高中數(shù)學復習講義(通用版全套)第十二章 導數(shù)及其應用

1、2012高中數(shù)學復習講義 第十二章 導數(shù)及其應用【知識圖解】 平均速度瞬時速度平均變化率瞬時變化率割線斜率切線斜率導 數(shù)基本初等函數(shù)導數(shù)公式、導數(shù)運算法則微積分基本定理導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系導數(shù)與極（最）值的關(guān)系定積分（理科）【方法點撥】導數(shù)的應用極其廣泛，是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、研究曲線的切線和解決一些實際問題的有力工具，也是提出問題、分析問題和進行理性思維訓練的良好素材。同時，導數(shù)是初等數(shù)學與高等數(shù)學緊密銜接的重要內(nèi)容，體現(xiàn)了高等數(shù)學思想及方法。1重視導數(shù)的實際背景。導數(shù)概念本身有著豐富的實際意義，對導數(shù)概念的深刻理解應該從這些實際背景出發(fā)，如平均變化率、瞬時變化率和瞬時速度、加速度等

2、。這為我們解決實際問題提供了新的工具，應深刻理解并靈活運用。2深刻理解導數(shù)概念。概念是根本，是所有性質(zhì)的基礎(chǔ)，有些問題可以直接用定義解決。在理解定義時，要注意“函數(shù)在點處的導數(shù)”與“函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系。3強化導數(shù)在函數(shù)問題中的應用意識。導數(shù)為我們研究函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等，提供了一般性的方法。4重視“數(shù)形結(jié)合”的滲透，強調(diào)“幾何直觀”。在對導數(shù)和定積分的認識和理解中，在研究函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系等問題時，應從數(shù)值、圖象等多個方面，尤其是幾何直觀加以理解，增強數(shù)形結(jié)合的思維意識。5加強“導數(shù)”的實踐應用。導數(shù)作為一個有力的工具，在解決科技、經(jīng)濟

3、、生產(chǎn)和生活中的問題，尤其是最優(yōu)化問題中得到廣泛的應用。6（理科用）理解和體會“定積分”的實踐應用。定積分也是解決實際問題（主要是幾何和物理問題）的有力工具，如可以用定積分求一些平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、變速直線運動的路程和變力作的功等，逐步體驗微積分基本定理。第1課導數(shù)的概念及運算【考點導讀】1.了解導數(shù)概念的某些實際背景(如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等)；2.掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義；理解導函數(shù)的概念;3.熟記基本導數(shù)公式；4.掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導法則;5.了解復合函數(shù)的求導法則.會求某些簡單函數(shù)的導數(shù).（理科）【基礎(chǔ)練習】1設(shè)函數(shù)f（x）在x

4、=x0處可導,則與x0,h的關(guān)系是 僅與x0有關(guān)而與h無關(guān) 。2已知, 則 0 。3已知,則當時,。4已知,則。5已知兩曲線和都經(jīng)過點P（1,2），且在點P處有公切線，試求a,b,c值。解：因為點P（1,2）在曲線上，函數(shù)和的導數(shù)分別為和，且在點P處有公切數(shù)，得b=2又由，得【范例導析】例1下列函數(shù)的導數(shù)： 分析：利用導數(shù)的四則運算求導數(shù)。解：法一： 法二：=+ ex（cosx+sinx）+ex（sinx+cosx）2excosx,點評：利用基本函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)的運算法則及復合函數(shù)的求導法則進行導數(shù)運算，是高考對導數(shù)考查的基本要求。例2 如果曲線的某一切線與直線平行，求切點坐標與切線方程分析：

5、本題重在理解導數(shù)的幾何意義：曲線在給定點處的切線的斜率，用導數(shù)的幾何意義求曲線的斜率就很簡單了。解：切線與直線平行， 斜率為4又切線在點的斜率為 或切點為（1，-8）或（-1，-12）切線方程為或即或點評：函數(shù)導數(shù)的幾何意義揭示了導數(shù)知識與平面解析幾何知識的密切聯(lián)系，利用導數(shù)能解決許多曲線的切線問題，其中尋找切點是很關(guān)鍵的地方。變題：求曲線的過點的切線方程。答案：點評：本題中“過點的切線”與“在點的切線”的含義是不同的，后者是以為切點，只有一條切線，而前者不一定以為切點，切線也不一定只有一條，所以要先設(shè)切點，然后求出切點坐標，再解決問題?！痉答佈菥殹?一物體做直線運動的方程為，的單位是的單位是

6、，該物體在3秒末的瞬時速度是。2設(shè)生產(chǎn)個單位產(chǎn)品的總成本函數(shù)是，則生產(chǎn)8個單位產(chǎn)品時，邊際成本是 2 。3已知函數(shù)f（x）在x=1處的導數(shù)為3,則f（x）的解析式可能為 （1） 。（1）f（x）=（x1）2+3（x1） （2）f（x）=2（x1）（3）f（x）=2（x1）2 （4）f（x）=x14若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為。5在函數(shù)的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數(shù)的點的個數(shù)是 3 。6過點（0，4）與曲線yx3x2相切的直線方程是 y4x4 7 求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y=(2x2-1)(3x+1) (2) (3) (4) (5) (6)解：（）, (2); (3),

7、 (4);(5), (6).8 已知直線為曲線在點處的切線，為該曲線的另一條切線，且 （）求直線的方程；（）求由直線，和軸所圍成的三角形的面積 解： 設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為， ，由題意得,得直線的方程為 ,與該曲線的切點坐標為由直線方程的點斜式得直線的方程為： （）由直線的方程為,令由直線的方程為，令由得： 設(shè)由直線，和軸所圍成的三角形的面積為S，則： 第2課導數(shù)的應用A【考點導讀】1 通過數(shù)形結(jié)合的方法直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，能熟練利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；會求某些簡單函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。2 結(jié)合函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的極大（小）值、最大（?。┲蹬c導數(shù)的關(guān)系；會求簡單多項式函數(shù)的極

8、大（小）值，以及在指定區(qū)間上的最大（?。┲?。【基礎(chǔ)練習】1若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則應滿足的條件是 。 2函數(shù)在0，3上的最大值、最小值分別是 5，15 。3用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是。4函數(shù)的最大值是，最小值是。5函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (-,-2)與(0,+ ) ?！痉独龑觥坷?在區(qū)間上的最大值是 2 。解：當1£x<0時，>0，當0<x£1時，<0，所以當x0時，f（x）取得最大值為2。點評：用導數(shù)求極值或最值時要掌握一般方法，導數(shù)為0的點是否是極值點還取決與該點兩側(cè)的單調(diào)性，導數(shù)為0的點未必都是極值點，如：函數(shù)。例2 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間：（1

9、） （2）（3） （4）解：（1） 時 ， （2） ，（3） ， ， ，（4）定義域為 點評：熟練掌握單調(diào)性的求法，函數(shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)的極值、最值問題的基礎(chǔ)。例3設(shè)函數(shù)f(x)= （）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）討論f(x)的極值。解：由已知得，令，解得 。（）當時，在上單調(diào)遞增； 當時，隨的變化情況如下表：0+00極大值極小值從上表可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增。（）由（）知，當時，函數(shù)沒有極值；當時，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值。點評：本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力?！痉答佈菥殹?關(guān)于函數(shù)，下列說法不

10、正確的是 （4） 。（1）在區(qū)間（，0）內(nèi)，為增函數(shù) （2）在區(qū)間（0，2）內(nèi)，為減函數(shù)（3）在區(qū)間（2，）內(nèi)，為增函數(shù) （4）在區(qū)間（，0）內(nèi)，為增函數(shù)2對任意x，有，則此函數(shù)為 。 3函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值與最小值分別是 5 , -15 。4下列函數(shù)中，是極值點的函數(shù)是 （2） 。（1） （2） （3） （4）5下列說法正確的是 （4） 。 （1）函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值（2）函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值（3）函數(shù)的最值一定是極值（4）在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值6函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是 0，2 。7求滿足條件的的范圍： （1）使為上增函數(shù)；（2）使為上的

11、增函數(shù)； （3）使為上的增函數(shù)。解：（1） 由題意可知：對都成立 又當時 也符合條件 （2）同上 （3）同上 8已知函數(shù)(x>0)在x = 1處取得極值，其中為常數(shù)。（1）試確定的值；（2）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。解：（I）由題意知，因此，從而又對求導得由題意，因此，解得（II）由（I）知（），令，解得當時，此時為減函數(shù)；當時，此時為增函數(shù)因此的單調(diào)遞減區(qū)間為，而的單調(diào)遞增區(qū)間為第3課導數(shù)的應用B【考點導讀】1 深化導數(shù)在函數(shù)、不等式、解析幾何等問題中的綜合應用，加強導數(shù)的應用意識。2 利用導數(shù)解決實際生活中的一些問題，進一步加深對導數(shù)本質(zhì)的理解，逐步提高分析問題、探索問題以及解決實

12、際應用問題等各種綜合能力?！净A(chǔ)練習】1若是在內(nèi)的可導的偶函數(shù)，且不恒為零，則關(guān)于下列說法正確的是（4） 。（1）必定是內(nèi)的偶函數(shù) （2）必定是內(nèi)的奇函數(shù)（3）必定是內(nèi)的非奇非偶函數(shù) （4）可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù) 2是的導函數(shù)，的圖象如右圖所示，則的圖象只可能是（4） 。 （1） （2） （3） （4）3若，曲線與直線在上的不同交點的個數(shù)有 至多1個 。 4把長為的鐵絲圍成矩形，要使矩形的面積最大，則長為 ，寬為 ?！痉独龑觥坷?函數(shù)，過曲線上的點的切線方程為（1）若在時有極值，求f (x)的表達式；（2）在（1）的條件下，求在上最大值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求b的取值范圍解：

13、（1） （2）x2+00+極大極小 上最大值為13 （3）上單調(diào)遞增 又 依題意上恒成立.在在 在綜合上述討論可知，所求參數(shù)b取值范圍是：b0。 點評：本題把導數(shù)的幾何意義與單調(diào)性、極值和最值結(jié)合起來，屬于函數(shù)的綜合應用題。例2請您設(shè)計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當帳篷的頂點O到底面中心的距離為多少時，帳篷的體積最大？分析：本題應該先建立模型，再求體積的最大值。選擇適當?shù)淖兞亢荜P(guān)鍵，設(shè)的長度會比較簡便。 解：設(shè),則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為（單位：m）。于是底面正六邊形的面積為（單位：m2）：。帳篷的體積為（單位：m3）：

14、求導數(shù)，得；令解得x=-2(不合題意，舍去),x=2。當1<x<2時，,V(x)為增函數(shù)；當2<x<4時，,V(x)為減函數(shù)。所以當x=2時,V(x)最大。答：當OO1為2m時，帳篷的體積最大。點評：本題是結(jié)合空間幾何體的體積求最值，加深理解導數(shù)的工具作用，主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力?！痉答佈菥殹?設(shè)是函數(shù)的導函數(shù)，將和的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是 圖4 。yxOyxOyxOyxO圖1圖2圖3圖42已知二次函數(shù)的導數(shù)為，對于任意實數(shù)都有，則的最小值為 。3若，則下列命題正確的是 （3） .（1）

15、（2）（3）(4)4函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是5已知函數(shù)的圖象過點P（0，2），且在點M（1，f（1）處的切線方程為（）求函數(shù)y=f(x)的解析式； （）求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間解：（）由f(x)的圖象經(jīng)過P（0，2），知d=2，所以 由在M(-1,f(-1)處的切線方程是， 知故所求的解析式是 （） 解得 當當故內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)的應用等知識，考查運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力6如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（II）求面積的最大值解：（I）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖），則點的橫坐標為點的縱坐標滿足方程，解得所以，其定義域為（II）記， 則令，得因為當時，；當時，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以是的最大值因此，當時，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最