高考總復(fù)習(xí)天津中學(xué)解三角形單元教師全套

1、考綱導(dǎo)讀解三角形（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題.(二) 應(yīng)用能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)解三角形正弦定理余弦定理正弦定理的變形形式余弦定理的變形形式解三角形應(yīng)用舉例測(cè)量實(shí)習(xí)高考導(dǎo)航正弦定理、余弦定理及利用三角公式進(jìn)行恒等變形的能力以化簡(jiǎn)、求值或判斷三角形的形狀為主解三角形常常作為解題工具用于立體幾何中的計(jì)算或證明基礎(chǔ)過(guò)關(guān)第1課時(shí) 三角形中的有關(guān)問(wèn)題典型例題變式訓(xùn)練1：(1)的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則 （ ）A B C D解：B 提示：利用余弦定

2、理（2）在ABC中，由已知條件解三角形，其中有兩解的是 （ ）A.B. C.D. 解：C 提示：在斜三角形中，用正弦定理求角時(shí)，若已知小角求大角，則有兩解；若已知大角求小角，則只有一解（3）在ABC中，已知，則的值為（ ）A B C 或 D 解：A 提示:在ABC中，由 知角B為銳角（4）若鈍角三角形三邊長(zhǎng)為、，則的取值范圍是 解： 提示：由可得（5）在ABC中，= 解：提示：由面積公式可求得，由余弦定理可求得例3. 已知在ABC中，sinA(sinBcosB)sinC0，sinBcos2C0，求角A、B、C解：由sinA(sinBcosB)sinC0，得sinAsinBsinAcosBsin

3、(AB)0，所以sinB(sinAcosA)0B(0, ), sinB0, cosAsinA，由A(0, )，知A從而BC，由sinBcos2C0得sinBcos2(B)0cos(2B)cos2(2B)cos(2B)sin2B得sinBsin2B0，亦即sinB2sinBcosB0，由此各cosB，B，CA B C變式訓(xùn)練3：已知ABC中，2（sin2Asin2C）=（ab）sinB，ABC外接圓半徑為.（1）求C；（2）求ABC面積的最大值.解：（1）由2（sin2Asin2C）=（ab）·sinB得2（）=（ab）.又R=，a2c2=abb2.a2+b2c2=ab.cosC=.又

4、0°C180°，C=60°.（2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°A）=2sinA（sin120°cosAcos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2Acos2A+=sin（2A30°）+.當(dāng)2A=120°，即A=60°時(shí)，Smax=. 小結(jié)歸納小結(jié)歸納基礎(chǔ)過(guò)關(guān)第2課時(shí) 應(yīng)用性問(wèn)題1三角形中的有關(guān)公式（正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式等）；正弦定理和余弦定理解三角形的常見問(wèn)題有：測(cè)量距離問(wèn)題、測(cè)量高度問(wèn)題、測(cè)量角度

5、問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等；實(shí)際問(wèn)題中有關(guān)術(shù)語(yǔ)、名稱（1）仰角和俯角：在目標(biāo)視線和水平視線所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的角叫仰角；在水平視線下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線水平角典型例題例1(1)某人朝正東方走km后，向左轉(zhuǎn)1500，然后朝新方向走3km，結(jié)果它離出發(fā)點(diǎn)恰好km，那么等于 （ ） （A） （B） （C）或 （D）3解：C 提示：利用余弦定理（2）甲、乙兩樓相距，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?，則甲、乙兩樓的高分別是 （ ）A B C D 解：A（3）一只汽球在的高空飛行，汽球上的工件人員測(cè)得前方一座山頂上A點(diǎn)處的

6、俯角為，汽球向前飛行了后，又測(cè)得A點(diǎn)處的俯角為，則山的高度為（ ）A B C D 解： B （4）已知輪船A和輪船B同時(shí)離開C島，A向北偏東方向，B向西偏北方向，若A的航行速度為25 nmi/h，B的速度是A的，過(guò)三小時(shí)后，A、B的距離是 解：90.8 nmi(5) 貨輪在海上以40km/h的速度由B到C航行，航向?yàn)榉轿唤?，A處有燈塔， 其方位角，在C處觀測(cè)燈塔A的 方位角，由B到C需航行半小時(shí)， 則C到燈塔A的距離是 解：km 提示：由題意知 ，利用余弦定理或解直角三角形可得變式訓(xùn)練1：如圖，當(dāng)甲船位于A處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營(yíng)救甲船立即前往救援，同時(shí)把消

7、息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，試問(wèn)乙船應(yīng)朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（角度精確到1）？北2010ABC解：連接BC,由余弦定理得BC2=202+1022×20×10×cos120°=700. 于是,BC=10. , sinACB=, ACB<90° ACB=41°乙船應(yīng)朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援.例2. 在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)檢測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O(如圖)的東偏南方向300 km的海面P處，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移動(dòng)，臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，

8、當(dāng)前半徑為60 km ，并以10 km / h的速度不斷增加，問(wèn)幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間？解：設(shè)在時(shí)刻t(h)臺(tái)風(fēng)中心為Q,此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑為10t+60(km)若在時(shí)刻t城市O受到臺(tái)風(fēng)的侵襲,則由余弦定理知由于PO=300,PQ=20t故即 解得 答：12小時(shí)后該城市受到臺(tái)風(fēng)的侵襲，侵襲的時(shí)間將持續(xù)12小時(shí)變式訓(xùn)練2：如圖所示,海島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B處測(cè)得島A在船的南偏東方向上，船航行30海里后，在C處測(cè)得島A在船的南偏東方向上，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？解：由題意得，在ABC中，BC=30， 所以 ，由正

9、弦定理可知： 所以，于是A到BC所在直線的距離為所以船繼續(xù)向南航行無(wú)觸礁危險(xiǎn)。例3. 如圖所示，公園內(nèi)有一塊邊長(zhǎng)的等邊ABC形狀的三角地，現(xiàn)修成草坪，圖中DE把草坪分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上.（1）設(shè)AD，ED，求用表示的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果DE是灌溉水管，為節(jié)約成本希望它最短，DE的位置應(yīng)該在哪里？如果DE是參觀線路，則希望它最長(zhǎng)，DE的位置又在哪里？請(qǐng)給予證明.解：（1）在ABC中，D在AB上，SADE=SABC ，在ADE中，由余弦定理得：（2）令 ，則 則令 ，則；有最小值，此時(shí)DEBC，且 有最大值，此時(shí)DE為ABC 的邊AB或AC的中線上.變式訓(xùn)練3：水渠道斷面

10、為等腰梯形，如圖所示，渠道深為，梯形面積為S，為了使渠道的滲水量達(dá)到最小，應(yīng)使梯形兩腰及下底之和達(dá)到最小，此時(shí)下底角應(yīng)該是多少？解：設(shè) ，則， 所以 設(shè)兩腰與下底之和為，則當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，上式取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，所以下角時(shí)，梯形兩腰及下底之和達(dá)到最小例4. 如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC。問(wèn)：點(diǎn)B在什么位置時(shí)，四邊形OACB面積最大？解：設(shè)，在AOB中，由余弦定理得： 于是，四邊形OACB的面積為 S=SAOB+ SABC因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，四邊形OACB面積最大變式訓(xùn)練4：如圖所示，某海島上一觀察哨A上午11

11、時(shí)測(cè)得一輪船在海島北偏東的C處，12時(shí)20分測(cè)得船在海島北偏西的B處，12時(shí)40分輪船到達(dá)位于海島正西方且距海島5 km的E港口，如果輪船始終勻速直線前進(jìn)，問(wèn)船速多少？解：輪船從C到B用時(shí)80分鐘，從B到E用時(shí)20分鐘， 而船始終勻速前進(jìn)，由此可見：BC=4EB，設(shè)EB=，則 則BC=4，由已知得在AEC中，由正弦定理得：在ABC中，由正弦定理得：在ABE中，由余弦定理得： 所以船速 答：該船的速度為 km/h解三角形章節(jié)測(cè)試題一、選擇題1在中，則的面積是（）AB C D2在中，若，則的值為（）A B C D3在中，若，則這個(gè)三角形中角的值是（）A或B或C或D或 4在中，根據(jù)下列條件解三角形，

12、其中有兩個(gè)解的是（）A，B，C， D，5已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4,5，它們夾角的余弦是方程的根，則第三邊長(zhǎng)是（）AB C D 6在中，如果，那么角等于（）AB C D7在中，若，此三角形面積，則的值是（）ABC D 8在ABC中，AB=3，BC=，AC=4，則邊AC上的高為（ ）A B C D9在中，若，則（）A B C D10如果滿足，的ABC恰有一個(gè)，那么的取值范圍是（）A B C D或二、填空題11在中，若，則最大角的余弦值等于_12在中，則此三角形的最大邊的長(zhǎng)為_13在中，已知，則_14在中，則_，_三、解答題15ABC中，D在邊BC上，且BD2，DC1，B60o，ADC150o，求

13、AC的長(zhǎng)及ABC的面積16在ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bcosBccosCacosA，試判斷ABC的形狀17. 如圖，海中有一小島，周圍3.8海里內(nèi)有暗礁。一軍艦從A地出發(fā)由西向東航行，望見小島B在北偏東75°，航行8海里到達(dá)C處，望見小島B在北端東60°。若此艦不改變艦行的方向繼續(xù)前進(jìn)，問(wèn)此艦有沒(méi)有角礁的危險(xiǎn)？18如圖，貨輪在海上以35n mile/h的速度沿方位角(從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角)為152o的方向航行為了確定船位，在B點(diǎn)處觀測(cè)到燈塔A的方位角為122o半小時(shí)后，貨輪到達(dá)C點(diǎn)處，觀測(cè)到燈塔A的方位角為32o求此時(shí)貨輪與燈塔

14、之間的距離A C B北北152o32 o122o19. 航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的高度為海拔10000m,速度為180km（千米）/h（小時(shí)）飛機(jī)先看到山頂?shù)母┙菫?50，經(jīng)過(guò)420s（秒）后又看到山頂?shù)母┙菫?50，求山頂?shù)暮０胃叨龋ㄈ?.4,1.7）20如圖所示，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上點(diǎn)A處有一個(gè)水聲監(jiān)測(cè)點(diǎn)，另兩個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)B，C分別在A的正東方20 km處和54 km處某時(shí)刻，監(jiān)測(cè)點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波，8s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)A，20 s后監(jiān)測(cè)點(diǎn)C相繼收到這一信號(hào)在當(dāng)時(shí)氣象條件下，聲波在水中的傳播速度是1. 5 km/s. （1）設(shè)A到P的距離

15、為 km，用表示B,C到P 的距離，并求值； （2）求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離（結(jié)果精確到0.01 km）.解三角形章節(jié)測(cè)試參考答案1C 2.B 3.D 4.D 5.B 6.B7.D. 8.B 9 A 10.D11 12、 13、6或3 14、15在ABC中，BAD150o60o90o，AD2sin60o在ACD中，AD2()2122××1×cos150o7，ACAB2cos60o1SABC×1×3×sin60o16 bcosBccosCacosA，由正弦定理得：sinBcosBsinCcosCsinAcosA，即sin2Bsi

16、n2C2sinAcosA，2sin(BC)cos(BC)2sinAcosAABC，sin(BC)sinA而sinA0，cos(BC)cosA，即cos(BC)cos(BC)0，2cosBcosC0 0B，0C，B或C，即ABC是直角三角形17、解：過(guò)點(diǎn)B作BDAE交AE于D 由已知，AC=8，ABD=75°，CBD=60°在RtABD中，AD=BD·tanABD=BD·tan 75°在RtCBD中，CD=BD·tanCBD=BD·tan60°ADCD=BD（tan75°tan60°）=AC=8,9分該軍艦沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)。18在ABC中，B152o122o30o，C180o152o32o60o，A180o30o60o90o，BC，ACsin30o答：船與燈塔間的距離為n mile19. 解：如圖 150450300， AB= 180km（千米）/h（小時(shí)