第九章序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)

1、第九章序列的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)2 其中其中 a 是常數(shù)，是常數(shù)， t 是線性趨勢(shì)函數(shù)，是線性趨勢(shì)函數(shù)，ut . N (0, 2) 。tttuyy1tttuayy1tttutayy1(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7) 為說明為說明DF檢驗(yàn)的使用，先考慮檢驗(yàn)的使用，先考慮3種形式的回歸模型種形式的回歸模型 3 (1) 如果如果 -1 1，則，則 yt 平穩(wěn)（或趨勢(shì)平穩(wěn)）。平穩(wěn)（或趨勢(shì)平穩(wěn)）。 (2) 如果如果 =1，yt 序列是非平穩(wěn)序列。序列是非平穩(wěn)序列。(5.3.4)式可寫成：式可寫成： 顯然顯然 yt 的差分序列是平穩(wěn)的。的差分序列是平穩(wěn)的。 (3) 如果如果 的絕對(duì)值大于的絕對(duì)值大于1

2、，序列發(fā)散，且其差分序列，序列發(fā)散，且其差分序列是非平穩(wěn)的。是非平穩(wěn)的。ttttuyyy1tttuyy) 1(4 因此，判斷一個(gè)序列是否平穩(wěn)，可以通過檢驗(yàn)因此，判斷一個(gè)序列是否平穩(wěn)，可以通過檢驗(yàn) 是是否嚴(yán)格小于否嚴(yán)格小于1 1來實(shí)現(xiàn)。也就是說：來實(shí)現(xiàn)。也就是說： tttuyy1 tttuayy1 tttutayy1 (5.3.8)(5.3.9)(5.3.10) 從方程兩邊同時(shí)減去從方程兩邊同時(shí)減去 yt-1 得得， 其中：其中： = -1。5 其中：其中： = = -1-1，所以原假設(shè)和備選假設(shè)可以改寫為，所以原假設(shè)和備選假設(shè)可以改寫為 可以通過最小二乘法得到可以通過最小二乘法得到 的估計(jì)值，

3、并對(duì)其進(jìn)行的估計(jì)值，并對(duì)其進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的方法，構(gòu)造檢驗(yàn)顯著性水平的顯著性檢驗(yàn)的方法，構(gòu)造檢驗(yàn)顯著性水平的 t 統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量。 但是，但是，Dickey-Fuller研究了這個(gè)研究了這個(gè)t 統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下已經(jīng)不再服從已經(jīng)不再服從 t 分布，它依賴于分布，它依賴于 。 0:0:10HH6 Mackinnon進(jìn)行了大規(guī)模的模擬，給出了不同回歸模進(jìn)行了大規(guī)模的模擬，給出了不同回歸模型、不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平下的臨界值。這樣，型、不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平下的臨界值。這樣，就可以根據(jù)需要，選擇適當(dāng)?shù)娘@著性水平，通過就可以根據(jù)需要，選擇適當(dāng)?shù)娘@著性水平，通過 t 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量

4、來決定是否接受或拒絕原假設(shè)。這一檢驗(yàn)被稱為來決定是否接受或拒絕原假設(shè)。這一檢驗(yàn)被稱為Dickey-Fuller檢驗(yàn)檢驗(yàn)(DF檢驗(yàn)檢驗(yàn))。 上面描述的單位根檢驗(yàn)只有當(dāng)序列為上面描述的單位根檢驗(yàn)只有當(dāng)序列為AR(1)時(shí)才有效。時(shí)才有效。如果序列存在高階滯后相關(guān)，這就違背了擾動(dòng)項(xiàng)是獨(dú)立同如果序列存在高階滯后相關(guān)，這就違背了擾動(dòng)項(xiàng)是獨(dú)立同分布的假設(shè)。在這種情況下，可以使用增廣的分布的假設(shè)。在這種情況下，可以使用增廣的DF檢驗(yàn)方檢驗(yàn)方法（法（augmented Dickey-Fuller test ）來檢驗(yàn)含有高階序列）來檢驗(yàn)含有高階序列相關(guān)的序列的單位根。相關(guān)的序列的單位根。 7 考慮考慮 yt 存在

5、存在p階序列相關(guān)，用階序列相關(guān)，用p階自回歸過程來修正，階自回歸過程來修正，在上式兩端減去在上式兩端減去 yt-1，通過添項(xiàng)和減項(xiàng)的方法，可得，通過添項(xiàng)和減項(xiàng)的方法，可得其中其中 tptptttuyyyay2211tpiitittuyyay11111piipijji18 ADF檢驗(yàn)方法通過在回歸方程右邊加入因變量檢驗(yàn)方法通過在回歸方程右邊加入因變量 yt 的滯的滯后差分項(xiàng)來控制高階序列相關(guān)后差分項(xiàng)來控制高階序列相關(guān) tpiitittuyyy11 tpiitittuyayy11 tpiitittuytayy11 (5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)9 擴(kuò)展定義將檢驗(yàn)擴(kuò)展定義將檢驗(yàn) (

6、5.3.14) 序列序列 yt可能還包含常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)?？赡苓€包含常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。判斷判斷 的估計(jì)值的估計(jì)值 是接受原假設(shè)或者接受備選假設(shè)，進(jìn)而是接受原假設(shè)或者接受備選假設(shè)，進(jìn)而判斷一個(gè)高階自相關(guān)序列判斷一個(gè)高階自相關(guān)序列AR(p) 過程是否存在單位根。過程是否存在單位根。 類似于類似于DF檢驗(yàn)，檢驗(yàn)，Mackinnon通過模擬也得出在不同回通過模擬也得出在不同回歸模型及不同樣本容量下檢驗(yàn)歸模型及不同樣本容量下檢驗(yàn) 不同顯著性水平的不同顯著性水平的 t 統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)量的臨界值。這使我們能夠很方便的在設(shè)定的顯著性水平量的臨界值。這使我們能夠很方便的在設(shè)定的顯著性水平下判斷高階自相關(guān)序列是否存

7、在單位根。下判斷高階自相關(guān)序列是否存在單位根。 0:0:10HH10 但是，在進(jìn)行但是，在進(jìn)行ADF檢驗(yàn)時(shí)，必須注意以下兩個(gè)實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)，必須注意以下兩個(gè)實(shí)際問題：?jiǎn)栴}： 通常采用通常采用AIC準(zhǔn)則來確定給定時(shí)間序列模型的滯后階數(shù)。在實(shí)際準(zhǔn)則來確定給定時(shí)間序列模型的滯后階數(shù)。在實(shí)際應(yīng)用中，還需要兼顧其他的因素，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、模應(yīng)用中，還需要兼顧其他的因素，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、模型的擬合優(yōu)度等。型的擬合優(yōu)度等。 選擇哪種形選擇哪種形式很重要，因?yàn)闄z驗(yàn)顯著性水平的式很重要，因?yàn)闄z驗(yàn)顯著性水平的 t 統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下的漸近分布依賴于關(guān)于這些項(xiàng)的定義。的漸近分布依賴于關(guān)于這些項(xiàng)的定義。 1

8、1 若原序列中不存在單位根，則檢驗(yàn)回歸形式選擇若原序列中不存在單位根，則檢驗(yàn)回歸形式選擇含有常數(shù)，意味著所檢驗(yàn)的序列的均值不為含有常數(shù)，意味著所檢驗(yàn)的序列的均值不為0；若原序列；若原序列中存在單位根，則檢驗(yàn)回歸形式選擇含有常數(shù)，意味著所中存在單位根，則檢驗(yàn)回歸形式選擇含有常數(shù)，意味著所檢驗(yàn)的序列具有線性趨勢(shì)，一個(gè)簡(jiǎn)單易行的辦法是畫出檢檢驗(yàn)的序列具有線性趨勢(shì)，一個(gè)簡(jiǎn)單易行的辦法是畫出檢驗(yàn)序列的曲線圖，通過圖形觀察原序列是否在一個(gè)偏離驗(yàn)序列的曲線圖，通過圖形觀察原序列是否在一個(gè)偏離 0 的位置隨機(jī)變動(dòng)或具有一個(gè)線性趨勢(shì)，進(jìn)而決定是否在檢的位置隨機(jī)變動(dòng)或具有一個(gè)線性趨勢(shì)，進(jìn)而決定是否在檢驗(yàn)時(shí)添加常數(shù)

9、項(xiàng)。驗(yàn)時(shí)添加常數(shù)項(xiàng)。 若原序列中不存在單位根，則檢驗(yàn)回歸形式選擇若原序列中不存在單位根，則檢驗(yàn)回歸形式選擇含有常數(shù)和趨勢(shì)，意味著所檢驗(yàn)的序列具有線性趨勢(shì)；若含有常數(shù)和趨勢(shì)，意味著所檢驗(yàn)的序列具有線性趨勢(shì)；若原序列中存在單位根，則檢驗(yàn)回歸形式選擇含有常數(shù)和趨原序列中存在單位根，則檢驗(yàn)回歸形式選擇含有常數(shù)和趨勢(shì)，意味著所檢驗(yàn)的序列具有二次趨勢(shì)。同樣，決定是否勢(shì)，意味著所檢驗(yàn)的序列具有二次趨勢(shì)。同樣，決定是否在檢驗(yàn)中添加時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)，也可以通過畫出原序列的曲線在檢驗(yàn)中添加時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)，也可以通過畫出原序列的曲線圖來觀察。如果圖形中大致顯示了被檢驗(yàn)序列的波動(dòng)趨勢(shì)圖來觀察。如果圖形中大致顯示了被檢驗(yàn)序列的波

10、動(dòng)趨勢(shì)呈非線性變化，那么便可以添加時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。呈非線性變化，那么便可以添加時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。 12 在經(jīng)驗(yàn)研究中，盡管在經(jīng)驗(yàn)研究中，盡管DF檢驗(yàn)的檢驗(yàn)的DF 統(tǒng)計(jì)量是應(yīng)用最廣泛統(tǒng)計(jì)量是應(yīng)用最廣泛的單位根檢驗(yàn)，但是它的檢驗(yàn)功效偏低，尤其是在小樣本的單位根檢驗(yàn)，但是它的檢驗(yàn)功效偏低，尤其是在小樣本條件下，數(shù)據(jù)的生成過程為高度自相關(guān)時(shí)，檢驗(yàn)的功效非條件下，數(shù)據(jù)的生成過程為高度自相關(guān)時(shí)，檢驗(yàn)的功效非常不理想。另外，常不理想。另外，DF檢驗(yàn)和檢驗(yàn)和ADF檢驗(yàn)對(duì)于含有時(shí)間趨勢(shì)的檢驗(yàn)對(duì)于含有時(shí)間趨勢(shì)的退勢(shì)平穩(wěn)序列的檢驗(yàn)是失效的。因此，為了改進(jìn)退勢(shì)平穩(wěn)序列的檢驗(yàn)是失效的。因此，為了改進(jìn)DF和和ADF檢驗(yàn)的效能，檢驗(yàn)

11、的效能，Elliott，Rothenberg和和Stock (1996) 基于基于GLS方法的退勢(shì)方法的退勢(shì)DF檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為DFGLS檢驗(yàn)，其基本原理如下：檢驗(yàn)，其基本原理如下： 13 首先定義序列首先定義序列 yt 的擬差分序列如下：的擬差分序列如下： t = 1, 2, , T 并且構(gòu)造如下回歸方程：并且構(gòu)造如下回歸方程： t = 1, 2, , T (5.3.14)其中其中xt =(1) 表示表示 yt 中只含有截距項(xiàng)，或中只含有截距項(xiàng)，或 xt = (1,t) 表示表示 yt 中含有中含有截距項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)。令表示方程截距項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)。令表示方程(5.3.14)參數(shù)的最小二乘估計(jì)

12、量，參數(shù)的最小二乘估計(jì)量，在實(shí)際計(jì)算中通常如下定義參數(shù)在實(shí)際計(jì)算中通常如下定義參數(shù) a： 11)|(1tifayytifyaydtttttttuaadayd)()|()|(x, 1/5 .1311/71tifTifTattxx14 利用方程利用方程(5.3.14)的估計(jì)參數(shù)定義退勢(shì)后的序列的估計(jì)參數(shù)定義退勢(shì)后的序列ytd為為 t = 1, 2, , T 然后，對(duì)退勢(shì)后的序列然后，對(duì)退勢(shì)后的序列ytd，應(yīng)用，應(yīng)用ADF檢驗(yàn)，即為檢驗(yàn)，即為DFGLS檢驗(yàn)。檢驗(yàn)過程如下：檢驗(yàn)。檢驗(yàn)過程如下： t = 1, 2, , T 原假設(shè)和備選假設(shè)同原假設(shè)和備選假設(shè)同ADF檢驗(yàn)一致，為檢驗(yàn)一致，為 Elliot

13、t，Rothenberg和和Stock (1996)給出了不同置信水給出了不同置信水平下的臨界值，平下的臨界值，DFGLS檢驗(yàn)同一般的檢驗(yàn)同一般的ADF檢驗(yàn)一樣是左側(cè)檢驗(yàn)一樣是左側(cè)單邊檢驗(yàn)。單邊檢驗(yàn)。)(ayyttdtxtpiditidtdtuyyy111 0:0:10HH15 雙擊序列名，打開序列窗口，選擇雙擊序列名，打開序列窗口，選擇View/unit Root Test，得到下圖：得到下圖： 16 進(jìn)行單位根檢驗(yàn)必須定義進(jìn)行單位根檢驗(yàn)必須定義4項(xiàng)：項(xiàng)： 在在Test type的下拉列表中，選擇檢驗(yàn)方法。的下拉列表中，選擇檢驗(yàn)方法。EViews5提供提供了了6種單位根檢驗(yàn)的方法：種單位根檢

14、驗(yàn)的方法： Augmented Dickey-Fuller(ADF) Test Dickey-Fuller GLS Test Phillips-Perron(PP) Test Kwiatkowski , Phillips , Schmidt and Shin (KPSS) Test Elliot , Rothenberg , and Stock Point Optimal (ERS) Test Ng and Perron (NP) Test17 在在Test for unit root in中確定序列在中確定序列在下進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。可以使用這個(gè)選項(xiàng)決下進(jìn)行單位根檢驗(yàn)?？梢允褂眠@個(gè)選項(xiàng)決定序列中

15、單位根的個(gè)數(shù)。如果檢驗(yàn)水平值未拒絕，而在定序列中單位根的個(gè)數(shù)。如果檢驗(yàn)水平值未拒絕，而在一階差分拒絕原假設(shè)，序列中含有一個(gè)單位根，是一階一階差分拒絕原假設(shè)，序列中含有一個(gè)單位根，是一階單整單整I(1)；如果一階差分后的序列仍然未拒絕原假設(shè)，；如果一階差分后的序列仍然未拒絕原假設(shè)，則需要選擇則需要選擇2階差分。一般而言，一個(gè)序列經(jīng)過兩次差分階差分。一般而言，一個(gè)序列經(jīng)過兩次差分以后都可以變?yōu)橐粋€(gè)平穩(wěn)序列，也就是二階單整以后都可以變?yōu)橐粋€(gè)平穩(wěn)序列，也就是二階單整I(2)。 18 在在Include in test equation中定義在檢驗(yàn)回歸中是否中定義在檢驗(yàn)回歸中是否。這一選。這一選擇很重要

16、，因?yàn)闄z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下的分布隨這擇很重要，因?yàn)闄z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)下的分布隨這3種種情況不同而變化。在什么情況下包含常數(shù)項(xiàng)或者趨勢(shì)項(xiàng)，情況不同而變化。在什么情況下包含常數(shù)項(xiàng)或者趨勢(shì)項(xiàng)，剛才已經(jīng)作了介紹。剛才已經(jīng)作了介紹。19 在在Lag lenth這個(gè)選項(xiàng)中可以選擇一些確定消除序列這個(gè)選項(xiàng)中可以選擇一些確定消除序列相關(guān)所需的相關(guān)所需的的準(zhǔn)則。一般而言，的準(zhǔn)則。一般而言，EViews默認(rèn)默認(rèn)SIC準(zhǔn)則。準(zhǔn)則。 定義上述選項(xiàng)后，單擊定義上述選項(xiàng)后，單擊OK進(jìn)行檢驗(yàn)。進(jìn)行檢驗(yàn)。EViews顯示顯示檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和估計(jì)檢驗(yàn)回歸。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和估計(jì)檢驗(yàn)回歸。 單位根檢驗(yàn)后，應(yīng)檢查單位根檢驗(yàn)后，應(yīng)檢查EVie

17、ws顯示的估計(jì)檢驗(yàn)回歸，顯示的估計(jì)檢驗(yàn)回歸，尤其是如果對(duì)滯后算子結(jié)構(gòu)或序列自相關(guān)階數(shù)不確定，尤其是如果對(duì)滯后算子結(jié)構(gòu)或序列自相關(guān)階數(shù)不確定，可以選擇不同的右邊變量或滯后階數(shù)來重新檢驗(yàn)?？梢赃x擇不同的右邊變量或滯后階數(shù)來重新檢驗(yàn)。 2021 例用例用AR(1) 模型模擬模型模擬1983年年1月月2007年年8月居月居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)一階差分民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)一階差分 CPI的變化規(guī)律。在用的變化規(guī)律。在用ADF進(jìn)行單位根檢驗(yàn)前，需要設(shè)定序列的是否含有進(jìn)行單位根檢驗(yàn)前，需要設(shè)定序列的是否含有常數(shù)項(xiàng)或者時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。我們可以通過畫出原序列常數(shù)項(xiàng)或者時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。我們可以通過畫出原序列的圖形來判斷是否要加入常數(shù)

18、項(xiàng)或者時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。的圖形來判斷是否要加入常數(shù)項(xiàng)或者時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)。從圖的從圖的CPI圖形可以看出不含有線性趨勢(shì)項(xiàng)。圖形可以看出不含有線性趨勢(shì)項(xiàng)。CPI序序列的列的ADF檢驗(yàn)結(jié)果檢驗(yàn)結(jié)果(選擇既無常數(shù)項(xiàng)也無趨勢(shì)項(xiàng)選擇既無常數(shù)項(xiàng)也無趨勢(shì)項(xiàng))如下：如下：221983年年1月月2007年年8月的月的CPI序列單位序列單位根根ADF檢驗(yàn)結(jié)果?？蓹z驗(yàn)結(jié)果?？梢钥闯霾荒芫芙^原假以看出不能拒絕原假設(shè)，存在單位根。設(shè)，存在單位根。23 1983年年1月月2007年年8月的月的CPI序列單序列單位根位根DF-GLS檢驗(yàn)結(jié)檢驗(yàn)結(jié)果。采用含有常數(shù)和果。采用含有常數(shù)和趨勢(shì)項(xiàng)的形式。不能趨勢(shì)項(xiàng)的形式。不能拒絕原假設(shè)，拒絕原假設(shè)， CPI序序列存在單位根。列存在單位根。24 檢驗(yàn)結(jié)果顯示，檢驗(yàn)結(jié)果顯示，CPI序列序列接受原假設(shè)，因此，接受原假設(shè)，因此，CPI序列序列是一個(gè)非平穩(wěn)的序列。接著再對(duì)一階差分是一個(gè)非平穩(wěn)的