材料力學(xué) 第7章梁強(qiáng)度問題

1、1第七章第七章 梁的強(qiáng)度問題梁的強(qiáng)度問題2 對(duì)于梁的受力彎曲，其橫截面上的應(yīng)力分布將不對(duì)于梁的受力彎曲，其橫截面上的應(yīng)力分布將不再均勻，如何確定梁橫截面上的應(yīng)力分布便成了首要再均勻，如何確定梁橫截面上的應(yīng)力分布便成了首要解決的問題。解決的問題。 只有確定了梁上任意橫截面的應(yīng)力分布情況，才能只有確定了梁上任意橫截面的應(yīng)力分布情況，才能知道知道“危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面” 進(jìn)而進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)，考慮是否存在安全問題等。進(jìn)而進(jìn)行強(qiáng)度設(shè)計(jì)，考慮是否存在安全問題等。 絕大多數(shù)細(xì)長梁的失效，絕大多數(shù)細(xì)長梁的失效，主要與正應(yīng)力有關(guān)，切應(yīng)主要與正應(yīng)力有關(guān)，切應(yīng)力的影響是次要的力的影響是次要的，本章將主要確定梁橫截面上，本

2、章將主要確定梁橫截面上正應(yīng)正應(yīng)力以及與正應(yīng)力有關(guān)力以及與正應(yīng)力有關(guān)的強(qiáng)度問題。的強(qiáng)度問題。37.1 工程中的彎曲構(gòu)件工程中的彎曲構(gòu)件47.2 與與應(yīng)力應(yīng)力分析相關(guān)的截面圖形的幾何性質(zhì)分析相關(guān)的截面圖形的幾何性質(zhì) 不同受力形式下桿件的應(yīng)力和變形，不僅取決于內(nèi)不同受力形式下桿件的應(yīng)力和變形，不僅取決于內(nèi)力分量的類型、大小以及桿件的尺寸，而且與桿件橫力分量的類型、大小以及桿件的尺寸，而且與桿件橫截面的幾何形狀有關(guān)。因此，研究桿件的應(yīng)力與變形，截面的幾何形狀有關(guān)。因此，研究桿件的應(yīng)力與變形，研究失效問題以及強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定問題，都要涉及研究失效問題以及強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定問題，都要涉及到與到與截面圖形的幾

3、何形狀和尺寸截面圖形的幾何形狀和尺寸有關(guān)的量。這些量統(tǒng)有關(guān)的量。這些量統(tǒng)稱為幾何量，包括：稱為幾何量，包括：形心形心、靜矩靜矩、慣性矩慣性矩、慣性半徑慣性半徑、極慣性矩極慣性矩、慣性積慣性積、主軸主軸等。等。57.2.1 靜矩、形心及其相互關(guān)系靜矩、形心及其相互關(guān)系A(chǔ)yzdASAzydAS1. 截面一次矩截面一次矩 或或 靜矩靜矩靜矩單位為靜矩單位為m3 如果將如果將dA視為垂直于圖形平面的視為垂直于圖形平面的力力，則，則ydA和和zdA分別為分別為dA對(duì)于對(duì)于z軸和軸和y軸的軸的力矩力矩，而，而Sz和和Sy則分別為則分別為A對(duì)對(duì)z軸和軸和y軸的力矩。軸的力矩。6圖形幾何形狀的中心稱為圖形幾何

4、形狀的中心稱為形心形心(Centroid of an area) 若將若將面積面積視為垂直于圖形平面的視為垂直于圖形平面的力力，則，則形心形心即為即為合力的作用點(diǎn)。合力的作用點(diǎn)。設(shè)設(shè)zc、yc為形心坐標(biāo)，則根據(jù)合力矩定理：為形心坐標(biāo)，則根據(jù)合力矩定理：cyAzS czAyS AydAASyAzcAzdAASzAyc形 心 坐 標(biāo)形 心 坐 標(biāo)與 靜 矩 之與 靜 矩 之間的關(guān)系間的關(guān)系7 根據(jù)上述關(guān)于靜矩的定義以及靜矩與形心之間的關(guān)系根據(jù)上述關(guān)于靜矩的定義以及靜矩與形心之間的關(guān)系可以看出：可以看出：T靜矩靜矩與坐標(biāo)軸有關(guān)，同一平面圖形對(duì)于不同的坐標(biāo)軸與坐標(biāo)軸有關(guān)，同一平面圖形對(duì)于不同的坐標(biāo)軸有

5、不同的靜矩：對(duì)某些坐標(biāo)軸靜矩為正；對(duì)另外一些坐有不同的靜矩：對(duì)某些坐標(biāo)軸靜矩為正；對(duì)另外一些坐標(biāo)軸靜矩則可能為負(fù)；標(biāo)軸靜矩則可能為負(fù)；對(duì)于通過形心的坐標(biāo)軸，圖形對(duì)對(duì)于通過形心的坐標(biāo)軸，圖形對(duì)其靜矩等于零其靜矩等于零(證明見下一頁證明見下一頁)。T如果已經(jīng)計(jì)算出靜矩，就可以確定形心的位置；反之，如果已經(jīng)計(jì)算出靜矩，就可以確定形心的位置；反之，如果已知形心在某一坐標(biāo)系中的位置，則可計(jì)算圖形對(duì)如果已知形心在某一坐標(biāo)系中的位置，則可計(jì)算圖形對(duì)于這一坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的靜矩。于這一坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸的靜矩。8yzbhCAzydAS/2/2hhbydy/22/2102hhby對(duì)于通過形心的坐標(biāo)軸，圖形對(duì)其靜矩等于

6、零對(duì)于通過形心的坐標(biāo)軸，圖形對(duì)其靜矩等于零.9 對(duì)于對(duì)于組合圖形組合圖形，則先將其分解為若干個(gè)簡單圖形，則先將其分解為若干個(gè)簡單圖形(可以可以直接確定形心位置的圖形直接確定形心位置的圖形)；然后由式；然后由式(72)分別計(jì)算它分別計(jì)算它們對(duì)于給定坐標(biāo)軸的靜矩，并求其代數(shù)和，即們對(duì)于給定坐標(biāo)軸的靜矩，并求其代數(shù)和，即1122111221nccncniciinccncniciiyzSAzA zA zAzSA yA yA yA y10再利用式子再利用式子(7-3)，可以得到，可以得到組合組合圖形的圖形的形心坐標(biāo)：形心坐標(biāo)：11niycniiiciSAzzAA11nizcniiiciSA yyAA11

7、7.2.2 慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑慣性矩、極慣性矩、慣性積、慣性半徑1) 截面二次軸距截面二次軸距(second moment of an area)慣性矩慣性矩(moment of inertia)AydAzI2AzdAyI22) 二次極距二次極距(second polar moment of an area)極慣性矩極慣性矩APdArI2單位為單位為m4單位為單位為m4zyPIIIzyr222123) 慣性積慣性積 (Product of inertia)AyzyzdAI4) 慣性半徑慣性半徑 (radius of gyration )yyIiA單位為單位為m4定義zzIiA慣

8、性矩和極慣性矩恒為正；而慣性積則由于坐標(biāo)軸位置慣性矩和極慣性矩恒為正；而慣性積則由于坐標(biāo)軸位置的不同，可能為正，可能為負(fù)。三者的單位均為的不同，可能為正，可能為負(fù)。三者的單位均為m4。13對(duì)于圓形橫截面：對(duì)于圓形橫截面： 此時(shí)坐標(biāo)軸通過橫截面的形心，此時(shí)坐標(biāo)軸通過橫截面的形心，得到得到極慣性矩極慣性矩為：為：APdArI2drrdArA22RPrdrrI02232244dR類似的得到圓環(huán)截面對(duì)于類似的得到圓環(huán)截面對(duì)于圓環(huán)中心的極慣性矩為：圓環(huán)中心的極慣性矩為：DdDIP4413214 當(dāng)當(dāng)坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸通過某通過某圓形橫截面的中心圓形橫截面的中心，則該圓形橫截面，則該圓形橫截面對(duì)其中任意兩根軸具

9、有對(duì)其中任意兩根軸具有相同相同的慣性矩。其數(shù)值均為：的慣性矩。其數(shù)值均為：644dIIIzy類似的，對(duì)于圓環(huán)形狀的橫截面，具有類似的結(jié)果為：類似的，對(duì)于圓環(huán)形狀的橫截面，具有類似的結(jié)果為：DdDIIIzy4416415當(dāng)坐標(biāo)軸原點(diǎn)位于當(dāng)坐標(biāo)軸原點(diǎn)位于矩形矩形橫截面的中心，則其慣性矩分別為：橫截面的中心，則其慣性矩分別為：123hbAydAzI2hdzdA222bbyhdzzI123bhIz167.2.3 慣性矩與慣性積的慣性矩與慣性積的移軸定理移軸定理dAzyyzyzzyIIIo111yzzyIIIz1y1y1z1O?ba21112yyzzyzyzIIIIb Aa AabAII的正負(fù)號(hào)有關(guān)。，

10、的增加與否，與總是增加的。、baIIIyzzy111移軸定理移軸定理要求要求坐標(biāo)軸通過橫截坐標(biāo)軸通過橫截面的形心。面的形心。172222112yIz dAzb dAzzbb dA222z dAb zdAb dA22yb AIb zdA22yyb AbSI187.2.4 慣性矩與慣性積的慣性矩與慣性積的轉(zhuǎn)軸定理轉(zhuǎn)軸定理dAzyyzoz1y1y1z1yzzyIII111yzzyIII?2cos2sin22sin2cos222sin2cos221111yzzyzyyzzyzyzyzzyzyyIIIIIIIIIIIIIIII轉(zhuǎn) 軸 定 理轉(zhuǎn) 軸 定 理不不要要求坐標(biāo)軸通過橫求坐標(biāo)軸通過橫截面的形心。截

11、面的形心。197.2.5 主軸與形心主軸、主慣性矩與形心慣性矩主軸與形心主軸、主慣性矩與形心慣性矩2cos2sin211yzzyzyIIII0ooozy 和，相應(yīng)的坐標(biāo)軸就可以得到某個(gè)如果圖形對(duì)于過一點(diǎn)的一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積等于零，如果圖形對(duì)于過一點(diǎn)的一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積等于零，則稱這則稱這一對(duì)坐標(biāo)軸一對(duì)坐標(biāo)軸為過這一點(diǎn)的主軸為過這一點(diǎn)的主軸(principal axis)。圖形對(duì)于主軸的慣性矩稱為圖形對(duì)于主軸的慣性矩稱為主主慣性矩慣性矩(principal moment of inertia of an area)。主慣性矩具有。主慣性矩具有極大極大值或極小值值或極小值的特征。的特征。 22mi

12、nmax4212xyzyzyzoyoIIIIIIIII主慣性矩為：主慣性矩為：20AyzyzdAIhdzdA822yhbyzhdzIboyz822yhbyzhdzIobyz212223niiniciizcAyAASy11212211AAyAyAcc242526小結(jié)小結(jié)dAyzzyrAdAA面積：面積：AyzdASAzydAS截 面 一 次 矩截 面 一 次 矩(靜矩靜矩)截 面 二 次 矩截 面 二 次 矩(慣性矩慣性矩)AydAzI2AzdAyI2截面二次極矩截面二次極矩(極慣性矩極慣性矩)APdArI2截 面 二 次 矩截 面 二 次 矩(慣性積慣性積)AyzyzdAI慣性半徑慣性半徑AI

13、iyyAIizz是對(duì)原點(diǎn)而言下標(biāo)軸而言是對(duì)下標(biāo)軸而言是對(duì)下標(biāo)r) 3zzyy)2) 1zyPIII27特點(diǎn)：特點(diǎn)：靜矩、慣性矩、慣性積、極慣性矩、慣性半徑都是靜矩、慣性矩、慣性積、極慣性矩、慣性半徑都是對(duì)對(duì)某一指定坐標(biāo)系某一指定坐標(biāo)系而言。而言。其中其中靜矩靜矩和和慣性積慣性積可正可負(fù)，也可以為零可正可負(fù)，也可以為零。慣性矩、極慣性矩、慣性半徑慣性矩、極慣性矩、慣性半徑都是都是大于零的正值大于零的正值，且它們的值隨不同坐標(biāo)系變化而變化。且它們的值隨不同坐標(biāo)系變化而變化。慣性半徑的量綱是長度的慣性半徑的量綱是長度的一次方一次方，面積的量綱是長，面積的量綱是長度的度的二次方二次方，靜矩的量綱是長度

14、的，靜矩的量綱是長度的三次方三次方，其余的，其余的(慣慣性矩、慣性積、極慣性矩性矩、慣性積、極慣性矩)量綱是長度的量綱是長度的四次方四次方。28靜矩和形心位置的確定靜矩和形心位置的確定AydAASyAzcAzdAASzAyc niciicnncczniciicnnccyyAyAyAyASzAzAzAzAS1221112211單個(gè)圖形的情況：單個(gè)圖形的情況：組合圖形的情況：組合圖形的情況：29注意幾點(diǎn)：注意幾點(diǎn)：I平面圖形有平面圖形有兩個(gè)兩個(gè)對(duì)稱軸，則形心必定位于兩個(gè)對(duì)稱軸對(duì)稱軸，則形心必定位于兩個(gè)對(duì)稱軸的的交點(diǎn)交點(diǎn)上。上。I平面圖形有平面圖形有一個(gè)一個(gè)對(duì)稱軸，則形心必定必在這一條對(duì)對(duì)稱軸，則形

15、心必定必在這一條對(duì)稱軸上，只需確定其具體位置即可。稱軸上，只需確定其具體位置即可。30I在工程中求平面圖形在工程中求平面圖形形心形心時(shí)，往往不用積分方法求靜時(shí)，往往不用積分方法求靜矩，而盡量采用矩，而盡量采用組合圖形組合圖形求靜矩。求靜矩。I對(duì)同一平面圖形選取不同的參考坐標(biāo)系，其對(duì)同一平面圖形選取不同的參考坐標(biāo)系，其形心形心位置位置的坐標(biāo)也會(huì)不同。但的坐標(biāo)也會(huì)不同。但形心在平面圖形中的位置是不變的形心在平面圖形中的位置是不變的。I平面圖形對(duì)通過其形心的平面圖形對(duì)通過其形心的坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸的的靜矩為零靜矩為零，因此若，因此若平面圖形對(duì)某個(gè)軸的靜矩為零，則該坐標(biāo)軸必通過平面平面圖形對(duì)某個(gè)軸的靜矩為零

16、，則該坐標(biāo)軸必通過平面圖形的形心。圖形的形心。yzhb02222bbAAyzhzhdzzdAS02212bbAAzybybdyydAS31平行移軸公式平行移軸公式dAzyyzyzzyIIIo111yzzyIIIz1y1y1z1O?baAbzdAbdAzdAbzdAzIAAAAy2222112AbbSIyy22如果參考坐標(biāo)系如果參考坐標(biāo)系oyz的原點(diǎn)位于形心，則：的原點(diǎn)位于形心，則：0yS32dAzyyzoz1y1y1z1轉(zhuǎn)軸公式的幾點(diǎn)說明：轉(zhuǎn)軸公式的幾點(diǎn)說明：角從原坐標(biāo)軸角從原坐標(biāo)軸y量起，量起，以以逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。對(duì)于對(duì)于同一坐標(biāo)原點(diǎn)同一坐標(biāo)原點(diǎn)的任意兩的任意

17、兩個(gè)坐標(biāo)系個(gè)坐標(biāo)系yoz和和y1o1z1存在下列存在下列關(guān)系：關(guān)系：11zyzyPIIIII33主軸與形心主軸、主慣性矩與形心慣性矩主軸與形心主軸、主慣性矩與形心慣性矩2cos2sin211yzzyzyIIII0ooozy 和，相應(yīng)的坐標(biāo)軸就可以得到某個(gè)如果圖形對(duì)于過一點(diǎn)的一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積等于零，則稱如果圖形對(duì)于過一點(diǎn)的一對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積等于零，則稱這這一對(duì)坐標(biāo)軸一對(duì)坐標(biāo)軸為過這一點(diǎn)的主軸為過這一點(diǎn)的主軸(principal axis)。圖形對(duì)于主軸的慣性矩稱為圖形對(duì)于主軸的慣性矩稱為主主慣性矩慣性矩(principal moment of inertia of an area)。主慣性矩具

18、有。主慣性矩具有極大值或極小值極大值或極小值的特的特征。征。 22minmax4212xyzyzyzoyoIIIIIIIII主慣性矩為：主慣性矩為：zyyzoIII22tan34644dIIIzyDdDIIIzy44164123hbIy123bhIz幾個(gè)簡單平面圖形的幾個(gè)簡單平面圖形的形心主慣性矩形心主慣性矩圓形截面圓形截面環(huán)形截面環(huán)形截面矩形截面矩形截面357.3 平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力平面彎曲時(shí)梁橫截面上的正應(yīng)力7.3.1 平面平面彎曲和彎曲和純純彎曲的概念彎曲的概念 對(duì)稱面對(duì)稱面：梁的橫截面具有對(duì)稱軸，所有相同的對(duì)：梁的橫截面具有對(duì)稱軸，所有相同的對(duì)稱軸組成的平面，稱為梁的對(duì)稱面稱

19、軸組成的平面，稱為梁的對(duì)稱面(symmetric plane) 梁的橫截面沒有對(duì)稱軸，但是都有通過橫截面形心梁的橫截面沒有對(duì)稱軸，但是都有通過橫截面形心的形心主軸，的形心主軸，所有所有相同的形心主軸組成的平面，稱為相同的形心主軸組成的平面，稱為梁的梁的主軸平面主軸平面(plane including principal axis)。由于。由于對(duì)稱軸也是主軸，所以對(duì)稱面也是主軸平面；反之則不對(duì)稱軸也是主軸，所以對(duì)稱面也是主軸平面；反之則不然。以下的分析和敘述中均使用然。以下的分析和敘述中均使用主軸平面主軸平面。 36平面彎曲平面彎曲：所有外力：所有外力(包括力、力偶包括力、力偶) 都作用梁的都作

20、用梁的同一主軸平面內(nèi)時(shí)，梁的軸線彎曲后將彎曲成平面同一主軸平面內(nèi)時(shí)，梁的軸線彎曲后將彎曲成平面曲線，這一曲線位于外力作用平面內(nèi)，這種彎曲線，這一曲線位于外力作用平面內(nèi)，這種彎 曲稱曲稱為平面彎曲為平面彎曲(plane bending)。37純彎曲純彎曲：一般情形下，平面彎曲時(shí)，梁的橫截面：一般情形下，平面彎曲時(shí)，梁的橫截面上一般將有兩個(gè)內(nèi)力分量，就是剪力和彎矩。如上一般將有兩個(gè)內(nèi)力分量，就是剪力和彎矩。如果梁的橫截面上果梁的橫截面上只有只有彎矩彎矩一個(gè)內(nèi)力分量，這一個(gè)內(nèi)力分量，這種平面彎曲稱為種平面彎曲稱為純彎曲純彎曲(pure bending) 純彎曲情形下，由于梁的橫截面上只有彎矩，因純彎

21、曲情形下，由于梁的橫截面上只有彎矩，因而，便只有垂直于橫截面的而，便只有垂直于橫截面的正應(yīng)力正應(yīng)力。 僅在僅在AB段區(qū)間段區(qū)間38 橫向彎曲橫向彎曲：梁在垂直梁軸線的橫向力作用下，：梁在垂直梁軸線的橫向力作用下，其橫截面上將同時(shí)產(chǎn)生其橫截面上將同時(shí)產(chǎn)生剪力和彎矩剪力和彎矩。這時(shí)，梁的橫截。這時(shí)，梁的橫截面上不僅有正應(yīng)力，還有切應(yīng)力。這種彎曲稱為橫向面上不僅有正應(yīng)力，還有切應(yīng)力。這種彎曲稱為橫向彎曲，簡稱彎曲，簡稱橫彎曲橫彎曲(transverse bending)。 7.3.2 純彎曲純彎曲時(shí)梁橫截面上正應(yīng)力分析時(shí)梁橫截面上正應(yīng)力分析v分析梁橫截面上的正應(yīng)力，就是要確定梁橫截面上各點(diǎn)分析梁橫截

22、面上的正應(yīng)力，就是要確定梁橫截面上各點(diǎn)的的正應(yīng)力與彎矩、橫截面的形狀和尺寸正應(yīng)力與彎矩、橫截面的形狀和尺寸之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。v由于橫截面上的應(yīng)力是看不見的，而梁的變形是可以看由于橫截面上的應(yīng)力是看不見的，而梁的變形是可以看見的，應(yīng)力又和變形有關(guān)，因此，可以根據(jù)梁的變形情形見的，應(yīng)力又和變形有關(guān)，因此，可以根據(jù)梁的變形情形推知梁橫截面上推知梁橫截面上 的正應(yīng)力分布。的正應(yīng)力分布。 391. 平面假定與應(yīng)變分布平面假定與應(yīng)變分布 在伸長層與縮短層交界處的那一層，既不伸長也不縮在伸長層與縮短層交界處的那一層，既不伸長也不縮短，該層稱為短，該層稱為中性層或中性面中性層或中性面(neutral s

23、urface)。中性層與橫截面的交線，稱為中性層與橫截面的交線，稱為中性軸中性軸(neutral axis) 中性軸中性軸垂直于加載方向，對(duì)于具有對(duì)稱軸的橫截面梁，垂直于加載方向，對(duì)于具有對(duì)稱軸的橫截面梁，中性軸垂直于橫截面的中性軸垂直于橫截面的對(duì)稱軸對(duì)稱軸。 40變形前變形前變形后變形后整體變形效果整體變形效果假設(shè)假設(shè)OO為中性層，并建立如圖所示的坐標(biāo)為中性層，并建立如圖所示的坐標(biāo)OXY。弧弧AA=dy弧弧OO=dx=d dxy ddyd 那么弧那么弧AA的絕對(duì)伸長量為：的絕對(duì)伸長量為：那么弧那么弧AA的相對(duì)伸長量為：的相對(duì)伸長量為：1 xdxydydxdx1ddx41 (2) 物理方程物理

24、方程假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點(diǎn)均處于單項(xiàng)應(yīng)力狀態(tài)。假設(shè)：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點(diǎn)均處于單項(xiàng)應(yīng)力狀態(tài)。 (7-24) xxEyECy x xF橫截面上的橫截面上的彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力沿橫截面的高度方向從中性軸為零沿橫截面的高度方向從中性軸為零開始呈開始呈線性線性分布。分布。F該式子還只是給出了正應(yīng)力分布情況，但是還不能具體求該式子還只是給出了正應(yīng)力分布情況，但是還不能具體求出數(shù)值。主要因?yàn)椋撼鰯?shù)值。主要因?yàn)椋簓坐標(biāo)是從中性軸開始計(jì)算的，而坐標(biāo)是從中性軸開始計(jì)算的，而中性軸中性軸的位置還沒有確定的位置還沒有確定；中性軸的；中性軸的曲率半徑曲率半徑也沒有確定也沒有確定。42M(3

25、) 純彎曲純彎曲情況下的情況下的靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系：ddd0NzAAAEyEEFAAy AS0 zSyzx0NF 中心軸中心軸Z通過截面形心，并且垂直于對(duì)稱軸，所以，通過截面形心，并且垂直于對(duì)稱軸，所以，中心軸的位置就是確定截面的形心位置。中心軸的位置就是確定截面的形心位置。 純彎曲純彎曲時(shí)，在時(shí)，在任何一個(gè)任何一個(gè)橫截面上橫截面上只能只能有有彎矩彎矩一個(gè)內(nèi)力一個(gè)內(nèi)力分量，分量，軸力軸力必須等于零。必須等于零。43( d )zdd0yAAyzAEyEEyzMAAAzI因?yàn)橐驗(yàn)閥軸為橫截面的一個(gè)對(duì)稱軸，所以其截面的軸為橫截面的一個(gè)對(duì)稱軸，所以其截面的慣性積慣性積等于等于0。2( d )ddzz

26、AAzAEyEEyyMAy AMAI1zzMEIyzx0yMzzMM1xxEyEEy zxzM yI (7-34)(7-29)(3) 純彎曲純彎曲情況下的情況下的靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系：在橫截面上：在橫截面上：445. 最大正應(yīng)力公式最大正應(yīng)力公式與與彎曲截面模量彎曲截面模量mmaxaxzzzzyMMIWmax其中zzIWy圓形截面圓形截面環(huán)形截面環(huán)形截面矩形截面矩形截面644dIIIzyDdDIIIzy44164123hbIy123bhIz122bhhIWzz323dWWWzyDdDWWWzy43132zzxM yIWz稱為彎曲截面模量稱為彎曲截面模量456. 梁彎曲后其軸線的梁彎曲后其軸線的

27、曲率公式曲率公式zzIMCECzzEIM1稱為梁的彎曲剛度。zEI 這一結(jié)果表明：梁的軸線彎曲后的這一結(jié)果表明：梁的軸線彎曲后的曲率曲率與彎矩成與彎矩成正比正比，與與彎曲剛度彎曲剛度成成反比反比。467.3.3 梁的彎曲正應(yīng)力公式的應(yīng)用與推廣梁的彎曲正應(yīng)力公式的應(yīng)用與推廣需要注意幾個(gè)問題需要注意幾個(gè)問題Y首先是關(guān)于正應(yīng)力的首先是關(guān)于正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)正負(fù)號(hào)：決定正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力。：決定正應(yīng)力是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力。確定正應(yīng)力正負(fù)號(hào)比較簡單的方法是：首先確定正應(yīng)力正負(fù)號(hào)比較簡單的方法是：首先確定確定橫截面上橫截面上彎矩的實(shí)彎矩的實(shí)際方向際方向，確定中性軸的位置確定中性軸的位置；然后根據(jù)所要求應(yīng)力

28、的那一點(diǎn)的位置，；然后根據(jù)所要求應(yīng)力的那一點(diǎn)的位置，以及以及“彎矩是由分布正應(yīng)力合成的合力偶矩彎矩是由分布正應(yīng)力合成的合力偶矩”這一關(guān)系。就可以確這一關(guān)系。就可以確定這一點(diǎn)的正應(yīng)力是定這一點(diǎn)的正應(yīng)力是拉應(yīng)力拉應(yīng)力還是還是壓應(yīng)力壓應(yīng)力(圖圖7-17)。 Y其次是關(guān)于其次是關(guān)于最大正應(yīng)力計(jì)算最大正應(yīng)力計(jì)算： 如果梁的橫截面具有如果梁的橫截面具有一對(duì)一對(duì)相互垂直的對(duì)稱軸，并且加載方向與相互垂直的對(duì)稱軸，并且加載方向與其中一根對(duì)稱軸一致時(shí)，則其中一根對(duì)稱軸一致時(shí)，則中性軸與另一對(duì)稱軸一致中性軸與另一對(duì)稱軸一致。此時(shí)最大拉。此時(shí)最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力應(yīng)力與最大壓應(yīng)力絕對(duì)值相等絕對(duì)值相等，由式，由式(7-

29、30)計(jì)算。計(jì)算。47如果梁的橫截面只有如果梁的橫截面只有一根一根對(duì)稱軸，而且加載方向與對(duì)稱軸一致，對(duì)稱軸，而且加載方向與對(duì)稱軸一致，則中性軸通過則中性軸通過截面形心截面形心并并垂直對(duì)稱軸垂直對(duì)稱軸。這時(shí)，橫截面上最大拉應(yīng)。這時(shí)，橫截面上最大拉應(yīng)力與最大壓應(yīng)力，可由力與最大壓應(yīng)力，可由絕對(duì)值不相等絕對(duì)值不相等，下列二式分別計(jì)算：下列二式分別計(jì)算：)()(maxmaxmaxmax壓拉zbczbczbzbIyMIyM48 此外還要注意的是，此外還要注意的是，某一個(gè)某一個(gè)橫截面上的最大正應(yīng)力不一定就橫截面上的最大正應(yīng)力不一定就是梁內(nèi)的最大正應(yīng)力，應(yīng)該首先判斷可能產(chǎn)生最大正應(yīng)力的那些是梁內(nèi)的最大正應(yīng)力

30、，應(yīng)該首先判斷可能產(chǎn)生最大正應(yīng)力的那些截面，這些截面稱為截面，這些截面稱為危險(xiǎn)截面危險(xiǎn)截面；然后比較所有危險(xiǎn)截面上的最大；然后比較所有危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力，其中正應(yīng)力，其中最大者最大者才是梁內(nèi)橫截面上的最大正應(yīng)力。保證梁安才是梁內(nèi)橫截面上的最大正應(yīng)力。保證梁安全工作而不發(fā)生破壞，最重要的就是保證這種最大正應(yīng)力不得超全工作而不發(fā)生破壞，最重要的就是保證這種最大正應(yīng)力不得超過允許的數(shù)值。過允許的數(shù)值。 2. 純彎曲純彎曲正應(yīng)力可以推廣到正應(yīng)力可以推廣到橫向彎曲橫向彎曲 以上有關(guān)純彎曲的正應(yīng)力的公式。對(duì)于非純彎曲，也就是橫截以上有關(guān)純彎曲的正應(yīng)力的公式。對(duì)于非純彎曲，也就是橫截面上除了彎矩之外、還

31、有剪力的情形。如果是細(xì)長桿，也是面上除了彎矩之外、還有剪力的情形。如果是細(xì)長桿，也是近似近似適適用的。理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明，由于切應(yīng)力的存在，梁的橫截面在用的。理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明，由于切應(yīng)力的存在，梁的橫截面在梁變形之后將不再保持平面，而是要發(fā)生梁變形之后將不再保持平面，而是要發(fā)生翹曲翹曲，這種翹曲對(duì)正應(yīng)力，這種翹曲對(duì)正應(yīng)力分布的影響是很小的。對(duì)細(xì)長梁更小，通常都可以忽略不計(jì)。分布的影響是很小的。對(duì)細(xì)長梁更小，通常都可以忽略不計(jì)。 497.4 平面彎曲正應(yīng)力公式應(yīng)用舉例平面彎曲正應(yīng)力公式應(yīng)用舉例5051xM02xFxqxMRAxqlqxM22128,22qlMlx52535455567.5

32、梁的梁的強(qiáng)度強(qiáng)度計(jì)算計(jì)算7.5.1 梁的梁的失效判據(jù)失效判據(jù) 與拉伸或壓縮桿件失效類似。與拉伸或壓縮桿件失效類似。對(duì)于韌性材料制成的梁，當(dāng)梁的危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)對(duì)于韌性材料制成的梁，當(dāng)梁的危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力達(dá)到材料的力達(dá)到材料的屈服點(diǎn)屈服點(diǎn)時(shí)，便認(rèn)為梁發(fā)生失效；時(shí)，便認(rèn)為梁發(fā)生失效；對(duì)于脆性材料制成的梁，當(dāng)梁的危險(xiǎn)截面的最大正應(yīng)力對(duì)于脆性材料制成的梁，當(dāng)梁的危險(xiǎn)截面的最大正應(yīng)力達(dá)到材料的達(dá)到材料的抗拉強(qiáng)度抗拉強(qiáng)度時(shí)，便認(rèn)為梁發(fā)生失效。即時(shí)，便認(rèn)為梁發(fā)生失效。即 maxmaxb()()s韌性材料脆性材料577.5.2 梁的梁的彎曲強(qiáng)度彎曲強(qiáng)度計(jì)算準(zhǔn)則計(jì)算準(zhǔn)則 ssnmax bbnmax根據(jù)

33、上述強(qiáng)度條件，同樣可以解決三類強(qiáng)度問題：根據(jù)上述強(qiáng)度條件，同樣可以解決三類強(qiáng)度問題：強(qiáng)度校核、截面尺寸設(shè)計(jì)、確定許用載荷強(qiáng)度校核、截面尺寸設(shè)計(jì)、確定許用載荷。 587.5.3 梁的彎曲強(qiáng)度梁的彎曲強(qiáng)度計(jì)算步驟計(jì)算步驟 根據(jù)梁的彎曲強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，進(jìn)行彎曲強(qiáng)度計(jì)算的一根據(jù)梁的彎曲強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，進(jìn)行彎曲強(qiáng)度計(jì)算的一般般步驟步驟為：為：Y根據(jù)梁約束性質(zhì)，分析梁的受力，確定約束力。根據(jù)梁約束性質(zhì)，分析梁的受力，確定約束力。Y畫出梁的彎矩圖：根據(jù)彎矩圖，確定可能的危險(xiǎn)截面。畫出梁的彎矩圖：根據(jù)彎矩圖，確定可能的危險(xiǎn)截面。 Y根據(jù)應(yīng)力分布和材料的拉伸與壓縮強(qiáng)度性能是否相等，根據(jù)應(yīng)力分布和材料的拉伸與壓縮強(qiáng)度

34、性能是否相等，確定可能的危險(xiǎn)點(diǎn)確定可能的危險(xiǎn)點(diǎn):Z 對(duì)于拉、壓強(qiáng)度相同的材料對(duì)于拉、壓強(qiáng)度相同的材料(如低碳鋼等如低碳鋼等)，最大拉應(yīng)力，最大拉應(yīng)力作用點(diǎn)與最大壓應(yīng)力作用點(diǎn)具有相同的危險(xiǎn)性，通常不加作用點(diǎn)與最大壓應(yīng)力作用點(diǎn)具有相同的危險(xiǎn)性，通常不加以區(qū)分；以區(qū)分；Z 對(duì)于拉、壓強(qiáng)度性能不同的材料對(duì)于拉、壓強(qiáng)度性能不同的材料(如鑄鐵等脆性材料如鑄鐵等脆性材料)最最大壓應(yīng)力作用點(diǎn)和最大壓應(yīng)力作用點(diǎn)都有可能是危險(xiǎn)點(diǎn)。大壓應(yīng)力作用點(diǎn)和最大壓應(yīng)力作用點(diǎn)都有可能是危險(xiǎn)點(diǎn)。 秘笈秘笈59Y應(yīng)用強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算：應(yīng)用強(qiáng)度條件進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算：Z對(duì)于拉伸和壓縮強(qiáng)度對(duì)于拉伸和壓縮強(qiáng)度相等相等的材料，應(yīng)用強(qiáng)度條件式

35、的材料，應(yīng)用強(qiáng)度條件式(7-38)和式和式(7-39)；Z對(duì)于拉伸和壓縮強(qiáng)度對(duì)于拉伸和壓縮強(qiáng)度不相等不相等的材料，強(qiáng)度條件式的材料，強(qiáng)度條件式 (7-38)和式和式(7-39)可以改寫為可以改寫為 bbmaxbbnbcbcmaxbcbcn抗拉許用應(yīng)力抗拉許用應(yīng)力抗拉強(qiáng)度抗拉強(qiáng)度60616263642. 根據(jù)危險(xiǎn)截面上的正應(yīng)力分布確定可能的危險(xiǎn)點(diǎn)根據(jù)危險(xiǎn)截面上的正應(yīng)力分布確定可能的危險(xiǎn)點(diǎn)653. 計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力，進(jìn)行計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力，進(jìn)行強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核 上述結(jié)果表明：梁上所有危險(xiǎn)截面的危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度上述結(jié)果表明：梁上所有危險(xiǎn)截面的危險(xiǎn)點(diǎn)的強(qiáng)度都是安全的。都是安全的。66lxFFPAlxlF

36、FPB)( 67kNlxFFPA200kNlxlFFPB150)(由此解出：由此解出：mkNmkNx667. 23004200mkNmkNmx230041504于是得到了于是得到了Fp加在輔助梁上作用點(diǎn)的范圍為：加在輔助梁上作用點(diǎn)的范圍為：mxm667. 22682. 確定輔助梁所需要的確定輔助梁所需要的工字鋼型號(hào)工字鋼型號(hào)69707.6 斜斜彎曲彎曲當(dāng)外力施加在當(dāng)外力施加在梁的對(duì)稱面梁的對(duì)稱面(或或主軸平面主軸平面)內(nèi)時(shí)，梁將產(chǎn)生平面彎內(nèi)時(shí)，梁將產(chǎn)生平面彎曲。曲。所有外力都作用在同一平面內(nèi)，但是這一平面所有外力都作用在同一平面內(nèi)，但是這一平面不是不是對(duì)稱面對(duì)稱面(或或主軸平面主軸平面)，梁也

37、將會(huì)產(chǎn)生彎曲，但不是平面彎曲，這種彎曲稱為，梁也將會(huì)產(chǎn)生彎曲，但不是平面彎曲，這種彎曲稱為斜彎曲斜彎曲(skew bending)。還有一種情形也會(huì)產(chǎn)生斜彎曲。這就是所有外力都作用于對(duì)稱還有一種情形也會(huì)產(chǎn)生斜彎曲。這就是所有外力都作用于對(duì)稱面面(或主軸平面或主軸平面)內(nèi)，但不是同一對(duì)稱面內(nèi)，但不是同一對(duì)稱面(梁的截面具有兩個(gè)或兩個(gè)梁的截面具有兩個(gè)或兩個(gè)以上對(duì)稱軸以上對(duì)稱軸)或主軸平面內(nèi)?；蛑鬏S平面內(nèi)。717.3 斜彎曲斜彎曲 為了確定斜彎曲時(shí)梁橫截面上的應(yīng)力，為了確定斜彎曲時(shí)梁橫截面上的應(yīng)力，在小變形的條件下，在小變形的條件下，可可以將斜彎曲分解成以將斜彎曲分解成兩個(gè)兩個(gè)縱向?qū)ΨQ面內(nèi)縱向?qū)ΨQ面

38、內(nèi)(或主軸平面或主軸平面)的平面彎曲，然的平面彎曲，然后將兩個(gè)平面彎曲引起的同一點(diǎn)應(yīng)力的后將兩個(gè)平面彎曲引起的同一點(diǎn)應(yīng)力的代數(shù)值相加代數(shù)值相加。便得到斜彎曲。便得到斜彎曲在該點(diǎn)的應(yīng)力值。在該點(diǎn)的應(yīng)力值。 zzyybWMWMmaxzzyybcWMWMmax72 上式不僅對(duì)于上式不僅對(duì)于矩形矩形截面，而且對(duì)于截面，而且對(duì)于槽形槽形截面、截面、工字工字形截面也是適形截面也是適用的。因?yàn)檫@些截面上由兩個(gè)主軸平面內(nèi)的彎矩引起的最大拉應(yīng)力用的。因?yàn)檫@些截面上由兩個(gè)主軸平面內(nèi)的彎矩引起的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力都發(fā)生和最大壓應(yīng)力都發(fā)生在同一點(diǎn)在同一點(diǎn)。 對(duì)于圓截面，上述計(jì)算公式是對(duì)于圓截面，上述計(jì)算公式是不不

39、適用的。這是因?yàn)?，兩個(gè)對(duì)稱適用的。這是因?yàn)?，兩個(gè)對(duì)稱面內(nèi)的彎矩所引起的最大拉應(yīng)力不發(fā)生在同一點(diǎn)，最大壓應(yīng)力也不面內(nèi)的彎矩所引起的最大拉應(yīng)力不發(fā)生在同一點(diǎn)，最大壓應(yīng)力也不發(fā)生在同一點(diǎn)。發(fā)生在同一點(diǎn)。 對(duì)于圓截面，因?yàn)閷?duì)于圓截面，因?yàn)檫^形心的任意軸過形心的任意軸均為截面的對(duì)稱軸，所以當(dāng)均為截面的對(duì)稱軸，所以當(dāng)橫截面上同時(shí)作用有兩個(gè)彎矩時(shí)，可以將彎矩用矢量表示，然后求橫截面上同時(shí)作用有兩個(gè)彎矩時(shí)，可以將彎矩用矢量表示，然后求二者的矢量和，這一合矢量仍然沿著橫截面的對(duì)稱軸分布，二者的矢量和，這一合矢量仍然沿著橫截面的對(duì)稱軸分布，合彎矩合彎矩的作用面的作用面仍然與仍然與對(duì)稱面一致對(duì)稱面一致，所以平面彎曲

40、的公式依然適用。于是，所以平面彎曲的公式依然適用。于是，圓截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力計(jì)算公式為圓截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力計(jì)算公式為 WMMWMzyb22maxWMMWMzybc22max73 此外還可以證明，斜彎曲情形下，橫截面依然存在此外還可以證明，斜彎曲情形下，橫截面依然存在中性軸，而且中性軸一定通過橫截面的中性軸，而且中性軸一定通過橫截面的形心形心，但不垂直但不垂直于加載方向于加載方向，這是斜彎曲與平面彎曲的，這是斜彎曲與平面彎曲的重要區(qū)別重要區(qū)別。 max74yzFP754sin4)(maxlFlFFMPPzPz4cos4)(maxlFlFFMPPyPy3. 計(jì)算兩個(gè)平面彎曲

41、情形下的最大正應(yīng)力計(jì)算兩個(gè)平面彎曲情形下的最大正應(yīng)力7677具有很強(qiáng)的工程意義！具有很強(qiáng)的工程意義！787.7 彎矩與軸力彎矩與軸力同時(shí)作用時(shí)橫截面上的同時(shí)作用時(shí)橫截面上的正應(yīng)力正應(yīng)力 當(dāng)桿件同時(shí)承受垂直于軸線的橫向力和沿著軸線當(dāng)桿件同時(shí)承受垂直于軸線的橫向力和沿著軸線方向的縱向力時(shí)，桿件的橫截面上將同時(shí)產(chǎn)生軸力、彎方向的縱向力時(shí)，桿件的橫截面上將同時(shí)產(chǎn)生軸力、彎矩和剪力。忽略剪力的影響，軸力和彎矩都將在橫截面矩和剪力。忽略剪力的影響，軸力和彎矩都將在橫截面上產(chǎn)生正應(yīng)力。上產(chǎn)生正應(yīng)力。 如果作用在桿件上的縱向力與桿件的軸線不一致，這種如果作用在桿件上的縱向力與桿件的軸線不一致，這種情形稱為情形

42、稱為偏心加載偏心加載。這時(shí)如果將縱向力向橫截面的形心。這時(shí)如果將縱向力向橫截面的形心簡化，同樣，將在桿件的橫截面上產(chǎn)生簡化，同樣，將在桿件的橫截面上產(chǎn)生軸力和彎矩軸力和彎矩。 7980AFWMNbmaxAFWMNbcmax max81822. 確定危險(xiǎn)截面并計(jì)算最大應(yīng)力確定危險(xiǎn)截面并計(jì)算最大應(yīng)力83847.8 結(jié)論與討論結(jié)論與討論7.8.1 關(guān)于彎曲正應(yīng)力公式的關(guān)于彎曲正應(yīng)力公式的應(yīng)用條件應(yīng)用條件平面彎曲平面彎曲正應(yīng)力公式只能應(yīng)用于正應(yīng)力公式只能應(yīng)用于平面彎曲平面彎曲情形。對(duì)于截面有情形。對(duì)于截面有對(duì)稱對(duì)稱軸軸的梁，外加載荷的作用線必須位于梁的對(duì)稱平面內(nèi)，才能產(chǎn)生平的梁，外加載荷的作用線必須位

43、于梁的對(duì)稱平面內(nèi)，才能產(chǎn)生平面彎曲。面彎曲。對(duì)于沒有對(duì)稱軸截面的梁、外加載荷的作用線如果位于梁對(duì)于沒有對(duì)稱軸截面的梁、外加載荷的作用線如果位于梁的主軸平面內(nèi)，也可以產(chǎn)生平面彎曲。的主軸平面內(nèi)，也可以產(chǎn)生平面彎曲。 只有在只有在彈性范圍彈性范圍內(nèi)加載，橫截面上的正應(yīng)力才會(huì)內(nèi)加載，橫截面上的正應(yīng)力才會(huì)線性分布線性分布，才會(huì)，才會(huì)得到平面彎曲正應(yīng)力公式。得到平面彎曲正應(yīng)力公式。平面彎曲正應(yīng)力公式是在平面彎曲正應(yīng)力公式是在純彎情形純彎情形下得到的，但是，對(duì)于下得到的，但是，對(duì)于細(xì)長桿細(xì)長桿，由于剪力引起的切應(yīng)力比彎曲正應(yīng)力小得多，對(duì)強(qiáng)度的影響很小，由于剪力引起的切應(yīng)力比彎曲正應(yīng)力小得多，對(duì)強(qiáng)度的影響很

44、小，通常都可以忽略。通常都可以忽略。 由此，平面彎曲正應(yīng)力公式也適用于橫截面上有由此，平面彎曲正應(yīng)力公式也適用于橫截面上有剪力作用的情形。也就是對(duì)于剪力作用的情形。也就是對(duì)于細(xì)長梁純彎曲細(xì)長梁純彎曲的正應(yīng)力公式也適用于的正應(yīng)力公式也適用于橫彎曲。橫彎曲。 857.8.2 彎曲彎曲切切應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念X當(dāng)梁發(fā)生當(dāng)梁發(fā)生橫向橫向彎曲時(shí)，橫截面上一般都有彎曲時(shí)，橫截面上一般都有剪力剪力存在，截存在，截面上與剪力對(duì)應(yīng)的分布內(nèi)力在各點(diǎn)的強(qiáng)弱程度稱為面上與剪力對(duì)應(yīng)的分布內(nèi)力在各點(diǎn)的強(qiáng)弱程度稱為切應(yīng)力切應(yīng)力，用希臘字母用希臘字母表示。表示。X切應(yīng)力的方向一般與剪力的方向相同，作用線位于橫截切應(yīng)力的方向一

45、般與剪力的方向相同，作用線位于橫截面內(nèi)，如圖面內(nèi)，如圖7-30所示。所示。X彎曲切應(yīng)力在截面上的彎曲切應(yīng)力在截面上的分布是不均勻的，分布狀分布是不均勻的，分布狀況與截面的形狀有關(guān)，一況與截面的形狀有關(guān)，一般情形下般情形下最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力發(fā)生發(fā)生在橫截面中性軸上的各點(diǎn)。在橫截面中性軸上的各點(diǎn)。 86對(duì)于寬度為對(duì)于寬度為b、高度為、高度為h的矩形截面，最大切應(yīng)力為的矩形截面，最大切應(yīng)力為:hbFQ23max對(duì)于直徑為對(duì)于直徑為d的圓截面，最大切應(yīng)力為的圓截面，最大切應(yīng)力為:AFQ34max42dA對(duì)于內(nèi)徑為對(duì)于內(nèi)徑為d、外徑為、外徑為D的圓環(huán)截面，最大切應(yīng)力為的圓環(huán)截面，最大切應(yīng)力為:AFQ 2max422dDA877.8.3 關(guān)于截面的關(guān)于截面的慣性矩慣性矩 橫截面對(duì)于某一軸的慣性矩，不僅與橫截面的面積大小有關(guān)，而橫截面對(duì)于某一軸的慣性矩，不僅與橫截面的面積大小有關(guān)，而且還與這些面積到這一軸的距離的遠(yuǎn)近有關(guān)且還與這些面積到這一軸的距離的遠(yuǎn)近有關(guān)。同樣的面積，到軸的距。同樣的面積，到軸的距離遠(yuǎn)者，慣性矩大；到軸的距離近者，慣性矩小。為了使梁能夠承受離遠(yuǎn)者，慣性矩大；到軸的距離近者，