二次函數(shù)綜合問題之拋物線與直線交點個數(shù)問題

1、菁優(yōu)網(wǎng)二次函數(shù)綜合問題之拋物線與直線交點個數(shù)1（2014北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=2x2+mx+n經(jīng)過點A（0，2），B（3，4）（1）求拋物線的表達(dá)式及對稱軸；（2）設(shè)點B關(guān)于原點的對稱點為C，點D是拋物線對稱軸上一動點，記拋物線在A，B之間的部分為圖象G（包含A，B兩點）若直線CD 與圖象G有公共點，結(jié)合函數(shù)圖象，求點D縱坐標(biāo)t的取值范圍考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：計算題分析：（1）將A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式求出m與n的值，確定出拋物線解析式，求出對稱軸即可；（2）由題意確定出C坐標(biāo)，以及二次函數(shù)的最小值

2、，確定出D縱坐標(biāo)的最小值，求出直線BC解析式，令x=1求出y的值，即可確定出t的范圍解答：解：（1）拋物線y=2x2+mx+n經(jīng)過點A（0，2），B（3，4），代入得：，解得：，拋物線解析式為y=2x24x2，對稱軸為直線x=1；（2）由題意得：C（3，4），二次函數(shù)y=2x24x2的最小值為4，由函數(shù)圖象得出D縱坐標(biāo)最小值為4，設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，將B與C坐標(biāo)代入得：，解得：k=，b=0，直線BC解析式為y=x，當(dāng)x=1時，y=，則t的范圍為4t點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及函數(shù)的最值，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵2（2011石景

3、山區(qū)二模）已知：拋物線與x軸交于A（2，0）、B（4，0），與y軸交于C（0，4）（1）求拋物線頂點D的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線CD交x軸于點E，過點B作x軸的垂線，交直線CD于點F，將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段EF總有公共點試探究：拋物線向上最多可以平移多少個單位長度，向下最多可以平移多少個單位長度？考點：二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：探究型分析：（1）先設(shè)出過A（2，0）、B（4，0）兩點的拋物線的解析式為y=a（x+2）（x4），再根據(jù)拋物線與y軸的交點坐標(biāo)即可求出a的值，進(jìn)而得出此拋物線的解析式；（2）先用待定系數(shù)法求出直

4、線CD解析式，再根據(jù)拋物線平移的法則得到（1）中拋物線向下平移m各單位所得拋物線的解析式，再將此解析式與直線CD的解析式聯(lián)立，根據(jù)兩函數(shù)圖象有交點即可求出m的取值范圍，進(jìn)而可得到拋物線向下最多可平移多少個單位；同理可求出拋物線向上最多可平移多少個單位解答：解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x4），C點坐標(biāo)為（0，4），a=，（1分）解析式為y=x2+x+4，頂點D坐標(biāo)為（1，）；（2分）（2）直線CD解析式為y=kx+b則，直線CD解析式為y=x+4，（3分）E（8，0），F(xiàn)（4，6），若拋物線向下移m個單位，其解析式y(tǒng)=x2+x+4m（m0），由消去y，得x2+xm=0，=2m0，

5、0m，向下最多可平移個單位（5分）若拋物線向上移m個單位，其解析式y(tǒng)=x2+x+4+m（m0），方法一：當(dāng)x=8時，y=36+m，當(dāng)x=4時，y=m，要使拋物線與EF有公共點，則36+m0或m6，0m36；（7分）方法二：當(dāng)平移后的拋物線過點E（8，0）時，解得m=36，當(dāng)平移后的拋物線過點F（4，6）時，m=6，由題意知：拋物線向上最多可以平移36個單位長度，（7分）綜上，要使拋物線與EF有公共點，向上最多可平移36個單位，向下最多可平移個單位點評：本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，有一定的難度3（2013豐臺

6、區(qū)一模）二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象如圖所示，其頂點坐標(biāo)為M（1，4）（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，請你結(jié)合新圖象回答：當(dāng)直線y=x+n與這個新圖象有兩個公共點時，求n的取值范圍考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象與幾何變換菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）確定二次函數(shù)的頂點式，即可得出二次函數(shù)的解析式（2）求出兩個邊界點，繼而可得出n的取值范圍解答：解：（1）因為M（1，4）是二次函數(shù)y=（x+m）2+k的頂點坐標(biāo)，所以y=（x1）24=x22x3，（2）令x22x3=0，解之得：x1=1，x2=3

7、，故A，B兩點的坐標(biāo)分別為A（1，0），B（3，0）如圖，當(dāng)直線y=x+n（n1），經(jīng)過A點時，可得n=1，當(dāng)直線y=x+n經(jīng)過B點時，可得n=3，n的取值范圍為3n1，翻折后的二次函數(shù)解析式為二次函數(shù)y=x2+2x+3當(dāng)直線y=x+n與二次函數(shù)y=x2+2x+3的圖象只有一個交點時，x+n=x2+2x+3，整理得：x2x+n3=0，=b24ac=14（n3）=134n=0，解得：n=，n的取值范圍為：n，由圖可知，符合題意的n的取值范圍為：n或3n1點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的知識，難點在第二問，關(guān)鍵是求出邊界點時n的值4（2009北京）已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+

8、k1=0有實數(shù)根，k為正整數(shù)（1）求k的值；（2）當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=2x2+4x+k1的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+b（bk）與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：綜合題分析：（1）綜合根的判別式及k的要求求出k的取值；（2）對k的取值進(jìn)行一一驗證，求出符合要求的k值，再結(jié)合拋物線平移的規(guī)律寫出其平移后的解析式；（3）求出新拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，再分

9、別求出直線y=x+b經(jīng)過點A、B時的b的取值，進(jìn)而求出其取值范圍本題第二問是難點，主要是不會借助計算淘汰不合題意的k值解答：解：（1）由題意得，=168（k1）0k3k為正整數(shù)，k=1，2，3；（2）設(shè)方程2x2+4x+k1=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=2，x1x2=當(dāng)k=1時，方程2x2+4x+k1=0有一個根為零；當(dāng)k=2時，x1x2=，方程2x2+4x+k1=0沒有兩個不同的非零整數(shù)根；當(dāng)k=3時，方程2x2+4x+k1=0有兩個相同的非零實數(shù)根1綜上所述，k=1和k=2不合題意，舍去，k=3符合題意當(dāng)k=3時，二次函數(shù)為y=2x2+4x+2，把它的圖象向下平移8個單位得到的圖象

10、的解析式為y=2x2+4x6；（3）設(shè)二次函數(shù)y=2x2+4x6的圖象與x軸交于A、B兩點，則A（3，0），B（1，0）依題意翻折后的圖象如圖所示當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過A點時，可得b=；當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過B點時，可得b=由圖象可知，符合題意的b（b3）的取值范圍為b（3）依圖象得，要圖象y=x+b（b小于k）與二次函數(shù)圖象有兩個公共點時，顯然有兩段而因式分解得y=2x2+4x6=2（x1）（x+3），第一段，當(dāng)y=x+b過（1，0）時，有一個交點，此時b=當(dāng)y=x+b過（3，0）時，有三個交點，此時b=而在此中間即為兩個交點，此時b第二段，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折后，

11、開口向下的部分的函數(shù)解析式為y=2（x1）（x+3） 顯然，當(dāng)y=x+b與y=2（x1）（x+3）（3x1）相切時，y=x+b與這個二次函數(shù)圖象有三個交點，若直線再向上移，則只有兩個交點因為b3，而y=x+b（b小于k，k=3），所以當(dāng)b=3時，將y=x+3代入二次函數(shù)y=2（x1）（x+3）整理得，4x2+9x6=0，0，所以方程有兩根，那么肯定不將有直線與兩截結(jié)合的二次函數(shù)圖象相交只有兩個公共點這種情況故舍去綜上，b點評：考查知識點：一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)及函數(shù)圖象的平移與翻折，最后還考到了與一次函數(shù)的結(jié)合等問題不錯的題目，難度不大，綜合性強(qiáng)，考查面廣，似乎是一個趨勢或熱點5（2

12、012東城區(qū)二模）已知關(guān)于x的方程（1m）x2+（4m）x+3=0（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求m的取值范圍；（2）若正整數(shù)m滿足82m2，設(shè)二次函數(shù)y=（1m）x2+（4m）x+3的圖象與x軸交于A、B兩點，將此圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線y=kx+3與此圖象恰好有三個公共點時，求出k的值（只需要求出兩個滿足題意的k值即可）考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，由一元二次方程的定義和根的判別式可求m的取值范圍；（2）先求出正整數(shù)m的值，從而確定二次函數(shù)的解析式，得到解析式與

13、x軸交點的坐標(biāo)，由圖象可知符合題意的直線y=kx+3經(jīng)過點A、B從而求出k的值解答：解：（1）=（4m）212（1m）=（m+2）2，由題意得，（m+2）20且1m0故符合題意的m的取值范圍是m2且m1的一切實數(shù) （2）正整數(shù)m滿足82m2，m可取的值為1和2又二次函數(shù)y=（1m）x2+（4m）x+3，m=2（4分）二次函數(shù)為y=x2+2x+3A點、B點的坐標(biāo)分別為（1，0）、（3，0）依題意翻折后的圖象如圖所示由圖象可知符合題意的直線y=kx+3經(jīng)過點A、B可求出此時k的值分別為3或1（7分）注：若學(xué)生利用直線與拋物線相切求出k=2也是符合題意的答案點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題（1）考查了

14、一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：0方程有兩個不相等的實數(shù)根（2）得到符合題意的直線y=kx+3經(jīng)過點A、B是解題的關(guān)鍵6在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2+mx+m23m+2與x軸的交點分別為原點O和點A，點B（4，n）在這條拋物線上（1）求B點的坐標(biāo)；（2）將此拋物線的圖象向上平移個單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+b與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：（1）把原點坐標(biāo)代入拋物線，解關(guān)于

15、m的一元二次方程得到m的值，再根據(jù)二次項系數(shù)不等于0確定出函數(shù)解析式，再把點B坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出n的值，即可得解；（2）根據(jù)向上平移縱坐標(biāo)加解答即可；（3）把直線解析式與拋物線解析式聯(lián)立，消掉y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)=0求出b的值，然后令y=0求出拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，再求出直線經(jīng)過拋物線與x軸左邊交點的b值，然后根據(jù)圖形寫出b的取值范圍即可解答：解：（1）拋物線經(jīng)過原點O，m23m+2=0，解得m1=1，m2=2，當(dāng)m=1時，=0，m=2，拋物線的解析式為y=x2+3x，點B（4，n）在這條拋物線上，n=×42+3×4=8+12=4，點B（4，4）；（2）拋

16、物線的圖象向上平移個單位，平移后的圖象的解析式y(tǒng)=x2+3x+；（3）聯(lián)立，消掉y得，x2+3x+=x+b，整理得，x25x+2b7=0，=（5）24×1×（2b7）=0，解得b=，令y=0，則x2+3x+=0，整理得，x26x7=0，解得x1=1，x2=7，拋物線與x軸左邊的交點為（1，0），當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點（1，0）時，×（1）+b=0，解得b=，當(dāng)直線y=x+b與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍為b或b點評：本題是二次函數(shù)綜合題，主要利用了解一元二次方程，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，難點在于（3）求出直線與拋物線有三個交點時的

17、b值，作出圖形更形象直觀7關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+2x+k1的圖象與x軸有交點，k為正整數(shù)（1）求k的值；（2）當(dāng)關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+2x+k1與x軸的交點的橫坐標(biāo)均是負(fù)整數(shù)時，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+2x+k1的圖象向下平移4個單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線y=（b3）與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍考點：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）綜合根的判別式及k的要求，求出k的取值；（2）對k的取值進(jìn)行一一驗證，求出符合要求的k

18、值，再結(jié)合拋物線平移的規(guī)律寫出其平移后的解析式；（3）求出新拋物線與x軸的交點坐標(biāo)，再分別求出直線y=x+b經(jīng)過點A、B時的b的取值，進(jìn)而求出其取值范圍解答：解：（1）由題意得，=44（k1）0k2k為正整數(shù)，k=1，2；（2）設(shè)方程x2+2x+k1=0的兩根為x1，x2，則x1+x2=2，x1x2=k1當(dāng)k=1時，圖象y=x2+2x+k1與x軸有一個交點為（0，0），不合題意；當(dāng)k=2時，圖象y=x2+2x+k1與x軸有一個交點為（1，0），符合題意；綜上所述，k=2符合題意當(dāng)k=2時，二次函數(shù)為y=x2+2x+1，把它的圖象向下平移4個單位得到的圖象的解析式為：y=x2+2x3；（3）設(shè)二

19、次函數(shù)y=x2+2x3的圖象與x軸交于A、B兩點，則A（3，0），B（1，0）依題意翻折后的圖象如圖所示當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過A點時，可得b=；當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過B點時，可得b=由圖象可知，符合題意的b（b3）的取值范圍為：b點評：此題主要考查了一元二次方程根的判別式、二次函數(shù)及函數(shù)圖象的平移與翻折，最后還考到了與一次函數(shù)的結(jié)合等問題不錯的題目，難度不大，綜合性強(qiáng)8（2014東城區(qū)一模）已知：關(guān)于x的一元二次方程mx2（4m+1）x+3m+3=0 （m1）（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2（其中x1x2），若y是關(guān)于m的函數(shù)，且y=x13x2，求這個

20、函數(shù)的解析式；（3）將（2）中所得的函數(shù)的圖象在直線m=2的左側(cè)部分沿直線m=2翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)關(guān)于m的函數(shù)y=2m+b的圖象與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍考點：一次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題分析：（1）列式表示出根的判別式，再根據(jù)0，方程有兩個不相等的實數(shù)根證明；（2）利用求根公式法求出x1、x2，然后代入關(guān)系式整理即可得解；（3）作出函數(shù)圖象，然后求出m=2時的函數(shù)值與以及m=1時的翻折圖象的對應(yīng)點的坐標(biāo)，再代入直線解析式求出b值，然后結(jié)合圖形寫出b的取值范圍即可解答：（1）證明：=（4m+1）24m（3m+3）=4

21、m24m+1=（2m1）2，m1，（2m1）20，方程有兩個不等實根；（2）解：x=，兩根分別為=3，=1+，m1，01，11+2，x1x2，x1=3，x2=1+，y=x13x2，=33（1+），=，所以，這個函數(shù)解析式為y=（m1）；（3）解：作出函數(shù)y=（m1）的圖象，并將圖象在直線m=2左側(cè)部分沿此直線翻折，所得新圖形如圖所示，m=2時，y=，m=1時，y=3，函數(shù)圖象直線m=2左側(cè)部分翻折后的兩端點坐標(biāo)為（3，3），（2，），當(dāng)m=3時，2×3+b=3，解得b=9，當(dāng)m=2時，2×2+b=，解得b=，所以，此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍9b點評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了根的判別式，求根公式法解一元二次方程，一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點問題，難點在于（3）確定出翻折部分的兩個端點的坐標(biāo)以及有兩個交點時的b的取值范圍，作出圖形更形象直觀9（2013門頭溝區(qū)一模）已知關(guān)于x的一元二次方程（1）求證：無論m取任何實數(shù)，方程都有兩個實數(shù)根；（2）當(dāng)m3時，關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B 兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且2AB=3OC，求m的值；（3）在（2）的條件下，過點C作直線lx軸，將二次函數(shù)圖象在y軸左側(cè)的部分沿直線l翻折，二次函數(shù)圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象，記為G請你結(jié)合圖象回答：當(dāng)直線與圖象G只有一個公共點