四高職不定積分

1、第四章 不定積分一、 基本要求：1、 理解原函數(shù)與不定積分的概念；2、 掌握不定積分的性質(zhì)和了解不定積分的幾何意義。二、 授課內(nèi)容：§4-1 原函數(shù)與不定積分一、 原函數(shù) 定義1 如果對任一，都有 或 則稱為在區(qū)間I 上的原函數(shù)。例如：，即是的原函數(shù)。 ，即是的原函數(shù)。原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)在區(qū)間I 上連續(xù)，則在區(qū)間I 上一定有原函數(shù)，即存在區(qū)間I 上的可導(dǎo)函數(shù)，使得對任一，有。注1：如果有一個原函數(shù)，則就有無窮多個原函數(shù)。設(shè)是的原函數(shù)，則，即也為的原函數(shù)，其中為任意常數(shù)。注2：如果與都為在區(qū)間I 上的原函數(shù)，則與之差為常數(shù)，即 （C為常數(shù)）注3：如果為在區(qū)間I 上的一個原函數(shù)，則

2、（為任意常數(shù)）可表達的任意一個原函數(shù)。二、不定積分定義2 在區(qū)間I上，的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)，成為在區(qū)間I上的不定積分，記為。如果為的一個原函數(shù)，則 ，（為任意常數(shù)）例1 因為 ， 得 例2 因為，時，；時，得 ，因此有例3 設(shè)曲線過點，且其上任一點的斜率為該點橫坐標(biāo)的兩倍，求曲線的方程。解：設(shè)曲線方程為，其上任一點處切線的斜率為從而由，得，因此所求曲線方程為 三、不定積分的性質(zhì)由原函數(shù)與不定積分的概念可得：1)2)3)4)5)四、不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義如圖51所示： 圖 51設(shè)是的一個原函數(shù)，則在平面上表示一條曲線，稱它為的一條積分曲線于是的不定積分表示一族積分曲線，它們是由

3、的某一條積分曲線沿著軸方向作任意平行移動而產(chǎn)生的所有積分曲線組成的顯然，族中的每一條積分曲線在具有同一橫坐標(biāo)的點處有互相平行的切線，其斜率都等于在求原函數(shù)的具體問題中，往往先求出原函數(shù)的一般表達式，再從中確定一個滿足條件 (稱為初始條件)的原函數(shù)從幾何上講，就是從積分曲線族中找出一條通過點的積分曲線例4 設(shè)曲線通過點，且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐標(biāo)的平方，求此曲線的方程解 設(shè)所求曲線的方程為，按題意有 于是 因為這曲線通過點，代入上式可得故所求曲線的方程為小結(jié)：本節(jié)學(xué)習(xí)了原函數(shù)的概念，不定積分的概念，不定積分的性質(zhì)，學(xué)習(xí)了幾個簡單的積分公式，并通過幾個例子熟悉積分公式的使用。三、 基本

4、要求：3、 鞏固不定積分的概念；4、 掌握不定積分的基本公式和不定積分的性質(zhì)；5、 熟練掌握直接積分法。四、 授課內(nèi)容：§4-2 不定積分的概念與性質(zhì)二、 不定積分的的基本公式及性質(zhì)1、積分公式1) (為常數(shù))2) ()3) 4) 5) 6)7)8)9)10)11)12)13)14)15)2、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2，（為常數(shù)，）二、直接積分法例1 求解： 例2 求解： 例3 求解：例4求解：a) 求解：b) 求解：一、 基本要求：1、 了解換元積分法的基本思想；2、 熟練掌握第一類換元積分法和第二類換元積分法。二、 授課內(nèi)容：§4-3 換元積分法一、 第一類換元積分法（

5、或稱湊微分法）設(shè)為的原函數(shù)，即 或 如果 ，且可微，則 即為的原函數(shù)，或 因此有定理1 設(shè)為的原函數(shù)，可微，則 (2-1)公式(2-1)稱為第一類換元積分公式。例1 求 解：例2 求 解：例3 求 解：原式= 例4 求 ， 解：例5 求 解： 例6 求 解： 例7 求 解： 例8 求 解： 二、 第二類換元積分法定理2 設(shè)是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，且，又設(shè) 具有原函數(shù)，則 (2-2)其中為的反函數(shù)。公式(2-2)稱為第二類換元積分公式。例9 求 ， 解：令 ，則 ，因此有 例10 求 ，解：令 ，則 ，因此有 其中。用類似方法可得 例11 求 解： 小結(jié)：本節(jié)主要學(xué)習(xí)了不定積分的第一類換元積分法和第二

6、類換元積分法。第一類換元法也稱為“湊微分”的方法。第二類換元法主要介紹了三種三角代換，即或，與，分別適用于三類函數(shù)，與?！暗勾鷵Q”也屬于第二類換元法。一、 基本要求：1、 熟悉不定積分的分部積分公式；2、 掌握三種不同類型函數(shù)的分部積分法。二、 授課內(nèi)容：§4-4 分部積分法一、分部積分法設(shè) ，則有 或 兩端求不定積分，得 或 即 (3-1) 或 (3-2)公式 (3-1) 或 (3-2) 稱為不定積分的分部積分公式。例1 求 解： 例2 求 解： 注1：由例1和例2可以看出，當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與正弦（余弦）乘積或是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積，做分部積分時，取冪函數(shù)為，其余部分取為。例3

7、求 解： 例4 求 解： 注2：由例3和例4可以看出，當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)乘積或是冪函數(shù)與反三角函數(shù)函數(shù)乘積，做分部積分時，取對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為，其余部分取為。 例5 求 解： 因此得 即 例6 求 解： 令 ，則 ，因此 小結(jié)：本節(jié)學(xué)習(xí)了不定積分的分部積分法。對兩類不同形式的被積函數(shù)給出了分部積分的參考原則，也討論了分部方法與換元方法結(jié)合使用的例題。一、 基本要求：1、 了解積分表的結(jié)構(gòu)；2、 掌握積分的使用方法。二、 授課內(nèi)容：§4-5積分表的使用方法1.在積分表中能直接查到的例 1查表求解被積函數(shù)含 a + bx 因式，在積分表(一)類中，查到公式 9 ， 當(dāng) a

8、= 3，b = 2 時，得例 2查表求解被積函數(shù)含 a + bsin x 因式，在積分表(十一)類中，查到公式 103 或 104，因為a = 5，b = 4， a2 > b2 .所以用公式 103， 得2.先進行變量代換，再查表例 3查表求解該積分在積分表中直接查不到，要進行變量代換，令 3x = t，于是有上式右端積分的被積函數(shù)中有在積分表(五)類中，查到公式 39，當(dāng) a = 2(x 相當(dāng)于 t)時，得代入原積分中，得3.用遞推公式例 4查表求解被積函數(shù)中含三角函數(shù)，在積分表(十一)類中查到公式 97，遞推公式為當(dāng) n = 4 時，原積分為等，都不能用初等函數(shù)表示.第五章 小結(jié)一、不定積分定義 在區(qū)間I上，的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)，成為在區(qū)間I上的不定積分，記為。如果為的一個原函數(shù)，則 ，（為任意常數(shù)）由原函數(shù)與不定積分的概念可得：16)17)18)19)20)二、 不定積分的的基本公式及