高中數(shù)學知識點總結大全(最新版復習資料,經典,全面)

1、精品文檔文檔 精品文檔 高中數(shù)學知識點總結 引言 1. 課程內容： 必修課程 由 5 個模塊組成： 必修 1：集合、函數(shù)概念與根本初等函數(shù)指、對、冪函數(shù) 必修 2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。 必修 3：算法初步、統(tǒng)計、概率。 必修 4：根本初等函數(shù)三角函數(shù)、平面向量、三角恒等變換。 必修 5：解三角形、數(shù)列、不等式。 以上是每一個高中學生所必須學習的。 上述內容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學根底知識和根本技能的主要局部，其中包括集合、函數(shù)、 數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何初步、 平面解析幾何初步等。 不同的是在保證打好根底的同時，進一步強調了這些知識的發(fā)生、開展過程和實際應用，而不在技巧與難

2、度上做過高的要求。 此外，根底內容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計等內容。 選修課程 有 4 個系列： 系列 1：由 2 個模塊組成。 選修 11：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數(shù)及其應用。 選修 12：統(tǒng)計案例、推理與證明、數(shù)系的擴大與復數(shù)、框圖 系列 2：由 3 個模塊組成。 選修 21：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、 空間向量與立體幾何。 選修 22：導數(shù)及其應用，推理與證明、數(shù)系的擴大與復數(shù) 精品文檔文檔 精品文檔 選修 23：計數(shù)原理、隨機變量及其分布列，統(tǒng)計案例。 系列 3：由 6 個專題組成。 選修 31：數(shù)學史選講。 選修 32：信息平安與密碼。 選修 33：球面上的幾何。 選

3、修 34：對稱與群。 選修 35：歐拉公式與閉曲面分類。 選修 36：三等分角與數(shù)域擴大。 系列 4：由 10 個專題組成。 選修 41：幾何證明選講。 選修 42：矩陣與變換。 選修 43：數(shù)列與差分。 選修 44：坐標系與參數(shù)方程。 選修 45：不等式選講。 選修 46：初等數(shù)論初步。 選修 47：優(yōu)選法與試驗設計初步。 選修 48：統(tǒng)籌法與圖論初步。 選修 49：風險與決策。 選修 410：開關電路與布爾代數(shù)。 2重難點及考點： 重點：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導數(shù) 難點：函數(shù)、圓錐曲線 高考相關考點： 集合與簡易邏輯 : 集合的概念與運算、簡易邏輯、充要條件函

4、數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質、函數(shù)圖象、指數(shù)與 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應用數(shù)列：數(shù)列的有關概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應用 第-2-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 三角函數(shù)：有關概念、同角關系與誘導公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡、證明、三角函 數(shù)的圖象與性質、三角函數(shù)的應用 平面向量：有關概念與初等運算、坐標運算、數(shù)量積及其應用 不等式：概念與性質、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對值不等式、不等式的應 用 直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位臵關系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位臵關系 圓錐曲線方程：橢圓、雙

5、曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位臵關系、軌跡問題、圓錐曲線的應 用 直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量 排列、組合和概率：排列、組合應用題、二項式定理及其應用 概率與統(tǒng)計：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布 導數(shù)：導數(shù)的概念、求導、導數(shù)的應用 復數(shù)：復數(shù)的概念與運算 高中數(shù)學必修 1 知識點 第一章 集合與函數(shù)概念 1.1 集合 第-3-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 1.1.1 集合的含義與表示 1 集合的概念 集合中的元素具有確定性、互異性和無序性. 2 常用數(shù)集及其記法 N 表示自然數(shù)集， N 或 N 表示正整數(shù)集，Z 表示

6、整數(shù)集， Q 表示有理數(shù)集， R 表示實數(shù)集. 3 集合與元素間的關系 對象 a 與集合 M 的關系是 a M ，或者 a M ，兩者必居其一. （ 4集合的表示法 自然語言法：用文字表達的形式來描述集合. 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合. 描述法： x | x 具有的性質 ，其中 x 為集合的代表元素. 圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合. 5集合的分類 含有有限個元素的集合叫做有限集. 含有無限個元素的集合叫做無限集. 不含有任何元素的集合叫做 空集(). 1.1.2 集合間的根本關系 6子集、真子集、集合相等 第-4-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 名稱

7、記號意義性質示意圖 (1)AA A B 子集或 BA) A 中的任一元素都 (2) A A(B) BA 屬于 B (3) 假設 A B 且 B C，那么 A C 或 (4)假設 AB 且 B A，那么 AB A B 真子集或 B A 集合 A B 相等 A B，且 B 中至少有一元素不屬于 A A 中的任一元素都屬于 B， B 中的任一元素都屬于 A 1AA 為非空子集 (2)假設 A B 且 B C，那么 A C BA (1)AB A(B) (2)BA 7集合 A 有 n(n 1) 個元素， 那么它有 2n個子集， 它有 2n 1 個真子集， 它有 2n 1 個非空子集， 它有 2n2 非空

8、真子集 . 1.1.3 集合的根本運算 8 交集、并集、補集 名稱記號意義性質示意圖 第-5-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 1AAA A B x | x A,且 2A 交集 AB x B 3A B A A B B 1A A A A B x | x A,或 2A A 并集 x B A B 3A B A A B B x | x U , 且 x A U B) ( UA) (?U B) 1 A (eUA) 痧( A 補集 U e A U B) ( U A) U 痧(A (? B) 2 A (eU A) U 補充知識含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法 1 含絕對值的不等式的解法 不等式

9、解集 | x | a( a 0) x | a x a | x | a( a 0) x | xa 或 x a 把 ax b 看成一個整體，化成| x | a ， | ax b | c,| ax b | c(c 0) 精品文檔文檔 精品文檔 | x | a(a 0) 型不等式來求解 第-6-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 （ 2 一元二次不等式的解法 判別式 000 b24ac 二次函數(shù) y ax2 bx c(a0) O 的圖象 一元二次方程 b2 4ac b x1,2 2a b 2 x1 x2 ax bx c 0(a 0) 無實根 其中 x1 x2 ) 2a 的根 ax2 bx c 0

10、(a 0) b x | x x1 或 x x2 x | x R 的解集 2a ax2 bx c 0(a0) x | x1 xx2 的解集 1.2 函數(shù)及其表示 1.2.1 函數(shù)的概念 1函數(shù)的概念 精品文檔文檔 精品文檔 第-7-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 設 A 、 B 是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應法那么 f ，對于集合 A 中任何一個數(shù) x ，在集合 B 中都有 唯一確定的數(shù) f ( x) 和它對應， 那么這樣的對應 包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的對應法那么 f 叫做集合 A 到 B 的一個函數(shù)，記作 f : AB 函數(shù)的三要素: 定義域、值域和對應法那么

11、只有定義域一樣，且對應法那么也一樣的兩個函數(shù)才是同一函數(shù) 2 區(qū)間的概念及表示法 設 a, b 是兩個實數(shù)，且 a b ，滿足 a x b 的實數(shù) x 的集合叫做閉區(qū)間，記做 a,b ；滿足 axb 的 實數(shù) x 的集合叫做開區(qū)間，記做( a,b) ；滿足 ax b ，或 a xb 的實數(shù) x 的集合叫做半開半閉區(qū)間， 分別記做 a, b) ， ( a, b ；滿足 x a, x a, x b, xb 的實數(shù) x 的集合分別記做 a,),( a,),(, b,(, b) 注意： 對于集合 x | a x b 與區(qū)間 (a, b) ，前者 a 可以大于或等于 b ，而后者必須 a b ，前者可以

12、不成立，為空集；而后者必須成立 （ 3 求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原那么： f ( x) 是整式時，定義域是全體實數(shù) f ( x) 是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù) f ( x) 是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于 1 y tan x 中， x k(kZ ) 2 零負指數(shù)冪的底數(shù)不能為零 第-8-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 假設 f ( x) 是由有限個根本初等函數(shù)的四那么運算而合成的函數(shù)時，那么其定義域一般是各根本初等函數(shù)的定義 域的交集 對于求復合函數(shù)定義域問題，

13、一般步驟是：假設 f ( x) 的定義域為 a, b ，其復合函數(shù) f g( x) 的定義域 應由不等式 a g (x) b 解出 對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據問題具體情況需對字母參數(shù)進展分類討論 由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義 4 求函數(shù)的值域或最值 求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法根本上是一樣的事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小 大數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小大值因此求函數(shù)的最值與值域，其實質是一樣的，只是提問的角度 不同求函數(shù)值域與最值的常用方法： 觀察法：對于比擬簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值 配方法：將函數(shù)解析式

14、化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或 最值 判別式法：假設函數(shù) y f ( x) 可以化成一個系數(shù)含有 y 的關于 x 的二次方程 a( y) x2 b( y)x c( y) 0 ，那么 在 a( y) 0 時，由于 x, y 為實數(shù)，故必須有 b2 ( y) 4a( y) c( y) 0 ，從而確定函數(shù)的值域或最值 不等式法：利用根本不等式確定函數(shù)的值域或最值 換元法：通過變量代換到達化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉化為三角函 數(shù)的最值問題 反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關系確定函數(shù)的值域或最值 第-9-頁共

15、170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 數(shù)形結合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值 函數(shù)的單調性法 1.2.2 函數(shù)的表示法 （ 5函數(shù)的表示方法 表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種 解析法：就是用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對 應關系圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系 6映射的概念 設 A 、 B 是兩個集合，如果按照某種對應法那么 f ，對于集合 A 中任何一個元素，在集合 B 中都有唯一的 元素和它對應，那么這樣的對應包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的對應法那么 f 叫做集合 A 到 B 的映射，記

16、 作 f : AB 給定一個集合 A 到集合 B 的映射，且 a A,b B 如果元素 a 和元素 b 對應，那么我們把元素 b 叫做元 素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 1.3 函數(shù)的根本性質 1.3.1 單調性與最大小值 （ 1函數(shù)的單調性 定義及判定方法 函數(shù)的定義圖象判定方法 第-10-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 性 質 如果對于屬于定義域 I 內 某個區(qū)間上的任意兩個 自變量的值 x1、x2 , 當 x1 x2 時，都有 f(x 1)f(x2)， 那么就說 f(x) 在這個區(qū) 間上是 增函數(shù) 函數(shù)的 單調性 如果對于屬于定義域 I 內 某個區(qū)間上的任意兩個

17、自變量的值 x1、x2，當 x1f(x 2) ， 那么就說 f(x) 在這個區(qū) 間上是 減函數(shù) 在公共定義域內，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)， 減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù) y y=f(X) f(x ) 2 f(x1 ) o 1 x 2 x x y y=f(X) f(x 1) f(x2 ) o x1 x 2 x 兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)， （ 1利用定義 （ 2利用函數(shù)的單調性 （ 3利用函數(shù)圖象在某個區(qū)間圖 象上升為增 （ 4利用復合函數(shù) （ 1利用定義 （ 2利用函數(shù)的單調性 （ 3利用函數(shù)圖象在某個區(qū)間圖 象下降為減 （ 4利用復合函數(shù) 增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)， 第-11-頁共 170 頁

18、 精品文檔文檔 精品文檔 對于復合函數(shù) y f g( x) ，令 u g( x) ，假設 y f (u) 為增， u g( x) 為增，那么 y f g( x) 為增；假設 y f (u) 為減， u g( x) 為減， 那么 y f g(x) 為增；假設 y f (u) 為增， u g( x) 為減， 那么 y f g (x) 為 減；假設 y f (u) 為減， u g (x) 為增，那么 y f g (x) 為減 2 打“函數(shù) f( x)xa (a 0) 的圖象與性質 x y f ( x) 分別在( , a 、 a, ) 上為增函數(shù)，分別在 a,0) 、(0, a 上為減函數(shù) 3 最大小

19、值定義 一般地，設函數(shù) y f ( x) 的定義域為 I ，如果存在實數(shù) M 滿足： 1對于任意的 x I ，都有 f ( x)M ； ox 2存在 x0I ，使得 f ( x0)M 那么，我們稱 M 是函數(shù) f (x) 的最大值，記作 f max ( x) M 一般地，設函數(shù) y f ( x) 的定義域為 I ，如果存在實數(shù) m 滿足：1對于任意的 x I ，都有 f ( x)m ； 2存在 x0I ，使得 f ( x0)m 那么，我們稱 m 是函數(shù) f (x)的最小值，記作 f max ( x)m 1.3.2 奇偶性 （ 4函數(shù)的奇偶性 定義及判定方法 函數(shù)的 定義圖象判定方法 性 質 精

20、品文檔文檔 精品文檔 第-12-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 如果對于函數(shù) f(x) 定義 1利用定義要 域內任意一個 x，都有 先判斷定義域是否 f( x)= f(x) ,那么函數(shù) 關于原點對稱 f(x) 叫做奇函數(shù) 2利用圖象圖 函數(shù)的 象關于原點對稱 奇偶性 如果對于函數(shù) f(x) 定義 1利用定義要 域內任意一個 x，都有 先判斷定義域是否 f( x)= f(x) ,那么函數(shù) 關于原點對稱 f(x)叫做偶函數(shù) 2利用圖象圖 象關于 y 軸對稱 假設函數(shù) f (x) 為奇函數(shù)，且在 x 0 處有定義，那么 f (0)0 奇函數(shù)在 y 軸兩側相對稱的區(qū)間增減性一樣，偶函數(shù)在 y

21、 軸兩側相對稱的區(qū)間增減性相反 在公共定義域內，兩個偶函數(shù)或奇函數(shù)的和或差仍是偶函數(shù)或奇函數(shù)，兩個偶函數(shù)或奇函 數(shù)的積或商是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積或商是奇函數(shù) 補充知識函數(shù)的圖象 （ 1作圖 利用描點法作圖： 確定函數(shù)的定義域；化解函數(shù)解析式； 討論函數(shù)的性質奇偶性、單調性；畫出函數(shù)的圖象 第-13-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 利用根本函數(shù)圖象的變換作圖： 要準確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種根本初等函 數(shù)的圖象 平移變換 y f (x) 伸縮變換 h 0,左移h個單位 y f ( x h) y f ( x) k 0,上

22、移k個單位 y f (x) k h 0,右移 | h|個單位 k 0,下移 | k |個單位 y f (x) 0 1,伸 y f ( x) 1,縮 y f (x) 對稱變換 0A1,縮 y Af (x) A 1,伸 y f (x) y f (x) x軸 原點 y f (x) y f ( x) y軸 y f ( x) yf ( x) 直線 y x y f 1 (x) y f (x) y f (x) 去掉 y軸左邊圖象 y f (| x |) 保存 y軸右邊圖象，并作其關于 y軸對稱圖象 y f (x) 保存 x軸上方圖象 y | f (x) | 將x軸下方圖象翻折上去 2識圖 對于給定函數(shù)的圖象

23、，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值 域、單調性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關系 3用圖 精品文檔文檔 精品文檔 第-14-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質，為研究數(shù)量關系問題提供了“形的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問 題結果的重要工具要重視數(shù)形結合解題的思想方法 第二章根本初等函數(shù)( ) 2.1 指數(shù)函數(shù) 2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運算 1根式的概念 如果 x n a a R x R n 1 ，且 n N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根當 n 是奇數(shù)時， a 的 n 次方根 , , , 用符號n

24、 a 表示；當 n 是偶數(shù)時，正數(shù) a 的正的 n 次方根用符號 n a 表示，負的 n 次方根用符號 n a 表示；0 的 n 次方根是 0；負數(shù) a 沒有 n 次方根 式子n a 叫做根式，這里 n 叫做根指數(shù)， a 叫做被開方數(shù)當 n 為奇數(shù)時， a 為任意實數(shù)；當 n 為偶數(shù) 時， a 0 根式的性質： ( n a )n a ；當 n 為奇數(shù)時，n an a ；當 n 為偶數(shù)時， n an a (a 0) | a | a (a 0) 2 分數(shù)指數(shù)冪的概念 正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是： m n m ( 0, , , 且 的正分數(shù)指數(shù)冪等于 a n a a N n 1) 0 0 m n m

25、 m 1 )m ( a 0, m, n 正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是： a n (1) n n ( N , 且 n 1) 0 的負分數(shù)指數(shù)冪 a a 沒有意義 注意口訣： 底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù) 3 分數(shù)指數(shù)冪的運算性質 ar a s ar s (a 0, r , s R) ( ar)sars (a 0, r , s R) 第-15-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 ( ab )r r b r ( a 0, b 0, ) a r R 2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質 4指數(shù)函數(shù) 函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù) 定義函數(shù) y ax (a 0 且 a1) 叫做指數(shù)函數(shù) a 1 0 a 1 y y a x y

26、 a x y y 1 y 1 (0,1) (0,1) OxO 圖象 定義域 R 值域 (0, ) 過定點 圖象過定點 (0,1) ，即當 x 0 時，y 1 奇偶性 非奇非偶 x 第-16-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 單調性在 R 上是增函數(shù)在 R 上是減函數(shù) 函數(shù)值的 ax 1 ( x 0) a x 1 (x 0) ax 1 ( x 0) a x 1 (x 0) 變化情況 ax 1 ( x 0) a x 1 (x 0) a 變化對 圖象的影響在第一象限內，a 越大圖象越高；在第二象限內，a 越大圖象越低 2.2 對數(shù)函數(shù) 2.2.1 對數(shù)與對數(shù)運算 1對數(shù)的定義 假設 ax N

27、 (a 0, 且 a 1) ，那么 x 叫做以 a 為底 N 的對數(shù)，記作 xlog a N ，其中 a 叫做底數(shù)，N 叫做真數(shù) 負數(shù)和零沒有對數(shù) 對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x log a Nax N (a 0, a 1, N0) 2幾個重要的對數(shù)恒等式 log a 1 0 ， log a a 1，logaabb 3常用對數(shù)與自然對數(shù) 常用對數(shù)： lg N ，即 log10 N ；自然對數(shù)：ln N，即 log e N 其中 e 2.71828 4對數(shù)的運算性質如果 a0, a 1,M 0, N0 ，那么 加法： log a M loga N log a (MN ) 減法： log a M log

28、 a N log a M N 第-17-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 數(shù)乘： nlog a M log a M n (n R) alogaNN log ab M nn log a M (b 0, n R) 換底公式： log a N logbN (b 0, 且 b 1) b log b a 2.2.2 對數(shù)函數(shù)及其性質 （ 5對數(shù)函數(shù) 函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 名稱 定義函數(shù) y log a x(a 0 且 a1) 叫做對數(shù)函數(shù) a 1 0 a 1 x 1 y loga x x 1 y y y loga x (1,0) O(1,0)x 圖象 O x 定義域(0,) 值域 R 第-18-頁共

29、170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 過定點 圖象過定點 (1,0) ，即當 x 時， y 0 1 奇偶性 非奇非偶 單調性 在 (0, ) 上是增函數(shù) 在 (0, ) 上是減函數(shù) 函數(shù)值的 log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1) 變化情況 log a x 0 (0 x 1) log a x 0 (0 x 1) a 變化對 圖象的影響在第一象限內，a 越大圖象越靠低；在第四象限內，a 越大圖象越靠高 (6) 反函數(shù)的概念 設函數(shù) y f ( x) 的定義域為 A ，值域為 C，從式子 y f ( x) 中解出

30、 x，得式子 x( y) 如果對于 y 在 C 中的任何一個值， 通過式子 x( y) ，x 在 A 中都有唯一確定的值和它對應，那么式子 x( y) 表示 x 是 y 的函數(shù)，函數(shù) x( y) 叫做函數(shù) y f (x) 的反函數(shù)，記作 x f 1( y) ，習慣上改寫成 yf 1 ( x) 7反函數(shù)的求法 確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式 y f (x) 中反解出 xf 1( y) ； 將 x f 1( y) 改寫成 yf 1 (x) ，并注明反函數(shù)的定義域 8反函數(shù)的性質 原函數(shù) y f (x) 與反函數(shù) y f 1 ( x) 的圖象關于直線 yx 對稱 函數(shù) y f ( x

31、) 的定義域、值域分別是其反函數(shù) yf 1 (x) 的值域、定義域 假設 P(a, b) 在原函數(shù) y f ( x) 的圖象上，那么 P (b, a) 在反函數(shù) y f1( x)的圖象上 第-19-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 一般地，函數(shù) yf ( x) 要有反函數(shù)那么它必須為單調函數(shù) 2.3 冪函數(shù) 1 冪函數(shù)的定義 一般地，函數(shù) y x 叫做冪函數(shù)，其中 x 為自變量，是常數(shù) 第-20-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 2 冪函數(shù)的圖象 3冪函數(shù)的性質 第-21-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數(shù)

32、是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二 象限 (圖象關于 y 軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數(shù)時，圖 象只分布在第一象限 過定點：所有的冪函數(shù)在(0,) 都有定義，并且圖象都通過點(1,1) 單調性：如果 0 ，那么冪函數(shù)的圖象過原點，并且在0,) 上為增函數(shù)如果 0 ，那么冪函數(shù)的圖象在 (0,) 上為減函數(shù)，在第一象限內，圖象無限接近 x 軸與 y 軸 奇偶性：當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當 為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)當 q 其中 p, q 互質， p p q q 和 q Z ，假設 p 為奇數(shù) q 為奇數(shù)時，那么 y x p是奇函數(shù)，假設 p 為奇數(shù)

33、 q 為偶數(shù)時，那么 y x p是偶函數(shù)，假設 p q 為偶數(shù) q 為奇數(shù)時，那么 yx p是非奇非偶函數(shù) 圖象特征：冪函數(shù) y x , x (0, ) ，當 1 時，假設 0 x 1，其圖象在直線 y x 下方，假設 x 1，其圖 象在直線 y x 上方，當 1 時，假設 0 x 1，其圖象在直線 y x 上方，假設 x 1 ，其圖象在直線 y x 下方 補充知識二次函數(shù) 1二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式：f ( x) ax2 bx c(a 0) 頂點式： f ( x) a( x h) 2 k(a0) 兩根式： f ( x) a(x x1)( x x2 )(a0) 2求二次函數(shù)解析式的方法

34、 三個點坐標時，宜用一般式 拋物線的頂點坐標或與對稱軸有關或與最大小值有關時，常使用頂點式 假設拋物線與 x 軸有兩個交點，且橫線坐標時，選用兩根式求f (x) 更方便 3 二次函數(shù)圖象的性質 第-22-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 二次函數(shù) f ( x) ax2 bx c(a 0) 的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為 x b , 頂點坐標是 2a ( b , 4ac b2 ) 2a 4a 當 a 0 時，拋物線開口向上，函數(shù)在 ( , b 上遞減，在 b , ) 上遞增，當 x b 時， 2a 2a 2a fmin ( x) 4ac b2 ；當 a 0 時，拋物線開口向下， 函數(shù)在

35、( , b 上遞增，在 b , ) 上遞減，當 x b 4a 2a 2a 2a 時， fmax 4ac b2 (x) 4a 二次函數(shù) f ( x) ax2 bx c(a 0) 當 b2 4ac 0 時，圖象與 x 軸有兩個交點 M1 (x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | |x1 x2 | |a| 4 一元二次方程 ax2 bx c 0( a0) 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內容，這局部知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng) 和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關系定理韋達定理的運用，下面結合二次 函數(shù)圖象的性質，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分

36、布 設一元二次方程 ax 2 bx c 0(a 0) 的兩實根為 x1 , x2，且 x1 x2令 f (x) ax2 bx c ，從以下四個 方面來分析此類問題：開口方向： a 對稱軸位臵： b 判別式： 端點函數(shù)值符號 x 2a k x1x2 y y b f (k ) 0 a 0 x 2a O k O x2 k x1 x2 x x1 x b f (k ) 0 a 0 x 2a 精品文檔文檔 精品文檔 第-23-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 x1x2 k y y b f (k) 0 a 0 x 2a O x2 O x2 k x1 k x x1 x x b a 0 f (k ) 0

37、 2a x1 k x2af( k)0 yy a 0 f (k) 0 O k x1 x2 x x1 O k x2 x f (k ) 0 a 0 k1 x1x2 k2 y a 0 f (k1 ) 0 f (k 2 ) 0 x1 x2 O k1 k2 x b x 2a y x b 2a k1 k2 O x1 x 2 x f (k1 ) 0 ) 0 f (k2 a 0 有且僅有一個根1 或 x 2滿足 k 11或 x 2 2 ( k 1)(2) 0，并同時考慮 ( 1)=0 或( k 2)=0 x x k f f k f k f 這兩種情況是否也符合 精品文檔文檔 精品文檔 第-24-頁共 170 頁

38、 精品文檔文檔 精品文檔 y a 0 f (k1 ) 0 x1k2 O k1x2x f (k2 ) 0 k1 x1 k2p1 x2p2 此結論可直接由推出 y f (k1 ) 0 x1 k2 O k1 x2 x a 0 f (k 2 ) 0 5 二次函數(shù) f ( x) ax2 bx c(a 0) 在閉區(qū)間 p, q 上的最值 設 f ( x) 在區(qū)間 p, q 上的 最大值為 M ，最小值為 m，令 x0 1 ( p q) 2 當 a0 時開口向上 假設bp ，那么 m f ( p)假設 pbq ，那么 m f (b ) 假設bq ，那么 m f (q) 2a2a2a2a f f f f x

39、b ) x b ) b f f ( ) f ( f ( 2a f 2a 2a x b x0，那么 M f (q) b 精品文檔文檔 精品文檔 假設 x0，那么 M f ( p) 2a 2a f x0 x0f 第 -25- b x 頁共 170 頁 x f () f 2a bf f () 精品文檔文檔 精品文檔 ( ) 當 a0 時(開口向下) 假設 b p ，那么 M f ( p) 2a b f () f x f b 假設 x0，那么 m f (q) 2a b f () f x0 假設 pbq ，那么 Mf (b ) 假設bq ，那么 Mf (q) 2a2a2a f ( b f ( b ) )

40、 f 2a 2a f x x ff b x0，那么 m f ( p) 2a b f () 2a f x0 xx f f 第-26-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 第三章函數(shù)的應用 一、方程的根與函數(shù)的零點 1、函數(shù)零點的概念： 對于函數(shù) y f ( x)( x D ) ，把使 f (x) 0 成立的實數(shù) x 叫做函數(shù) yf ( x)( xD ) 的零點。 2、函數(shù)零點的意義：函數(shù) y f ( x) 的零點就是方程 f ( x) 0 實數(shù)根，亦即函數(shù) yf ( x) 的圖象與 x 軸 交點的橫坐標。即： 方程 f ( x) 0 有實數(shù)根函數(shù) yf ( x) 的圖象與 x 軸有交點函數(shù)

41、yf (x) 有零點 3、函數(shù)零點的求法： 求函數(shù) yf ( x) 的零點： 1代數(shù)法求方程 f (x)0 的實數(shù)根； 幾何法對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù) y f (x) 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的 2 性質找出零點 4、二次函數(shù)的零點： 二次函數(shù) y ax 2 bx ( 0) c a ，方程 ax2 bx c 0 有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個 零點 ，方程 ax2 bx c 0 有兩相等實根二重根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸有一個交點，二次 函數(shù)有一個二重零點或二階零點 ，方程 ax2 bx c 0 無實根，二次函數(shù)的圖象與 x 軸無交點，二次

42、函數(shù)無零點 高中數(shù)學必修 2 知識點 第一章空間幾何體 第-27-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 1.1 柱、錐、臺、球的構造特征 （ 1棱柱：定義 ：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。 分類 ：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示 ：用各頂點字母，如五棱柱 ABCDE A B C D E 或用對角線的端點字母，如五棱柱 AD 幾何特征 ：兩底面是對應邊平行的全等多邊形；側面、對角面都是平行四邊形；側棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。 2棱錐 定義 ：有一個面是多邊形，

43、其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體 分類 ：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等 表示 ：用各頂點字母，如五棱錐 PA BC D E 幾何特征 ：側面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。 （ 3棱臺：定義 ：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的局部分類 ：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等 表示 ：用各頂點字母，如五棱臺 P A BC D E 幾何特征 ：上下底面是相似的平行多邊形 側面是梯形 側棱交于原棱錐的頂點 4圓柱：定義 ：以矩形的一邊所在的直

44、線為軸旋轉 ,其余三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體 第-28-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 幾何特征 ：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側面展開圖是一個矩形。 （ 5圓錐：定義 ：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸 ,旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征 ：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點；側面展開圖是一個扇形。 （ 6圓臺：定義： 用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的局部 幾何特征：上下底面是兩個圓；側面母線交于原圓錐的頂點；側面展開圖是一個弓形。 （ 7球體：定義： 以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體幾何特征： 球的截

45、面是圓；球面上任意一點到球心的距離等于半徑。 1.2 空間幾何體的三視圖和直觀圖 1 三視圖： 正視圖：從前往后側視圖：從左往右俯視圖：從上往下 2 畫三視圖的原那么： 長對齊、高對齊、寬相等 3 直觀圖：斜二測畫法 4 斜二測畫法的步驟： （ 1 .平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸； 2 .平行于 y 軸的線長度變半，平行于x， z 軸的線長度不變； 3 .畫法要寫好。 5 用斜二測畫法畫出長方體的步驟：1畫軸 2畫底面 3 畫側棱 4成圖 第-29-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 1.3 空間幾何體的外表積與體積 一空間幾何體的外表積 1 棱柱、棱錐的外表積：各個面面積之和 2

46、圓柱的外表積 S 2 rl 2 r 2 3 圓錐的外表積 4 圓臺的外表積 S rl r 2 Rl R2 5 球的外表積 Srlr 2 S 4 R2 二空間幾何體的體積 1 柱體的體積 V S底 h 2 錐體的體積 V 1 S底 h 3 V 1 S上 4 球體的體積 3 臺體的體積 下 下 3 S上 S S ) h V 4 R3 3 第二章直線與平面的位臵關系 2.1 空間點、直線、平面之間的位臵關系 2.1.1 1 平面含義：平面是無限延展的 2 平面的畫法及表示 精品文檔文檔 精品文檔 第-30-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 1平面的畫法：水平放臵的平面通常畫成一個平行四邊形，

47、銳角畫成 450，且橫邊畫成鄰邊的 2 倍長如圖 2平面通常用希臘字母 、 等表示，如平面 、平面 等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或 者相對的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。 3 三個公理： 1公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內 DC 符號表示為 AB AL A L BL= L A B 公理 1 作用：判斷直線是否在平面內 2公理 2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。 A B C 符號表示為： A、 B、C 三點不共線 = 有且只有一個平面 ， 使 A、B、C。 公理 2 作用：確定一個平面的依據。 3公理 3：

48、如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。 符號表示為： P= =L，且 PL P L 精品文檔文檔 精品文檔 第-31-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 公理 3 作用：判定兩個平面是否相交的依據 2.1.2 空間中直線與直線之間的位臵關系 1 空間的兩條直線有如下三種關系： 相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點； 共面直線 平行直線：同一平面內，沒有公共點； 異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點。 2 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設 a、b、 c 是三條直線 ab =ac cb 強調：公理4 實質上是說平行具有傳

49、遞性，在平面、空間這個性質都適用。 公理 4 作用：判斷空間兩條直線平行的依據。 3 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補 4 注意點： a 與 b 所成的角的大小只由 a、b 的相互位臵來確定，與 O 的選擇無關，為簡便，點 O 一般取在兩直線中的 一條上； 兩條異面直線所成的角 (0 ， )； 2 當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作 ab； 第-32-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形； 計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉化為兩條相交直線所成的角。 2.1.3 2.1.

50、4 空間中直線與平面、平面與平面之間的位臵關系 1、直線與平面有三種位臵關系： （ 1直線在平面內有無數(shù)個公共點 （ 2直線與平面相交有且只有一個公共點 （ 3直線在平面平行沒有公共點 指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用 a 來表示 aa=Aa 2 .2. 直線、平面平行的判定及其性質 2.2.1 直線與平面平行的判定 1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行。 簡記為：線線平行，那么線面平行。 符號表示： a 第-33-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 b= a ab 2.2.2 平面與平面平行的判定 1、兩個

51、平面平行的判定定理：一個平面內的兩條交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行。 符號表示： a b ab = P a b 2、判斷兩平面平行的方法有三種： （ 1用定義； （ 2判定定理； （ 3垂直于同一條直線的兩個平面平行。 2.2.3 2.2.4 直線與平面、平面與平面平行的性質 1、定理：一條直線與一個平面平行，那么過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。 簡記為：線面平行那么線線平行。 第-34-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 符號表示： a aab =b 作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。 2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

52、符號表示： =aab =b 作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行 2.3 直線、平面垂直的判定及其性質 2.3.1 直線與平面垂直的判定 1 、定義 如果直線 L 與平面 內的任意一條直線都垂直，我們就說直線 L 與平面 互相垂直， 記作 L，直線 L 叫做平 面 的垂線，平面 叫做直線 L 的垂面。如圖，直線與平面垂直時, 它們唯一公共點 P 叫做垂足。 L 第-35-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 p 2、判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。 注意點：a)定理中的“兩條相交直線這一條件不可無視； b) 定理表達了“直線與平面垂直與“

53、直線與直線垂直互相轉化的數(shù)學思想。 2.3.2 平面與平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形 A 梭 l B 2、二面角的記法：二面角 -l- 或 -AB- 3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直。 2.3.3 2.3.4 直線與平面、平面與平面垂直的性質 1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。 2 性質定理：兩個平面垂直，那么一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。 本章知識構造框圖 平面公理 1、公理2、公理 3 、公理 4 第-36-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 空間直線、平面的位臵關系

54、直線與直線的位臵關系直線與平面的位臵關系平面與平面的位臵關系 第三章 直線與方程 3.1 直線的傾斜角和斜率 3.1 傾斜角和斜率 1、直線的傾斜角的概念：當直線 l 與 x 軸相交時 ,取 x 軸作為基準 , x 軸正向與直線 l 向上方向之間所成的角 叫做直線 l 的傾斜角 . 特別地 , 當直線 l 與 x 軸平行或重合時 ,規(guī)定 = 0 . 2、 傾斜角 的取值范圍：0180. 當直線 l 與 x 軸垂直時 ,= 90 . 3、直線的斜率: 一條直線的傾斜角 ( 90)的正切值叫做這條直線的斜率, 斜率常用小寫字母 k 表示 , 也就是 k = tan 當直線 l 與 x 軸平行或重合

55、時 ,=0,k = tan0=0; 當直線 l 與 x 軸垂直時 ,= 90 , k 不存在 . 由此可知 ,一條直線 l 的傾斜角 一定存在 , 但是斜率 k 不一定存在 . 4、 直線的斜率公式: 第-37-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 給定兩點 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2, 用兩點的坐標來表示直線P1P2 的斜率： 斜率公式 : k=y2-y1/x2-x1 3.1.2 兩條直線的平行與垂直 1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它 們平行，即 注意 :上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下

56、才成立的，缺少這個前提，結論并不成立即如果 k1=k2,那么一定有 L1L2 2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負倒數(shù)， 那么它們互相垂直，即 3.2.1 直線的點斜式方程 1 、 直線的 點斜式 方程：直線 經過點 P x y y y k(x x ) l 0 ( 0 , 0 ) ，且斜率為 k 0 0 2 、直線的 斜截式 方程：直線 l 的斜率為 k ，且與 y 軸的交點為 (0,b) y kx b 3.2.2 直線的兩點式方程 1 、直線的兩點式方程：兩點 P1 ( x1, x2 ), P2 (x2 , y2 ) 其中 ( x1 x

57、2 , y1 y2 ) y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2 、直線的截距式方程：直線 l 與 x 軸的交點為 A (a,0) ，與 y 軸的交點為 B (0,b) ，其中 a 0,b0 3.2.3 直線的一般式方程 1 、直線的一般式方程：關于 x, y 的二元一次方程 Ax By C0 A，B 不同時為 0 2 、各種直線方程之間的互化。 3.3 直線的交點坐標與距離公式 第-38-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 3.3.1 兩直線的交點坐標 1 、給出例題：兩直線交點坐標 L1 ： 3x+4 y-2=0L1： 2x+y +2=0 解：解方程組 3x 4y 2 0 2x 2

58、y 2 0 PP12 x2 2 y2 y1 2 得 x=-2 ， x2 y=2 所以 L1 與 L2 的交點坐標為 M -2 ， 2 3.3.2 兩點間距離 兩點間的距離公式 3.3.3 點到直線的距離公式 1點到直線距離公式： 點 P( x0 , y0 ) 到直線 l : Ax By C Ax0 By0 C 0 的距離為： d B2 A2 2、兩平行線間的距離公式： 兩條平行線直線 l1和 l2的一般式方程為 l1： Ax By C1 0 ， C1 C2 l 2 Ax By C2 0 ，那么 l1與 l 2的距離為 d B2 A2 第四章圓與方程 精品文檔文檔 精品文檔 第-39-頁共 17

59、0 頁 精品文檔文檔 精品文檔 4.1.1 圓的標準方程 1 、圓的標準方程：( x a) 2 ( y b) 2r 2 圓心為 A(a,b), 半徑為 r 的圓的方程 2 、點 M (x0, y0)與圓( xa)2 ( y b) 2r 2的關系的判斷方法： 1 ( x0a)2 ( y0 b)2r2，點在圓外 2 ( x0a)2 ( y0b)2=r2，點在圓上 3 ( x0a)2 ( y0b)2= n0 ,且 nN )結論都成立。 考點三證明 1. 反證法 :2、分析法 :3 、綜合法 : 數(shù)系的擴大和復數(shù)的概念 復數(shù)的概念 (1)復數(shù) :形如 abi (a R,b R) 的數(shù)叫做復數(shù)，a 和

60、b 分別叫它的實部和虛部. (2)分類 :復數(shù) abi (a R,b R) 中,當 b0,就是實數(shù); b 0 ,叫做虛數(shù);當 a0,b0 時,叫做純虛數(shù). (3) 復數(shù)相等 :如果兩個復數(shù)實部相等且虛部相等就說這兩個復數(shù)相等. (4) 共軛復數(shù) :當兩個復數(shù)實部相等 ,虛部互為相反數(shù)時 ,這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù) . (5)復平面 :建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面,x 軸叫做實軸， y 軸除去原點的局部叫做虛軸。 第 -110-頁共 170 頁 精品文檔文檔 精品文檔 (6) 兩個實數(shù)可以比擬大小，但兩個復數(shù)如果不全是實數(shù)就不能比擬大小。 復數(shù)的運算 1. 復數(shù)的加，減，乘，除按以下法