數(shù)列通項(xiàng)公式地求法

1、常見數(shù)列通項(xiàng)公式的求法公式:"等差數(shù)列的定義Jj-曲=>2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式么=6亠仇-1昭等差數(shù)列等比顫列等差數(shù)列的求和公式S* =壬（円Y.）=碼+嘰丁 等差數(shù)列的性質(zhì)代+3.=去+勺（皿+科=護(hù)-叼）等比數(shù)列的定文厶三乳川二耳等比數(shù)別的通噴公我6 =的廠席_ 囪*? _ 旳<1二/菩比數(shù)列的求和公式罠*廠石腫心=1等比數(shù)列的性質(zhì)左”"=a.airt + n = p + q）1、定義法若數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,求通公式項(xiàng)時(shí),只需求出ai與d或ai與q ,再代入公式 a. ai n 1 d或an aiqn 1中即可.例1、成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，

2、并且這三個(gè)數(shù)分別加上 2，5，13后成為等比數(shù)列 bn的b3.b4.b5,求數(shù)列bn的的通項(xiàng)公式練習(xí)：數(shù)列 an是等差數(shù)列，數(shù)列 bn是等比數(shù)列，數(shù)列 Cn中對于任何n N*都有1 27Cn an bn.C1 0心.C3.C4.分別求出此三個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式69542、累加法形如an 1an f n 已知a1型的的遞推公式均可用累加法求通項(xiàng)公式（1）當(dāng)fn d為常數(shù)時(shí)，an為等差數(shù)列，貝U an a1n 1 d ；（2）當(dāng)fn為n的函數(shù)時(shí)，用累加法方法如下：由an 1anf n得當(dāng)n2時(shí)，anan 1f n1an 1an 2f n 2La3a2f2a2aif1以上n 1個(gè)等式累加得ana1fn

3、1 +f n 2L f 2 f 1an印f n 1 +f n 2L f 2 f 1（3）已知a1, an i an f n，其中f n可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng) 若f n可以是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和； 若f n可以是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和； 若f n可以是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和； 若f n可以是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和求和例2、數(shù)列an中已知ai 1鳥i a. 2n 3,求an的通項(xiàng)公式練習(xí)1 ：已知數(shù)列an滿足an 1 an 3n 2且a12,求an.練習(xí)2 :已知數(shù)列an 中，al 1,an

4、 1an 3n 2n ,求an的通項(xiàng)公式練習(xí)3 :已知數(shù)列、卄1an 滿足 a1, an 1 an2-,求求an的通項(xiàng)公式n3、累乘法形如¥ f 已知耳型的的遞推公式均可用累乘法求通項(xiàng)公式給遞推公式an 1n , n N 中的n依次取1,2,3 ,n 1,可得到下面n 1個(gè)式子:a2aia31 ,a2a4f 2，丄a3anan 1利用公式ana1a2a3a4a?a30,n N 可得:an 1an 3 f 1 f 2 f 3 L fn1.Qn例3、已知數(shù)列 an滿足a1 一，an1 an求an.3n 1'練習(xí)1：數(shù)列an中已知a1 1,亠ann Q,求an的通項(xiàng)公式nan 1a

5、n 0，求an的通項(xiàng)公式2 2 練習(xí)2：設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n 1)an 1 na.4、奇偶分析法(1)對于形如an 1 an f n型的遞推公式求通項(xiàng)公式當(dāng)an i an d d為常數(shù) 時(shí)，則數(shù)列為“等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論.例5、數(shù)列an滿足a10,an 1 an 2n,求an的通項(xiàng)公式當(dāng)f n為n的函數(shù)時(shí)，由an 1anf n，anan 1f n 1 兩式相減，得到an+1an 1f n fn 1，分奇偶項(xiàng)來求通項(xiàng)例4、數(shù)列an滿足a11,an 1an 4，求an的通項(xiàng)公式練習(xí)：數(shù)列an滿足a16,an1 an6，求；an的通項(xiàng)公式

6、練習(xí)1：數(shù)列an滿足ai1&1a.n 1，求 耳 的通項(xiàng)公式練習(xí)2 :數(shù)列an滿足a2,an 1 an 3n 1，求an的通項(xiàng)公式（2）對于形如an 1 an f n型的遞推公式求通項(xiàng)公式 當(dāng)an 1 an d d為常數(shù) 時(shí)，則數(shù)列為“等積數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論.an+1 f n 當(dāng)f n為n的函數(shù)時(shí)，由a*1a*f n ,anan1 f n 1兩式相除，得到，分奇偶項(xiàng)an 1f n 1來求通項(xiàng)例6、已知數(shù)列an 滿足 ai 2, an 14，求an的通項(xiàng)公式2，求an的通項(xiàng)公式練習(xí)：已知數(shù)列 耳 滿足a1 -,an 1 an3n例7、已知數(shù)列

7、an滿足ai 3,an i an1-,求an的通項(xiàng)公式2練習(xí)1：數(shù)列an滿足ai2,ani務(wù)3n，求an的通項(xiàng)公式練習(xí)2 :數(shù)列an滿足41,an i an2n，求an的通項(xiàng)公式5、待定系數(shù)法（構(gòu)造法）若給出條件直接求 an較難，可通過整理變形等從中構(gòu)造出一個(gè)等差或等比數(shù)列，從而根據(jù)等差或者等比數(shù)列的定義求出通項(xiàng)常見的有：(1) an 1panqp, q為常數(shù)an 1 t p an t,構(gòu)造an t為等比數(shù)列an 1pantpnt, p為常數(shù)兩邊同時(shí)除以pn 1ann1ant1nIppan 1 pann 1tqt, p,q為常數(shù)兩邊同時(shí)除以pn 1an 1p an.再參考類刑1n 1nqq q

8、an 1panqnr p,q,r是常數(shù)an 1n 1P an nan 2pan1+qanan 2tan 1p an 1 tan ,構(gòu)造等比數(shù)列 an 1 tan例&已知數(shù)列 an中，a11, an 1 2an 3，求an.練習(xí)：已數(shù)列 an中，a1 1且an 1 a. 1,則an2例9、已知數(shù)列an中，ai 3,an 13an 3n 1，求an的通項(xiàng)公式練習(xí)1 ：已知數(shù)列 an中，ai3,an 2a. i 2n，則a.練習(xí)2 :已知數(shù)列an 中，a12,an 1 3an 4 3n,求an的通項(xiàng)公式3n 1例10、已知數(shù)列 an滿足an 1 6an 2 ,印1,求a.練習(xí)1 ：設(shè)數(shù)列an

9、滿足a11,an 13an 2n，則 an練習(xí)2:已知數(shù)列 an中，a1n 1511，求an,an 1an632練習(xí)3 :已知數(shù)列 an n N的滿足:a11 3k, ann 14 3an 1 n 2,krk(1 )判斷數(shù)列an是否成等比數(shù)列;(2)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式例11、數(shù)列an中已知a 1,an i 2an 3n,求a“的通項(xiàng)公式練習(xí)1：數(shù)列an中已知ai 2©1 3a. n 2,求an的通項(xiàng)公式2練習(xí)2:數(shù)列 an中已知ai2,an 1 3an2n n 2,求an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式例 12、已知數(shù)列 an 中，a 5,a2 2,an 2an1+3an2 n 3，求求 a

10、n練習(xí)1 ：已知數(shù)列 an中，a1 1,a22,an+22 1an+i+ an，求求an的通項(xiàng)公式3 練習(xí)2:在數(shù)列an中，ai 1 , a25(1)求證:數(shù)列bn是等比數(shù)列，并求 bn 。求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。32人an 2an 1an，令 bnan 1an 。533 36、利用an與Sn的關(guān)系a1n 1如果給出條件是an與Sn的關(guān)系式，可利用an1求解Sn Sn 1 , n 22例13、已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn n 2n 3，求an的通項(xiàng)公式練習(xí)1 ：已知數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Snn2 n 3，求an的通項(xiàng)公式4n3練習(xí)2:若數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn-an 3,求an的通項(xiàng)公式2練

11、習(xí)3 :已知數(shù)列an前n項(xiàng)和Sn4 an鳥，求an的通項(xiàng)公式2nan的通項(xiàng)公式例14、已知數(shù)列7、倒數(shù)法（1）an 1pan1qanp_ 1q構(gòu)造1是等差數(shù)列qan pan 1panan構(gòu)造是等差數(shù)列panan 1pan1qan t =t 1qqan tan 1panp anpan 滿足 al =1， an 12an3an 2an練習(xí)：已知數(shù)列 an中，a1 3,an 1,則an1 2an例15、已知數(shù)列 an滿足ai=1, an，求an的通項(xiàng)公式3a“ i 4練習(xí)：已知數(shù)列an 中，ai3，an12anan,則anr8、an 1pan p 0, an 0兩邊取對數(shù)lg an 1 Ig p rig an,轉(zhuǎn)化為 an 1pa. q型例16、已知數(shù)列 an中，q2100,an 110 an,求an練習(xí)：已知數(shù)列3an 中，a1 2,an 1 2 a.,求 a.9、其他例17、已數(shù)列an中，ai1, an 1 a. a. 1 a.，則數(shù)列通項(xiàng)a.1例18、在數(shù)列a.中，印=1 , n >2時(shí)，a.、S.、S.成等比數(shù)列2(1 )求a2,a3,a4；(2)求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式例19、已知在等比數(shù)列a.中，a11，且a2是a1和a31的