《勾股定理》教學設計第1課

1、171 勾股定理教學設計（第1 課時）湖北省赤壁市教研室來小靜一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1內(nèi)容勾股定理的探究、證明及簡單應用2內(nèi)容解析勾股定理的內(nèi)容是：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、 b，斜邊長為c，那么它揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關系 在直角三角形中， 已知任意兩邊長，就可以求出第三邊長勾股定理常用來求解線段長度或距離問題勾股定理的探究是從特殊的等腰直角三角形出發(fā)， 到網(wǎng)格中的直角三角形， 再到一般的直角三角形， 體現(xiàn)了從特殊到一般的探探索、 發(fā)現(xiàn)和證明的過程 證明勾股定理的關鍵是利用割補法求以斜邊為邊長的正方形的面積， 教學中要注意引導學生通過探索去發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，提出一般的猜想，并獲

2、得定理的證明我國古代在數(shù)學方面又許多杰出的研究成果，對于勾股定理的研究就是一個突出的例子教學中可以介紹我國古代在勾股定理的證明和應用方面取得的成就和作出的貢獻， 以培養(yǎng)學生的民族自豪感；圍繞證明勾股定理的過程，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的熱情和信心基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點：探索并證明勾股定理二、目標和目標解析1教學目標（ 1）經(jīng)歷勾股定理的探究過程了解關于勾股定理的文化歷史背景，通過對我國古代研究勾股定理的成就的介紹，培養(yǎng)學生的民族自豪感（2）能用勾股定理解決一些簡單問題2目標解析（1）學生通過觀察直角三角形的三邊為邊長的正方形面積之間的關系，歸納并合理地用數(shù)學語言表示勾股定理的結論 理解趙爽

3、弦圖的意義及其證明勾股定理的思路， 能通過割補法構造圖形證明勾股定理 了解勾股定理相關的史料， 知道我國古代在研究勾股定理上的杰出成就（ 2）學生能運用勾股定理進行簡單的計算，關鍵是已知直角三角形的兩邊長能求第三條邊的長度三、教學問題診斷分析勾股定理是反映直角三角形三邊關系的一個特殊的結論在正方形網(wǎng)格中比較容易發(fā)現(xiàn)以等腰直角三角形三邊為邊長的正方形的面積關系，進而得出三邊之間的關系但要從等腰直角三角形過渡到網(wǎng)格中的一般直角三角形，提出合理的猜想，學生有較大困難學生第一次嘗試用構造圖形的方法來證明定理存在較大的困難， 解決問題的關鍵是要想到用合理的割補方法求以斜邊為邊的正方形的面積 因此，在教學

4、中需要先引導學生觀察網(wǎng)格背景下的正方形的面積關系， 然后思考沒有網(wǎng)格背景下的正方形的面積關系， 再將這種關系表示成邊長之間的關系，這有利于學生自然合理地發(fā)現(xiàn)和證明勾股定理本節(jié)課的教學難點是：勾股定理的探究和證明四、教學過程設計1 創(chuàng)設情境復習引入國際數(shù)學家大會是最高水平的全球性數(shù)學學科學術會議，被譽為數(shù)學界的“奧運會” 2002 年在北京召開了第 24 屆國際數(shù)學家大會右圖就是大會會徽的圖案你見過這個圖案嗎？它由哪些我們學過的基本圖形組成？這個圖案有什么特別的意義？前面我們學習了有關三角形的知識，我們知道，三角形有三個角和三條邊問題 1三個角的數(shù)量關系明確嗎？三條邊的數(shù)量關系明確嗎？師生活動教

5、師引導，學生回答?！驹O計意圖】 回顧三角形的內(nèi)角和是 180°以及三角形任何兩邊的和大于第三邊，由三角形三邊的不等關系引導學生思考，三角形三邊之間是否存在等量關系我們學習過等腰三角形，知道等腰三角形是兩邊相等的特殊的三角形，它有許多特殊的性質(zhì) 研究特例是數(shù)學研究的一個方向，直角三角形是有一個角為直角的特殊三角形，中國古代人把直角三角形中較短的直角邊叫做“勾” ，較長的直角邊叫做 “股”，斜邊叫做 “弦” 直角三角形中最長的邊是哪條邊？為什么？它們除了大小關系， 有沒有更具體的數(shù)量關系呢？這就是我們要研究的問題2觀察思考，探究定理問題 2相傳 2500 多年前，畢達哥拉斯有一次在朋友家

6、作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關系三個正方形A ，B，C 的面積有什么關系？畢達哥拉斯 ( 公元前 572- 前 492 年 ), 古希臘著名的哲學家、數(shù)學家、天文學家。師生活動學生觀察圖形， 分析、思考其中隱含的規(guī)律通過直接數(shù)等腰直角三角形的個數(shù)， 或者用割補的方法將小正方形A ，B 中的等腰直角三角形補成一個大正方形，得出結論：小正方形A ，B 的面積之和等于大正方形C 的面積追問 由這三個正方形 A ，B ，C 的邊長構成的等腰直角三角形三條邊長之間有怎樣的特殊關系？師生活動教師引導學生直接由正方形的面積等于邊長的平方，歸納出： 等腰直角三角形兩條直角邊

7、的平方和等于斜邊的平方【設計意圖】 從最特殊的直角三角形入手，通過觀察正方形面積關系得到三邊關系，對等腰直角三角形邊長關系進行初步的一般化問題 3在網(wǎng)格中的一般的直角三角形，以它的三邊為邊長的三個正方形A ，B ，C 的面積是否也有類似的關系？師生活動學生動手計算，分別求出A ， B ，C 的面積并尋求它們之間的關系追問正方形 A ，B， C 所圍成的直角三角形三條邊之間有怎樣的關系？師生活動學生獨立思考后分組討論，難點是求以斜邊為邊長的正方形面積，可由師生共同總結得出可以通過割、補兩種方法求出其面積，教師在學生回答的基礎上歸納方法-割補法 可求得 C 的面積為13，教師引導學生直接由正方形的

8、面積等于邊長的平方歸納出：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方【設計意圖】 為方便計算， 網(wǎng)格中的直角三角形邊長通常設定為整數(shù)，進一步體會面積割補法，為探究無網(wǎng)格背景下直角三角形三邊關系打下基礎，提供方法問題 4通過前面的探究活動，思考：直角三角形三邊之間應該有什么關系？師生活動教師引導學生表述：如果直角三角形兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么【設計意圖】在網(wǎng)格背景下通過觀察和分析得出了等腰直角三角形和一般的直角三角形的三邊關系后，猜想直角三角形的三邊關系是很容易的問題 5以上直角三角形的邊長都是具體的數(shù)值，一般情況下， 如果直角三角形的兩直角邊分別為a， b，斜邊長為c，我們的猜想仍然成

9、立嗎？師生活動要求學生通過獨立思考，用a， b 表示 c如圖，用“割”的方法可得；用“補”的方法可得這兩個式子經(jīng)過整理都可以得到即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方中國人稱它為“勾股定理”，外國人稱它為“畢達哥拉斯定理”【設計意圖】從網(wǎng)格驗證到脫離網(wǎng)格，通過割補構造圖形和計算推導出一般結論問題 6 歷史上各國對勾股定理都有研究， 下面我們看看我國古代的數(shù)學家趙爽對勾股定理的研究，并通過小組合作完成教科書拼圖法證明勾股定理師生活動教師展示“弦圖”，并介紹：這個圖案是公元3 世紀三國時期的趙爽在注解周髀算經(jīng)時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，趙爽根據(jù)此圖指出：四個全等的直角三角形（朱實）可以如

10、圖圍成一個大正方形，中間部分是一個小正方形（黃實）我們剛才用割的方法證明使用的就是這個圖形， 教師介紹勾股定理相關史料， 勾股定理的證明方法據(jù)說有 400 多種，有興趣的同學可以搜集研究一下【設計意圖】 通過拼圖活動， 調(diào)動學生思維的積極性，為學生提供從事數(shù)學活動的機會，發(fā)展學生的形象思維，使學生對定理的理解更加深刻，體會數(shù)學中數(shù)形結合的思想通過對趙爽弦圖的介紹， 了解我國古代數(shù)學家對勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明所做出的貢獻，增強民族自豪感，通過了解勾股定理的證明方法，增強學生學習數(shù)學的自信心3初步應用，鞏固新知例1畫一個直角三角形，它的兩直角邊分別是，量一量它的斜邊是多少厘米？算一算，你量的結果對嗎

11、？師生活動學生操作，教師個別指導【設計意圖】 通過運算， 培養(yǎng)學生的運算能力并正確運用勾股定理解決直角三角形的邊長問題通過測量進一步驗證勾股定理所得結論的正確性例 2 在直角三角形中，各邊的長如圖，求出未知邊的長度師生活動學生計算，教師檢驗【設計意圖】 勾股定理是通過構造圖形法通過面積關系進行證明的所以勾股定理本質(zhì)上是反映面積關系的如果直角三角形的兩條直角邊長分別為 ， ，斜邊長為，那么通過對等式變形，可以得出直角三角形三邊之間的關系：；在直角三角形中，已知兩邊，求第三邊，應用勾股定理求解，也可建立方程解決問題，滲透方程思想例 3 螞蟻沿圖中的折線從A 點爬到 D 點，一共爬了多少厘米？師生活動學生觀察、思考、計算，教師檢驗【設計意圖】設計實際問題背景，提高學生分析問題和解決問題的能力4歸納小結，反思提高師生共同回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：（1）勾股定理總結的是什么數(shù)量關系？（2）勾股定理有什么作用？（ 3）閱讀教科書，總結教科書提供的勾股定理的其他證明方法了解中國人的偉大和外國人的智慧【設計意圖】 讓學生從不同角度談本節(jié)課學習的主要內(nèi)容，在學習過程中感受到中國數(shù)學文化博大精深和數(shù)學的美，感悟數(shù)形結合的思想，增強對數(shù)學學習的自信5布置作業(yè)（ 1）教科書第 28 頁