1.2定積分的換元法和分部積分法(2)ppt課件

1、第三節(jié)第三節(jié) 定積分的換元法定積分的換元法 和分部積分法和分部積分法定積分的換元法定積分的換元法定積分的分部積分法定積分的分部積分法definite integral by partsdefinite integral by substitution第五章第五章 定積分定積分 baxxfd)(定積分換元公式定積分換元公式上上在在, )( t f )(t tt d)( 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法一、定積分的換元法一、定積分的換元法(1) (2) 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且其值域且其值域,baR definite integral by substitution定理定理

2、1假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù),)(baCxf 函數(shù)函數(shù)滿足條件滿足條件:)(tx ;)(,)(ba tttfd )()( )()(aFbF )()( FF 證證,)(baCxf 因為因為),(xF xxfbad )( )(ddtFt 是是故故)(tF tttfd )()( )()(aFbF 所以所以 tttfxxfbad)()(d)( 由于由于 tttfxxfbad)()(d)( )(tF )()(ttf 的的)()(ttf N-L公式公式)()(aFbF N-L公式公式)()( FF 存在原函數(shù)存在原函數(shù)定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法原函數(shù)原函數(shù),)(t 注注積分限要作相應(yīng)的改變

3、，積分限要作相應(yīng)的改變，故積出來的原函數(shù)不必回代故積出來的原函數(shù)不必回代; tttfxxfbad)()(d)( (1),時時當(dāng)當(dāng) 換元公式仍成立換元公式仍成立;(2) 應(yīng)用定積分換元公式應(yīng)用定積分換元公式,定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法例例 203dsin xx 202dsinsin xxxxxcosd)cos1(202 xtcos ttd)1(2 01331tt, 0 x32xtcos 1 t,2 x0 t01 “湊微分時湊微分時,不明顯地寫出不明顯地寫出積分限不需變積分限不需變.新變量新變量 t，注注定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 202cosd

4、)cos1( xx203cos31cos xx 32 例例 解解 43)ln1(lndeexxxx原式原式 43)ln1(ln)(lndeexxx 432)ln(1lnd2eexx 43)lnarcsin(2eex .6 )ln(dx定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法xxlndln121例例 )0(d022 axxaa解解原式原式ttadcos202 ,sintax 令令2,0, 0 taxtx 20d22cos1 tta241a 這是半徑為這是半徑為a的四分之一的圓的面積的四分之一的圓的面積.定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法.dcosdttax 解解 a

5、axxax022)0(d1令令,sintax ax 2 t0 x0 tttaxdcosd 原式原式 ttcossin 20dcossinsincos121 ttttt 20cossinln21221 tt .4 ttatatad)sin1(sincos22 02 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 20 tcostd tsintcos tsin 21幾個關(guān)于奇、偶函數(shù)及周期函數(shù)的定積分幾個關(guān)于奇、偶函數(shù)及周期函數(shù)的定積分例例 證證明明上上可可積積在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè),)(aaxf 由被積函數(shù)和積分區(qū)間來確定變換由被積函數(shù)和積分區(qū)間來確定變換. aaxxfxfxxfd)()(d)(

6、0a定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 0d)(axxf axxf0d)( 0d)(attftx 令令.ddtx xexxd1cos44 22xexexxxd1cos1cos40 40dcos xx證明證明 定積分定積分-面積的代數(shù)和。面積的代數(shù)和。定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 aaaxxfxfxxf0d)()(d)(,)()1(為偶函數(shù)為偶函數(shù)xf aaaxxfxxf0d)(2d)(,)()2(為為奇奇函函數(shù)數(shù)xf aaxxf0d)( xxxxxd12sin552423xx d412 00 xxxdsin4 112d4xx例例 20 0 xxxd |

7、1)124(52 xxxxd122235 038 xxxd |2 奇奇奇奇偶偶定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法11 20224d122xxxxxxxd |. 121 xx d2123 2222345d12. 2xxxxxx 22224d12xxxx例例 312d)2(, 0, 0,1)(xxfxexxxfx求求設(shè)設(shè)解解 法一法一,2tx 令令txdd e137 tt d )1(012 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 31d)2(xxf 11d)(ttftetd10 法二法二 )2(xf , 2, 2, 5422xexxxx 31d)2(xxf 1 3e

8、137 , 02 x,)2(12 x, 02 x,)2( xexxxd)54(2 xexd2 22定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 312d)2(, 0, 0,1)(xxfxexxxfx求求設(shè)設(shè)證證 (1)tx 2 例例 證證明明上上連連續(xù)續(xù)在在若若,1 , 0)(xf 2020;d)(cosd)(sin)1( xxfxxf設(shè)設(shè)定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法02 20d)(cos ttf 20d)(cos xxftxdd 20d)(sin xxf ttfd)2sin( 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法tx txdd 0d)(sinx

9、xxf 0d)(sin)(ttft設(shè)設(shè) 0d)(sinxxxf.d)(sin20 xxf證證(2) 00d)(sin2d)(sin)2(xxfxxxf 0d)(sinttf 0d)(sinttft 證證明明上上連連續(xù)續(xù)在在若若,1 , 0)(xf0例例 ttftd)sin()( 02dcos1sinxxxx 02dcos1sin2xxx 02)(cosdcos112xx 0)arctan(cos2x .42 )44(2 說明說明:雖然雖然, 0cos1sin2 Cxxx 但由于它沒有但由于它沒有初等原函數(shù)初等原函數(shù),故無法直接用故無法直接用N-L公式求積分公式求積分.定積分的換元法和分部積分法

10、定積分的換元法和分部積分法 00d)(sin2d)(sinxxfxxxf 43 解解 exxxd)tan1(sin24 xxdsin4204 原式原式 e e2 2 周期函數(shù)在任何長為一周期的區(qū)間上的定積分都相等周期函數(shù)在任何長為一周期的區(qū)間上的定積分都相等.定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 2e ee2xxxeed)tan1(sin24 計計算算.d)(d)(,)(0為任何常數(shù)為任何常數(shù)的周期的周期是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù)如果如果axxfxxfxfTTaaT xxtttxx020dsin1lim求求極極限限解解被積函數(shù)中含有變量被積函數(shù)中含有變量 x,積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式積

11、分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式?.,utx 令令 xtttx0dsinuuudsin xxxxx22sinlim220 1 00分析分析02x定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 2020dsin1limxxuuux原原式式定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法選擇題選擇題設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf連續(xù)連續(xù),則下列函數(shù)中則下列函數(shù)中,必為偶函數(shù)的是必為偶函數(shù)的是.d)()(02ttfAx .d)()(02ttfBx .d)()()(0ttftftCx .d)()()(0ttftftDx 分析分析 xttfx0d)()( )( 0d)(ttfx x 定積分的分部積分公式定積分的分部

12、積分公式定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法設(shè)設(shè))(),(xvxu上上在在區(qū)區(qū)間間,ba有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), vuddefinite integral by parts定理定理2uv uvdabbaab例例 30d1arcsinxxx解解xxx 1arcsin334 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法uvd原式原式=30 30 xxxxd)1(2 xxd)111(30 xd)arctan(xx 30 301xx例例 102d)2()1ln(xxx 10)1ln(x2ln 10)2ln()1ln(312lnxx

13、2ln31 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法u dx 21xx 2)1ln(10 xxxd112110 xd10 xx211131例例 解解 21,dsin)(xtttxf設(shè)設(shè).d)(10 xxxf求求 10d)(xxxf2dx102)(21xfx 102)(d21xfx)1(21f ttsin沒有初等原函數(shù)沒有初等原函數(shù),定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法分析分析使用分部積分法使用分部積分法.u 10)(xf21. 0)1( f22sin)(xxxf .sin22xx x2 102dsin221xxx 1022dsin21xx102cos21x ).11

14、(cos21 思考題思考題解答解答 10d)2(xxfx 10)2(d21xfx 10)2(21xfx 10)2(4125xf )0()2(4125ff . 2 10d)2(21xxf )2(21f 10)2(d)2(41xxf定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法.d)2(, 5)2(, 3)2(10 xxfxff求求, 1)0(,1 , 0)( fxf且且上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 bababauvuvvudd定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法三、小結(jié)三、小結(jié)定積分的換元公式定積分的換元公式xxfbad)( tttfd)()

15、( 奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)三角函數(shù)的定積分公式三角函數(shù)的定積分公式周期函數(shù)的定積分公式周期函數(shù)的定積分公式思考題思考題 試檢查下面運算是否正確試檢查下面運算是否正確? 1121dxx tt1d111112tx1 令令 1121dtt 1121dxx 1121dxx0 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法如不正確如不正確,指出原因指出原因.解答解答, 0112 x 1121dxx必定大于零必定大于零.問題：引進變換問題：引進變換tx1 ,1 , 1上上不不連連續(xù)續(xù)在在 不滿足換元法則的前提條件不滿足換元法則的前提條件.例例證證 xxI

16、nndsin02 n為正偶數(shù)為正偶數(shù)n為大于為大于1的正奇數(shù)的正奇數(shù),22143231 nnnn,3254231 nnnn J.Wallis公式公式十七世紀(jì)的英國數(shù)學(xué)家十七世紀(jì)的英國數(shù)學(xué)家 John Wallis 給出給出.定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法 x2sin1 0)1( n 20dsin xxInnxxnndsin)1(20 2 nI)1( nnI 201cossin xxn xxxnndcossin)1(2022 xxnndsin)1(202 201dcossin xxn)1( n21 nnInnI積分積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式關(guān)于下標(biāo)的遞推公式nI 20dsin xxInn2 nI)1( nnI