第1章復變函數(shù)習題答案及解析習題詳解

1、 .wd.第一章習題詳解1 求以下復數(shù)的實部與虛部，共軛復數(shù)、模與輻角：解：實部：虛部：共軛復數(shù)：模：輻角：解：實部：虛部：共軛復數(shù)：模：輻角：解：實部：虛部：共軛復數(shù)：模：輻角：解：實部：虛部：共軛復數(shù)：模：輻角：2 當、等于什么實數(shù)時，等式成立？解：根據(jù)復數(shù)相等，即兩個復數(shù)的實部和虛局部別相等。有：即、時，等式成立。3 證明虛數(shù)單位有這樣的性質(zhì)：證明：4 證明證明：設，那么證明：設，那么有：證明：設，那么有：證明：設，那么有：證明：設，那么有證明：設，那么5 對任何是否成立？如果是，就給出證明。如果不是，對哪些值才成立？解：設，那么有：故當，即是實數(shù)時，成立。6 當時，求的最大值，其中為正

2、整數(shù)，為復數(shù)。解： 即的最大值是7 判定以下命題的真假：1) 假設為實常數(shù)，那么；解：真命題。因為實數(shù)的共軛復數(shù)就是它本身。2) 假設為純虛數(shù)，那么；解：真命題。設，那么，顯然。3) ；解：假命題。兩個不全為實數(shù)的復數(shù)不能比擬大小。4) 零的幅角是零解：假命題。復數(shù)的幅角是任意的，也是無意義的。5) 僅存在一個數(shù)，使得；解：假命題。有兩個數(shù)，使成立。6) ；解：假命題。設有兩個數(shù)，使不成立。解：真命題。8 將以下復數(shù)化為三角表示式和指數(shù)表示式：解：，解：，解：，解： 另： 另：解：，解：9 將以下坐標公式寫成復數(shù)的形式：1) 平移公式：解：將方程組中的第二個方程乘以虛數(shù)單位加到第一個方程，得：

3、即：2) 旋轉(zhuǎn)公式：解：將方程組中的第二個方程乘以虛數(shù)單位加到第一個方程，得：10 一個復數(shù)乘以，它的模與輻角有何改變？解：設即：一個復數(shù)乘以，它的模不變，輻角減小。11 證明：，并說明其幾何意義。證明：幾何意義：平行四邊形的兩條對角線的平方和等于它的相鄰兩邊平方和的2倍。12 證明以下各題：1) 任何有理分式函數(shù)可以化為的形式，其中與為具有實系數(shù)的與的有理分式函數(shù)；證明：設，那么：， 其中，皆為關(guān)于的實系數(shù)多項式。 其中：，為具有實系數(shù)的關(guān)于的有理分式函數(shù)。2) 如果為1)中的有理分式函數(shù)，但具有實系數(shù)，那么；證明：因為為具有實系數(shù)的有理分式函數(shù)，所以 其中：，3) 如果復數(shù)是實系數(shù)方程的根

4、，那么也是它的根。證明：令 因為是方程的根， 又因為的系數(shù)為實數(shù)， 因此。即也是方程的根。即實系數(shù)多項式的復根必共軛成對出現(xiàn)。13 如果，證明：證明：證明：14 求以下各式的值：解：解：解：即：，解：即：，15 假設,試求的值。解：1) 求方程的所有根；解：即：，2) 求微分方程的一般解。解：微分方程的特征方程為：。由前題得：， 微分方程有三個線性無關(guān)的特解：，微分方程有三個線性實數(shù)特解：， 一般解為：16 在平面上任意選一點，然后在復平面上畫出以下各點的位置：解：17 兩點與或三點，問以下各點位于何處？1) ；解：位于與連線的中點。2) ，其中為實數(shù)；解：位于與連線上，其中。3) 。解：位于

5、以,為頂點的三角形的重心上。18 設三點適合條件，。證明：是內(nèi)接于單位圓的一個正三角形的頂點。證明：方法一,位于以原點為圓心的單位圓上。 令， 其中。，或 同理可得：或 分析：如果，那么；如果，那么與矛盾。 同理。是內(nèi)接于單位圓的一個正三角形的頂點。方法二,位于以原點為圓心的單位圓上。同理：，。于是是內(nèi)接于單位圓的一個正三角形的頂點。方法三,位于以原點為圓心的單位圓上。是內(nèi)接于單位圓的一個正三角形的頂點。方法四,位于以原點為圓心的單位圓上。設而 同理，即 同理，是內(nèi)接于單位圓的一個正三角形的頂點。方法五設，那么是該方程的三個根。而，所以是的三個根，即分別是復數(shù)的三次方根。又因為，所以均勻地分布

6、在單位圓上，即是內(nèi)接于單位圓的一個正三角形的頂點。方法六如右圖所示：所以為等邊三角形。同理可知為等邊三角形，于是有：同理 ，所以均勻地分布在單位圓上。命題得證。19 如果復數(shù)滿足等式，證明，并說明這些等式的幾何意義。證明： 且是等邊三角形的充分必要條件是因此，滿足的點，為頂點的三角形是等邊三角形，必有20 指出以下各題中點的軌跡或所在范圍，并作圖：1) ；解：設，那么 即是以為圓心，半徑為6的圓周。2) ；解：設，那么 即是以為圓心，半徑為1的圓周及其外部。3) ；解：設，那么 即是平行于y軸的通過的直線。4) ；解：設，那么 即是平行于x軸的通過的直線。5) ；解：設，那么 即是平行于x軸。

7、6) ；解：設，那么 即是以，為焦點，長的半軸為2，短半軸為的橢圓。7) ；解：設，那么 即是過的平行于x軸的直線及其下半平面。8) ；解：設，那么 即是去掉過的半平面。9) ；解：滿足的圖形是不包含實軸的上半平面。10) 。解：設，那么 即是以為端點的射線，。21 描出以下不等式所確定的區(qū)域或閉區(qū)域，并指明它是有界的還是無界的，單連通的還是多連通的：1) ；解：設，那么，表示不包含實軸的上半平面，是無界的單連通域。2) ；解：設，由得，表示以為圓心半徑為的圓不含圓周的外部，是無界的多單連通域。3) ；解：設，那么，表示介于直線和之間的帶形區(qū)域不含兩直線，是無界的單連通域。4) ；解：表示介于

8、圓與之間的圓環(huán)域含兩圓周，是有界的多連通域。5) ；解：設，由，表示直線右邊的半平面區(qū)域不含直線，是無界的單連通域。6) ；解：表示由射線與所圍成的角形區(qū)域不含兩射線，是無界的單連通域。7) ；解：設，由，表示以為圓心半徑為的圓的外部不含圓周，是無界的多連通域。8) ；解：表示以與為焦點長半軸短半軸的橢圓及其內(nèi)部，是有界的單連通閉域。9) ；解：表示以與為焦點實半軸虛半軸的雙曲線左邊一支的左側(cè)，是無界的單連通域。10) 。解：設，由，表示以點為圓心半徑為的圓及其內(nèi)部，是有界的單連通閉域。22 證明復平面上的直線方程可寫成：，為復常數(shù)，為實常數(shù)。證明：設點在直線上，那么直線方程可寫成：又，整理得

9、：令，那么。因為不全為零，所以。 是復平面上的直線方程為復常數(shù)，為實常數(shù)。23 證明復平面上的圓周方程可寫成：其中為復常數(shù)，為實常數(shù)。證明：設點在圓上任意一點，點為圓心，半徑為，那么圓的方程為：，。代入上式，得：。整理得：令， 是復平面上的圓的方程為復常數(shù)，為實常數(shù)。24 將以下方程為實參數(shù)給出的曲線用一個實直角坐標方程表出：1) ；解：設，那么2) ，為實常數(shù)；解： 設，那么3) ；解：設，那么4) ；解：設，那么5) ，為實常數(shù)；解：設，那么6) ；解：設，那么7) ，為復數(shù)。解：設，那么25 函數(shù)把以下平面上的曲線映射成平面上怎樣的曲線？1) ；解：設，那么是w平面上的圓。2) ；解：設

10、，那么且是w平面上的直線。3) ；解：設，那么是w平面上的圓。4) 。解：設，那么是w平面上的直線。26 映射，求：1) 點，在平面上的象；解：2) 區(qū)域在平面上的象。解：27 證明§6定理二與定理三。定理二如果，那么1) ；2) ；證明：1) ，那么，使時，有，使時，有 取，那么當時，必有成立。 故。2) ，那么及，使時，使時，有； 又，故存在，使時，有 取，那么當時，必有故。3) ，那么及，使時，使時，有，使時，有 取，那么當時，必有故。定理三 函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是：和在點處連續(xù)。證明：在處連續(xù)，即， 即和在點處連續(xù)。28 設函數(shù)在連續(xù)且，那么可找到的小鄰域，在這鄰域內(nèi)。證明： 函數(shù)在連續(xù)，即 可取，存在，使得當時，有 又 即存在的鄰域，在這鄰域內(nèi)。29 設，證明在的某一去心鄰域內(nèi)是有界的，即存在一個實常數(shù)，使在的某一去心鄰域內(nèi)有。證明：，即，當時，有，取，那么有。30 設。試證當時的極限不存在。