函數(shù)的基本性質(zhì)單調(diào)性最值（Word）

1、（一）函數(shù)單調(diào)性的定義1. 增函數(shù)與減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)yf（x）的定義域?yàn)镮，增函數(shù)：如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f（x1）f（x2），那么就說(shuō)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)。減函數(shù)：如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f（x1）f（x2），那么就說(shuō)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)。說(shuō)明：一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間是不可以取其并集，比如：不能說(shuō)是原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；注意：函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1x2時(shí)，總有f（x1）f（x2

2、）或 f（x1）f（x2）。2. 函數(shù)的單調(diào)性的定義如果函數(shù)yf（x）在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)yf（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做yf（x）的單調(diào)區(qū)間。例1 觀察下列函數(shù)的其圖象，指出其單調(diào)性（1）；（2）； 例2 指出下列常見函數(shù)的單調(diào)性：（1）（為常數(shù)）；【析】不隨的增大而改變，無(wú)單調(diào)性（2）（）；【析】，函數(shù)在上遞增；，函數(shù)在上遞減（3）（）；【析】，函數(shù)在上遞減，在上遞增；1 / 9，函數(shù)在上遞增，在上遞減（4）（）；，函數(shù)在上遞減，在上遞減；，函數(shù)在上遞增，在上遞增（5）；函數(shù)在上遞減，在上遞增（6）函數(shù)在上遞增3. 判斷函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟（1）

3、利用定義證明函數(shù)f（x）在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：任取x1，x2D，且x1x2；作差f（x1）f（x2）；變形（通常是因式分解和配方）；定號(hào)（即判斷差f（x1）f（x2）的正負(fù)）；下結(jié)論（即指出函數(shù)f（x）在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）。（2）圖像法：從左往右，圖像上升即為增函數(shù)，從左往右，圖像下降即為減函數(shù)。例題分析證明：函數(shù)在上是減函數(shù)。證明：設(shè)任意，（0，+）且，則，由，（0，+），得，又，得，即所以，在上是減函數(shù)。練習(xí)：1根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義，判斷函數(shù)的單調(diào)性。2根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義，判斷函數(shù)的單調(diào)性3函數(shù)是單調(diào)函數(shù)時(shí)，的取值范圍（ ）A B C D 2在區(qū)間上為增函數(shù)的是（ ）A

4、BC D6函數(shù)在和都是增函數(shù)，若，且那么（ ）A BC D無(wú)法確定7函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則的遞增區(qū)間是（ ）A B C D8函數(shù)在實(shí)數(shù)集上是增函數(shù)，則（ ）A B CD9定義在R上的偶函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上為遞增，則（ ）A BC D（3）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷： 設(shè)，都是單調(diào)函數(shù)，則在上也是單調(diào)函數(shù)。若是上的增函數(shù)，則與定義在上的函數(shù)的單調(diào)性相同。 若是上的減函數(shù)，則與定義在上的函數(shù)的單調(diào)性相同。即復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：當(dāng)內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)內(nèi)外層函數(shù)的單調(diào)性相反時(shí)則復(fù)合函數(shù)為增減函數(shù)。也就是說(shuō)：同增異減（類似于“負(fù)負(fù)得正”）例6 判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并寫出函數(shù)的單調(diào)

5、區(qū)間（1）；【析】，其定義域?yàn)榱?，則，列表如下：所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間有和，無(wú)單調(diào)減區(qū)間【注】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間必須先求函數(shù)定義域分式函數(shù)常采用部分分式法，使得自變量只出現(xiàn)在單個(gè)分母上（2）；【析】，其定義域?yàn)榱?，則，列表如下：所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為【注】當(dāng)函數(shù)局部出現(xiàn)二次函數(shù)時(shí)，可以利用配方法確定確定對(duì)應(yīng)二次函數(shù)的對(duì)稱軸，把定義域分成若干個(gè)區(qū)間討論單調(diào)性練習(xí)：（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 ，單調(diào)遞增區(qū)間為 （2）的單調(diào)遞增區(qū)間為 3、函數(shù)單調(diào)性應(yīng)注意的問題：?jiǎn)握{(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性對(duì)于某個(gè)具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個(gè)定義域(如一次函數(shù))，

6、可以是定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個(gè)區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)例1.下列命題正確的是（ ）A. 定義在上的函數(shù)，若存在，使得時(shí)，有，那么在上為增函數(shù). B. 定義在上的函數(shù)，若有無(wú)窮多對(duì)，使得 時(shí)，有，那么在上為增函數(shù). C. 若在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上也為減函數(shù)，那么 在上也一定為減函數(shù). D. 若在區(qū)間上為增函數(shù)且（）,那么.思維分析：根據(jù)單調(diào)性定義逐一判斷，特別注意定義中“任意”“都有”表達(dá)的含意.解：A錯(cuò)誤，只是區(qū)間上的兩個(gè)值，不具有任意性；B錯(cuò)誤，無(wú)窮并不代表所有，任意；C錯(cuò)誤，例如函數(shù)在和

7、上分別遞減，但不能說(shuō)在上遞減；D正確，符合單調(diào)性的定義.故答案為D.方法點(diǎn)撥:函數(shù)單調(diào)性的定義是作此類題的依據(jù).（5）簡(jiǎn)單性質(zhì)奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反； 在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)例1：判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明。思路分析：1）題意分析：用定義證明一個(gè)分式函數(shù)在上的單調(diào)性2）解題思路：按照用定義證明函數(shù)f（x）在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟去做即可。解答過程：在區(qū)間上單調(diào)遞減。設(shè)，則。已知，所以，所以，即原函數(shù)在上單調(diào)遞減。解題后的思考：用定義證明函數(shù)f（x）在

8、給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的關(guān)鍵在于變形（通常是因式分解和配方）和定號(hào)（即判斷差f（x1）f（x2）的正負(fù)）。（二）函數(shù)最大（?。┲档亩x1. 最大值與最小值一般地，設(shè)函數(shù)yf（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的xI，都有f（x）M；（2）存在x0I，使得f（x0）M那么，稱M是函數(shù)yf（x）的最大值。一般地，設(shè)函數(shù)yf（x）的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的xI，都有f（x）M；（2）存在x0I，使得f（x0）M那么，稱M是函數(shù)yf（x）的最小值。 注意：函數(shù)的最大（?。┲凳紫葢?yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0I，使得f（x0）M；函數(shù)的最大（?。┲祽?yīng)該是所有函數(shù)

9、值中最大（?。┑?，即對(duì)于任意的xI，都有f（x）M（f（x）M）。2. 利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的最大（?。┲档姆椒ɡ枚魏瘮?shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲道脠D象（數(shù)形結(jié)合法）求函數(shù)的最大（?。┲道煤瘮?shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的最大（?。┲等绻瘮?shù)yf（x）在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞減則函數(shù)yf（x）在xb處有最大值f（b）；如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增則函數(shù)yf（x）在xb處有最小值f（b）。例7 求下列函數(shù)的最值，并指出函數(shù)的值域（1），【解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，；時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?），【解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，；時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椤咀ⅰ浚?）（2）都告訴我們：函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)，必在兩端點(diǎn)取最值（3）；【解】該函數(shù)的定義域?yàn)樽⒁獾?，且?dāng)時(shí)，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以該函數(shù)在上的最小值為當(dāng)及時(shí)，所以函數(shù)在上無(wú)最大值（或者說(shuō)最大值為）該函數(shù)值域?yàn)槔?：已知，求函數(shù)的最值。思路分析：1）題意分析：本例要求在指定的半開半閉區(qū)間內(nèi)求一個(gè)分式函數(shù)的最大（?。┲?；2）解題思路：先分離常數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值。解答過程：已知函數(shù)式可化為，先判斷函數(shù)在上的增減性。設(shè)，則，。，即函