初中幾何最值問題

1、初中幾何最值問題例題精講一、 三點(diǎn)共線1、構(gòu)造三角形【例1】 在銳角中，AB=4，BC=5，ACB=45°，將ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到A1BC1點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長度的最大值與最小值【鞏固】以平面上一點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，分別畫出兩個(gè)直角三角形，記作AOB和COD，其中ABO=DCO=30°如圖，若BO=，點(diǎn)N在線段OD上，且NO=2點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在將AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，線段PN長度的最小值為_，最大值為_備用圖【例2】 如圖，°，矩形ABCD

2、的頂點(diǎn)AB分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為_【鞏固】已知：中，中，,.連接、，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn).若、三點(diǎn)在同一直線上，且，固定，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則的最大值為_ 【鞏固】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)點(diǎn)、分別在軸、軸的負(fù)半軸上，且以為邊在第三象限內(nèi)作正方形，請求出線段長度的最大值，并直接寫出此時(shí)直線所對應(yīng)的函數(shù)的解析式圖2【例3】 如圖，已知，為反比例函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段與線段之差達(dá)到最大時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是_yxOABP2

3、、軸對稱【例1】 求的最小值【例2】 是半徑為5的的兩條弦，為直徑，于點(diǎn),于點(diǎn)，為上任意一點(diǎn)，則的最小值為_【鞏固】設(shè)半徑為1的半圓的圓心為，直徑為,是半圓上兩點(diǎn)，若弧的度數(shù)為96°，弧的度數(shù)為36°，動(dòng)點(diǎn)在直徑上，則的最小值是_【鞏固】設(shè)正三角形的邊長是2，是邊上的中點(diǎn)，是邊上任意一點(diǎn)，則的最大值為_,最小值為_【例3】 如圖，已知等邊ABC的邊長為1，D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的點(diǎn)（均不與點(diǎn)A、B、C重合），記DEF的周長為.若D、E、F分別是AB、BC、AC邊上任意點(diǎn)，則的取值范圍是 .【例4】 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yx22x3與x軸交于AB兩

4、點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)（1）求直線AC的解析式及BD兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）請?jiān)谥本€AC上找一點(diǎn)M，使BDM的周長最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)圖1【例5】 如圖，直線分別交x軸、y軸于C、A兩點(diǎn)，將射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到射線AN，D為AM上的動(dòng)點(diǎn)，B為AN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在MAN的內(nèi)部（1）當(dāng)AMx軸，且四邊形ABCD為梯形時(shí)，求的面積；（2）求BCD周長的最小值；（3）當(dāng)BCD的周長取得最小值，且時(shí)，求的面積Axy1OD212MNB34CAxy1O21234C備用圖Axy1O21234C備用圖【例6】 在直角坐標(biāo)系中，為四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)，當(dāng)四邊形的周長最短時(shí)，_【鞏固】

5、如圖1，拋物線yax2bxc（a0）的頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）。（1）求拋物線的解析式；（2）如圖2，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對稱軸，點(diǎn)G為直線PQ上的一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上師范存在一點(diǎn)H，使D、G、H、F四點(diǎn)所圍成的四邊形周長最小。若存在，求出這個(gè)最小值及點(diǎn)G、H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。圖13ABxyODC圖2ABxyODCPQEFABxyODC【例7】 已知，如圖1，二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為，與軸交于兩點(diǎn)（在的右側(cè)），點(diǎn)關(guān)于直線：對稱（1）求兩點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明點(diǎn)在直線上；（2

6、）求二次函數(shù)的解析式；（3）過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，分別為直線和直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)求的最小值【鞏固】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)的圖象與軸交于（-1,0）、（3,0）兩點(diǎn), 頂點(diǎn)為.(1) 求此二次函數(shù)解析式；(2) 點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作直線：交BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)作直線交直線于點(diǎn).問：在四邊形ABKD的內(nèi)部是否存在點(diǎn)P，使得它到四邊形ABKD四邊的距離都相等，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3) 在（2）的條件下，若、分別為直線和直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、，求和的最小值.【例8】 在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在軸、軸的正半軸上，D

7、為邊OB的中點(diǎn).溫馨提示：如圖，可以作點(diǎn)D關(guān)于 軸的對稱點(diǎn) ，連接 與 軸交于點(diǎn)E，此時(shí) 的周長是最小的.這樣，你只需求出 的長，就可以確定點(diǎn) 的坐標(biāo)了.（）若為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；yBODCAxEyBODCAx（）若、為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)四邊形的周長最小時(shí)，求點(diǎn)、的坐標(biāo).【鞏固】已知點(diǎn)A（3，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，在x軸上另取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=1線段EF在x軸上平移，線段EF平移至何處時(shí)，四邊形ABEF的周長最??？求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)【例9】 已知直線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)D，拋物線與直線交于A、E兩點(diǎn)，與軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0).（1

8、）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M，使的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)。【鞏固】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，將OBA對折，使點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)H落在直線AB上，折痕交x軸于點(diǎn)C.（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的對稱軸與直線BC的交點(diǎn)為T，Q為線段BT上一點(diǎn)，直接寫出的取值范圍.3、旋轉(zhuǎn)【例1】 如圖，已知在ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD.當(dāng)ACB變化,且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，求 CD的最大值及相應(yīng)的ACB的度數(shù).【例2】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為

9、，點(diǎn)在軸的正半軸上，為的中線，過、兩點(diǎn)的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)為三角形內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時(shí)，線段的長.【鞏固】已知矩形，在矩形內(nèi)有一點(diǎn)，在邊上有一點(diǎn),分別確定點(diǎn)和的位置，使得最小【鞏固】直角梯形中，在梯形內(nèi)求作一點(diǎn)使于且的值最小二、 垂線段最短【例1】 已知,是線段上任意一點(diǎn)，在的同側(cè)分別以和為邊作兩個(gè)等邊三角形和，則線段長度的最小值是_ABCDNM【例2】 如圖，在銳角中，的平分線交于點(diǎn)分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_ 【鞏固】矩形中，.在、上各取一點(diǎn)、，使的值最小，求這個(gè)最小值【例3】 如圖，在中，AB=15，A

10、C=12，BC=9，經(jīng)過點(diǎn)且與邊相切的動(dòng)圓與CB、CA分別相交于點(diǎn)E、F，則線段長度的最小值是_【例4】 已知在的邊上取一點(diǎn)，設(shè)和的外接圓的圓心分別是和，求：使兩圓半徑為最小值時(shí)點(diǎn)的位置【鞏固】點(diǎn)在的邊上，分別作和的外接圓。問當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，兩外接圓公共部分的面積最?。俊纠?】 在已知內(nèi)，作內(nèi)接矩形，使一邊在最大邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)、分別在邊，上。試確定矩形的位置，使對角線長最短.【鞏固】點(diǎn)在銳角的邊上運(yùn)動(dòng)，試確定點(diǎn)的位置，使最小，并證明你的結(jié)論.【例6】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向上的拋物線與軸交于兩點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)若的長分別是方程的兩根，且（1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)解

11、析式；（2）過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；ycCclxcBcPcDcAO（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)任作直線交線段于點(diǎn)求到直線的距離分別為，試求的最大值【例7】 在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-3，-2），圓A的半徑為1，P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，PQ切圓A于點(diǎn)Q，則當(dāng)PQ最小時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為_【鞏固】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知是等腰三角形（為底邊），頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，軸于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的一動(dòng)點(diǎn)（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)（2）以點(diǎn)為圓心、為半徑作圓，得到動(dòng)圓，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分布為，問：是否存在以為頂點(diǎn)的四邊形的最小面積為？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由三、 與

12、圓相關(guān)的最值1、過圓內(nèi)任一點(diǎn)的弦中，最長的弦是直徑，最短的弦是垂直于過該點(diǎn)的直徑的弦【例1】 如圖，的半徑為5，點(diǎn)到圓心的距離為，如果過點(diǎn)作弦，那么長度為整數(shù)值的弦的條數(shù)為_2、設(shè)是O內(nèi)一點(diǎn)，在連接與圓上各點(diǎn)的線段中，圓心所在線段最短，圓心在其反向延長線上的線段最長；設(shè)是O外一點(diǎn)，在連接與圓上各點(diǎn)的線段中，圓心所在線段最長，圓心在其延長線上的線段最短【例1】 在直線MN的同側(cè)有定點(diǎn)A及定圓圓，試在MN上求一點(diǎn)P，在圓上求一點(diǎn)Q，使最短【例2】 點(diǎn)在圖形上，點(diǎn)在圖形上，記為線段長度的最大值，為線段長度的最小值，圖形的平均距離（1）在平面直角坐標(biāo)系中，是以為圓心，2為半徑的圓，且，求及；（直接寫出

13、答案即可）（2）半徑為1的的圓心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，記線段為圖形，求（3）在（2）的條件下，如果的圓心從原點(diǎn)沿軸向右移動(dòng)，的半徑不變，且，求圓心的橫坐標(biāo)3、過圓上點(diǎn)作割線的垂線段，當(dāng)圓心在這垂線段上時(shí)，該點(diǎn)是圓上所有點(diǎn)中到這割線的距離最長的點(diǎn)【例1】 已知：是中一條長為4的弦，是上一動(dòng)點(diǎn)，問是否存在以為頂點(diǎn)的面積最大的三角形,試說明理由；若存在，求出這個(gè)三角形的面積4、過圓上的一點(diǎn)作與圓相離的直線的垂線段，當(dāng)圓心在這條垂線段上時(shí)，這點(diǎn)是圓上所有點(diǎn)與該直線距離最長的點(diǎn)；當(dāng)圓心在這條線段的反向延長線時(shí)，這點(diǎn)事圓上所有點(diǎn)與該直線距離最短的點(diǎn)【例1】 如圖，AB是半圓的直徑，線

14、段CAAB于點(diǎn)A，線段DB上AB點(diǎn)B，AB=2，AC=1，BD=3，P是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則封閉圖形ACPDB的最大面積是_5、一條弧所對的圓內(nèi)角大于它所對的圓周角，而這圓周角則大于該弧所對的圓外角【例1】 B為的邊上的兩點(diǎn)，試在上求作一點(diǎn)，使最大P·OACDB【例2】 如圖所示，直線與線段為直徑的圓相切于點(diǎn)，并交的延長線于點(diǎn)，且，點(diǎn)在切線上移動(dòng).當(dāng)?shù)亩葦?shù)最大時(shí)，則的度數(shù)為_四 、轉(zhuǎn)化類【例1】 如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn)（可與B點(diǎn)或C點(diǎn)重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是B、C、D，則BB+CC+DD的最大值為_，最小值為_【鞏固】在中，

15、若的內(nèi)切圓半徑為，則的最大值為_【例2】 已知拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，當(dāng)和時(shí)，這條拋物線上對應(yīng)的縱坐標(biāo)相等經(jīng)過點(diǎn)的直線與軸平行，為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求直線和這條拋物線的解析式；（2）以為圓心，為半徑的圓記為圓,判斷直線與圓的位置關(guān)系，并說明理由；（3）設(shè)直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求四邊形的面積【例3】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O的半徑為2，且A（4，0），B（4，4），點(diǎn)P在O上運(yùn)動(dòng)。（1）求2BP+AP的最小值。 （2）若點(diǎn)M是函數(shù)（x>0,x2）的圖象上一點(diǎn)，MEx軸于點(diǎn)E，MFy軸于點(diǎn)F，記M的橫坐標(biāo)為t（t>0,t2）,請用含t的表達(dá)式表示的最小值?！眷柟獭吭谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；（2）直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線的對稱軸左側(cè).拋物線的對稱軸與直線交于點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn). 以為圓心，為半徑的圓上存在一點(diǎn)，使得的值最小，則這個(gè)最小值為_ .【例4】 已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)（1）求此拋物線解析式；（2）過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為點(diǎn)點(diǎn)從拋物線的頂點(diǎn)出發(fā)，先沿拋物線的對稱軸到達(dá)點(diǎn)，再沿