函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂判別（Word）

1、1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義定義 設(shè)是定義在數(shù)集E上的一個(gè)函數(shù)列表達(dá)式: (1)稱為定義在E上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),簡稱為函數(shù)級(jí)數(shù).記作為或.稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(1)的部分和函數(shù)列. 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): (2) 收斂,即部分和,當(dāng)時(shí),極限存在,則稱級(jí)數(shù)(1)在點(diǎn)收斂,稱為收斂點(diǎn).級(jí)數(shù)(1)在D上的每一點(diǎn)與其所對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(2)的和構(gòu)成一個(gè)定義在D上的函數(shù)稱為級(jí)數(shù)（1）的和函數(shù)，即. 2.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的幾種判別法判別法1 (函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的定義)設(shè)函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間收斂于和函數(shù)，若有: 則稱函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂或一致收于和函數(shù).例1 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間 (其中)一致收斂.證明 有.1 / 25.對(duì),對(duì)要使不

2、等式成立.從而要不等式解得.取.于是,存在,有: 成立. 所以函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間(其中)一致收斂. 非一致收斂的定義設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間非一致收斂于和函數(shù)，若，,有：成立.則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上非一致收斂或非一致收斂于.例2 證明函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間 非一致收斂.證明 ，有：.即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在非一致收斂.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的幾何意義函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂于的幾何意義是,不論給定的以曲線為邊界的帶形區(qū)域怎樣窄,總存在正整數(shù)(通用的),任意一個(gè)部分和的圖像都位于這個(gè)帶形區(qū)間內(nèi)(如圖1).若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某個(gè)區(qū)間不存在通用的,就是非一致收斂.判別法2 (確界判別法)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂于的充要條件：.證

3、明 () 已知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂于.即有: .從而,即.()已知,即有.從而有.即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂于.例3 證明 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在內(nèi)一致收斂.證明 ; .所以函數(shù)級(jí)數(shù)在內(nèi)一致收斂.判別法3 (柯西一致收斂準(zhǔn)則)函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂有：.證明 必要性已知函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.設(shè)其和函數(shù)是，即有也有.于是.充分性：已知，有:所以當(dāng)時(shí)上述不等式有:即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.例4 討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間的一致收斂性. 解 應(yīng)用柯西一致收斂準(zhǔn)則即，要使不等式成立，從不等式解得取于是 ，有，即函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.在這個(gè)例子中我們用確界判別法來也可以判斷它的收斂性方法2 . 故.所以函數(shù)

4、級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.判別法4 (M判別法)有函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，是區(qū)間，若存在收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù) ，有，則函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.證明 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂根據(jù)柯西一致收斂準(zhǔn)則，即 ，有 由已知條件，有 即函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.例5 判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上是否一致收斂.解 ,有.令,則.所以是收斂.由判別法函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.例6 證明在一致收斂.證：，有所以，即.故已知優(yōu)級(jí)級(jí)數(shù)收斂，根據(jù)判別法.函數(shù)級(jí)數(shù)在中一致收斂.注 判別法是判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的很簡使得判別法.但是這個(gè)方法有很大的局限性,凡能用判別法函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)必是一致收斂,此函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)必然是絕對(duì)收斂;如果函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)是一致收斂,而非絕對(duì)收斂,即條件收斂,

5、那么就不能使用判別法.判別法5 (狄利克雷判別法)若級(jí)數(shù)滿足如下條件：(1)函數(shù)列對(duì)每個(gè)是單調(diào)的且在區(qū)間一致收斂于0.(2)函數(shù)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間一致有界，則函數(shù)級(jí)數(shù)在一致收斂.證明 已知函數(shù)列一致收斂于0即，有.又已知函數(shù)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間一致有界。即，有，從而有根據(jù)阿貝爾變換，有于是 ，有即函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.例7 證明 函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.證 即函數(shù)級(jí)數(shù)的部分和函數(shù)列在一致有界，而數(shù)列單調(diào)減少趨近于0。(當(dāng)然在也是一致收斂于0) 根據(jù)狄利克雷判別法，函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.判別法6若級(jí)數(shù)滿足下面兩個(gè)條件：(1)函數(shù)列對(duì)每個(gè)是單調(diào)的且在區(qū)間一致有界.(2)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)

6、間一致收斂，則函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.證明 不妨設(shè)函數(shù)列在區(qū)間單調(diào)減少，已知它在區(qū)間一致有界，即，有，有從而，有又已知函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.即 ，有由阿貝爾變換，有即函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 在區(qū)間一致收斂.已知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂兩個(gè)函數(shù)級(jí)數(shù)在區(qū)間都一致收斂.因此，函數(shù)級(jí)數(shù)=在區(qū)間一致收斂.例8 證明若函數(shù)級(jí)數(shù)（是常數(shù)）.在收斂.則它在區(qū)間一致收斂.證明 將函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)改寫為已知級(jí)數(shù)收斂，從而它在區(qū)間也是一致收斂.且函數(shù)列在單調(diào)減少又一致有界,即存在，有 根據(jù)阿貝爾判別法，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂.判別法7若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在區(qū)間一致收斂，則在也一致收斂.證明 已知在一致收斂，由柯西一致收斂準(zhǔn)則，有:于是

7、再根據(jù)柯西一致收斂準(zhǔn)則，函數(shù)級(jí)數(shù)在一致收斂.例9 判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上的一致收斂性.解 在區(qū)間上一致收斂.所以由判別法7,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂.判別法8若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在一致收斂且在有界，則在一致收斂.證明 已知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂由柯西收斂準(zhǔn)則，有:函數(shù)在有界，即，有，對(duì)函數(shù)級(jí)數(shù)，有即函數(shù)級(jí)數(shù)在上一致收斂.例10 判斷函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上的一致收斂性.解 令 .則對(duì) 任意 .即故在上一致有界.對(duì) 有: 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上收斂.故函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.根據(jù)判別法8,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.判別法9若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、都在區(qū)間一致收斂，則在一致收斂（、為常數(shù)）.證明 由已知級(jí)數(shù)與在區(qū)間都一致收斂.由柯西一致收斂準(zhǔn)則

8、.對(duì)，有:同樣的 對(duì)，有:取，有 (1) (2) 由(1)和(2)相加得:即函數(shù)級(jí)數(shù)在上一致收斂.判別法10若函數(shù)與都絕對(duì)收斂，則函數(shù)級(jí)數(shù)在一致收斂.證明 與收斂.，有:，有:由柯西一致收斂準(zhǔn)則，函數(shù)級(jí)數(shù)在上一致收斂.判別法11若，函數(shù)在單調(diào)且與都絕對(duì)收斂，則在一致收斂.證明 不妨設(shè)在單調(diào)增，所以，于是有 ，而與收斂.可知收斂根據(jù)判別法，在上一致收斂.最后得在上一致收斂.同法可證：若在單調(diào)減少，即.則任意有,因?yàn)榕c都收斂.所以也一致收斂,根據(jù)判別法可知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在也一致收斂.判別法12設(shè)，在上連續(xù)，又在上收斂于連續(xù)函數(shù)，則在上一致收斂于.證 (用反證法) 若在上不一致收斂于，為級(jí)數(shù)部分和，則，

9、及和使得.對(duì)，應(yīng)用聚點(diǎn)定理，得子列收斂于不妨設(shè)此子列即為.固定，當(dāng)時(shí)，令，由于的連續(xù)性.因此，這與收斂于矛盾.故原命題成立.判別法13設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義在數(shù)集上，若存在一個(gè)函數(shù)，在處存在且.且對(duì)一切有則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 對(duì)于函數(shù)，有在處存在且令，則 即 又因?yàn)閷?duì)級(jí)數(shù)，有在是非負(fù)遞減函數(shù)且非正常積分是收斂的.故是收斂的，因而由比較原則知是收斂的則根據(jù)判別法2，函數(shù)級(jí)數(shù)在上一致收斂.例11 討論級(jí)數(shù)在區(qū)間上的收斂性.分析 對(duì)于此級(jí)數(shù)我們可以用判別法進(jìn)行證明，即找到收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)使得，同時(shí)也可以應(yīng)用判別法13；證明 考慮函數(shù)，在處二階導(dǎo)數(shù)存在且，又有 故級(jí)數(shù)在區(qū)間上一致收斂.例12 證明級(jí)

10、數(shù)在上一致收斂.分析 對(duì)此級(jí)數(shù)我們考慮函數(shù).證明 對(duì)于函數(shù)，在處有二階導(dǎo)數(shù)且，又有故由判別法13可知級(jí)數(shù)在上一致收斂.判別法14 (導(dǎo)數(shù)判別法)設(shè)函數(shù)列在區(qū)間上連續(xù)，可微，且存在一點(diǎn)使得在點(diǎn)收斂；在上一致收斂；則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)上一致收斂.證明 已知在點(diǎn)收斂，在上一致收斂，即使得時(shí)對(duì)有對(duì)有 根據(jù)拉格朗日中值定理有 介于與之間）于是）故在上一致收斂.判別法15 (比試式判別法)定理1 設(shè)為定義在數(shù)集上正的函數(shù)列，記，存在正整數(shù)，使得：對(duì)任意成立，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 易見 =而等比級(jí)數(shù)當(dāng)公比時(shí)收斂，從而由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂型的優(yōu)級(jí)判別法，在上一致收斂.定理 設(shè)為定義在數(shù)集上正的函數(shù)列，記，若

11、：，且在上一致有界，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.判別法16 (根式判別法)設(shè)為定義在數(shù)集上的函數(shù)列，若存在在整數(shù)使得使得成立，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 由定理?xiàng)l件，對(duì)，成立，而幾何級(jí)數(shù)收斂，由優(yōu)級(jí)數(shù)判別法知，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂. 判別法17 設(shè)定義在上的正函數(shù)列若,則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.判別法18 設(shè)為定義在數(shù)集上的函數(shù)列，若存在，那么：（1） 若對(duì)，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在D上一致收斂.（2） 若對(duì)，則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在D上不一致收斂.證明 由定理?xiàng)l件知，對(duì)，使得對(duì)，有，即，則當(dāng)，對(duì)成立時(shí)，有.判別法19若是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，且函數(shù)列在區(qū)間上單調(diào)遞減收斂于0，則在上一致收斂.證明 因?yàn)槭巧系倪B續(xù)

12、函數(shù)在上收斂于0，單調(diào)，是上一致收斂于0.又因?yàn)?，故一致有?且對(duì)單調(diào)，由判別法5可得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂.例13 考察在上的收斂性.分析 首先注意到在上是一致收斂的.用判別法5來判別證明無法找到收斂的.正項(xiàng)級(jí)數(shù)使得，用判別法5，很難證明出的一致收斂性.用判別法5，比較復(fù)雜。如用判別法19，證明則可以得到.解 記，則顯然有在上連續(xù)又對(duì)于，有 且，即對(duì)，單調(diào)遞減收斂于0.所以由判別法19知級(jí)數(shù)在上一致收斂.例14 證明級(jí)數(shù)在上一致收斂.證明 記，則顯然有在上連續(xù)對(duì)于，且，即對(duì)于，單調(diào)遞減收斂于0.故由判別法19知，級(jí)數(shù)在上一致收斂.判別法20若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在收斂且及，有（為正數(shù)）.則在一致收斂.證明 由題設(shè)，存在正整數(shù)，使得對(duì)每個(gè)正整數(shù)和每個(gè)，同時(shí)成立不等式，對(duì)任意給定的，