數(shù)學(xué)建模——最優(yōu)捕魚(yú)模型

1、精品最優(yōu)捕魚(yú)模型一.問(wèn)題的重述捕魚(yú)業(yè)在當(dāng)今社會(huì)中十分重要的行業(yè)，捕魚(yú)量的大小決定著捕魚(yú)的經(jīng)濟(jì)效益，其中捕魚(yú)量與捕魚(yú)時(shí)間有著密切關(guān)聯(lián). 所以如何利用數(shù)學(xué)模型了解捕魚(yú)量與捕魚(yú)時(shí)間之間的關(guān)系，是一個(gè)具有現(xiàn)實(shí)意義的問(wèn)題.現(xiàn)假設(shè)在一個(gè)魚(yú)塘中投放若干魚(yú)苗，魚(yú)苗尾數(shù)隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而減少，且相對(duì)減少率為常數(shù)；每尾魚(yú)的重量隨著時(shí)間增長(zhǎng)而增加，且由于喂養(yǎng)引起的每尾魚(yú)重量增加率與魚(yú)的表面積成正比， 由于消耗引起的減少率與其重量本身成正比. 分析如下問(wèn)題：?jiǎn)栴}一：建立尾數(shù)和時(shí)間的微分方程并求解；問(wèn)題二：建立每尾魚(yú)重量和時(shí)間的微分方程并求解；問(wèn)題三：用控制網(wǎng)眼的方法不捕小魚(yú)，從一定時(shí)刻開(kāi)始捕撈，用尾數(shù)的相對(duì)減少率表示捕

2、撈能力，分析開(kāi)始捕魚(yú)的最佳時(shí)刻，使得捕獲量最大，并建立相關(guān)模型 .二.問(wèn)題分析1.針對(duì)問(wèn)題一，根據(jù)相對(duì)減少率的數(shù)學(xué)定義，可以建立魚(yú)尾數(shù)和時(shí)間的微分方程；2.針對(duì)問(wèn)題二， 將魚(yú)體假設(shè)為球體， 得出魚(yú)的表面積與它重量的關(guān)系，使得魚(yú)的重量完全成為一個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，進(jìn)一步建立出魚(yú)重量與時(shí)間的微分方程；3.針對(duì)問(wèn)題三， 將捕撈行為看作連續(xù)的過(guò)程，瞬時(shí)捕撈量與瞬時(shí)捕魚(yú)尾數(shù)、每尾魚(yú)瞬時(shí)重量呈正相關(guān)關(guān)系，瞬時(shí)捕魚(yú)尾數(shù)與捕撈能力有關(guān)，每尾魚(yú)瞬時(shí)重量可由對(duì)問(wèn)題二的解答得出，總捕撈量即為瞬時(shí)捕撈量關(guān)于時(shí)間的積分.感謝下載載精品三.基本假設(shè)1 假設(shè)自然因素不會(huì)對(duì)魚(yú)的尾數(shù)產(chǎn)生影響；2 假設(shè)在整個(gè)捕撈過(guò)程中魚(yú)沒(méi)有繁衍行

3、為；3 假設(shè)每尾魚(yú)都均衡生長(zhǎng)；4 假設(shè)在捕撈過(guò)程中魚(yú)的條數(shù)連續(xù)；5 假設(shè)魚(yú)為球體 .四符號(hào)表示n0魚(yú)塘中最初投放的魚(yú)苗數(shù)量tnrVS時(shí)間魚(yú)塘內(nèi)魚(yú)苗尾數(shù)與時(shí)間的函數(shù)魚(yú)苗尾數(shù)的相對(duì)減少率每尾魚(yú)體積每尾魚(yú)表面積G每尾魚(yú)重量G0每尾魚(yú)初始重量每尾魚(yú)重量密度n(t )t 時(shí)刻魚(yú)塘內(nèi)魚(yú)苗尾數(shù)k2每尾魚(yú)重量減少率與其重量本身比例系數(shù)k1每尾魚(yú)重量增加率與魚(yú)表面積比例系數(shù)T能獲得最大捕撈量的初始時(shí)間E捕撈能力W總捕撈量感謝下載載精品五模型建立與求解模型一 . 魚(yú)苗尾數(shù)的相對(duì)減少率為常數(shù)r .n( t t )n( t )由相對(duì)減少率的定義得rn (t )tn( t t )n( t )rn (t )即 limtl

4、imt 0t 0即 dn rn(t ) dt解得 nn0 e rt模型二 . 假設(shè)魚(yú)為球體，體積為 V ，表面積為 S ，半徑為 R ，重量為 G ，初始重量為 G0 ，魚(yú)的密度為;且每尾魚(yú)的重量隨著時(shí)間增長(zhǎng)而增加，其中由于喂養(yǎng)引起的每尾魚(yú)重量增加率與魚(yú)表面積成正比（比例系數(shù)為k1 ），由于消耗引起的減少率與其重量本身成正比（比例系數(shù)為k2 ）.由V4R3，S=4R2，GV 得322343G 3S令 b=3 423又由于 dG =k1S-k2G , t =0 ， GG0dt所以 Gk1b +3 G0 - k1be323t-1 kk2k2模型三 . 控制網(wǎng)眼不捕小魚(yú)， 魚(yú)塘中瞬時(shí)魚(yú)尾數(shù)用n(t)

5、 表示，捕撈能力（ E ）可以感謝下載載精品用尾數(shù)的相對(duì)減少率1 dn 表示，從 T 時(shí)刻開(kāi)始捕撈，使得捕撈量W 能夠最大 .n dt其中減少量包括自然減少量（即第一模型中的減少量）和捕撈量.此時(shí)， n(t) =n0e-at -En(t)E =-1 dn1d (n0e-at )=-n0e-at=an dtdt所以， WEn(t) dt=an0e-atdt=an0e-aTTT1+a(1+a)a則，在此模型下，捕撈時(shí)間越早，捕撈量越大.模型四 . 建立在模型三的基礎(chǔ)上， 捕撈量的大小不僅取決于魚(yú)尾數(shù)n(t) ，還取決于魚(yú)的重量 G .即 WEn(t)GdtTan0e-atk1b +3 G0 - k1b13所以， WEn(