2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題01

1、2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題01第一試一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.設(shè)，則_.2. 設(shè)，若的非空子集個(gè)數(shù)為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 3.設(shè)是滿足的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，則區(qū)域的面積為_.（其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)）.4.二元函數(shù)的最大值為_ 5. 已知是雙曲線上靠近點(diǎn)的一個(gè)頂點(diǎn)若以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與雙曲線交于3個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍是 6.甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第奇數(shù)局，甲贏的概率為，第偶數(shù)局，乙贏的概率為.每一局沒有平局，規(guī)定：當(dāng)其中一人贏的局?jǐn)?shù)比另一人贏的局?jǐn)?shù)多2次時(shí)游戲結(jié)束.則游戲結(jié)束時(shí)，甲乙兩人玩的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為_.7.設(shè)五邊形滿足，則的最小值為 8.

2、過正四面體的頂點(diǎn)作一個(gè)形狀為等腰三角形的截面，且使截面與底面所成的角為.這樣的截面共可作出 個(gè) .二、解答題：本大題共3小題，共56分.9.（本小題滿分16分）.試求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得是不等式的最小整數(shù)解.10.（本小題滿分20分）、數(shù)列定義為，. 求證：數(shù)列為整數(shù)列； 求證：是完全平方數(shù).11.（本小題滿分20分）已知S,P(非原點(diǎn))是拋物線y=x2上不同的兩點(diǎn),點(diǎn)P處的切線分別交x,y軸于Q,R.(1)若,求的值;(2)若,求PSR面積的最小值.2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題01加試一、（本小題滿分40分）一、如圖，設(shè)為的一個(gè)交點(diǎn)，直線切分別于，為的外心，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，為的中點(diǎn).求

3、證：. 二、（本小題滿分40分）設(shè).證明:對(duì)任意mN*,存在nN*,使得Sn=m.三、（本小題滿分50分）試求所有的正整數(shù)，使得存在正整數(shù)數(shù)列，使得和互不相同，且模4意義下各余數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)相同.四、（本小題滿分50分）集合是由空間內(nèi)2014個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，滿足任意四點(diǎn)不共面.正整數(shù)滿足下列條件：將任意兩點(diǎn)連成一條線段，并且在此線段上標(biāo)上一個(gè)的非負(fù)整數(shù)，使得由中頂點(diǎn)構(gòu)成的任何一個(gè)三角形，一定有兩邊上的數(shù)字是相同的，且這個(gè)數(shù)字小于第三邊上的數(shù)字.試求的最小值.2015年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽模擬試題01第一試一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1.設(shè)，則_.解：.注意到 ，.故.2. 設(shè)，若的非

4、空子集個(gè)數(shù)為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 解：由已知得恰含一個(gè)元素設(shè)，分以下情況討論：（1）若，則，但是當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)，故應(yīng)舍去，而經(jīng)驗(yàn)證滿足條件；（2）若，則根據(jù)二次函數(shù)圖像性質(zhì)，必有，即，解得或，但應(yīng)舍去，而經(jīng)驗(yàn)證滿足條件綜上所述，有3.設(shè)是滿足的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，則區(qū)域的面積為_.（其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)）.解：.一方面，當(dāng)時(shí)，有，則，滿足；另一方面，當(dāng)時(shí)，有，而，則，從而，于是，這與條件矛盾.故區(qū)域的面積為.4.二元函數(shù)的最大值為_.解：.設(shè)，則.由， ， ，同理，故.當(dāng)，或或時(shí)，取到最大值.5. 已知是雙曲線上靠近點(diǎn)的一個(gè)頂點(diǎn)若以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與雙曲線交于3個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍是 解

5、：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其頂點(diǎn)為，再由得：，即圓與雙曲線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)y應(yīng)滿足上述方程，并要求，因此當(dāng)交點(diǎn)有3個(gè)時(shí)，應(yīng)使對(duì)應(yīng)一個(gè)交點(diǎn)，而對(duì)應(yīng)兩個(gè)交點(diǎn)，從而6.甲、乙兩人玩游戲，規(guī)則如下：第奇數(shù)局，甲贏的概率為，第偶數(shù)局，乙贏的概率為.每一局沒有平局，規(guī)定：當(dāng)其中一人贏的局?jǐn)?shù)比另一人贏的局?jǐn)?shù)多2次時(shí)游戲結(jié)束.則游戲結(jié)束時(shí)，甲乙兩人玩的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為_.解：.設(shè)游戲結(jié)束時(shí)，甲乙兩人玩的局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望為，則，解得.7.設(shè)五邊形滿足，則的最小值為 解：延長(zhǎng)與相交于點(diǎn),延長(zhǎng)與相交于點(diǎn),延長(zhǎng)與相交于點(diǎn).則均為正三角形.設(shè),.容易得到四邊形為平行四邊形,則.在中,由余弦定理, ,于是.同理, .故.注意到,

6、.有.等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)成立故最小值為.8.過正四面體的頂點(diǎn)作一個(gè)形狀為等腰三角形的截面，且使截面與底面所成的角為.這樣的截面共可作出 個(gè) .答案：18.設(shè)正中心為，以為圓心，為半徑作圓.則圓在的內(nèi)部，且所求截面與平面的交線是該圓的切線.有三種情況：(1) 切線與的一邊平行時(shí)，有6個(gè)這樣的截面；(2) 切線（其中在邊上，在邊上）且，則截面為等腰三角形.這樣的截面有6個(gè)；(3) 作切圓，交于，由，有，對(duì)應(yīng)是等腰三角形，這樣的截面共有6個(gè).故滿足條件的截面共有18個(gè).二、解答題：本大題共3小題，共56分.9.（本小題滿分16分）.試求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得是不等式的最小整數(shù)解.解：首先 ，且.原不等式等價(jià)

7、于 .（1）當(dāng)，即時(shí)，有，整理有 .解得，（舍去）.從而.注意到當(dāng)時(shí)，.故要使是不等式的最小整數(shù)解，有，解得，于是 .（2）當(dāng)，即時(shí)，注意到，有不合題設(shè)條件.即不滿足條件.綜上所述，的取值范圍為.10.（本小題滿分20分）、數(shù)列定義為，. 求證：數(shù)列為整數(shù)列； 求證：是完全平方數(shù).證明： 定義.當(dāng)時(shí)，兩式相減，整理得：，即 .因此 .故 .（）由此二階遞推式及，容易得到數(shù)列為整數(shù)列. 對(duì)，.因此.故命題得證！11.（本小題滿分20分）已知S,P(非原點(diǎn))是拋物線y=x2上不同的兩點(diǎn),點(diǎn)P處的切線分別交x,y軸于Q,R.(1)若,求的值;(2)若,求PSR面積的最小值.解: (1)設(shè)過P(x1,

8、y1),則P處的切線2x1x=y1+y, Q(),.(2)設(shè)S(x2,y2),則,所以, 令S=則S/=>0所以,當(dāng)時(shí),.加試一、（本小題滿分40分）一、如圖，設(shè)為的一個(gè)交點(diǎn)，直線切分別于，為的外心，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，為的中點(diǎn).求證：.證明：易得是的中垂線，是的中垂線.連接.則，故 .同理，.做的外接圓，設(shè)交于另一點(diǎn)，則，故.從而 ，因此，由托勒密定理，所以，從而與重合.再由 ，知道.所以，.故. 二、（本小題滿分40分）設(shè).證明:對(duì)任意mN*,存在nN*,使得Sn=m.證明:當(dāng)m=1時(shí),S1=1;當(dāng)m=2時(shí),S4=2;當(dāng)m3時(shí),對(duì)滿足0a<b1的任意實(shí)數(shù)a,b,令則.對(duì)正整數(shù)m&g

9、t;和正整數(shù)k>N0,若都,則.但k>N0時(shí),矛盾!.故對(duì)任意正整數(shù)m>總存在正整數(shù)n,使得n>N0時(shí)有.所以Sn=m.三、（本小題滿分50分）試求所有的正整數(shù)，使得存在正整數(shù)數(shù)列，使得和互不相同，且模4意義下各余數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)相同.解：所求的為，其中為正整數(shù).我們用表示中模4余的個(gè)數(shù)，.注意到，若滿足題設(shè)條件，則也滿足題設(shè)條件，故可不妨設(shè) .記，考察模4不同類中的項(xiàng)數(shù)，有 （*）所以 故 .令，則有，.另一方面，由（*）知，由于為正整數(shù)，則，從而 ，且 ，令，則，或，滿足條件（*）.故滿足題設(shè)條件.綜上所述，所求的為，其中為正整數(shù).四、解：考慮一般情形，集合由個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，滿足任意四點(diǎn)不共面.正整數(shù)滿足條件：在任意線段上標(biāo)上一個(gè)的非負(fù)整數(shù)，使得由中頂點(diǎn)構(gòu)成的任何一個(gè)三角形，一定有兩邊上的數(shù)字是相同的，且這個(gè)數(shù)字小于第三邊上的數(shù)字.記為線段上被標(biāo)數(shù)字不同的數(shù)目，則.下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證明：.當(dāng)時(shí)，結(jié)論平凡；對(duì)，取標(biāo)上數(shù)字最小的邊，記為數(shù)字.任取異于的點(diǎn)，則或邊上的數(shù)字恰有一個(gè)為.記，.不妨設(shè).由歸納假設(shè)知，對(duì)中被標(biāo)數(shù)字的數(shù)目，因?yàn)槭潜粯?biāo)記數(shù)字中最小的，故.故結(jié)論成立.特別地，當(dāng)時(shí)，有，從而.從而.下證，的最小值為10.記這2014個(gè)點(diǎn)分別