萬有引力與航天重點知識歸納

1、萬有引力與航天重點知識歸納考點一、萬有引力定律1. 開普勒行星運動定律（ 1） 第一定律（軌道定律） ：所有的行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。（ 2） 第二定律（面積定律） ：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過相等的面積。（ 3） 第三定律（周期定律）：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期二次方的比值都相等，表達(dá)式：a3k。其中 k 值與太陽有關(guān)，與行星無關(guān)。T 2中學(xué)階段對天體運動的處理辦法：把橢圓近似為園，太陽在圓心；認(rèn)為v 與不變，行星或衛(wèi)星做勻速圓周運動； R3k ， R軌道半徑。T 22. 萬有引力定律（ 1） 內(nèi)容：萬有引力F 與 m1

2、m2 成正比，與r2 成反比。（ 2） 公式： F G m1m2， G 叫萬有引力常量， G 6.67 10 11 Nm2 / kg 2 。r 2（ 3） 適用條件：嚴(yán)格條件為兩個質(zhì)點；兩個質(zhì)量分布均勻的球體，r 指兩球心間的距離；一個均勻球體和球外一個質(zhì)點，r 指質(zhì)點到球心間的距離。（ 4） 兩個物體間的萬有引力也遵循牛頓第三定律。3.萬有引力與重力的關(guān)系(1)萬有引力對物體的作用效果可以等效為兩個力的作用，一個是重力mg，另一個是物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力f，如圖所示。在赤道上， F=F 向 +mg，即 mg G Mm m 2 R ；R2Mmmg；故緯度越大，重力加速度越大。在兩極 F=m

3、g，即 GR2由以上分析可知，重力和重力加速度都隨緯度的增加而增大。(2) 物體受到的重力隨地面高度的變化而變化。在地面上，G Mmmgg GM ；在地球表面高度為h 處：R2R 2GMm2mghg hGM2，所以 ghR22 g，隨高度的增加，重力加速度減小。(Rh)( R h)(R h)考點二、萬有引力定律的應(yīng)用求天體質(zhì)量及密度1 T 、 r 法： G Mmr 22 g、 R 法： G MmR23 v、 r 法： G Mm r 24 v、 T 法： G Mm r 2mr (2) 2M4 2 r 3 ，再根據(jù)V4R3 ,M3 r 3 ，當(dāng) r=R 時，3TGT 23VGT 2R3GT 2mg

4、MR2 g ，再根據(jù) V4R3 ,M3 gG3V4 GRm v 2Mrv 2rGm v 2 ,G Mmmr ( 2 ) 2Mv3Trr 2T2G考點三、星體表面及某高度處的重力加速度1、 星球表面處的重力加速度：在忽略星球自轉(zhuǎn)時，萬有引力近似等于重力，則MmGM 。G R 2mggR2注意： R 指星球半徑。2、 距星球表面某高度處的重力加速度：MmGM，或 ghR2。G2mgh g h22 g( Rh)( R h)(R h)注意：衛(wèi)星繞星球做勻速圓周運動，此時的向心加速度GM，即向心加速度與重力加速度相等。an2(R h)考點四、天體或衛(wèi)星的運動參數(shù)我們把衛(wèi)星（天體）繞同一中心天體所做的運動

5、看成勻速圓周運動，所需要的向心力由萬有引力提供，Mmv 2242，就可以求出衛(wèi)星（天體）圓周運動的有關(guān)參數(shù)：G r 2man mrmrmr (T 2 )1、 線速度： G Mmm v2GM12、角速度： G Mm mrGM1v2r 2rrrr 2r 3r 33 周期： G Mmmr (2) 2T 2r 3r 34、向心加速度： G MmmananGMr 2TGMr 2r 2規(guī)律：當(dāng)r 變大時，“三小”（ v 變小 ,變小 ,an 變?。耙淮蟆保═ 變大）?？键c五、地球同步衛(wèi)星對于地球同步衛(wèi)星，要理解其特點，記住一些重要數(shù)據(jù)。總結(jié)同步衛(wèi)星的以下“七個一定”。1、 軌道平面一定：與赤道共面。2、

6、 周期一定： T=24h ，與地球自轉(zhuǎn)周期相同。3、 角速度一定：與地球自轉(zhuǎn)角速度相同。4、 繞行方向一定：與地球自轉(zhuǎn)方向一致。5、 高度一定：由Mm2 m(Rh)42gR2h3gR2T 2R 3.672 。Gh)T2, GM4210 m 6 R( R6、 線速度大小一定：GMmmv2,GMgR2vGMgR23.1103 m/ s 。(R h) 2( R h)R hR h7、 向心加速度一定：GMmman ,GMgR2anGMgR20.23m/ s2 。(R h)2(R h)2(R h )2考點六、宇宙速度1、 對三種宇宙速度的認(rèn)識：第一宇宙速度人造衛(wèi)星近地環(huán)繞速度。大小v1=7.9km/s

7、。第一宇宙速度的算法：法一：由GMmmv 2vGM ，r=R+h ，而近地衛(wèi)星h=0， r=R，則Mmv 2GM ，代入數(shù)據(jù)可算r 2rrG R 2m RvR得： v1=7.9km/s 。法二：忽略地球自轉(zhuǎn)時， 萬有引力近似等于重力，則 mg mv 2gr，同理 r=R+h ，而近地衛(wèi)星 h=0 ，r=R ，vrmg m v2，代入數(shù)據(jù)可算得： v1 =7.9km/s 。vgRR對于其他星球的第一宇宙速度可參照以上兩法計算。計算重力加速度時一般與以下運動結(jié)合：自由落體運動；豎直上拋運動；平拋運動；單擺（ 2）第二宇宙速度脫離速度。大小 v2=11.2km/s ，是使物體脫離地球吸引，成為繞太陽

8、運行的行星的最小發(fā)射速度。（ 3）第三宇宙速度逃逸速度。B大小 v3=16.7km/s ，是使物體脫離逃逸引力吸引束縛的最小發(fā)射速度。32、 環(huán)繞（運行）速度與發(fā)射速度的區(qū)別：三種宇宙速度都是發(fā)射速度，環(huán)繞速度是指衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時的線速1A2度大??；軌道越高，環(huán)繞速度越小，所需的發(fā)射速度越大，所以第一宇宙速度時指最大環(huán)繞速度，最小發(fā)射速度?？键c七衛(wèi)星變軌問題人造衛(wèi)星發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌，如圖所示，我們從以下幾個方面討論：一、變軌原理及過程1、為了節(jié)約能量，衛(wèi)星在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓形軌道1 上。2、在 A 點點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供軌道上做圓周運動的

9、向心力，衛(wèi)星做離心運動進(jìn)入軌道 2。3、在 B 點（遠(yuǎn)地點）再次點火進(jìn)入軌道3。二、一些物理量的定性分析1、速度：設(shè)衛(wèi)星在園軌道1 和 3 運行時速率為 v 、 v ，在 A 點、 B 點速率為 v、v。在 A 點加速，則 vA13AB v1，在 B 點加速，則 v3 vB ，又因 v1 v3，故有 vA v1 v3 vB 。2、加速度：因為在A 點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道1 還是軌道2 經(jīng)過 A 點，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過B 點加速度也相同。3、周期：設(shè)衛(wèi)星在1、2、3 軌道上運行周期分別為T1、T2、T 3。軌道半徑分別為r1、 r2（半長軸）、r3，由開普勒第三定律

10、r3k 可知， T1 T2 T 3。T 2三、從能量角度分析變軌問題的方法把橢圓軌道按平均半徑考慮，根據(jù)軌道半徑越大，衛(wèi)星的機械能越大，衛(wèi)星在各軌道之間變軌的話，若從低軌道進(jìn)入高軌道，則能量增加，需要加速；若從高軌道進(jìn)入低軌道，則能量減少，需要減速。四、從向心力的角度分析變軌問題的方法當(dāng)萬有引力恰好提供衛(wèi)星所需向心力時，即Mmv2時，衛(wèi)星做勻速圓周運動。GmR2R若速度突然增大時，若速度突然減小時，Mmv2G R2m RG Mmm v2R2R，萬有引力小于向心力，做離心運動，則衛(wèi)星軌道半徑變大。，萬有引力大于向心力，做近心運動，則衛(wèi)星軌道半徑變小?？键c八雙星問題被相互引力系在一起，互相繞轉(zhuǎn)的兩

11、顆星就叫物理雙星。雙星是繞公共重心轉(zhuǎn)動的一對恒星。如圖所示雙星系統(tǒng)具有以下三個特點：1、各自需要的向心力由彼此間的萬有引力相互提供，即：Gm1 m2m1 12 r1 ， Gm1m2m2 22 r2 ；L2L 22、兩顆星的周期及角速度都相同，即：1212T=T， = ；3、兩顆星的半徑與它們之間距離關(guān)系為：12r+r =L 。補充一些需要用到的知識：1、衛(wèi)星的分類：衛(wèi)星根據(jù)軌道平面分類可分為：赤道平面軌道（軌道在赤道平面內(nèi)）；極地軌道（衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極） ；任意軌道（與赤道平面的夾角在0o90o之間）。但軌道平面都經(jīng)過地心。衛(wèi)星根據(jù)離地高度分類可分為：近地衛(wèi)星 （在地球表面附近繞地

12、球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，可認(rèn)為 h=0 ，r=R）；任意高度衛(wèi)星（離開地面一定高度運行的衛(wèi)星，軌道半徑r=R+h ， R 指地球半徑， h 指衛(wèi)星離地高度，其中同步衛(wèi)星是一個它的一個特例）。軌道平面都經(jīng)過地心。2、人造衛(wèi)星的機械能： E=EK +EP（機械能為動能和引力勢能之和），動能 EK1mv2 ，由運行速度決定；2引力勢能由軌道半徑（離地高度）決定，r增大，動能減小，引力勢能增大，但EPEK ，所以衛(wèi)星的機械能隨著軌道半徑（離地高度）增大而增大。3、人造衛(wèi)星的兩個速度：發(fā)射速度：在地球表面將人造衛(wèi)星送入預(yù)定軌道運行所必須具有的速度，發(fā)射時所具有的動能要包括送入預(yù)定軌道的動能和引力勢能之和

13、，即機械能，所以r 增大，發(fā)射速度增大；環(huán)繞（運行）速度：衛(wèi)星在軌道上繞地球做勻速圓周運動所具有的速度，Mmv2GM ， r增GmvR 2RR大時，環(huán)繞速度減小。4、推導(dǎo)并記住近地衛(wèi)星的幾個物理量的公式和數(shù)值:近地衛(wèi)星指在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星，可認(rèn)為h=0 ， r=R。運行速度： Gm2gR 7.9km / s ，它是所有衛(wèi)星的最大運行速度（因為 h=0，無需增大引力vMmvGMR2RR勢能，故發(fā)射速度等于運行速度，所以這個速度又是所有衛(wèi)星的最小發(fā)射速度）；角速度：Mmmr2GM ，r=R，GMG2r 3R3r，r 最小， 它的角速度在所有衛(wèi)星中最大。（無需記數(shù)值）Mm2)

14、 2T2r 3，r=R，T2R385 min =5100s，r 最小，它的周期在所有衛(wèi)星中最小。周期： G2mr (GMrTGM向心加速度：G MmmaanGM ， r=R， aGMg9.8m / s2 ， r 最小，它的向心加速度在所有衛(wèi)r 2nr 2n2R星中最大。5、衛(wèi)星的追擊問題：Mm2)2 T2r 3知，同一軌道上的兩顆衛(wèi)星，周期T 相同，后面的不可能追上前面的。衛(wèi)星由 Gmr (TGMr2繞中心天體的半徑越大，T 越大。同一半徑方向不同軌道的兩顆衛(wèi)星（設(shè)周期分別為T1、T2 ，且 T1 T2 ）再次相遇的時間滿足tt1，或BA2。TBT A6、萬有引力與航天知識要注意模型：把天體都

15、看成質(zhì)點；把天體的運動在沒有特殊說明時都看成勻速圓周運動；常見的勻速圓周運動模型分三種：核星模型（中心天體不動，行星或衛(wèi)星繞中心天體運動）；雙星模型（兩顆星繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動）；三星模型（三顆星組成穩(wěn)定的系統(tǒng)，做勻速圓周運動，三顆星一般組成正三角形或在一條直線上）。7、估算問題的思維與解答方法：估算問題首先要找到依據(jù)的物理概念或物理規(guī)律（這是關(guān)鍵）；運用物理方法或近似計算方法，對物理量的數(shù)值或取值范圍進(jìn)行大致的推算；估算題常常要利用一些隱含條件或生活中的常識。如：在地球表面受到的萬有引力等于重力；地球表面附近的重力加速度g=9.8m/s2 ；地球自轉(zhuǎn)周期T=24h ，公轉(zhuǎn)周期T0=365 天；月球繞地球公轉(zhuǎn)周期約為 27 天；近地衛(wèi)星周期為 85 分鐘；