高中數(shù)學(xué)方法講解之反證法

1、文檔供參考，可復(fù)制、編制，期待您的好評(píng)與關(guān)注！ 反證法從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明的證明方法叫反證法。它是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都假，簡單地說“

2、A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對(duì)立的互相否定的判斷不能同時(shí)為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定推理否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論

3、 推導(dǎo)出矛盾 結(jié)論成立。實(shí)施的具體步驟是：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時(shí)，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?。一般來講，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)

4、論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題可能解決得十分干脆。例1.05.北京設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則稱為上的單峰函數(shù)，為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間。對(duì)任意的上單峰函數(shù)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法。求證：對(duì)任意的若，則為含峰區(qū)間；若則為含峰區(qū)間；【巧證】：設(shè)為的峰點(diǎn)，則由單峰函數(shù)定義可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。當(dāng)時(shí)，假設(shè)，則從而這與矛盾，所以，即是含峰區(qū)間。當(dāng)時(shí)，假設(shè)，則，從而這與矛盾，所以，即是含峰區(qū)間。

5、例2. 求證：函數(shù)f(x)=sinx的最小正周期是2【巧證】：由誘導(dǎo)公式知，對(duì)任意xR，有sin(x2)=sinx，即2是函數(shù)sinx的一個(gè)周期下面再用反證法證明2是sinx的最小正周期，假設(shè)還有一個(gè)正數(shù)T也是sinx的周期，且0T2，則對(duì)任意xR都有sin(xT)=sinx特別地，對(duì)x=0，有sinT=sin0=0，而在(0，2)中，只有T=才使sinT=0，但不是sinx的周期，故sinx的最小正周期是2注：若直接證明比較困難，因適合0T2的正數(shù)有無窮多個(gè)，我們無法直接驗(yàn)證當(dāng)“反設(shè)”中斷言某些性質(zhì)對(duì)于變量的一切值都成立時(shí)，顯然對(duì)變量的一些特殊值也成立，故常賦予特殊值，便可得到一些等式或不等

6、式，從而推得矛盾，反證原命題1x2y，且1y2x兩式相加，得2(xy)2(xy)，即2xy，這與已知矛盾，故注：“集合M中至少有一個(gè)元素m不具有性質(zhì)a”的否定是“集合M中所有元素都具有性質(zhì)a”反之亦對(duì)因?yàn)椤凹螹中至少有一個(gè)元素不具有性質(zhì)a”，它包含了“M中有一個(gè)元素不具有性質(zhì)a、兩個(gè)元素不具有性質(zhì)a所有元素都不具有性質(zhì)a”等各種情形因此它的否定是“M中所有元素都具有性質(zhì)a”如“三角形中至少有一個(gè)內(nèi)角大于或等于60”的否定是“三角形中所有內(nèi)角都小于60”注意“都不是”的否定不是“都是”，而是“不都是”，也即“至少有一個(gè)是”如“a、b都不是零”的否定是“a，b中至少有一個(gè)是零”CBA60ABC1

7、80，這不可能例5. 88.全國理給定實(shí)數(shù)a，a0且a1，設(shè)函數(shù)y (其中xR且x)，證明：.經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸； .這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線yx成軸對(duì)稱圖像?！痉治觥俊安黄叫小钡姆穸ㄊ恰捌叫小?，假設(shè)“平行”后得出矛盾從而推翻假設(shè)?！厩勺C】： 設(shè)M(x,y)、M(x,y)是函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，則xx,假設(shè)直線MM平行于x軸，則必有yy，即，整理得a(xx)xxxx a1， 這與已知“a1”矛盾， 因此假設(shè)不對(duì)，即直線MM不平行于x軸。 由y得axyyx1,即(ay1)xy1,所以x，即原函數(shù)y的反函數(shù)為y，圖像一致。由互為反函數(shù)的兩個(gè)圖像關(guān)于直線yx對(duì)稱可

8、以得到，函數(shù)y的圖像關(guān)于直線yx成軸對(duì)稱圖像?！咀ⅰ繉?duì)于“不平行”的否定性結(jié)論使用反證法，在假設(shè)“平行”的情況下，容易得到一些性質(zhì)，經(jīng)過正確無誤的推理，導(dǎo)出與已知a1互相矛盾。第問中，對(duì)稱問題使用反函數(shù)對(duì)稱性進(jìn)行研究，方法比較巧妙，要求對(duì)反函數(shù)求法和性質(zhì)運(yùn)用熟練。例6、已知a + b + c 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求證：a, b, c 0 【巧證】：設(shè)a 0, bc 0, 則b + c = -a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0矛盾， 必有a 0 同理可證：b 0, c 0例7. 求證：如果一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，那么它和另一

9、個(gè)平面也相交 【巧證】：如圖1-8-6，設(shè)平面直線AB=A，下面用反證法證明AB與相交假設(shè)AB與不相交，則必須考慮兩種情形：(1)若AB，過AB作平面，使=CD，則ABCDAB=A，A，且A，設(shè)=AB又，ABCD，于是在平面內(nèi)過A點(diǎn)有兩條直線AB與AB分別平行于直線CD，這和平行公理矛盾AB不能平行于平面相交于過點(diǎn)A的一條直線，但與已知矛盾，AB不在內(nèi)由(1)、(2)可知，直線AB與平面相交注：用反證法證題時(shí)，如果欲證命題的反面只有一種情況，那么只要將這種情況駁倒即可，這種反證法又叫歸謬法；如果結(jié)論的反面不僅有一種情況，就必須把所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫窮舉法巧練

10、一：1. 已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f(x)0 _。A.至多一個(gè)實(shí)根 B.至少一個(gè)實(shí)根 C.一個(gè)實(shí)根 D.無實(shí)根2. 已知a0,1bab ab B. ababa C. aba ab D. ab aba3. 已知l，a ，b ，若a、b為異面直線，則_。A. a、b都與l相交 B. a、b中至少一條與l相交C. a、b中至多有一條與l相交 D. a、b都與l相交4. 四面體頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法有_。(97年全國理)A. 150種 B. 147種 C. 144種 D. 141種十三、反證法巧練一：【巧解】：1小題：從結(jié)論入手，假設(shè)四個(gè)選擇項(xiàng)

11、逐一成立，導(dǎo)出其中三個(gè)與特例矛盾，選A；2小題：采用“特殊值法”，取a1、b0.5，選D；3小題：從逐一假設(shè)選擇項(xiàng)成立著手分析，選B；4小題：分析清楚結(jié)論的幾種情況，列式是：CC436,選D。巧練二：設(shè)0 a, b, c , (1 - b)c , (1 - c)a ,則三式相乘：ab (1 - a)b(1 - b)c(1 - c)a 又0 a, b, c 1 同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a(1 - b)b(1 - c)c 與矛盾原式成立巧練三：若下列方程：x4ax4a30， x(a1)xa0, x2ax2a0至少有一個(gè)方程有實(shí)根。試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。巧練三：【分析】 三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的反面情況僅有一種：三個(gè)方程均沒有實(shí)根。先求出反面情況時(shí)a的范圍，再所得范圍的補(bǔ)集就是正面情況的答案。【巧解】： 設(shè)三個(gè)方程均無實(shí)根，則有：