正態(tài)分布，股根據(jù)題設(shè)p(aX -bY N)=知,E(aX bY) =aE(X) bE(Y) =(a b)R

10、=N ,從而有 a b = 1,顯然只有(B)滿足要求。二、填空題：914小題，每小題4分，共24分。把答案填在題中的橫線上。(9)應(yīng)填藝。2飛 ?/ |,一,3x -22 一斛：由 y = f I, f (x) =arcsin x 得3x 2J、 I I-(10)應(yīng)填 f (x) =2(x +1)-2ex. Ixx1 2 x解：令 x t = u ,原方程變?yōu)?x f f (u)du - f uf (u)du = x + J f (t)dt 0030X方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得11f (u)du =x2+f(x)再兩邊對(duì)x求導(dǎo)得f(x) =2x +f(x),即dy y = 2x dx由 y(0) =

11、0 得 C = 一2 ,故 y = f (x) =2(x +1) 2ex解：因x(1 -24x x+1!2!x-II) =x1 3!22 22 3-x (-x )(-x )1!2!3!IH = xe-1故原式=xedx114, = 2 0e dx1 j= 2(1 -e)(13)應(yīng)填解：由A + E特征值，所以(14)應(yīng)填 0.2-2【形式不唯一，只要是對(duì)角線上為-1 , -2, -3就對(duì)】= 0,|A+2E| =0,|A+3E|=0 ,知A的特征值為 九=-17.12 = 2,九3 = -3 ,相似矩陣具有相同的B的特征值也為 兒=1,%2 = -2,九3 = -3 ,故B相似的標(biāo)準(zhǔn)形為解：設(shè)

12、A: “所取的兩件產(chǎn)品中至少有一件事不合格品”,B: “所取的兩件都是不合格品”-2222因?yàn)?P(A) -1 -P(A) -1 _(C6 /C10)= 32 _ 22，P(B) /C10)=15所以P(B A)=P(AB) P(B) 1P(A) P(A) 5、解答題1523小題，共94分。解答應(yīng)寫文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟。(15)(本題滿分10分)解:：:u _ ：:u fu 二 u _ 人.：.：,：:x2.2-2二 u.2.2二 u 二 u.：u：uu二 a -b-y：:y2.2二 u2ab-2二 ub2-2二 u將以上各式代入原等式，得_ 2(3a 4a 1)6ab 4(a b)

13、2-2:u_ 2(3b 4b 1)-：2u2=0,由題意，令3a23b24a 1 =0, l且 6ab +4(a +b) +2 004b 1 =0,3,3,一1,(16)(本題滿分10分)解：(I)由于limn：. ： n1=1，所以 x-1 1,即 0x2,當(dāng)x = 0和x = 2時(shí)哥級(jí)數(shù)變?yōu)?（_1）“門及 n,均發(fā)散，故原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?,2）設(shè) s(x) = n(x -1)n = (x -1戶 n(x -1)n,=(x -Dsx)則-1x二二 S(x)dx = 、. (x -1)n 1x -1 x -1=，1 -(x -1) 2-x所以,、 x -1 s)(x)=2-x (2 -x)

14、2,則/、 x-1s(x)=2(2-x)2(17)（本題滿分10分）證明：作函數(shù)F(x) = f (x) + x ,有0F(x)dx = 0 f (x) xdx1=0 f (x)dx+ 0。24所以由積分中值定理，存在a e0,1,1使 LF(x)dx=(10)F(a) 0,即 F(a) a,x .二 x x/二 x使 (0,即 F(b) 0Ob因此，由介值定理，至少存在一個(gè)上氣a,b尸（0,+b）,使F代）=0 ,即f（D + U =0。（18）（本題滿分10分）解：設(shè)（x, y）為所給橢圓上任一點(diǎn)，則可求得在（x, y）處的切線方程為它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(x 3y)y3x y+ x,0 和

15、 0,(3必 +x x x+3y所以切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 則只須求（3x+y）（x+3y）在條件3x2+2xy + 3y2 =1下的極值即可。22設(shè) F(x,y/)=(3x y)(x 3y) 1 3x 2xy 3y -1F；=6x +10y+6ax+2?y=0由 Fy =10x 6y 2 1 x 6 y = 0!2_2-3x2 2xy 3y2 -1 =022= 11斛得 x = , y = 或 x = + ，= 土一。4422, 一，11由此分別求的5=1或5=1所以諸切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積的最小值為(19)(本題滿分 10 分)解：(I) lim g(x) = lim -x

16、 J0x J0-f (x) ex x=lim -x-0 -f(x)-ex-1 d二-I若要 g(x)在 x =0處連續(xù)，必須 lim g(x) = lim a(x) = g(0), x0 x ：0 一即 b=-1 = b故b = -1, a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，g(x)在x=0處連續(xù)。(II )若要g(x)在x=0處可導(dǎo)，則必須g(x)在x = 0處連續(xù)(b = 1),且g豈0) = g；(0)所以g_(0)=limg(x)-g(0)=limx_0 -xx_0 -f (x) ex x(1)x所以(20)1 一a = _f “(0) _1, b = 1 時(shí)，g(x)在 x=0處可導(dǎo) 2(本題滿分11分)

17、13(21)(本題滿分11分)解:(I )由已知得，A(ct1 +a2 +a3) =2(% +2 十a(chǎn)3),A(: 2-C(1) =-(C(2 f) , AM -C(1) =-(3-1),1)當(dāng)# I m # 6時(shí),方程組只有啡一解:2)當(dāng)仃一一I時(shí).109261022621310011L-0-1230161800700-19130000b 36當(dāng)仃=36時(shí)，方程組無(wú)解?解:當(dāng)口 = 1$ = 36時(shí),方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解*又因?yàn)榻?ct2尸3線性無(wú)關(guān)，所以 叫十a(chǎn)2+ct3#0, a231#0, a3a1#0所以1,2是A的特征值，1 +2 +a3, a2 -a1, 63 %是相對(duì)應(yīng)的特征向量。

18、又由%,1a243線性無(wú)關(guān)，得%十口2 +%，tt2 -%, 1a3 -%也線性無(wú)關(guān)，所以-1是矩陣A的二重特征值，即A得全部特征值為-1,2(II )由%,%,%線性無(wú)關(guān)，可以證明 +0(2十口3, 1M21, 1a3 一口1也線性無(wú)關(guān)，即 A有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特 征向量，所以，矩陣 A可相似對(duì)角化。(22)(本題滿分11分)(23)(本題滿分11分)解：區(qū)域D實(shí)際是以(1,0),(1,0),(0,1),(0, 1)為頂點(diǎn)的正方形區(qū)域，D的面積為2, (X,Y)的聯(lián)合概率密度為1_(x, y) D f(x,y)=12;有了 f (x, y)就可以求概率號(hào)度1 (u)與fV(v),特別可利用f (x, y)的對(duì)稱性。0 其他(I)U=X+Y, FU(u) = PU u =PX +Y u = 口 f(x