均值與方差例題

1、第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征的例題例測量某個(gè)圓的直徑，其結(jié)果為一連續(xù)型隨機(jī)變量X.若已知XG,6,求圓面積的數(shù)學(xué)期望.解設(shè)圜面積為八則y=因?yàn)閄江則aW芷Mb其它所以E（y）=E（：XD=9占（X*）14=1=£7-工"工4Je4L。一式開11I=rT-34"3IT=（a2 + + 方）12【例1】一汽車沿一街道行駛，需要通過三個(gè)設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口.每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立,且紅綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過路口的個(gè)數(shù).求X的概率分布I求E（d）.解（DX的可能值為0J、2、3,以A表示事件“汽車在笫，個(gè)路口首次遇

2、到紅燈二則P（A）=P（A”,h=123A”A?、A3相互獨(dú)立.例3某種產(chǎn)品表面上的疵點(diǎn)數(shù)服從泊松分布，平均一件上有0.8個(gè)疵點(diǎn)，若規(guī)定疵點(diǎn)數(shù)不超過1個(gè)為一等品，價(jià)值10元，疵點(diǎn)數(shù)大于1不多于4為二等品，價(jià)值8元,4個(gè)以上者為廢品，求產(chǎn)品為廢品的概率以及產(chǎn)品的平均價(jià)值.解（1）設(shè)X表示該種產(chǎn)品表面上的疵點(diǎn)數(shù),A表示產(chǎn)品為廢品.已知E（X）=O.8,又X服從泊松分布，故A=E（X）=0.8,p (一(仇8)58=1 - P(z W4)= 1 - 2m =0=0,1,2,而P(A)=P(z>4)(68,產(chǎn)川&=0.001411例4游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光，電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5

3、分鐘、25分鐘和55分鐘從底層起行，假設(shè)一游客在早八點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層候梯處，且X在0,60上服從均勻分布,求該游客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.解已知XU0,60,其密度為2）/加0。460其它設(shè)隨機(jī)變量Y是游客等候電梯的時(shí)間（單位分），則例5設(shè)一輛汽車經(jīng)過m個(gè)車站，車上有力位乘客.如果每位乘客等可能在任一站下車且他們的行動(dòng)相互獨(dú)立，汽車只在有人下車時(shí)才停站，記X為停站次數(shù)，求X的期望E（X）.解汽車停站次數(shù)x二0、1、2、加，引進(jìn)新的隨機(jī)變量與_1,第i站有人下車（至少有1人下車）勺=0,第£站無人下車根據(jù)題意有mX;例6把數(shù)字1、2、任意地排成一列如果數(shù)字歸恰好出現(xiàn)在第人個(gè)位置上，則稱

4、有一個(gè)巧合.求巧合數(shù)X的數(shù)學(xué)期望E(X),方差D(X)并泵X的分布.解本題先求X的分布律有困難,引進(jìn)新的隨機(jī)變量及_1；數(shù)字女出現(xiàn)在第4個(gè)位置上八=0,數(shù)字人未出現(xiàn)在第力個(gè)位置上則X=*4,而4-（01）分布.第£堆占據(jù)排列中的第(2£-1)和第2f號(hào)位置上，第(2f-1)穹位置可以從2只手套中任取一只有2九種取法，當(dāng)它定了以后,為使梏成一副，第23號(hào)位置就只有一種取法了，當(dāng)它也取好后,剩下的(2-2)只則可任意排，共有包-2)!種排法,因此P(第i堆恰成一副)=2(2"-2)!/(2n)!=云匕故E(勺)二,£=1,2,，*因而E(X)=SE(xf.)

5、=x-|.由2幾-11=14兀1D(X)=E(X?)-E2(X),需求出E(X2)=E(左若)2)=法（工丙）二4E（4）2+羋（Z丐），由于再（0-1）分布，故公二口因此，''EG；）=-E（.）=2n-i=l4i手j時(shí),E（久聲，）=P（JCj=l，石=1）=P（第i,j堆都恰成一副）=Fz,c/i,2n4（2n-2）!（方=1）F（4=1I%=1）=（2>!（2九:2），（2星_4）!_（2/2-2）!-1）（2-3）故D（X）=E（X2）-E2（X）=n”二n_/n/2n1（2兀l）（2n3），2n-1J_4（,一1）2_（2n-1）（2篦-3）例8從學(xué)校乘汽車到

6、火車站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是1.設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望.解X服從二項(xiàng)分布小q),X的可能取值為0323從PU=o)=(i-|)3=口(2=1)=用看.(1一打=卷P(x=2)=Ci(f)2.(l-1)=P(工=3) =X的分布函數(shù)為。一 &- 125F(X) = P(X4工)=0，27 125,81125"117125"x < 00 x < 1ICx <22。<3工2 3E(X)二對(duì)嘲e提T例9假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)I發(fā)生故障的概率為0.2,且一旦

7、發(fā)生故障就全天停止工作,按一周5個(gè)工作日計(jì)算，如果不發(fā)生故障，可獲利潤10萬元，如果只發(fā)生1次故障仍可獲利潤5萬元，如果發(fā)生2次故障不獲利潤也不虧損，如果發(fā)生3次或3次以上故障就要虧損2萬元,求一周內(nèi)利潤的期望值.解此題與例3有些類似,利潤與故障次數(shù)相關(guān)，但故障次數(shù)與利潤是兩個(gè)不同的隨機(jī)變量.設(shè)X表示一周內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)，Y表示一周內(nèi)的利潤，則XB(5,0.2),即=5,F=0.2的二項(xiàng)分布,P(c=4)二C(0.2)氣1-0.2)5一#:0,1,2小,5,具體的：P(z=0)=0.8503277PG=1)=C(0.2)x0.840.4096P(z=2)=C>(0.2)2x0.83、0.

8、2048F(z3)=1-P(z=0)-Px=1)-P(“=2)0.0579Y取值10、5、0、-2,且P(Y=0)=P(x=0)p(y=5)=1)P(Y=0)=P(x=2)P(y=-2)=P(x>3)于是E(Y)=10xP(Y=10)+5xP(Y=5)十0x尸(Y=0)十(一2)xP(Y=-2)=10x0.3277+5x0,4096+0-2x0.0579=5.2092(萬元)例101假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X(mm)服從正態(tài)分布內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品.銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤7(單位：元)與銷售零件內(nèi)徑定有如下關(guān)系？-1,若“

9、<10T=V20,若104“4121-5,若212問平均內(nèi)徑取何值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤最大？解平均利潤E(T)=20xP(10<x<12)+(-1)xP(x<10)+(-5)XP(x>12)=20(12-幺)一奴10-)1-(10-)-51-G(12一#)=25(12-)-210(10-八-5T)=-25(12-fi)+21中(10-p)其中中(%)和p(z)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù).令上式為0得25_(*,21.3立九-2+-e20v2t(V2n2515=摭一叱.1”此方程得/z=11-yIn五340.9.由此知當(dāng)p.-10.9mm時(shí)，平4

10、JL均利潤最大.例11某保險(xiǎn)公司規(guī)定，如果在一年內(nèi)顧客的投保事件A發(fā)生，該公司就賠償顧客。元,若一年內(nèi)事件A發(fā)生的概率為九為使公司收益的期望值等于q的10%,該公司應(yīng)該要求顧客交多少保險(xiǎn)費(fèi)？解設(shè)顧客應(yīng)交保險(xiǎn)費(fèi)/元，公司收益為y元，貝Us是普通變量,y是隨機(jī)變量"的取值與事件A的發(fā)生有關(guān).由題意=若事件A不發(fā)生了=a,若事件A發(fā)生且已知例12設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布密度為人工)=扣一舊，-8了+8,(1)求X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X)；(2)8v(XX|)二E(X|X|)-E(X)E(|X|).81三xIx|"ye-dx-0-8L故有您,lxl=O,因此X與IXl不相關(guān).

11、(3)獨(dú)立性不能由不相關(guān)性來判定，要從獨(dú)立性的定義來判斷,X與|X|相互獨(dú)立的充要條件是對(duì)任意的a、b,PCra.|X|<6)=PP<a)P(|z|<6)取a=6>0,顯然事件(|二|且Cuir+8iP(i<a)=<ye",x,dx=1aoZJ-03ZP(lxl>a)>0因此P(x<a,ljcl<a)=P|x<ai*IxI<a=P(I工I<a)而？(尤<)2(|川)2(卜|。),故*與|3|不獨(dú)立.注:此例說明不相關(guān)性與獨(dú)立性是不等價(jià)的.例13設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量x、y相互獨(dú)立，且都服從均值為仇方差為4的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量IX-YI的方差.ED=D(X)=0(V)=4因而D(IX-Yl)=D(Z)二1-2IB法二按二維隨機(jī)變量處理.因X與Y相互獨(dú)立，且都服從故（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為./、1_21_2"下eyd九V7T=e<x22"oo<x<+oon+8+8I,?、£(IXYI)=Jjt-yIb-)dNdy2汽+82=°plcos夕-sin,I丁e°pdpdtpI cosy - sing I=4/2X于是d