高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)、易混、易忘題分類(lèi)匯編

1、第 1 頁(yè) 共 48 頁(yè)高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)、易混、易忘題分類(lèi)匯編高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)、易混、易忘題分類(lèi)匯編“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”一直以來(lái)成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去的痛，一直以來(lái)成為制約學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)提高的重要因素，成為學(xué)生揮之不去的痛，如何解決這個(gè)問(wèn)題對(duì)決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)精心挑如何解決這個(gè)問(wèn)題對(duì)決定學(xué)生的高考成敗起著至關(guān)重要的作用。本文結(jié)合筆者的多年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)精心挑選學(xué)生在考試中常見(jiàn)的選學(xué)生在考試中常見(jiàn)的 6666 個(gè)個(gè)易錯(cuò)、易混、易忘典型題目，這些問(wèn)題也是高考中的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，做到力避易錯(cuò)、易混、易忘典型題目，這些

2、問(wèn)題也是高考中的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，做到力避偏、怪、難，進(jìn)行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問(wèn)題在高考中偏、怪、難，進(jìn)行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應(yīng)練習(xí)，一方面讓你明確這樣的問(wèn)題在高考中確實(shí)存在，另一方面通過(guò)作針對(duì)性練習(xí)幫你識(shí)破命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱，以達(dá)到授人以漁的目的，助你在確實(shí)存在，另一方面通過(guò)作針對(duì)性練習(xí)幫你識(shí)破命題者精心設(shè)計(jì)的陷阱，以達(dá)到授人以漁的目的，助你在高考中乘風(fēng)破浪，實(shí)現(xiàn)自已的理想報(bào)負(fù)。高考中乘風(fēng)破浪，實(shí)現(xiàn)自已的理想報(bào)負(fù)?！疽族e(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 1】1】忽視空集是忽視空集是任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。任何非空集合的子集導(dǎo)致思維不全面。例例 1 1

3、、設(shè)設(shè)，若，若，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù) a a 組成的集組成的集2|8150Ax xx|10Bx ax ABB合的子集有多少個(gè)？合的子集有多少個(gè)？【易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題由條件此題由條件易知易知，由于空集是，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極任何非空集合的子集，但在解題中極ABBBA易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的 a a 值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。值產(chǎn)生漏解現(xiàn)象。解析：集合解析：集合 A A 化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得，由，由知知故（故（）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，即方程時(shí)，即方程 3,5A ABBBAB無(wú)解，此時(shí)無(wú)解，此時(shí) a=0a=0 符合已知條件（符合已知條件（）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，即方

4、程時(shí)，即方程的解為的解為 3 3 或或 5 5，代入得，代入得10ax B10ax 或或。綜上滿足條件的。綜上滿足條件的 a a 組成的集合為組成的集合為，故其子集共有，故其子集共有個(gè)。個(gè)。13a 151 10,3 5328【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】 （1）在應(yīng)用條件在應(yīng)用條件 ABABABAB時(shí)，要樹(shù)立起分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，時(shí)，要樹(shù)立起分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，將集合將集合是空集是空集 的情況優(yōu)先進(jìn)行討論的情況優(yōu)先進(jìn)行討論（2 2）在解答集合問(wèn)題時(shí)，要注意集合的性質(zhì)）在解答集合問(wèn)題時(shí)，要注意集合的性質(zhì)“確定性、無(wú)序性、互異性確定性、無(wú)序性、互異性”特別是互異性對(duì)集合元素的限特別是互異性對(duì)集合

5、元素的限制。有時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)果是滿足集合中元素的這個(gè)性質(zhì)，此外，解題過(guò)程中要注意集合語(yǔ)言（數(shù)制。有時(shí)需要進(jìn)行檢驗(yàn)求解的結(jié)果是滿足集合中元素的這個(gè)性質(zhì)，此外，解題過(guò)程中要注意集合語(yǔ)言（數(shù)學(xué)語(yǔ)言）和自然語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化如：學(xué)語(yǔ)言）和自然語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化如：，22,|4Ax yxy，其中，其中, ,若若求求 r r 的取值范圍。將集合所表的取值范圍。將集合所表 222,|34Bx yxyr0r AB達(dá)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言向自然語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化就是：集合達(dá)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言向自然語(yǔ)言進(jìn)行轉(zhuǎn)化就是：集合 A A 表示以原點(diǎn)為圓心以表示以原點(diǎn)為圓心以 2 2 的半徑的圓，集合的半徑的圓，集合 B B 表示以表示以（3 3，

6、4 4）為圓心，以）為圓心，以 r r 為半徑的圓，當(dāng)兩圓無(wú)公共點(diǎn)即兩圓相離或內(nèi)含時(shí)，求半徑為半徑的圓，當(dāng)兩圓無(wú)公共點(diǎn)即兩圓相離或內(nèi)含時(shí)，求半徑 r r 的取值范圍。思維馬的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關(guān)系來(lái)解答。此外如不等式的解集等也要注意集合語(yǔ)言的應(yīng)用。上就可利用兩圓的位置關(guān)系來(lái)解答。此外如不等式的解集等也要注意集合語(yǔ)言的應(yīng)用?！揪毦?1】1】已知集合已知集合、，若，若，2|40Ax xx22|2110Bx xaxa BA則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù) a a 的取值范圍是的取值范圍是 。答案：。答案：或或。1a 1a 【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 2】2】求解函數(shù)值域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。求解函數(shù)值

7、域或單調(diào)區(qū)間易忽視定義域優(yōu)先的原則。例例 2 2、已知、已知, ,求求的取值范圍的取值范圍22214yx 22xy【易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于此題學(xué)生很容易只是利用消元的思路將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x x 的函數(shù)最值求解，但極易忽略的函數(shù)最值求解，但極易忽略x x、y y 滿足滿足這個(gè)條件中的兩個(gè)變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。這個(gè)條件中的兩個(gè)變量的約束關(guān)系而造成定義域范圍的擴(kuò)大。22214yx 解析：由于解析：由于得得(x+2)(x+2)2 2=1-=1-11，-3x-1-3x-1從而從而x2+y2=-3x2-16x-12=22214yx 42y+

8、因此因此當(dāng)當(dāng)x=-1x=-1時(shí)時(shí)x x2 2+y+y2 2有最小值有最小值 1,1, 當(dāng)當(dāng) x=-x=-時(shí)，時(shí)，x x2 2+y+y2 2有最大值有最大值。故。故x x2 2+y+y2 2的取值范圍是的取值范圍是1,1, 32838328 328【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】事實(shí)上我們可以從解析幾何的角度來(lái)理解條件事實(shí)上我們可以從解析幾何的角度來(lái)理解條件對(duì)對(duì) x x、y y 的限制，的限制，22214yx 顯然方程表示以（顯然方程表示以（-2-2，0 0）為中心的橢圓，則易知）為中心的橢圓，則易知-3x-1-3x-1，。此外本題還可通過(guò)三角換元。此外本題還可通過(guò)三角換元22y 轉(zhuǎn)化為三角最值

9、求解。轉(zhuǎn)化為三角最值求解。第 2 頁(yè) 共 48 頁(yè)【練練 2】2】 （0505 高考重慶卷）若動(dòng)點(diǎn)（高考重慶卷）若動(dòng)點(diǎn)（x,yx,y）在曲線）在曲線上變化，則上變化，則的最大值為的最大值為22214xyb0b 22xy（）（）（A A）（B B）（C C）（D D）24 04424bbb b24 02422bbb b244b2b答案：答案：A A【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 3】3】求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。求解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。例例 3 3、是是 R R 上的奇函數(shù)，上的奇函數(shù)， （1 1）求）求 a a 的值（的值（2 2）求的反函數(shù)）求的

10、反函數(shù) 2112xxaf x 1fx【易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)點(diǎn)分析】求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯(cuò)。求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯(cuò)。解析：（解析：（1 1）利用）利用（或（或）求得）求得 a=1.a=1. 0f xfx 00f（2 2）由）由即即，設(shè)，設(shè), ,則則由于由于故故，1a 2121xxf x yf x211xyy 1y 121xyy，而，而所以所以112logyyx 2121xxf x211,121x 1112log11xxfxx 【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】 （1）在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定要通過(guò)確定原函數(shù)的值

11、域即反函數(shù)的定義域在反函）在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定要通過(guò)確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明（若反函數(shù)的定義域?yàn)閿?shù)的解析式后表明（若反函數(shù)的定義域?yàn)?R 可省略）可省略） 。（2）應(yīng)用）應(yīng)用可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和可省略求反函數(shù)的步驟，直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意其自變量和1( )( )fbaf ab函數(shù)值要互換。函數(shù)值要互換。【練練 3】（2004 全國(guó)理）函數(shù)全國(guó)理）函數(shù)的反函數(shù)是（）的反函數(shù)是（） 1 11f xxx A、 B、2221yxxx2221yxxxC、 D、 221yxx x221yxx x答案：答案：B【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 4】

12、4】求反函數(shù)與反函數(shù)值錯(cuò)位求反函數(shù)與反函數(shù)值錯(cuò)位例例 4 4、已知函數(shù)、已知函數(shù)，函數(shù)，函數(shù)的圖像與的圖像與的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線 121xf xx yg x11yfx對(duì)稱(chēng)，則對(duì)稱(chēng)，則的解析式為（）的解析式為（）yx yg xA A、 B B、 C C、 D D、 32xg xx 21xg xx 12xg xx 32g xx【易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)點(diǎn)分析】解答本題時(shí)易由解答本題時(shí)易由與與互為反函數(shù)，而認(rèn)為互為反函數(shù)，而認(rèn)為 yg x11yfx的反函數(shù)是的反函數(shù)是則則= = =而而11yfx1yf x yg x1f x 1213211xxxx錯(cuò)選錯(cuò)選 A A。解析：由解析：由得得從而從而再求再求

13、121xf xx 112xfxx 11121211xxyfxx 的反函數(shù)得的反函數(shù)得。正確答案：。正確答案：B B11yfx 21xg xx【知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)點(diǎn)拔知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)點(diǎn)拔】函數(shù)函數(shù)與函數(shù)與函數(shù)并不互為反函數(shù)，他只是表示并不互為反函數(shù)，他只是表示11yfx1yf x中中 x x 用用 x-1x-1 替代后的反函數(shù)值。這是因?yàn)橛汕蠓春瘮?shù)的過(guò)程來(lái)看：設(shè)替代后的反函數(shù)值。這是因?yàn)橛汕蠓春瘮?shù)的過(guò)程來(lái)看：設(shè)則則 1fx1yf x， 11fyx第 3 頁(yè) 共 48 頁(yè)再將再將 x x、y y 互換即得互換即得的反函數(shù)為的反函數(shù)為，故，故 11xfy1yf x 11yfx的反函數(shù)不是的反函數(shù)不是，因此在今后求

14、解此題問(wèn)題時(shí)一定要謹(jǐn)慎。，因此在今后求解此題問(wèn)題時(shí)一定要謹(jǐn)慎。1yf x11yfx【練練 4】4】 （20042004 高考福建卷）已知函數(shù)高考福建卷）已知函數(shù) y=logy=log2 2x x 的反函數(shù)是的反函數(shù)是 y=fy=f-1-1(x)(x)，則函數(shù)，則函數(shù) y=y= f f-1-1(1-x)(1-x)的圖象是（）的圖象是（）答案：答案：B B【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 5】判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。判斷函數(shù)的奇偶性忽視函數(shù)具有奇偶性的必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。例例 5 5、判斷函數(shù)判斷函數(shù)的奇偶性。的奇偶性。2lg 1( )22xf xx【易錯(cuò)點(diǎn)分析易

15、錯(cuò)點(diǎn)分析】此題常犯的錯(cuò)誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：此題常犯的錯(cuò)誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：從而得出函數(shù)從而得出函數(shù)為非奇非偶函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論。為非奇非偶函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論。 2lg 1()22xfxf xx f x解析：由函數(shù)的解析式知解析：由函數(shù)的解析式知 x x 滿足滿足即函數(shù)的定義域?yàn)榧春瘮?shù)的定義域?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，21022xx 1,00,1在定義域下在定義域下易證易證即函數(shù)為奇函數(shù)即函數(shù)為奇函數(shù)。 2lg 1xf xx fxf x 【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】 （1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷）函數(shù)的定

16、義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域。函數(shù)的奇偶性時(shí)一定要先研究函數(shù)的定義域。（2）函數(shù)）函數(shù)具有奇偶性，則具有奇偶性，則是對(duì)定義域內(nèi)是對(duì)定義域內(nèi) x 的恒等式。常的恒等式。常 f x f xfx或 f xfx 常利用這一點(diǎn)求解函數(shù)中字母參數(shù)的值。常利用這一點(diǎn)求解函數(shù)中字母參數(shù)的值?！揪毦?5】5】判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷下列函數(shù)的奇偶性： 2244f xxx 111xf xxx 1sincos1sincosxxf xxx答案：答案：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)

17、易錯(cuò)點(diǎn) 6】6】易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過(guò)程繁鎖。易忘原函數(shù)和反函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系。從而導(dǎo)致解題過(guò)程繁鎖。例例 6、函數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為的反函數(shù)為，證明，證明是奇函數(shù)且是奇函數(shù)且 2221211log22xxf xxx 或 1fx 1fx在其定義域上是增函數(shù)。在其定義域上是增函數(shù)?！舅季S分析思維分析】可求可求的表達(dá)式，再證明。若注意到的表達(dá)式，再證明。若注意到與與具有相同的單調(diào)性和奇偶性，具有相同的單調(diào)性和奇偶性， 1fx 1fx f x只需研究原函數(shù)只需研究原函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可。的單調(diào)性和奇偶性即可。 f x解析：解析：，故，故為奇函數(shù)從而為奇函數(shù)從

18、而為為212121212121222logloglogxxxxxxfx f x f x 1fx奇函數(shù)。又令奇函數(shù)。又令在在和和上均為增函數(shù)且上均為增函數(shù)且為增函數(shù)，故為增函數(shù)，故21212121xtxx 1,2 1,22logty 在在和和上分別為增函數(shù)。故上分別為增函數(shù)。故分別在分別在和和上分別為增函上分別為增函 f x1,2 1,2 1fx0,0數(shù)。數(shù)。第 4 頁(yè) 共 48 頁(yè)【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】對(duì)于反函數(shù)知識(shí)有如下重要結(jié)論：（對(duì)于反函數(shù)知識(shí)有如下重要結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)。 （2）奇函）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)

19、具有相同的單調(diào)性。數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)且原函數(shù)和反函數(shù)具有相同的單調(diào)性。 （3）定義域?yàn)榉菃卧氐呐己瘮?shù)不存在反函）定義域?yàn)榉菃卧氐呐己瘮?shù)不存在反函數(shù)。數(shù)。 （4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（）周期函數(shù)不存在反函數(shù)（5）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即）原函數(shù)的定義域和值域和反函數(shù)的定義域和值域到換。即 。1( )( )fbaf ab【練練 6】 （1） （99 全國(guó)高考題）已知全國(guó)高考題）已知 ，則如下結(jié)論正確的是（），則如下結(jié)論正確的是（）( )2xxeef xA、 是奇函數(shù)且為增函數(shù)是奇函數(shù)且為增函數(shù) B、 是奇函數(shù)且為減函數(shù)是奇函數(shù)且為減函數(shù) f x f xC、 是偶函數(shù)

20、且為增函數(shù)是偶函數(shù)且為增函數(shù) D、 是偶函數(shù)且為減函數(shù)是偶函數(shù)且為減函數(shù) f x f x答案：答案：A（2） （2005 天津卷）設(shè)天津卷）設(shè)是函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，則使的反函數(shù)，則使成立的成立的 1fx 112xxf xaaa 11fx的取值范圍為（）的取值范圍為（）A A、 B B、 C C、 D D、x21(,)2aa21(,)2aa21(, )2aaa( ,)a 答案：答案：A （時(shí)，時(shí)，單調(diào)增函數(shù)，所以單調(diào)增函數(shù)，所以.）1a f x 21111112afxffxfxfa 【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 7】證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹(shù)立定義域優(yōu)先的原則。證明或判斷函數(shù)的單

21、調(diào)性要從定義出發(fā)，注意步驟的規(guī)范性及樹(shù)立定義域優(yōu)先的原則。例例 7、試判斷函數(shù)、試判斷函數(shù)的單調(diào)性并給出證明。的單調(diào)性并給出證明。 0,0bf xaxabx【易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)點(diǎn)分析】在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義在解答題中證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性必須依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答。特別注意定義中的中的的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是的任意性。以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必是12,xD xD 1212f xf xf xf x12,x x函數(shù)定義域的子集，要樹(shù)立定義域優(yōu)先的意識(shí)。函數(shù)定義域的子集，要樹(shù)立定義域優(yōu)先的意識(shí)。解析：由于解析：由于即函數(shù)即函數(shù)為奇函數(shù)，因此只需判斷函數(shù)為奇函數(shù)

22、，因此只需判斷函數(shù)在在上的單調(diào)上的單調(diào) fxf x f x f x0,性即可。設(shè)性即可。設(shè) ， 由于由于 故當(dāng)故當(dāng)120 xx 12121212ax xbf xf xxxx x120 xx 時(shí)時(shí)，此時(shí)函數(shù)，此時(shí)函數(shù)在在上增函數(shù)，同理可證函數(shù)上增函數(shù)，同理可證函數(shù)12,bx xa 120f xf x f x,ba在在上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)。又由于函數(shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)在為減函數(shù)，在為減函數(shù)，在為為 f x0,ba,0ba,ba 增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)增函數(shù)。綜上所述：函數(shù)在在和和上分別為增函數(shù)，在上分別為增函數(shù)，在和和上上 f x,ba ,ba0,ba,0ba分別為減函

23、數(shù)分別為減函數(shù).【知識(shí)歸類(lèi)點(diǎn)拔知識(shí)歸類(lèi)點(diǎn)拔】 （1 1）函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問(wèn)題中，應(yīng)）函數(shù)的單調(diào)性廣泛應(yīng)用于比較大小、解不等式、求參數(shù)的范圍、最值等問(wèn)題中，應(yīng)引起足夠重視。引起足夠重視。（2 2）單調(diào)性的定義等價(jià)于如下形式：）單調(diào)性的定義等價(jià)于如下形式：在在上是增函數(shù)上是增函數(shù)，在在 f x, a b 12120f xf xxx f x上是減函數(shù)上是減函數(shù)，這表明增減性的幾何意義：增（減）函數(shù)的圖象上任意兩，這表明增減性的幾何意義：增（減）函數(shù)的圖象上任意兩, a b 12120f xf xxx點(diǎn)點(diǎn)連線的斜率都大于（小于）零。連線的斜率都大于（小于）

24、零。 1122,xf xxf x（3 3）是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意本題中是一種重要的函數(shù)模型，要引起重視并注意應(yīng)用。但注意本題中 0,0bf xaxabx不能說(shuō)不能說(shuō)在在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)上為減函數(shù), ,在敘述在敘述 f x,ba ,ba0,ba,0ba函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)不能在多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號(hào)多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間添加符號(hào)“”“”和和“或或”，第 5 頁(yè) 共 48 頁(yè)【練練 7】 （1） （濰坊市統(tǒng)考題）（濰坊市統(tǒng)考題）（1）用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)）用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)在在 10 xf xaxaax f x上的單調(diào)性。上的單

25、調(diào)性。 （2）設(shè)）設(shè)在在的最小值為的最小值為，求，求的解析式。的解析式。0, f x01x g a yg a答案：（答案：（1）函數(shù)在）函數(shù)在為增函數(shù)在為增函數(shù)在為減函數(shù)。為減函數(shù)。 （2）1,a10,a 12101aayg aaa（2） （2001 天津）設(shè)天津）設(shè)且且為為 R 上的偶函數(shù)。上的偶函數(shù)。 （1）求）求 a 的值（的值（2）試判斷函數(shù)在）試判斷函數(shù)在0a xxeaf xae上的單調(diào)性并給出證明。上的單調(diào)性并給出證明。0,答案：（答案：（1）（2）函數(shù)在）函數(shù)在上為增函數(shù)（證明略）上為增函數(shù)（證明略）1a 0,【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 8】在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要

26、條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯(cuò)誤在解題中誤將必要條件作充分條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。結(jié)論。例例 8、 （2004 全國(guó)高考卷）已知函數(shù)全國(guó)高考卷）已知函數(shù)上是減函數(shù)，求上是減函數(shù)，求 a 的取值范圍。的取值范圍。 3231f xaxxx【易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)點(diǎn)分析】是是在在內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過(guò)程內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件，在解題過(guò)程 0,fxxa b f x, a b中易誤作是充要條件，如中易誤作是充要條件，如在在 R 上遞減，但上遞減，但。 3f xx 230fxx 解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)，是減函數(shù)，則是減函數(shù)，則 2

27、361fxaxx 0fx f x故故解得解得。 （2）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)， 23610fxaxxxR 00a 3a 3a 易知此時(shí)函數(shù)也在易知此時(shí)函數(shù)也在 R 上是減函數(shù)。上是減函數(shù)。 （3）當(dāng)）當(dāng)時(shí)，時(shí)， 33218331339f xxxxx 3a 在在 R 上存在一個(gè)區(qū)間在其上有上存在一個(gè)區(qū)間在其上有，所以當(dāng)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)不是減函數(shù)，綜上，所求不是減函數(shù)，綜上，所求 a 0fx3a f x的取值范圍是的取值范圍是。, 3 【知識(shí)歸類(lèi)點(diǎn)拔知識(shí)歸類(lèi)點(diǎn)拔】若函數(shù)若函數(shù)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來(lái)說(shuō)明：可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系現(xiàn)以增函數(shù)為例來(lái)說(shuō)明： f x與與為增函

28、數(shù)的關(guān)系為增函數(shù)的關(guān)系:能推出能推出為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù)0)( xf)(xf0)( xf)(xf在在上單調(diào)遞增，但上單調(diào)遞增，但，是是為增函數(shù)的充分不必要為增函數(shù)的充分不必要3)(xxf),(0)( xf0)( xf)(xf條件。條件。時(shí)，時(shí)，與與為增函數(shù)的關(guān)系為增函數(shù)的關(guān)系:若將若將的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)榈母鳛榉纸琰c(diǎn)，因?yàn)?)( xf0)( xf)(xf0)( xf規(guī)定規(guī)定，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí)為增函數(shù)，就一定有為增函數(shù)，就一定有。當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，0)( xf)(xf0)( xf0)( xf是是為增函數(shù)的充分必要條件。為增函數(shù)的充分必

29、要條件。與與為增函數(shù)的關(guān)系為增函數(shù)的關(guān)系:為增函數(shù)，為增函數(shù)，0)( xf)(xf0)( xf)(xf)(xf一定可以推出一定可以推出，但反之不一定，因?yàn)?，但反之不一定，因?yàn)?，即為，即為或或。?dāng)函數(shù)。當(dāng)函數(shù)0)( xf0)( xf0)( xf0)( xf在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有，則，則為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。是是為增函數(shù)為增函數(shù)0)( xf)(xf0)( xf)(xf的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系

30、，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問(wèn)題，都一律用開(kāi)區(qū)間作為上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問(wèn)題，都一律用開(kāi)區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問(wèn)題，也簡(jiǎn)化了問(wèn)題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問(wèn)題，要謹(jǐn)慎處理。單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問(wèn)題，也簡(jiǎn)化了問(wèn)題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會(huì)遇到端點(diǎn)的討論問(wèn)題，要謹(jǐn)慎處理。因此本題在第一步后再對(duì)因此本題在第一步后再對(duì)和和進(jìn)行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分進(jìn)行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分3a 3a 條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯(cuò)誤還很多，這需要同學(xué)們?cè)?/p>

31、學(xué)習(xí)過(guò)程中注意條件或?qū)⒓炔怀浞峙c不必要條件誤作充要條件使用而導(dǎo)致的錯(cuò)誤還很多，這需要同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中注意思維的嚴(yán)密性。思維的嚴(yán)密性。【練練 8】 （1） （2003 新課程）函數(shù)新課程）函數(shù)是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）是是單調(diào)函數(shù)的充要條件是（）2yxbxc0,xA、 B、 C、 D、0b 0b 0b 0b 答案：答案：A（2）是否存在這樣的）是否存在這樣的 K 值，使函數(shù)值，使函數(shù)在在上遞減，在上遞減，在 243221232f xk xxkxx1,2第 6 頁(yè) 共 48 頁(yè)上遞增？上遞增？2,答案：答案：。 （提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知（提示據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的連續(xù)性知，但，但是函數(shù)在是函數(shù)

32、在上遞減，上遞減，12k 20f 20f 1,2在在上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由求出求出 K 值后要檢驗(yàn)。值后要檢驗(yàn)。 ）2, 20f 【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 9】應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號(hào)時(shí)的變量應(yīng)用重要不等式確定最值時(shí)，忽視應(yīng)用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號(hào)時(shí)的變量值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。值是否在定義域限制范圍之內(nèi)。例例 9、 已知：已知：a0a0 , , b0b0 , , a+b=1,a+b=1,求求(a+(a+) )2 2+(b+(b+) )2 2的最小值的最小值。a1b1錯(cuò)解錯(cuò)解 :

33、(a+:(a+) )2 2+(b+(b+) )2 2=a=a2 2+b+b2 2+ + +42ab+42ab+44+44+4=8(a+4=8(a+) )2 2+(b+(b+) )2 2的最的最a1b121a21bab2abab1a1b1小值是小值是 8 8【易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)點(diǎn)分析】 上面的解答中，兩次用到了基本不等式上面的解答中，兩次用到了基本不等式 a a2 2+b+b2 22ab2ab，第一次等號(hào)成立的條件是，第一次等號(hào)成立的條件是 a=b=a=b=, ,21第二次等號(hào)成立的條件第二次等號(hào)成立的條件 ab=ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此

34、，8 8 不是最小值。不是最小值。ab1解析：原式解析：原式= = a a2 2+b+b2 2+ + +4=(+4=( a a2 2+b+b2 2)+()+(+ +)+4=(a+b)+4=(a+b)2 2-2ab+-2ab+ (+ +) )2 2- -+4+4 =(1-2ab)=(1-2ab)21a21b21a21ba1b1ab2(1+(1+)+4)+4 由由 ab(ab() )2 2= = 得：得：1-2ab1-1-2ab1-= =, ,且且1616，1+1+1717原式原式221ba2ba 412121221ba221ba17+4=17+4= ( (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) a=b=a=b=時(shí)，等

35、號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立)(a+)(a+) )2 2+(b+(b+) )2 2的最小值是的最小值是。2122521a1b1225【知識(shí)歸類(lèi)點(diǎn)拔知識(shí)歸類(lèi)點(diǎn)拔】在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可即在應(yīng)用重要不等式求解最值時(shí)，要注意它的三個(gè)前提條件缺一不可即“一正、二定、三一正、二定、三相等相等” ，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號(hào)成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)。，在解題中容易忽略驗(yàn)證取提最值時(shí)的使等號(hào)成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內(nèi)。【練練 9】9】 （9797 全國(guó)卷文全國(guó)卷文 2222 理理 2222）甲、乙兩地相距）甲、乙兩地相距 s s kmkm ,

36、, 汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)汽車(chē)從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò) c c km/hkm/h , ,已知汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度已知汽車(chē)每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v v（km/hkm/h）的平方成正比，比例系數(shù)為）的平方成正比，比例系數(shù)為 b;b;固定部分為固定部分為 a a 元。元。（1 1）把全程運(yùn)輸成本把全程運(yùn)輸成本 y y（元）表示為速度（元）表示為速度 v v（km/hkm/h）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；（2 2）為了使全程運(yùn)輸成本最小，

37、汽車(chē)應(yīng)以多大速度行駛？為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車(chē)應(yīng)以多大速度行駛？答案為答案為: :（1 1）（2 2）使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)）使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)cc 時(shí)，行駛速度時(shí)，行駛速度 v=v=20sybvavcvba；當(dāng)；當(dāng)c c 時(shí)，行駛速度時(shí)，行駛速度 v=v=c c。baba【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 10】10】在涉及指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討論的意識(shí)和易忽略對(duì)數(shù)在涉及指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)問(wèn)題時(shí)，沒(méi)有根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討論的意識(shí)和易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)的限制條件。函數(shù)的真數(shù)的限制條件。例例 1010、是否存在實(shí)數(shù)、是否存在實(shí)數(shù) a a 使函數(shù)使函數(shù)在在上是增函數(shù)？若存在求出

38、上是增函數(shù)？若存在求出 a a 的值，若不存在，的值，若不存在， 2logaxxaf x2,4說(shuō)明理由。說(shuō)明理由?！疽族e(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)點(diǎn)分析】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過(guò)程中易忽略對(duì)數(shù)本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，在解題過(guò)程中易忽略對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)限制條件而導(dǎo)致函數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)限制條件而導(dǎo)致 a a 的范圍擴(kuò)大。的范圍擴(kuò)大。解析：函數(shù)解析：函數(shù)是由是由和和復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方復(fù)合而成的，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方 f x 2xaxx logxay法（法（1 1）當(dāng)）當(dāng) a1a1 時(shí)，若使時(shí)，若使在在上是

39、增函數(shù)，則上是增函數(shù)，則在在上是增函上是增函 2logaxxaf x2,4 2xaxx2,4數(shù)且大于零。故有數(shù)且大于零。故有解得解得 a1a1。 （2 2）當(dāng)）當(dāng) a1a1a1 使得函數(shù)使得函數(shù)在在上是增函數(shù)上是增函數(shù) 2logaxxaf x2,4【知識(shí)歸類(lèi)點(diǎn)拔知識(shí)歸類(lèi)點(diǎn)拔】要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，二要熟練掌握常用初等函數(shù)的單調(diào)性如：一次函數(shù)的單調(diào)性取決于一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，二次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)及對(duì)稱(chēng)軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于其底數(shù)的次函數(shù)的單調(diào)性決定于二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)及對(duì)稱(chēng)軸的位置，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決

40、定于其底數(shù)的范圍（大于范圍（大于 1 還是小于還是小于 1） ，特別在解決涉及指、對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，特別在解決涉及指、對(duì)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想（對(duì)數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制）（對(duì)數(shù)型函數(shù)還要注意定義域的限制） 。【練練 10】 （1） （黃崗三月統(tǒng)考變式題）設(shè)（黃崗三月統(tǒng)考變式題）設(shè)，且，且試求函數(shù)試求函數(shù)的的單調(diào)區(qū)間。的的單調(diào)區(qū)間。0a 1a 2log 43ayxx答案：當(dāng)答案：當(dāng)，函數(shù)在，函數(shù)在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞增當(dāng)上單調(diào)遞增當(dāng)函數(shù)在函數(shù)在上單上單01a31,23,421a 31,2調(diào)遞增在調(diào)遞增在上單調(diào)遞減。上單調(diào)遞

41、減。3,42（2） （2005 高考天津）若函數(shù)高考天津）若函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則內(nèi)單調(diào)遞增，則 3log0,1af xxaxaa1(,0)2的取值范圍是（）的取值范圍是（）A、 B、 C、 D、a1 ,1)43 ,1)49( ,)49(1, )4答案：答案：B. .（記（記，則，則當(dāng)當(dāng)時(shí)，要使得時(shí)，要使得是增函數(shù)，則需有是增函數(shù)，則需有 3g xxax 23gxxa1a f x恒成立，所以恒成立，所以. .矛盾矛盾. .排除排除 C C、D D 當(dāng)當(dāng)時(shí)，要使時(shí)，要使是函數(shù)，則需有是函數(shù)，則需有 0gx 213324a01a f x恒成立，所以恒成立，所以. .排除排除 A A） 0g

42、x 213324a【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 11】11】 用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性用換元法解題時(shí)，易忽略換元前后的等價(jià)性例例 1111、已知、已知求求的最大值的最大值1sinsin3xy2sincosyx【易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題學(xué)生都能通過(guò)條件此題學(xué)生都能通過(guò)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，進(jìn)而利用換的函數(shù)，進(jìn)而利用換1sinsin3xysin x元的思想令元的思想令將問(wèn)題變?yōu)殛P(guān)于將問(wèn)題變?yōu)殛P(guān)于 t t 的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價(jià)性而造成的二次函數(shù)最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價(jià)性而造成sintx錯(cuò)解，錯(cuò)解，解析：由已知條件有解析：由已知條件有且

43、且（結(jié)合（結(jié)合）得）得1sinsin3yx1sinsin1,13yx sin1,1x ，而，而= = =令令2sin13x2sincosyx1sin3x2cos x22sinsin3xx則原式則原式= =根據(jù)二次函數(shù)配方得：當(dāng)根據(jù)二次函數(shù)配方得：當(dāng)即即2sin13txt222133ttt 23t 時(shí)，原式取得最大值時(shí)，原式取得最大值。2sin3x 49【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】“】“知識(shí)知識(shí)”是基礎(chǔ)，是基礎(chǔ)，“方法方法”是手段，是手段，“思想思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的

44、認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力能力”，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一，解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱(chēng)輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，變

45、得容易處理。換元法又稱(chēng)輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)?；蛘咦?yōu)槭煜さ淖兞?，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。形式，把復(fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化?！揪毦?11】11】 （1 1） （高考變式題）設(shè)（高考變式題）設(shè)a0a0，000000 求求f(x)f(x)2a(sinx2a(sinxcosx)cosx)sinxcosxsinxcosx2a2a的最大值的最大值2和最小值。和最小值。答案：答案：f(x)f(x)的最小值為的最小值為2a2a 2

46、2a a，最大值為，最大值為22121202222 212222()()aaaa第 8 頁(yè) 共 48 頁(yè)（2 2）不等式）不等式axax的解集是的解集是(4,b)(4,b)，則則a a_，b b_。x32答案：答案：（提示令換元（提示令換元原不等式變?yōu)殛P(guān)于原不等式變?yōu)殛P(guān)于 t t 的一元二次不等式的解集為的一元二次不等式的解集為）1,368abxt2, b【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 12】已知已知求求時(shí)時(shí), , 易忽略易忽略 n n的情況的情況nSna例例 12、 （2005 高考北京卷）數(shù)列高考北京卷）數(shù)列前前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和且且。 （1）求）求的值及數(shù)的值及數(shù) nans1111,3nnaas234,a

47、a a列列的通項(xiàng)公式。的通項(xiàng)公式。 na【易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在應(yīng)用此題在應(yīng)用與與的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為的關(guān)系時(shí)誤認(rèn)為對(duì)于任意對(duì)于任意 n 值都成立，忽略了對(duì)值都成立，忽略了對(duì) n=1nsna1nnnass的情況的驗(yàn)證。易得出數(shù)列的情況的驗(yàn)證。易得出數(shù)列為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。為等比數(shù)列的錯(cuò)誤結(jié)論。 na解析：易求得解析：易求得。由。由得得故故2341416,3927aaa1111,3nnaas1123nnasn得得又又，故該數(shù)列從故該數(shù)列從111112333nnnnnaassan1423nnaan11a 213a 第二項(xiàng)開(kāi)始為等比數(shù)列故第二項(xiàng)開(kāi)始為等比數(shù)列故。2111 423 3nnnan 【知

48、識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列與與之間有如下關(guān)系：之間有如下關(guān)系：利用兩者之間的關(guān)系利用兩者之間的關(guān)系nans1112nnnsnassn可以已知可以已知求求。但注意只有在當(dāng)。但注意只有在當(dāng)適合適合時(shí)兩者才可以合并否則要寫(xiě)分段函時(shí)兩者才可以合并否則要寫(xiě)分段函nsna1a12nnnassn數(shù)的形式。數(shù)的形式。【練練 12】 （2004 全國(guó)理）已知數(shù)列全國(guó)理）已知數(shù)列滿足滿足 na則數(shù)列則數(shù)列的通項(xiàng)為的通項(xiàng)為 。112311,2312nnaaaaanan na答案：（將條件右端視為數(shù)列答案：（將條件右端視為數(shù)列的前的前 n-1 項(xiàng)和利用公式法解答即可）項(xiàng)和利用公式法解答即可）nna1

49、1!22nnann【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 13】13】利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前 n n 項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集（從子集（從 1 1 開(kāi)始）開(kāi)始）例例 1313、等差數(shù)列、等差數(shù)列的首項(xiàng)的首項(xiàng)，前，前 n n 項(xiàng)和項(xiàng)和，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，。問(wèn)。問(wèn) n n 為何值時(shí)為何值時(shí)最大最大? ? na10a nslmmlssns【易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)點(diǎn)分析】等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前 n n 項(xiàng)和是關(guān)于項(xiàng)和是關(guān)于 n n 的二次函數(shù)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于的二次函數(shù)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于 n n 的二次函數(shù)的最大的

50、二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。解析：由題意知解析：由題意知= =此函數(shù)是以此函數(shù)是以 n n 為變量的二次函為變量的二次函ns 2111222n nddf nnadnan數(shù)，因?yàn)閿?shù)，因?yàn)?，?dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，故故即此二次函數(shù)開(kāi)口向下，故由即此二次函數(shù)開(kāi)口向下，故由得當(dāng)?shù)卯?dāng)10a lmmlss0d f lf m時(shí)時(shí)取得最大值，但由于取得最大值，但由于，故若，故若為偶數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，最大。最大。2lmx f xnNlm2lmnns當(dāng)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)時(shí)時(shí)最大。最大。lm12lmnns【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)

51、拔知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】數(shù)列的通項(xiàng)公式及前數(shù)列的通項(xiàng)公式及前 n n 項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集（從項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集（從 1 1 開(kāi)始）上開(kāi)始）上的函數(shù)，因此在解題過(guò)程中要樹(shù)立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題。特別的等差數(shù)列的前的函數(shù)，因此在解題過(guò)程中要樹(shù)立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題。特別的等差數(shù)列的前 n n 項(xiàng)和公項(xiàng)和公式是關(guān)于式是關(guān)于 n n 的二次函數(shù)且沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，反之滿足形如的二次函數(shù)且沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，反之滿足形如所對(duì)應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的所對(duì)應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的2nsanbn第 9 頁(yè) 共 48 頁(yè)前前 n n 項(xiàng)和。此時(shí)由項(xiàng)和。此時(shí)

52、由知數(shù)列中的點(diǎn)知數(shù)列中的點(diǎn)是同一直線上，這也是一個(gè)很重要的結(jié)論。此外是同一直線上，這也是一個(gè)很重要的結(jié)論。此外nsanbn,nsnn形如前形如前 n n 項(xiàng)和項(xiàng)和所對(duì)應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前所對(duì)應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前 n n 項(xiàng)和。項(xiàng)和。nnscac【練練 13】13】 （20012001 全國(guó)高考題）設(shè)全國(guó)高考題）設(shè)是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，是前是前 n n 項(xiàng)和，且項(xiàng)和，且，則下，則下 nans56ss678sss列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A A、B B、C C、 D D、和和均為均為的最大值。的最大值。0d 70a 95ss6s7sns答案：答案：C C（提示利用二次函數(shù)的

53、知識(shí)得等差數(shù)列前（提示利用二次函數(shù)的知識(shí)得等差數(shù)列前 n n 項(xiàng)和關(guān)于項(xiàng)和關(guān)于 n n 的二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸再結(jié)合單調(diào)性解答）的二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸再結(jié)合單調(diào)性解答）【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 14】14】解答數(shù)列問(wèn)題時(shí)沒(méi)有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過(guò)程繁瑣。解答數(shù)列問(wèn)題時(shí)沒(méi)有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過(guò)程繁瑣。例例 1414、已知關(guān)于的方程、已知關(guān)于的方程和和的四個(gè)根組成首項(xiàng)為的四個(gè)根組成首項(xiàng)為的等差數(shù)列，求的等差數(shù)列，求230 xxa230 xxb34的值。的值。ab【思維分析思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是

54、如注意到兩方程的兩根之和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是如何排列的。何排列的。解析：不妨設(shè)解析：不妨設(shè)是方程是方程的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數(shù)列的性質(zhì)知方程34230 xxa的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程的兩根是等差數(shù)列的中間的兩根是等差數(shù)列的中間230 xxa230 xxb兩項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列知識(shí)易知此等差數(shù)列為：兩項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列知識(shí)易知此等差數(shù)列為：故故從而從而= =。3 5 7 9,4 4, 4 42735,1616abab318【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)

55、拔】等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列的性等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識(shí)的一個(gè)重要方面，有解題中充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對(duì)于質(zhì)往往起到事半功倍的效果。例如對(duì)于等差等差數(shù)列數(shù)列，若，若，則，則； naqpmnqpmnaaaa對(duì)于對(duì)于等比等比數(shù)列數(shù)列，若，若，則，則；若數(shù)列；若數(shù)列是等是等比比數(shù)列，數(shù)列，是其前是其前 n navumnvumnaaaa nanS項(xiàng)的和，項(xiàng)的和，那么，那么，成等成等比比數(shù)列；若數(shù)列數(shù)列；若數(shù)列是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，是其前是其前*Nk kSkkSS2kkSS23 nanSn 項(xiàng)的和，項(xiàng)的和，那么，那么，成等

56、差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用。成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用。*Nk kSkkSS2kkSS23【練練 14】 （2003 全國(guó)理天津理）已知方程全國(guó)理天津理）已知方程和和的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)220 xxm220 xxn為為的等差數(shù)列，則的等差數(shù)列，則=（）（） A、1 B、 C、 D、14mn341238答案：答案：C【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 15】用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比的情況用等比數(shù)列求和公式求和時(shí)，易忽略公比的情況例例 1515、數(shù)列、數(shù)列中，中，數(shù)列，數(shù)列是公比為是公比為（）的等比數(shù)列。）的等比數(shù)列。na11a22a1nnaaq0q（I I）求使）求使成立的成

57、立的的取值范圍；（的取值范圍；（IIII）求數(shù)列）求數(shù)列的前的前項(xiàng)的和項(xiàng)的和32211nnnnnnaaaaaaqnan2nS2【易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)點(diǎn)分析】對(duì)于等比數(shù)列的前對(duì)于等比數(shù)列的前 n n 項(xiàng)和易忽略公比項(xiàng)和易忽略公比 q=1q=1 的特殊情況，造成概念性錯(cuò)誤。再者學(xué)生沒(méi)有從的特殊情況，造成概念性錯(cuò)誤。再者學(xué)生沒(méi)有從定義出發(fā)研究條件數(shù)列定義出發(fā)研究條件數(shù)列是公比為是公比為（）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)）的等比數(shù)列得到數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)1nnaaq0q列而找不到解題突破口。使思維受阻。列而找不到解題突破口。使思維受阻。解：（解：（I I）數(shù)列數(shù)列是公比為是公比為的等比數(shù)列

58、，的等比數(shù)列，1nnaaqqaaaannnn121，由，由得得2132qaaaannnn32211nnnnnnaaaaaa，即，即（） ，解得，解得221111qqqaaqaaaannnnnn012 qq0q2510 q（IIII）由數(shù)列）由數(shù)列是公比為是公比為的等比數(shù)列，得的等比數(shù)列，得，這表明數(shù)列，這表明數(shù)列1nnaaqqaaqaaaannnnnn2121的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是的所有奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比都是，又，又，當(dāng)當(dāng)naq11a22a時(shí)，時(shí)，1qnS2nnaaaaaa2124321第 10 頁(yè) 共 48 頁(yè))()(264232

59、1nnaaaaaaaa，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，qqqqaqqannn1)1 (31)1 (1)1 (211qnS2nnaaaaaa2124321)()(2642321nnaaaaaaaan3)2222() 1111 (【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】本題中拆成的兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，其中本題中拆成的兩個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，其中是解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列是解題的關(guān)鍵，這種給出數(shù)列qaann2的形式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列，的形式值得關(guān)注。另外，不要以為奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)都成等比數(shù)列，且公比相等，就是整個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列，解題時(shí)要慎重，寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)

60、進(jìn)行觀察就得出正確結(jié)論解題時(shí)要慎重，寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行觀察就得出正確結(jié)論. .對(duì)等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為對(duì)等比數(shù)列的求和一定要注意其公比為 1 1 這這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計(jì)陷阱使考生產(chǎn)生對(duì)現(xiàn)而不全的錯(cuò)誤。種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設(shè)計(jì)陷阱使考生產(chǎn)生對(duì)現(xiàn)而不全的錯(cuò)誤?！揪毦?15】15】 （20052005 高考全國(guó)卷一第一問(wèn)）設(shè)等比數(shù)列高考全國(guó)卷一第一問(wèn)）設(shè)等比數(shù)列的公比為的公比為 q q，前，前 n n 項(xiàng)和項(xiàng)和（1 1）求）求 q q 的取值的取值 na0ns 范圍。范圍。答案：答案： 1,00,【易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn) 16】16】在數(shù)列求和中對(duì)求一等差數(shù)列