離散型隨機(jī)變量的均值與方差詳解教師

1、離散型隨機(jī)變量的均值與方差1、 考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值或期望的概念，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值或期望，并能解決一些實(shí)際問題；2. 理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念，會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出方差或標(biāo)準(zhǔn)差，并能解決一些實(shí)際問題；【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、離散型隨機(jī)變量的期望1.定義：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為P則稱 為的均值或數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望要點(diǎn)詮釋：（1）均值（期望）是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù)，它反映或刻畫的是隨機(jī)變量取值的平均水平（2）一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量的概率分布中，令，則有，所以的數(shù)學(xué)期望又

2、稱為平均數(shù)、均值。（3）隨機(jī)變量的均值與隨機(jī)變量本身具有相同的單位2性質(zhì)：；若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，有；的推導(dǎo)過程如下：的分布列為P于是 )。要點(diǎn)二：離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1.一組數(shù)據(jù)的方差的概念：已知一組數(shù)據(jù)，它們的平均值為，那么各數(shù)據(jù)與的差的平方的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的方差。2.離散型隨機(jī)變量的方差：一般地，若離散型隨機(jī)變量的概率分布為P則稱稱為隨機(jī)變量的方差，式中的是隨機(jī)變量的期望的算術(shù)平方根叫做隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，記作要點(diǎn)詮釋：隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)

3、、集中與離散的程度；方差（標(biāo)準(zhǔn)差）越小，隨機(jī)變量的取值就越穩(wěn)定（越靠近平均值）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛。3.期望和方差的關(guān)系：4.方差的性質(zhì)：若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，；要點(diǎn)三：常見分布的期望與方差1、二點(diǎn)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二點(diǎn)分布，則期望方差證明：,2、二項(xiàng)分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，即則期望方差期望公式證明：，又，3、幾何分布：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若事件在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都為，事件第一次發(fā)生時(shí)所做的試驗(yàn)次數(shù)是隨機(jī)變量，且，稱離散型隨機(jī)變量服從幾何分布，記作：。若離散型隨機(jī)變量服從幾何分布，且則期望方

4、差要點(diǎn)詮釋：隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布或者幾何分布，要從取值和相應(yīng)概率兩個(gè)角度去驗(yàn)證。4、超幾何分布：若離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的超幾何分布，則期望要點(diǎn)四：離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法及應(yīng)用1、求離散型隨機(jī)變量的期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的基本步驟：理解的意義，寫出可能取的全部值；求取各個(gè)值的概率，寫出分布列；P根據(jù)分布列，由期望、方差的定義求出、：.注意：常見分布列的期望和方差，不必寫出分布列，直接用公式計(jì)算即可2.離散型隨機(jī)變量的期望與方差的實(shí)際意義及應(yīng)用 離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平； 隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度。方差越大數(shù)據(jù)

5、波動(dòng)越大。對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量和，當(dāng)需要了解他們的平均水平時(shí)，可比較和的大小。和相等或很接近，當(dāng)需要進(jìn)一步了解他們的穩(wěn)定性或者集中程度時(shí)，比較和，方差值大時(shí)，則表明比較離散，反之，則表明比較集中品種的優(yōu)劣、儀器的好壞、預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確與否、武器的性能等很多指標(biāo)都與這兩個(gè)特征數(shù)（數(shù)學(xué)期望、方差）有關(guān)二、典型例題類型一、離散型隨機(jī)變量的期望例1 已知隨機(jī)變量X的分布列為：X21012Pm 試求：（1）E（X）；（2）若y=2X3，求E（Y） 【思路點(diǎn)撥】 分布列中含有字母m，應(yīng)先根據(jù)分布列的性質(zhì)，求出m的值，再利用均值的定義求解；對(duì)于（2），可直接套用公式，也可以先寫出Y的分布列，再求E（Y）【解析】（1）

6、由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得，。（2）解法一：由公式E（aX+b）=aE（X）+b，得 解法二：由于Y=2X3，所以y的分布如下：X75311P 。【總結(jié)升華】 求期望的關(guān)鍵是求出分布列，只要隨機(jī)變量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，對(duì)于aX+b型隨機(jī)變量的期望，可以利用期望的性質(zhì)求解，當(dāng)然也可以求出aX+b的分布列，再用定義求解舉一反三：【變式1】已知某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求.【答案】。【變式2】已知隨機(jī)變量的分布列為210123Pmn其中m，n0,1)，且E()，則m，n的值分別為_【答案】，由p1p2

7、p61，得mn，由E()，得m，m，n.【變式3】隨機(jī)變量的分布列為：024P0.40.30.3則E(54)等于()A13 B11 C2.2 D2.3【答案】A由已知得E()0×0.42×0.34×0.31.8，E(54)5E()45×1.8413.【變式4】設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3，4，且（），則 ；【答案】；由分布列的概率和為1，有，又，即，解得，故。例2. 袋中有4個(gè)黑球、3個(gè)白球、2個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球，每取到一個(gè)黑球記0分，每取到一個(gè)白球記1分，每取到一個(gè)紅球記2分，用表示得分?jǐn)?shù)。求：的概率分布列；的數(shù)學(xué)期望。【思路點(diǎn)撥】本題求

8、取各個(gè)值的概率，其類型顯然是古典概型。【解析】依題意的取值為0、1、2、3、4=0時(shí)，取得2黑球，=1時(shí)，取得1黑球1白球， ，=2時(shí)，取2白球或1紅球1黑球，=3時(shí)，取1白球1紅球，=4時(shí)，取2紅球，分布列為01234p期望. 【總結(jié)升華】求離散型隨機(jī)變量均值的關(guān)鍵在于列出概率分布表舉一反三：【變式1】 隨機(jī)的拋擲一個(gè)骰子，求所得骰子的點(diǎn)數(shù)的數(shù)學(xué)期望【答案】拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)的概率分布為123456P所以 1×2×3×4×5×6×(123456)×3.5拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)的數(shù)學(xué)期望，就是的所有可能取值的平均值【變式2】甲、乙、

9、丙、丁獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，其中甲的成功率是，乙、丙、丁的成功率都是 （1）若破譯密碼成功的人數(shù)為X，求X的概率分布； （2）求破譯密碼成功人數(shù)的數(shù)學(xué)期望【答案】（1）破譯密碼成功的人數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，4， 則X的概率分布表為X01234P（2）由（1）知，即破譯密碼成功的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1.5【變式3】交5元錢，可以參加一次抽獎(jiǎng)，已知一袋中有同樣大小的球10個(gè)，其中有8個(gè)標(biāo)有1元錢，2個(gè)標(biāo)有5元錢，抽獎(jiǎng)?wù)咧荒軓闹腥稳?個(gè)球，他所得獎(jiǎng)勵(lì)是所抽2球的錢數(shù)之和求抽獎(jiǎng)?wù)攉@利的數(shù)學(xué)期望 【答案】 抽到的2個(gè)球上的錢數(shù)之和是個(gè)隨機(jī)變量，其中取每一個(gè)值時(shí)所代表的隨機(jī)事件的概率是容易獲得的，本題

10、的目標(biāo)是求參加抽獎(jiǎng)的人獲利的數(shù)學(xué)期望，由與的關(guān)系為=5，利用公式E（）=E（）5可獲解答 設(shè)為抽到的2球錢數(shù)之和，則的取值如下： =2（抽到2個(gè)1元），=6（抽到1個(gè)1元，1個(gè)5元），=10（抽到2個(gè)5元）所以，由題意得， 又設(shè)為抽獎(jiǎng)?wù)攉@利的可能值，則=5，所以抽獎(jiǎng)?wù)攉@利的期望為 例3 甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為，記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為X，乙擊中目標(biāo)的次數(shù)為Y， （1）求X的概率分布； （2）求X和Y的數(shù)學(xué)期望【思路點(diǎn)撥】 甲、乙擊中目標(biāo)的次數(shù)均服從二項(xiàng)分布【解析】（1），。 所以X的概率分布如下表：X0123P（2）由（1）知，或由題意，。，?！究?/p>

11、結(jié)升華】 在確定隨機(jī)變量服從特殊分布以后，可直接運(yùn)用公式求其均值舉一反三：【變式1】 有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出20件商品，求抽出次品數(shù)的期望?！敬鸢浮吭O(shè)抽出次品數(shù)為，因?yàn)楸怀樯唐窋?shù)量相當(dāng)大，抽20件商品可以看作20次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以,所以【變式2】 一次單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分 學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.9，學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從4個(gè)選擇中隨機(jī)地選擇一個(gè)，求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望。 【答案】設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語測(cè)驗(yàn)中正

12、確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是，則 B（20,0.9）,由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和乙在這次英語測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是5和5 所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望分別是： 類型二、離散型隨機(jī)變量的方差例4已知離散型隨機(jī)變量的概率分布為1234567P離散型隨機(jī)變量的概率分布為3738394414243P求這兩個(gè)隨機(jī)變量期望、均方差與標(biāo)準(zhǔn)差【解析】；=0.04, .【總結(jié)升華】本題中的和都以相等的概率取各個(gè)不同的值，但的取值較為分散，的取值較為集中，方差比較清楚地指出了比取值更集中2，=0. 2，可以看出這兩個(gè)隨機(jī)變量取值與其期望值的偏差 舉一反三：【變式1】已知隨機(jī)變量的分布列如下表：101P （1）求E（）

13、，D（），； （2）設(shè)=2+3，求E（），D（）【答案】（1）；，。（2），?！咀兪?】 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為X12nP 求D(X）。 【答案】 本題考查方差的求法可由分布列先求出X的期望E（X），再利用方差的定義求之也可直接利用公式D（X）=E（X2）E（X）2來解 解法一：，。解法二：由解法一可求得。又，。例5.有一批數(shù)量很大的商品的次品率為1%，從中任意地連續(xù)取出20件商品，求抽出次品數(shù)的期望與方差?！舅悸伏c(diǎn)撥】由于產(chǎn)品數(shù)量很大，因而抽樣時(shí)抽出次品與否對(duì)后面的抽樣的次品率影響非常小，所以可以認(rèn)為各次抽查的結(jié)果是彼此獨(dú)立的，可以看作20次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)利用二項(xiàng)分布的公式解答?！窘馕觥吭O(shè)抽

14、出次品數(shù)為，因?yàn)楸怀樯唐窋?shù)量相當(dāng)大，抽20件商品可以看作20次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以,所以【總結(jié)升華】1. 解答本題的關(guān)鍵是理解清楚：抽20件商品可以看作20次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即，從而可用公式：，直接進(jìn)行計(jì)算；2.以下抽查問題可以看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：（1）涉及產(chǎn)品數(shù)量很大，而且抽查次數(shù)又相對(duì)較少的產(chǎn)品抽查問題；（2）如果抽樣采用有放回地從小數(shù)量產(chǎn)品中抽取產(chǎn)品，則各次抽樣的次品率不變，各次抽樣是否抽出次品是完全獨(dú)立的事件；但從小數(shù)量產(chǎn)品中任意抽取產(chǎn)品（即無放回地抽?。┟看纬闃雍蟠纹仿蕦?huì)發(fā)生變化，即各次抽樣是不獨(dú)立的，不能看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。舉一反三：【變式】若某批產(chǎn)品共100件，其中有20件二等品，從中

15、有放回地抽取3件，求取出二等品的件數(shù)的期望、方差。【答案】由題知一次取出二等品的概率為，有放回地抽取3件，可以看作3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即取出二等品的件數(shù)，所以，.【高清課堂：離散型隨機(jī)變量的均值與方差 408737 例題1】【變式2】有10件產(chǎn)品,其中3件是次品.從中任取2件,若抽到的次品數(shù)為X,求X的分布列,期望和方差.【答案】類型四、離散型隨機(jī)變量的期望和方差的應(yīng)用例6 甲、乙兩種水稻在相同條件下各種植100畝，收獲的情況如下：甲：畝產(chǎn)量300320330340畝數(shù)20254015 乙：畝產(chǎn)量310320330340畝數(shù)30204010 試評(píng)價(jià)哪種水稻的質(zhì)量較好 【思路點(diǎn)撥】 本題是期望與方

16、差的綜合應(yīng)用問題要比較甲、乙兩種水稻的質(zhì)量，需求出其平均畝產(chǎn)量并對(duì)其穩(wěn)定情況進(jìn)行比較題中只給出了畝產(chǎn)量與畝數(shù)關(guān)系，所以應(yīng)先列出甲、乙兩種水稻的畝產(chǎn)量的概率分布，再求其期望與方差 【解析】 設(shè)甲、乙兩種水稻的畝產(chǎn)量分別為X和Y則，。且，。，即E（X）=E（Y），這表明兩種水稻的平均畝產(chǎn)量相同，進(jìn)一步求各自的方差，得，。 即V（X）V（Y），這說明乙種水稻的產(chǎn)量較為穩(wěn)定，因此乙種水稻質(zhì)量較好【總結(jié)升華】 期望（均值）僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平但如果兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相等，還需比較其方差，方差大說明隨機(jī)變量的取值較分散（波動(dòng)大），方差小說明取值較集中、穩(wěn)定當(dāng)我們希望實(shí)際的平均水平比較理想時(shí)，則先

17、求它們的均值，但不要誤認(rèn)為均值相等時(shí)，它們都一樣好，這時(shí)，還應(yīng)看它們相對(duì)于均值的偏離程度，也就是看哪一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定（即比較方差的大?。鄬?duì)穩(wěn)定者就更好如果我們希望比較穩(wěn)定時(shí)，這時(shí)應(yīng)先考慮方差，再考慮均值是否接近即可舉一反三：【變式1】甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的概率分布分別為甲保護(hù)區(qū)：X10123P0.30.30.20.2乙保護(hù)區(qū)：X2012P0.10.50.4 試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平【答案】甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)X1的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：E（X1）=0×0.3+1×0.3+

18、2×0.2+3×0.2=1.3；D（X1）=(01.3)2×0.3+(11.3)2×0.3+(21.3)2×0.2+(31.3)2×0.2=1.21 乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)置的數(shù)學(xué)期望和方差分別為： E（X2）=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3； D（X2）=(01.3)2×0.1+(11.3)2×0.5+(21.3)2×0.4=0.41因?yàn)镋（X1）=E（X2），D（X1）D（X2），所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每季度平均發(fā)生的違規(guī)事件次數(shù)是相同的，但乙保護(hù)區(qū)內(nèi)發(fā)生的違規(guī)事件次數(shù)

19、更集中和穩(wěn)定，而甲保護(hù)區(qū)內(nèi)發(fā)生的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散，波動(dòng)較大【變式2】 根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案： 方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元： 方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水； 方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水 試比較哪一種方案好【答案】 要比較哪一種方案好，只要把三種方案的損失的數(shù)學(xué)期望求出，哪一個(gè)小，哪一個(gè)方案就好用X1、X2、X3分別表示三種方案的損失 采用方案1：無論有無洪水，都損失3800

20、元，即X=3800 采用方案2：遇到大洪水時(shí)，損失2000+60000=62000（元）；沒有大洪水時(shí)，損失2000元，即 同樣，采用方案3：有 于是，E（X1）=3800， E（X2）=62000×P (X2=62000)+2000×P (X2=2000)=62000×0.01+2000×(10.01)=2600， E（X3）=60000×P (X3=60000)+10000×P(X3=10000)+0×P (X3=0)=60000×0.01+10000×0.25=3100采用方案2的平均損失最小，所以

21、方案2好【高清課堂：離散型隨機(jī)變量的均值與方差 408737 例題4】【變式3】某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)（人）302510結(jié)算時(shí)間（分鐘/人）11.522.53已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55.（）確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望；&%中國(guó)教育出版網(wǎng)*#（）若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率.（注：將頻率

22、視為概率）【解析】（1）由已知,得所以該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所以收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得的分布為 X11.522.53PX的數(shù)學(xué)期望為 .（）記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘”，為該顧客前面第位顧客的結(jié)算時(shí)間，則 .由于顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且的分布列都與X的分布列相同，所以 .故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率為.三、課堂練習(xí)一、選擇題1設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下表所示且E(X)1.6，則ab()X0123P0.1ab0.1A.0.2 B0.1 C0.2 D0.42已知的分布列為01P

23、pq其中P(0，1)，則（ ） （A） E=p，D=pq （B） E=p，D=p2 （C） E=q，D=q2 （D） E=l一p，D=pp23已知隨機(jī)變量X的分布列為：P(Xk)，k1、2、3，則D(3X5)()A6 B9C3 D44一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6、0.3和0.1，則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預(yù)期可獲得()A36元 B37元C38元 D39元5一牧場(chǎng)有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02.設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為，則D等于

24、()A0.2 B0.8 C0.196 D0.8046甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)車床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)件，X表示甲機(jī)床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，Y表示乙機(jī)床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)過一段時(shí)間的考查，X、Y的分布列分別為X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20據(jù)此判斷()A甲比乙質(zhì)量好 B乙比甲質(zhì)量好C甲與乙質(zhì)量相同 D無法判定7某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的均值為()A100 B200 C300 D4008甲、乙、丙三名射箭運(yùn)動(dòng)員在某次測(cè)試中各射箭20次，三人的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤恚杭椎?/p>

25、成績(jī)環(huán)數(shù)78910頻數(shù)5555乙的成績(jī)環(huán)數(shù)78910頻數(shù)6446丙的成績(jī)環(huán)數(shù)78910頻數(shù)4664s1，s2，s3分別表示甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員這次測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有（ ） As3s1s2 Bs2s1s3 Cs1s2s3 Ds2s3s1二、填空題9有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙，包裝重量分別為隨機(jī)變量1、2，若E1E2，D1D2，則自動(dòng)包裝機(jī)_的質(zhì)量較好10隨機(jī)變量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列若，則D（）的值是_11節(jié)日期間，某種鮮花進(jìn)貨價(jià)是每束2.5元，銷售價(jià)是每束5元；節(jié)后賣不出的鮮花以每束1.6元處理，根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測(cè)，節(jié)日期間這種鮮花的需求量X服從如表所示的概率

26、分布：X200300400500P0.200.350.300.15若進(jìn)這種鮮花500束，則期望利潤(rùn)是_元12某射手有5發(fā)子彈，射擊一次，命中率是0.9，如果命中了就停止射擊，否則一直射到子彈用盡為止，設(shè)損耗子彈數(shù)為X，則E（X）=_，D(X)=_（精確到0.01）三、解答題13. 已知盒中有10個(gè)燈泡，其中8個(gè)正品，2個(gè)次品需要從中取出2個(gè)正品，每次取出1個(gè)，取出后不放回，直到取出2個(gè)正品為止設(shè)為取出的次數(shù)，求的分布列及E14設(shè)在12個(gè)同類型的零件中有2個(gè)次品，抽取3次進(jìn)行檢驗(yàn)，每次抽取一個(gè)，并且取出后不再放回，若以X和V分別表示取出次品和正品的個(gè)數(shù) （1）求X的概率分布、期望值及方差； （2

27、）求Y的概率分布、期望值及方差15有甲、乙兩個(gè)建材廠，都想投標(biāo)參加某重點(diǎn)建設(shè)，為了對(duì)重點(diǎn)建設(shè)負(fù)責(zé)，政府到兩建材廠抽樣檢查，他們從中各取等量的樣品：檢查它們的抗拉強(qiáng)度指數(shù)如下：110120125130135P0.10.20.40.10.2100115125130145P0.10.20.40.10.2其中和分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強(qiáng)度，在要求抗拉強(qiáng)度不低于120的條件下，比較甲、乙兩廠材料哪一種穩(wěn)定性較好【答案與解析】1.【答案】C 【解析】由0.1ab0.11，得ab0.8，又由E(X)0×0.11×a2×b3×0.11.6，得a2b1.3，由解得a0

28、.3，b0.5，ab0.2，故應(yīng)選C.2. 【答案】D 【解析】B（l，q），p+q=13. 【答案】A【解析】E(X)(123)×2，D(X)(12)2(22)2(32)2×23，D(3X5)9D(X)6.4. 【答案】B【解析】由題意知每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預(yù)期可獲利0.6×500.3×300.1×(20)37(元)5. 【答案】C【解析】根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式：D10×0.02×0.980.196.6. 【答案】A【解析】EX0.7×01×0.12×0.13×0.10.6，EY0&

29、#215;0.51×0.32×0.23×00.7，因?yàn)镋X<EY，根據(jù)隨機(jī)變量X與Y各自的均值(即甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的1 000件產(chǎn)品中次品數(shù)的平均值)，可知甲的次品數(shù)較少7. 【答案】B【解析】本題以實(shí)際問題為背景，考查的事件的均值問題記“不發(fā)芽的種子數(shù)為”，則B(1 000,0.1)，所以E()1 000×0.1100，而X2，故EXE(2)2E()200，故選B.8【答案】B 【解析】 設(shè)甲、乙、丙射中的環(huán)數(shù)依次為X1、X2、X3。依題意對(duì)甲有：X178910P，；對(duì)乙有：X278910P，；同理可得。故s2s1s3。9. 【答案】乙【解析】

30、E1E2說明甲、乙兩機(jī)包裝的重量的平均水平一樣D1>D2說明甲機(jī)包裝重量的差別大，不穩(wěn)定乙機(jī)質(zhì)量好10【答案】 【解析】 依隨機(jī)變量的分布列知a+b+c=1，依a，b，c成等差數(shù)列知2b=a+c，則，。又，則。解得，。故。11【答案】706 【解析】 節(jié)日期間鮮花預(yù)售量為E（X）=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=40+105+120+75=340，則期望的利潤(rùn)Y=5X+1.6(500X)500×2.5=3.4X450，E（Y）=3.4 E（X）450=3.4×340450=706。故期望利

31、潤(rùn)為706元。12【答案】1.11 0.12【解析】隨機(jī)變量X服從超幾何分布，根據(jù)公式：期望方差可求。13. 【解析】每次取1件產(chǎn)品，至少需2次，即最小為2，有2件次品，當(dāng)前2次取得的都是次品時(shí)，=4，所以可以取2，3，4P（=2）=×=；P（=3）=××+××=；P（=4）=1=的分布列如下：234PE=2×P（=2）+3×P（=3）+4×P（=4）=14【解析】（1）X的可能取值為0，1，2。若X=0，表示沒有取出次品，其概率為，同理，有，。X的概率分布為X012P，D(。（2）Y的可能取值為1，2，3，顯然X

32、+Y=3。，。Y的概率分布為Y123P。Y=X+3，。15【解析】E（）=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125，E（）=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125，D（）=0.1×(110125)2+0.2×(120125)2+0.4×(125125)2+0.1×(130125)2+0.2(135125)2=50，D（）=0.1×(100125)2+0.

33、2×(115125)2+0.4×(125125)2+0.1×(130125)2+0.2×(145125)2=165，由于E（）=E（），而D（）D（），故甲廠的材料穩(wěn)定性較好。4、 課后練習(xí)一、選擇題1下面說法中正確的是()A離散型隨機(jī)變量的均值E()反映了取值的概率的平均值B離散型隨機(jī)變量的方差D()反映了取值的平均水平C離散型隨機(jī)變量的均值E()反映了取值的平均水平D離散型隨機(jī)變量的方差D()反映了取值的概率的平均值2已知的分布列為101P0.50.30.2則D等于（ ） （A）0.7 （B）0.61 （C）0.3 （D）0 3隨機(jī)變量的分布列為02

34、4P0.40.30.3，則E(54)等于()A13B11C2.2 D2.34隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布B（100，0.2），那么D（4+3）的值為（ ） A64 B256 C259 D3205某商場(chǎng)買來一車蘋果，從中隨機(jī)抽取了10個(gè)蘋果，其重量（單位：克）分別為：150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估計(jì)這車蘋果單個(gè)重量的期望值是（ ） A150.2克 B149.8克 C149.4克 D147.8克6從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，設(shè)為途中遇到紅燈的次數(shù)，則隨機(jī)變量的方差為（ ） A B

35、C D7節(jié)日期間，某種鮮花進(jìn)貨價(jià)是每束2.5元，銷售價(jià)每束5元；節(jié)后賣不出去的鮮花以每束1.6元價(jià)格處理根據(jù)前五年銷售情況預(yù)測(cè)，節(jié)日期間這種鮮花的需求量服從如下表所示的分布，若進(jìn)這種鮮花500束，則期望利潤(rùn)是200300400500P0.200.350.300.15A.706元 B690元C754元 D720元8甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)車床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)件，X表示甲機(jī)床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，Y表示乙機(jī)床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)過一段時(shí)間的考查，X、Y的分布列分別為X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20據(jù)此判斷()A甲比乙質(zhì)量好 B乙比甲質(zhì)量好C甲與乙質(zhì)量相

36、同 D無法判定二、填空題9.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布即，則 ； 10有兩臺(tái)自動(dòng)包裝機(jī)甲與乙，包裝重量分別為隨機(jī)變量1、2，若E1E2，D1D2，則自動(dòng)包裝機(jī)_的質(zhì)量較好11某射手有5發(fā)子彈，射擊一次，命中率是0.9，如果命中了就停止射擊，否則一直射到子彈用盡為止，設(shè)損耗子彈數(shù)為X，則E（X）=_，D（X）=_（精確到0.01）12某保險(xiǎn)公司新開設(shè)了一項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，若在一年內(nèi)事件E發(fā)生，該公司要賠償a元，設(shè)一年內(nèi)事件E發(fā)生的概率為p，為使公司收益的期望值等于a的10%，公司應(yīng)要求投保人交的保險(xiǎn)金為_元三、解答題13一袋中裝有6只球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，在袋中同時(shí)取3只，求三只球中的最大號(hào)碼的數(shù)