(完整版)全等三角形及三角形全等的條件一對(duì)一輔導(dǎo)講義

1、課 題全等三角形及三角形全等的條件1、掌握全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，并能進(jìn)行簡單的推理計(jì)算。教學(xué)目的2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能準(zhǔn)確找到判定定理的條件，并熟練運(yùn)用。教學(xué)內(nèi)容一、課前檢測1 .如圖（1）, ABC 中，AB=AC, AD 平分/ BAC,則.2 .斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等的根據(jù)是 ,底邊和腰相等的兩個(gè)等腰三角形全等的 根據(jù)是.3 .已知 ABCA DEF , DEF 的周長為 32 cm,DE=9 cm,EF=12 cm 則 AB=, BC= AC=.圖（1）圖（2）圖（3）4 .如圖（2）, AC=BD,要使 ABCA DCB還需知道的一個(gè)

2、條件是 5 .如圖（3）,若/ 1 = /2, /C=/D,則ADB,理由.6 .不能確定兩個(gè)三角形全等的條件是（）A.三邊對(duì)應(yīng)相等B.兩邊及其夾角相等C.兩角和任一邊對(duì)應(yīng)相等D.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等7 - ABC 和 DEF 中，AB=DE, / A=Z D,若 ABCA DEF 還需要 （）A. /B=/E B. /C=/F C. AC=DF D.前三種情況都可以8 在 ABC 和 A' B' C'中 AB=A' B' BC = B' C'AC=A' C'/ A= / A'/ B= / B/C=/C',則下列

3、哪組條件不能保證 ABCA' B' C'（）A.具備B.具備C.具備D.具備參考答案：1. AADB AADC 2 . ASA （或 AAS）5. ACB AAS 6 - D 7 - D 8 ASSS 3. 9 cm12 cm 11 cm 4. / ACB= / DBC 或 AB=CD二、知識(shí)梳理知識(shí)要點(diǎn)：要點(diǎn)1:全等三角形的概念及其性質(zhì)（1）全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形（2）全等三角形性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、周長相等、面積相等要點(diǎn)2:全等三角形的判定(1)兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等 SAS(2)兩角及夾邊對(duì)應(yīng)相等 ASA;(3)兩角及其中一角

4、的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等AAS(4)三邊對(duì)就應(yīng)相等 SSS要點(diǎn)3:找全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的方法(1)若給出對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)即可找出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。(2)若給出一些對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角，則按照對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，反之，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊就可找出其他幾組對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。(3)按照兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角，兩對(duì)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊來準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。(4) 一般情況下，在兩個(gè)全等三角形中，公共邊、公共角、對(duì)頂角等往往是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角。要點(diǎn)4:尋找兩個(gè)三角形全等的途徑(1)三角形全等的判定是這個(gè)單元的重點(diǎn)，也是平面幾何的重點(diǎn)有兩組對(duì)應(yīng)角相等時(shí)；找有兩組對(duì)應(yīng)邊相等時(shí)；找有一邊，一鄰角相等時(shí)；找有一邊，一

5、對(duì)角相等時(shí)；找任一組角相等（ AAS（2）利用兩個(gè)三角形的公共邊或公共角尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系，推得新的等量元素如圖（一）中的 AD,圖（二）中的BC都是相應(yīng)三角形的公共元素。圖（三）中如有 BF=CE利用公有的線段 FC就可推出BC=EF圖（四）中若有/ DAB=/ EAC 就能推出/ DAC=/ BAE三、例題講解：例 1.如圖， A,F,E,B 四點(diǎn)共線，AC CE , BD DF , AE BF , AC BD。求證： ACF BDE。.思路分析：從結(jié)論 ACFBDE入手，全等條彳只有 AC BD ;由AE BF兩邊同時(shí)減去EF得到AF BE,又得到一個(gè)全等條件。還缺少一個(gè)全等條件，可以是 CF

6、 DE ,也可以是 A B。由條件AC CE , BD DF可得 ACE BDF 90o ,再加上AE BF , AC BD ,可以證明ACE BDF ,從而得到 A B。解答過程：Q AC CE , BD DF ACE BDF 90o在 Rt ACE 與 Rt BDF 中入 AE BF QAC BD Rt ACE Rt BDF (HL)A BQ AE BFAE EF BF EF ,即 AF BE在ACF與BDE中AF BEQ A B AC BDACF BDE (SAS)解題后的思考：本題的分析方法實(shí)際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問題或結(jié)論入手，看還需要什么條聯(lián)系，從而得出解題思路。小結(jié)

7、：本題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切渭捌淙葪l件，而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€(gè)題目，得出解題思路C比較困難，我們可以間接證明，即找到那么BE是/ ABC 的平分線，AD BE ,垂足為D。求證：2o在哪里呢？角的對(duì)稱性提示我們將來證明/ 2=/DFB,可以由三角形外角定理得/ 解答過程：延長AD交BC于FAD延長交BC于F ,則構(gòu)造了 FBD,DFB= / 1 + / Co可以通過證明三角形全等在ABD與ABDQ BD BDFBD中FBDABDFBD (ASA2 DFBADBFDB 90°又 Q DFB解題后的思考 例3.如圖，在:由于角是軸對(duì)稱圖形，所以我們可以利用翻折來構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)

8、全等三角形。ABC中，AB BC, ABC 90o。F為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，BE BF,連接AE,EF和CF 。求證:AE CF。思路分析：可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等,關(guān)鍵是要找到這兩個(gè)三角形。 以線段AE為邊的 ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o到 CBF的位置，而線段 CF正好是 CBF的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯?。解答過程：Q ABC 90°, F為AB延長線上一點(diǎn)ABC CBF 900在ABE與CBF中AB BCQ ABC CBFBE BFABE CBF (SAS)AE CF。解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角

9、。小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時(shí)不容易找到需證明的三角形。這時(shí)我們就可以 根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點(diǎn)來尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。例4.如圖，D是 ABC的邊BC上的點(diǎn)，且CD AB, ADB BAD, AE是 ABD的中線。求證：AC 2AE。思路分析：要證明“ AC 2AE”，不妨構(gòu)造出一條等于 2AE的線段，然后證其等于 AC。因此，延長 AE至F , 使 EF AE。解答過程：延長AE至點(diǎn)F ,使EF AE ,連接DF 在ABE與FDE中 AE FE Q AEB FEDBE DEABE FDE (SAS) B EDF Q ADF ADB

10、EDF , ADC BAD B 又 Q ADB BADADF ADC Q AB DF , AB CD DF DC 在ADF與ADC中AD AD Q ADF ADCDF DCADF ADC (SAS) AF AC 又 Q AF 2AEAC 2AE。解題后的思考：三角形中倍長中線，可以構(gòu)造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直四、課堂練習(xí)一、選擇題：1 .能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是（A.兩直角邊對(duì)應(yīng)相等C.兩銳角對(duì)應(yīng)相等2 .根據(jù)下列條件，能畫出唯一 ABC的是（A. AB 3, BC 4, CA 8B. 一銳角對(duì)應(yīng)相等D.斜邊相等)B. AB 4, BC 3,A 30

11、76;D. C 90°, AB 63.如圖，已知 12, AC AD ,增加下列條件：ABAE ; BC ED ; C其中能使 ABC AED的條件有（）個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)A. 4B. 3個(gè)4.如圖，已知 AB CD , BC AD ,A. 67oB. 46oB 23o，則 D等于(C. 23o）D.無法確定、填空題：5.如圖，在 ABC中,C 90°, ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D ,且CD : AD2:3, AC 10cm,則點(diǎn)D到AB的距離等于 cm；6.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，BC,BD為折痕，則 CBD的大小為三、解答題：7.如圖， ABC為等邊三

12、角形，點(diǎn)M ,N分別在BC, AC上, 的度數(shù)。且BM CN , AM與BN交于Q點(diǎn)。求 AQNB MCC. C 60°, B 45°, AB 48.如圖， ACB 90°, AC BC, D為AB上一點(diǎn)，AE CD, BF CD ,交CD延長線于F點(diǎn)。求證: BF CE o9.如圖，已知 AEAD, AFAB, AF=AB,AE=AD=BC , AD/BC.求證：(1) AC=EF, (2) AC ±EF10.已知：如圖，在 RtAABC中，AB=AC/ BAC=90 , /1 = /2, CEBD 的延長線于 E.求證：BD=2CE.參考答案一、選擇

13、題：1. A2. C3. B4. C二、填空題：°5. 46. 90三、解答題：7 .解：Q ABC為等邊三角形AB BC, ABC C 60°在ABM與BCN中AB BCQ ABC CBM CNABM BCN (SAS)NBC BAMAQN ABQ BAM ABQ NBC 60°。8 .證明：Q AE CD , BF CDF AEC 90oACECAE 90oQ ACB 90oACEBCF 90oCAE BCF 在ACE與CBF中F AECQ CAE BCFAC BCACE CBF (AAS) BF CE 。9.證明:AD/BC, B + /DAB=180又DA

14、B +Z 4+Z EAF + Z 3=360° , / 3=7 4=90°DAB +Z EAF=180：/ B= / EAF在 ABC和 FAE中fAB-AFBC = AE.ABCAFAE (SAS)： AC=EF(2) /A ABCAFAE1 = / F又1 + / 3=/ 2+ / F又3=90.AGXEF,即 AC ±EF2=Z 3證明：延長BA、CE交于點(diǎn)F.vZ 3=90°,5+Z F=90°又BECE, ：/4=90°, / 7=90°： / 1 + / F=90° , / 6=180° 90

15、 =901 = Z 5Z3 = Z = 90°< AB = AC在 ABD 和 AACF 中=ABD ACF (ASA)：BD=FCZ1 = Z2BE = BE在BEF 和BEC 中90”.-.abEFA BEC (ASA)：EF=EC ： FC=2EC： BD=2EC五、課堂小結(jié)(1)全等三角形的概念及其性質(zhì)(2)全等三角形的判定(3)找全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的方法(4)尋找兩個(gè)三角形全等的途徑六、課后作業(yè)一、填空題1 如圖（1）, / C=Z E, / 1 = /2, AC=AE,則4 ABD按邊分是 三角形.2 如圖（2） ,AB=AC, BDXAC 于 D, CEX

16、AB 于E,交 BD 于 P,貝U PD PE （填“ <”或“>”或“ 二 "）,3.如圖（3）, 4ABC中，AB=AC,現(xiàn)想利用證三角形全等證明/B=Z C,若證三角形全等所用的公理是SSS公理,則圖中所添加的輔助線應(yīng)是 .圖（1）圖（2）圖（3）圖（4）4. 一個(gè)三角形的三邊為2、5、x,另一個(gè)三角形的三邊為V、2、6,若這兩個(gè)三角形全等，則x+y=5 .如圖（4）, AD=AE,若AECADB,則需增加的條件是 .（至少三個(gè)） 二、選擇題6 .如圖（8）,圖中有兩個(gè)三角形全等，且/ A=/D, AB與DF是對(duì)應(yīng)邊，則下列書寫最規(guī)范的是（）A. ABCADEFB.

17、 ABCA DFE7.如圖（9）, AC=AB, AD平分/ CAB, E在AD上，則圖中能全等的三角形有 對(duì)A. 1B. 2C. 3D. 4C. BACA DEFD. ACBA DEF圖（8）圖（9）圖（10）圖（11）8 .如圖（10）, 4ABC 中，D、E 是 BC<h兩點(diǎn)，AD=AE, BE=CD,Z1=Z2=110°, Z BAE=60°,貝U/CAD 等于（）A. 70°B. 60°C. 50°D, 110°9 .如圖（11）, AB/CD,且 AB=CD,則 ABEA CDE 的根據(jù)是 （）A.只能用 ASA B

18、,只能用 SAS C,只能用 AAS D.用ASA或AAS10 .如圖（12）, ABC0AEF, AB和AE, AC和AF是對(duì)應(yīng)邊，那么/ EAC等于（A. / ACBB. / BAFC. / FD./ CAF11 .如圖（13） ,AABC 中，/ C=90° ,AC=BC, AD 平分/CAB 交 BC 于 D,DE LAB 于 E 且 AB=6 cm,則4 DEB的周長為 （）A . 40 cmB . 6 cmC. 8 cmD. 10 cm圖（12）圖（13）圖（14）12 .如圖（14）, / 1 = /2, /C=/D, AC, BD相交于點(diǎn) E,下面結(jié)論不正確的是（）A

19、. /DAE = /CBEB. DEA 與 CEB 不全等C. CE=CDD. 4AEB是等腰三角形三、解答題13 .已知 EF 是 AB 上的兩點(diǎn)，AE=BF, AC / BD ,且 AC=DB ,求證：CF = DE.圖（15）14 . 一塊三角形玻璃損壞后，只剩下如圖（16）所示的殘片，你對(duì)圖中作哪些數(shù)據(jù)測量后就可到建材部門割取符合規(guī)格的三角形玻璃并說明理由.圖（16）15 .如圖（17）,在 ABC中，AM是中線，AD是高線.I Za圖(17)(1)若AB比AC長5 cm,則 ABM的周長比 ACM的周長多 cm.(2)若 AMC的面積為10 cm2,則 ABC的面積為 cm 2.A. 10B. 20C. 30D . 40(3)若AD又是 AMC的角平分線