高中數(shù)學(xué)經(jīng)典錯因正解匯總第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

1、1 / 36第二章第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)函數(shù)概念與基本初等函數(shù)2.12.1映射、函數(shù)、反函數(shù)映射、函數(shù)、反函數(shù)一、知識導(dǎo)學(xué)一、知識導(dǎo)學(xué)1.映射：一般地，設(shè) A、B 兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則 ，對于集合 A 中的任何一個元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的單值對應(yīng)叫做集合 A 到集合 B 的映射，記作 f：AB.(包括集合 A、B 及 A 到 B 的對應(yīng)法則)2.函數(shù)： 設(shè) A，B 都是非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則f，對于集合 A 中每一個元素x，在集合 B 中都有唯一的元素和它對應(yīng)，且 B 中每一個元素都的原象，這樣的對應(yīng)叫做從集合 A 到集合 B 的一個函數(shù)，

2、記作 ( )yf x.其中所有的輸入值x組成的集合 A 稱為函數(shù)( )yf x定義域.對于 A 中的每一個x，都有一個輸出值y與之對應(yīng)，我們將所有輸出值y組成的集合稱為函數(shù)的值域.3.反函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù) y=f(x)(xA)的值域是 C，根據(jù)這個函數(shù)中 x,y 的關(guān)系，用 y 把 x 表示出來，得到 x=f-1(y)4. 若對于 y 在 C 中的任何一個值，通過 x 在 A 中都有唯一的值和它對應(yīng)，那么 x=f-1(y)就表示 y 是自變量，x 是自變量 y 的函數(shù)，這樣的函數(shù)叫做函數(shù) y=f(x)(xA)的反函數(shù)，記作 x=f-1(y). 我們一般用 x 表示自變量，用 y 表示函數(shù)，為

3、此我們常常對調(diào)函數(shù) x=f-1(y)中的字母 x,y，把它改寫成 y=f-1(x) 反函數(shù) y=f-1(x)的定義域、值域分別是函數(shù) y=f(x)的值域、定義域.二、疑難知二、疑難知識識1.對映射概念的認(rèn)識(1) 與 是不同的，即 與 上有序的.或者說：映射是有方向的，(2) 輸出值的集合是集合 B 的子集.即集合 B 中可能有元素在集合 A 中找不到對應(yīng)的輸入值.集合 A 中每一個輸入值，在集合 B 中必定存在唯一的輸出值.或者說：允許集合 B 中有剩留元素；允許多對一，不允許一對多.(3)集合 A，B 可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其它類型的集合. 2.對函數(shù)概念的認(rèn)識（1）對函數(shù)符號 ( )

4、f x的理解知道 y=( )f x與 ( )f x的含義是一樣的，它們都表示 是 的函數(shù)，其中 是自變量，( )f x是函數(shù)值，連接的紐帶是法則 .是單值對應(yīng).2 / 36 (2)注意定義中的集合 A，B 都是非空的數(shù)集,而不能是其他集合；（3）函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法，和圖像法.3.對反函數(shù)概念的認(rèn)識（1）函數(shù)y=( )f x只有滿足是從定義域到值域上一一映射，才有反函數(shù)；（2）反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域，因此反函數(shù)的定義域一般不能由其解析式來求，而應(yīng)該通過原函數(shù)的值域而得.（3）互為反函數(shù)的函數(shù)有相同的單調(diào)性，它們的圖像關(guān)于 y=x 對稱.三、經(jīng)典例題三、經(jīng)典例

5、題 例例 11設(shè) Ma，b，c ，N2,0,2,求（1）從 M 到 N 的映射種數(shù)；（2）從 M 到 N 的映射滿足 f(a)f(b)f(c),試確定這樣的映射f的種數(shù).錯解錯解：（1）由于 Ma，b，c ，N2,0,2 ，結(jié)合映射的概念，有 2200220 ,2 ,2 ,2,0 ,2222220aaaaaabbbbbbcccccc ，共 6 個映射 (2)由（1）得滿足條件的映射僅有202abc 一種情況錯因錯因：沒有找全滿足條件的映射個數(shù)，關(guān)健是對概念認(rèn)識不清正解正解：（1）由于 Ma，b，c ，N2,0,2 ，結(jié)合映射的概念，有一共有 27 個映射（2）符合條件的映射共有 4 個0222

6、,2,2,0 ,0,2220aaaabbbbcccc 例例 22已知函數(shù)( )f x的定義域?yàn)?，1，求函數(shù)(1)f x 的定義域錯解錯解：由于函數(shù)( )f x的定義域?yàn)?，1，即01x，112x (1)f x 的定義域是1，2錯因錯因：對函數(shù)定義域理解不透，不明白( )f x與( ( )f u x定義域之間的區(qū)別與聯(lián)系，其實(shí)在這里只要明白：( )f x中x取值的范圍與( ( )f u x中式子( )u x的取值范圍一致就好了.正解正解：由于函數(shù)( )f x的定義域?yàn)?，1，即01x(1)f x 滿足011x 10 x ，(1)f x 的定義域是1，0 例例 33已知：*,xN5(6)( )(

7、2)(6)xxf xf xx，求(3)f.3 / 36錯解錯解： 5(6)( )(2)(6)xxf xf xx，(2)(2)53f xxx故5(6)( )3(6)xxf xxx，(3)f330.錯因錯因：沒有理解分段函數(shù)的意義，(3)f的自變量是 3，應(yīng)代入(2)f x 中去，而不是代入x5 中，只有將自變量化為不小于 6 的數(shù)才能代入解析式求解.正解正解： 5(6)( )(2)(6)xxf xf xx，(3)f(32)(5)ff(52)(7)ff7-52 例例 44已知( )f x的反函數(shù)是1( )fx，如果( )f x與1( )fx的圖像有交點(diǎn)，那么交點(diǎn)必在直線yx上，判斷此命題是否正確？

8、 錯解錯解：正確錯因錯因：對互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線yx對稱這一性質(zhì)理解不深，比如函數(shù)1161()log16xyyx與的圖像的交點(diǎn)中，點(diǎn)1 11 1( , ),2 44 2（，）不在直線yx上，由此可以說明說明“兩互為反函數(shù)圖像的交點(diǎn)必在直線yx上”是不正確的. 例例 55求函數(shù)2( )46yf xxx，1,5)x的值域.錯解錯解：22(1)14 163,(5)545611ff 又1,5)x，( )f x的值域是311，錯因錯因: :對函數(shù)定義中，輸入定義域中每一個 x 值都有唯一的 y 值與之對應(yīng)，錯誤地理解為x 的兩端點(diǎn)時函數(shù)值就是 y 的取值范圍了.正解正解：配方，得22( )46(2)

9、2yf xxxx1,5)x，對稱軸是2x 當(dāng)2x 時，函數(shù)取最小值為(2)f2，( )(5)11f xf( )f x的值域是211， 例例 66已知( )34f xx，求函數(shù)1(1)fx的解析式.錯解錯解：由已知得(1)3(1)437f xxx4 / 3637,yx即73yx，1(1)fx73x 錯因錯因：將函數(shù)1(1)fx錯誤地認(rèn)為是(1)f x 的反函數(shù)，是由于對函數(shù)表達(dá)式理解不透徹所致，實(shí)際上(1)f x 與1(1)fx并不是互為反函數(shù)，一般地應(yīng)該由( )f x先求1( )fx，再去得到1(1)fx.正解正解：因?yàn)? )34f xx的反函數(shù)為1( )fx43x ，所以1(1)fx(1)4

10、333xx113x 例例 77根據(jù)條件求下列各函數(shù)的解析式：（1）已知( )f x是二次函數(shù)，若(0)0,(1)( )1ff xf xx，求( )f x.（2）已知(1)2fxxx，求( )f x（3）若( )f x滿足1( )2 ( ),f xfaxx求( )f x解解：（1）本題知道函數(shù)的類型，可采用待定系數(shù)法求解設(shè)( )f x2(0)axbxca由于(0)0f得2( )f xaxbx，又由(1)( )1f xf xx，22(1)(1)1a xb xaxbxx即22(2)(1)1axab xabaxbx211021abbaabab因此：( )f x21122xx(2)本題屬于復(fù)合函數(shù)解析式

11、問題，可采用換元法求解設(shè)22( )(1)2(1)1(1)f uuuuu( )f x21x （1x ）（3）由于( )f x為抽象函數(shù)，可以用消參法求解用1x代x可得：11( )2 ( ),ff xaxx與1( )2 ( )f xfaxx聯(lián)列可消去1( )fx得：( )f x233aaxx.點(diǎn)評點(diǎn)評：求函數(shù)解析式（1）若已知函數(shù)( )f x的類型，常采用待定系數(shù)法；（2）若已知1(0),1(1)uxxxuu5 / 36 ( )f g x表達(dá)式，常采用換元法或采用湊合法；（3）若為抽象函數(shù)，常采用代換后消參法. 例例 88 已知xyx62322，試求22yx 的最大值.分析分析：要求22yx 的最

12、大值，由已知條件很快將22yx 變?yōu)橐辉魏瘮?shù),29)3(21)(2xxf然后求極值點(diǎn)的x值，聯(lián)系到02y，這一條件，既快又準(zhǔn)地求出最大值.解 由 xyx62322得. 20, 0323, 0.3232222xxxyxxy又,29)3(2132322222xxxxyx當(dāng)2x時，22yx 有最大值，最大值為. 429)32(212點(diǎn)評點(diǎn)評：上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的深刻性.大部分學(xué)生的作法如下：由 xyx62322得 ,32322xxy,29)3(2132322222xxxxyx當(dāng)3x時，22yx 取最大值，最大值為29這種解法由于忽略了02y這一條件，致使計算結(jié)果出現(xiàn)錯誤.因此，

13、要注意審題，不僅能從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件，既要注意主要的已知條件，又要注意次要條件，甚至有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手，這樣才能正確地解題. 例例 99設(shè)( )f x是 R 上的函數(shù)，且滿足(0)1,f并且對任意的實(shí)數(shù), x y都有()( )(21)f xyf xyxy，求( )f x的表達(dá)式.解法一解法一：由(0)1,f()( )(21)f xyf xyxy，設(shè)xy，得(0)( )(21)ff xxxx，所以( )f x21xx解法二解法二：令0 x ，得(0)(0)(1)fyfyy 即()1(1)fyyy 6 / 36又將y用x代換到上式中得( )f x

14、21xx點(diǎn)評點(diǎn)評：所給函數(shù)中含有兩個變量時，可對這兩個變量交替用特殊值代入，或使這兩個變量相等代入，再用已知條件，可求出未知的函數(shù).具體取什么特殊值，根據(jù)題目特征而定.四、典型習(xí)題四、典型習(xí)題1. 已知函數(shù) f(x)，xF，那么集合(x，y)|y=f(x)，xF(x，y)|x=1中所含元素的個數(shù)是（ ）A.0 B.1 C.0 或 1 D.1 或 22.對函數(shù)baxxxf23)(作代換x=g(t)，則總不改變f(x)值域的代換是( )A.ttg21log)(B.ttg)21()(C.g(t)=(t1)2D.g(t)=cost3.方程f(x,y)=0 的曲線如圖所示，那么方程f(2x,y)=0 的

15、曲線是 ( )4.2 函數(shù) f(x)的最小值為19i1|xn|A190 B.171 C.90 D.455. 若函數(shù)f(x)=34 xmx(x43)在定義域內(nèi)恒有ff(x)=x,則m等于( )A.3B.23C.23D.36.已知函數(shù)( )f x滿足：()( )( )f abf af b，(1)2f，則2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)ffffffffffff .7.已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)=)1(12xxaa (其中a0,a1,x0),求f(x)的表達(dá)式.8.已知函數(shù)( )f x是函數(shù)21101xy （xR）的反函數(shù)，函數(shù)( )g x的圖

16、像與函數(shù)431xyx的圖像關(guān)于直線 yx1 成軸對稱圖形，記( )F x( )f x+( )g x.（1）求函數(shù) F（x）的解析式及定義域；（2）試問在函數(shù) F（x）的圖像上是否存在兩個不同的點(diǎn) A、B，使直線 AB 恰好與 y 軸垂直？若存在，求出 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.ABCD7 / 362.22.2 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)一、知識導(dǎo)學(xué)一、知識導(dǎo)學(xué)1.函數(shù)的單調(diào)性：（1）增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)( )yf x的定義域?yàn)?I，如果定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間上任意兩個自變量的值 x1,x2,當(dāng) x1x2時，都有 f(x1)f(x2),那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù).（2）減函

17、數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)( )yf x的定義域?yàn)?I，如果定義域 I 內(nèi)某個區(qū)間上任意兩個自變量的值 x1,x2,當(dāng) x1x2時,都有 f(x1)f(x2),那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).（3）單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）如 y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)f(x)在這區(qū)間上具有單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù) y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.2.函數(shù)的奇偶性：（1）奇函數(shù)：一般地，如果對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個 x，都有 f(x) =f(x)，那么函數(shù) f(x)就叫做奇函數(shù).（2）一般地，如果對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個 x，都有 f(x) =f(x)，那么函數(shù) f(x

18、)就叫做偶函數(shù).（3）如果函數(shù) f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么就說 f(x)具有奇偶性.3.函數(shù)的圖像：將自變量的一個值 x0作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值 f(x0)作為縱坐標(biāo)，就得到平面內(nèi)的一個點(diǎn)（x0,f(x0)） ，當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域內(nèi)的每一個值時，就得到一系列這樣的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)的集合（點(diǎn)集）組成的圖形就是函數(shù) y=f(x)的圖像.二、疑難知識二、疑難知識1. 對函數(shù)單調(diào)性的理解， 函數(shù)的單調(diào)性一般在函數(shù)的定義域內(nèi)的某個子區(qū)間上來討論，函數(shù) y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)性是

19、對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制.2.對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個 x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件.稍加推廣，可得函數(shù) f(x)的圖像關(guān)于直線8 / 36x=a 對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意 x，都有 f(x+a)=f(a-x)成立.函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖像的特殊的對稱性的反映.這部分的難點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用.根據(jù)已知條件，調(diào)動相關(guān)知識，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對學(xué)生能力的較高要求.3. 用

20、列表描點(diǎn)法總能作出函數(shù)的圖像，但是不了解函數(shù)本身的特點(diǎn)，就無法了解函數(shù)圖像的特點(diǎn)，如二次函數(shù)圖像是拋物線，如果不知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和存在著對稱軸，盲目地列表描點(diǎn)是很難將圖像的特征描繪出來的.三、經(jīng)典例題三、經(jīng)典例題 例例 11判斷函數(shù)1( )3xy的單調(diào)性.錯解錯解：1101,( )33xy 是減函數(shù)錯因錯因：概念不清，導(dǎo)致判斷錯誤.這是一個復(fù)合函數(shù)，而復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間） ，仍是從基礎(chǔ)函數(shù)的單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間）分析，但需注意內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性的變化.當(dāng)然這個函數(shù)可化為3xy ，從而可判斷出其單調(diào)性.正解正解：令tx ，則該函數(shù)在 R 上是減函數(shù)，又1101,( )33ty 在

21、 R 上是減函數(shù)，1( )3xy是增函數(shù) 例例 22判斷函數(shù)1( )(1)1xf xxx的奇偶性.錯解錯解：1( )(1)1xf xxx221(1)11xxxx22()1()1( )fxxxf x 1( )(1)1xf xxx是偶函數(shù)錯因錯因：對函數(shù)奇偶性定義實(shí)質(zhì)理解不全面.對定義域內(nèi)任意一個 x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱.這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件.正解正解：1( )(1)1xf xxx有意義時必須滿足10111xxx 9 / 36即函數(shù)的定義域是x11x ，由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)例 3 判斷

22、22( )log (1)f xxx的奇偶性.錯解錯解：)1(log)1)(log)(2222xxxxxf )()(xfxf且)()(xfxf所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)錯因錯因：對數(shù)運(yùn)算公式不熟悉，或者說奇偶性的判別方法不靈活.定義中 f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)，也可改為研究 f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)0 是否成立.正解正解：方法一：)1(log)1)(log)(2222xxxxxf11log22xx)1(log22xx)(xf)(xf是奇函數(shù)方法二：)1(log)1(log)()(2222xxxxxfxf01log)1()1(log2222xxx

23、x)()(xfxf)(xf是奇函數(shù) 例例 44函數(shù) y=245xx 的單調(diào)增區(qū)間是_.錯解錯解：因?yàn)楹瘮?shù)2( )54g xxx的對稱軸是2x ，圖像是拋物線，開口向下，由圖可知2( )54g xxx在(, 2 上是增函數(shù)，所以 y=245xx 的增區(qū)間是(, 2 錯因錯因：在求單調(diào)性的過程中注意到了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性研究方法，但沒有考慮到函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論，從而忽視了函數(shù)的定義域，導(dǎo)致了解題的錯誤.正解正解：y=245xx 的定義域是 5,1，又2( )54g xxx在區(qū)間 5, 2上增函數(shù)，在區(qū)間 2,1是減函數(shù)，所以 y=245xx 的增區(qū)間是 5, 2 例例 55 已知

24、奇函數(shù)f(x)是定義在(3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x3)+f(x23)0,求x的取值范圍.10 / 36錯解錯解：f(x)是奇函數(shù)，f(x3)3x2,即x2+x60解得x2 或x3又 f(x)是定義在(3，3)上的函數(shù)，所以 2x3錯因錯因：只考慮到奇函數(shù)與單調(diào)性，而沒有正確理解函數(shù)的定義域.正解正解：由66603333332xxxx得,故 0 x6,又f(x)是奇函數(shù)，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2 或x3,綜上得 2x6,即A=x|2x6, 例例 66 作出下列函數(shù)的圖像(1)y=|x-2|(x1)；(2)|lg |10 xy .分析：顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描

25、點(diǎn)有些困難，除去對其函數(shù)性質(zhì)分析外，我們還應(yīng)想到對已知解析式進(jìn)行等價變形.在變換函數(shù)解析式中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化變換和分類討論的思想.解：(1)當(dāng) x2 時，即 x-20 時，當(dāng) x2 時，即 x-20 時，所以)2(49)21()2(49)21(22xxxxy這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖像可根據(jù)二次函數(shù)圖像作出(見圖)(2)當(dāng) x1 時，lgx0，y=10lgx=x；當(dāng) 0 x1 時，lgx0，11 / 36所以這是分段函數(shù)，每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出.(見圖)點(diǎn)評：作不熟悉的函數(shù)圖像，可以變形成基本函數(shù)再作圖，但要注意變形過程是否等價，要特別注意 x，y 的變化范圍.因此必須熟記基本函數(shù)的

26、圖像.例如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，及三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖像. 例例 77若 f(x)= 21xax在區(qū)間（2，）上是增函數(shù)，求 a 的取值范圍解解：設(shè)12121212112,()()22axaxxxf xf xxx 12211212121221121122121212(1)(2)(1)(2)(2)(2)(22)(22)(2)(2)22(21)()(2)(2)(2)(2)axxaxxxxax xaxxax xaxxxxaxxaxxaxxxxxx由f(x)=21xax在區(qū)間（2，）上是增函數(shù)得12()()0f xf x210a a21 點(diǎn)評點(diǎn)評：有關(guān)于單調(diào)性的問題

27、，當(dāng)我們感覺陌生，不熟悉或走投無路時，回到單調(diào)性的定義上去，往往給我們帶來“柳暗花明又一村”的感覺. 例例 88 已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f(21)=1,當(dāng)且僅當(dāng) 0 x1 時f(x)0,且對任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(xyyx1),試證明：(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減解解：證明：(1)由f(x)+f(y)=f(xyyx1),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f(21xxx)=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)為奇函數(shù).(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.令 0 x1x21,則f(x2)

28、f(x1)=f(x2)f(x1)=f(21121xxxx)12 / 360 x1x20,1x1x20，21121xxxx0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1,012121xxxx1,由題意知f(21121xxxx)0，即f(x2)21時，f(x)0.(1)求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)試舉出具有這種性質(zhì)的一個函數(shù)，并加以驗(yàn)證.7.已知函數(shù)y=f(x)=cbxax12 (a,b,cR,a0,b0)是奇函數(shù)，當(dāng)x0 時，f(x)有最小值2，其中bN 且f(1)25.(1)試求函數(shù)f(x)的解析式；(2)問函數(shù)f(x)圖像上是否存在關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱

29、的兩點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.2.32.3基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)一、知識導(dǎo)學(xué)一、知識導(dǎo)學(xué)1. 二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).（1）注意解題中靈活運(yùn)用二次函數(shù)的一般式2( )(0)f xaxbxca二次函數(shù)的頂點(diǎn)式2( )()(0)f xa xmna和二次函數(shù)的坐標(biāo)式12( )()()(0)f xa xxxxa（2）解二次函數(shù)的問題（如單調(diào)性、最值、值域、二次三項(xiàng)式的恒正恒負(fù)、二次方程根的范圍等）要充分利用好兩種方法：配方、圖像，很多二次函數(shù)都用數(shù)形結(jié)合的思想去解.2( )(0)f xaxbxca，當(dāng)240bac 時圖像與 x 軸有兩個交點(diǎn).M（x1,0）N(x2,0),|M

30、N|=| x1- x2|=|a.二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值，它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)的頂點(diǎn)處取得.2.指數(shù)函數(shù)xya(0,1)aa和對數(shù)函數(shù)logayx(0,1)aa的概念和性質(zhì).（1）有理指數(shù)冪的意義、冪的運(yùn)算法則：mnm naaa；()mnmnaa；()nnnaba b（這時 m,n 是有理數(shù)）對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)、換底公式. log ()loglog;logloglogaaaaaaMM NMNMNN1loglog;loglognnaaaaMnMMMn；logloglogcacbba14 / 36 （2）指數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點(diǎn).對數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點(diǎn).指數(shù)函

31、數(shù)圖像永遠(yuǎn)在 x 軸上方，當(dāng) a1 時，圖像越接近 y 軸，底數(shù) a 越大；當(dāng) 0a1 時，圖像越接近 x 軸，底數(shù) a 越大; 當(dāng) 0a1 時，圖像越接近 x 軸，底數(shù) a 越小.3.冪函數(shù)yx的概念、圖像和性質(zhì).結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2 ,y=x3,y=12,yxyx,y=12x的圖像，了解它們的變化情況.0 時，圖像都過（0,0） 、 （1,1）點(diǎn)，在區(qū)間（0，+）上是增函數(shù)；注意1 與 01 時，指數(shù)大的圖像在上方.二、疑難知識二、疑難知識 1.二次函數(shù)在區(qū)間上最值的求解要注意利用二次函數(shù)在該區(qū)間上的圖像.二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置通常有三種情況：（1）定義域區(qū)間在對稱軸的右側(cè)；（2

32、）定義域區(qū)間在對稱軸的左側(cè)；（3）對稱軸的位置在定義域區(qū)間內(nèi)2.冪的運(yùn)算性質(zhì)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用，要注意公式正確使用.會用語言準(zhǔn)確敘述這些運(yùn)算性質(zhì)防止出現(xiàn)下列錯誤：（1）式子nnaa，（2）log ()loglog;log ()loglogaaaaaaMNMNM NMN3.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解題，一定要注意底數(shù)的取值.4.函數(shù)( )f xya的研究方法一般是先研究( )f x的性質(zhì)，再由a的情況討論( )f xya的性質(zhì).5.對數(shù)函數(shù)logayx(0,1)aa與指數(shù)函數(shù)xya(0,1)aa互為反函數(shù)，會將指數(shù)式與對數(shù)式相互轉(zhuǎn)化.6.冪函數(shù)yx的性質(zhì)，要注意的取值變化對函數(shù)性質(zhì)的影響.（1）當(dāng)

33、奇奇時，冪函數(shù)是奇函數(shù)；（2）當(dāng)奇偶時，冪函數(shù)是偶函數(shù)；（3）當(dāng)偶奇時，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，冪函數(shù)為非奇非偶函數(shù).三、經(jīng)典例題三、經(jīng)典例題15 / 36 例例 11已知18log 9,185,ba求36log45錯解錯解：185,b18log 5b1818183618181818log45log 5log 9log45log 36log4log 9log4baa錯因錯因：因?qū)π再|(zhì)不熟而導(dǎo)致題目沒解完.正解正解：185,b18log 5b1818183621818181818log45log 5log 9log451818log 36log4log 92log ()2log ()99babab

34、aaaa 例例 22分析方程2( )0f xaxbxc（0a ）的兩個根都大于 1 的充要條件.錯解錯解：由于方程2( )0f xaxbxc（0a ）對應(yīng)的二次函數(shù)為2( )f xaxbxc的圖像與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于 1 即可.故需滿足(1)012fba，所以充要條件是(1)012fba錯因錯因：上述解法中，只考慮到二次函數(shù)與 x 軸交點(diǎn)坐標(biāo)要大于 1，卻忽視了最基本的的前題條件，應(yīng)讓二次函數(shù)圖像與 x 軸有交點(diǎn)才行，即滿足0，故上述解法得到的不是充要條件，而是必要不充分條件.正解正解：充要條件是2(1)01240fbabac 例例 33求函數(shù)3612 65xxy 的單調(diào)區(qū)間.錯解錯解

35、：令6xt，則3612 65xxy 2125tt 當(dāng) t6,即 x1 時，y 為關(guān)于 t 的增函數(shù)，當(dāng) t6,即 x1 時，y 為關(guān)于 t 的減函數(shù)函數(shù)3612 65xxy 的單調(diào)遞減區(qū)間是(,6，單調(diào)遞增區(qū)間為6,)錯因錯因：本題為復(fù)合函數(shù)，該解法未考慮中間變量的取值范圍.正解正解：令6xt，則6xt 為增函數(shù)，3612 65xxy 2125tt 2(6)41t 16 / 36當(dāng) t6,即 x1 時，y 為關(guān)于 t 的增函數(shù)，當(dāng) t6,即 x1 時，y 為關(guān)于 t 的減函數(shù)函數(shù)3612 65xxy 的單調(diào)遞減區(qū)間是(,1，單調(diào)遞增區(qū)間為1,) 例例 44已知)2(logaxya在0，1上是x

36、的減函數(shù)，則a的取值范圍是錯解錯解：)2(logaxya是由uyalog，axu 2復(fù)合而成，又a0axu 2在0，1上是x的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知uyalog應(yīng)為增函數(shù)，a1錯因錯因：錯因：解題中雖然考慮了對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)復(fù)合關(guān)系，卻忽視了數(shù)定義域的限制，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的某個子區(qū)間，即函數(shù)應(yīng)在0，1上有意義.正解正解：)2(logaxya是由uyalog，axu 2復(fù)合而成，又a0axu 2在0，1上是x的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知uyalog應(yīng)為增函數(shù)，a1又由于x 在0，1上時 )2(logaxya有意義，axu 2又是減函數(shù)，x1 時，axu 2取最小值是au 2min0 即可，

37、a2綜上可知所求的取值范圍是 1a2 例例 55已知函數(shù)( )log (3)af xax.（1）當(dāng)0,2x時( )f x恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)a使得函數(shù)( )f x在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，并且最大值為 1，如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由.分析分析：函數(shù)( )f x為復(fù)合函數(shù)，且含參數(shù)，要結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)具體分析找到正確的解題思路，是否存在性問題，分析時一般先假設(shè)存在后再證明.解：解：（1）由假設(shè)，ax30，對一切0,2x恒成立，0,1aa顯然，函數(shù) g(x)= ax3在0，2上為減函數(shù)，從而 g(2)32a0 得到a32a的取值范圍是（0，1）

38、（1，32）(2)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，由題設(shè)知(1)1f，即(1)log (3)afa1a32此時3( )log (3)2af xx當(dāng)2x 時，( )f x沒有意義，故這樣的實(shí)數(shù)不存在.17 / 36點(diǎn)評點(diǎn)評：本題為探索性問題，應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化，存在性問題一般的處理方法是先假設(shè)存在，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理和等價轉(zhuǎn)化，若推出矛盾，說明假設(shè)不成立.即不存在，反之沒有矛盾，則問題解決. 例例 66已知函數(shù)f(x)=1421lg2aaaxx, 其中a為常數(shù)，若當(dāng)x(, 1時, f(x)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析分析：參數(shù)深含在一個復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式中，欲直接建立關(guān)于a的不

39、等式（組）非常困難，故應(yīng)轉(zhuǎn)換思維角度，設(shè)法從原式中把a(bǔ)分離出來，重新認(rèn)識a與其它變元(x)的依存關(guān)系，利用新的函數(shù)關(guān)系，?？墒乖瓎栴}“柳暗花明”.解：14212aaaxx0, 且a2a+1=(a21)2+430, 1+2x+4xa0, a)2141(xx,當(dāng)x(, 1時, y=x41與y=x21都是減函數(shù)， y=)2141(xx在(, 1上是增函數(shù)，)2141(xxmax=43, a43, 故a的取值范圍是(43, +). 點(diǎn)評：點(diǎn)評：發(fā)掘、提煉多變元問題中變元間的相互依存、相互制約的關(guān)系、反客為主，主客換位，創(chuàng)設(shè)新的函數(shù)，并利用新函數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造性地使原問題獲解，是解題人思維品質(zhì)高的表現(xiàn).本題

40、主客換位后，利用新建函數(shù)y=)2141(xx的單調(diào)性轉(zhuǎn)換為函數(shù)最值巧妙地求出了實(shí)數(shù)a的取值范圍.此法也叫主元法. 例例 77若1133(1)(32 )aa，試求a的取值范圍.解解：冪函數(shù)13yx有兩個單調(diào)區(qū)間，根據(jù)1a 和32a的正、負(fù)情況，有以下關(guān)系10320.132aaaa 10320.132aaaa 10.320aa 解三個不等式組：得23a32，無解，a1a的取值范圍是（，1）（23，32）點(diǎn)評點(diǎn)評：冪函數(shù)13yx有兩個單調(diào)區(qū)間，在本題中相當(dāng)重要，不少學(xué)生可能在解題中誤認(rèn)為132aa ，從而導(dǎo)致解題錯誤. 例例 88 已知 a0 且 a1 ,f (log a x ) = 12aa (x

41、 x1 )18 / 36 (1)求 f(x)； (2)判斷 f(x)的奇偶性與單調(diào)性； (3)對于 f(x) ,當(dāng) x (1 , 1)時 , 有 f( 1m ) +f (1 m2 ) 0 ,求 m 的集合 M .分析分析：先用換元法求出 f(x)的表達(dá)式；再利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性和單調(diào)性；然后利用以上結(jié)論解第三問.解：(1)令 t=logax(tR)，則).(),(1)(),(1)(,22Rxaaaaxfaaaatfaxxxttt, 101,.)(,10,)(, 01,1.)(,),()(1)()2(22aaxfaaaxuaaaxfRxxfaaaaxfxxxx或無論綜上為增函數(shù)類似可判

42、斷時當(dāng)為增函數(shù)時當(dāng)為奇函數(shù)且f(x)在 R 上都是增函數(shù).) 1 , 1().1()1 (,)(, 0)1 ()1 () 3(22xmfmfRxfmfmf又上是增函數(shù)是奇函數(shù)且在. 211111111122mmmmm點(diǎn)評點(diǎn)評：對含字母指數(shù)的單調(diào)性，要對字母進(jìn)行討論.對本例的不需要代入 f（x）的表達(dá)式可求出 m 的取值范圍，請同學(xué)們細(xì)心體會.四、典型習(xí)題四、典型習(xí)題1. 函數(shù)bxaxf)(的圖像如圖，其中a、b 為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）A.0, 1baB.0, 1baC.0, 10baD.0, 10ba2、已知 2lg(x2y)=lgx+lgy,則yx的值為（ ） A.1 B.4 C.

43、1 或 4 D.4 或 8 3、方程2) 1(log2xxa (0a1)的解的個數(shù)為（ ） A.0 B.1 C.2 D.34、函數(shù) f(x)與 g(x)=(21)x的圖像關(guān)于直線 y=x 對稱,則 f(4x2)的單調(diào)遞增區(qū)間是( ） A., 0 B.0 , C.2 , 0 D.0 , 25、圖中曲線是冪函數(shù) yxn在第一象限的圖像，已知 n 可取2，12四個值,則相應(yīng)于曲線 c1、c2、c3、c4的 n 依次為( )19 / 36A.2，12，12，2 B2，12，12，2C. 12，2,2，12 D. 2，12，2, 126. 求函數(shù) y = log 2 (x2 5x+6) 的定義域、值域、

44、單調(diào)區(qū)間.7. 若 x 滿足03log14)(log24221xx ,求 f(x)=2log2log22xx最大值和最小值.8.已知定義在 R 上的函數(shù)( )2,2xxaf x a為常數(shù)（1）如果( )f x()fx，求a的值；（2）當(dāng)( )f x滿足（1）時，用單調(diào)性定義討論( )f x的單調(diào)性.2.42.4函數(shù)與方程函數(shù)與方程一、知識導(dǎo)學(xué)1.函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系：一般地，對于函數(shù)( )yf x（xD）我們稱方程( )0f x 的實(shí)數(shù)根x也叫做函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為零的自變量的值. 求綜合方程f(x)=g(x)的根或根的個數(shù)就是求函數(shù)( )( )yf xg x的零點(diǎn).2

45、.函數(shù)的圖像與方程的根的關(guān)系：一般地，函數(shù)( )yf x（xD）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是( )0f x 的根.綜合方程f(x)=g(x)的根，就是求函數(shù)yf(x)與y=g(x)的圖像的交點(diǎn)或交點(diǎn)個數(shù)，或求方程( )( )yf xg x的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).3.判斷一個函數(shù)是否有零點(diǎn)的方法：如果函數(shù)( )yf x在區(qū)間a,b上圖像是連續(xù)不斷的曲線，并且有( )( )0f af b，那么，函數(shù)( )yf x在區(qū)間（a,b）上至少有一個零點(diǎn)，即至少存在一個數(shù)( , )ca b使得( )0f c ，這個 c 也就是方程( )0f x 的一個根.對于我們學(xué)習(xí)的簡單函數(shù)，可以借助( )yf x圖像

46、判斷解的個數(shù)，或者把( )f x寫成( )( )g xh x，然后借助( )yg x、( )yh x的圖像的交點(diǎn)去判斷函數(shù)( )f x的零點(diǎn)情況.4. 二次函數(shù)、一元二次方程、二次函數(shù)圖像之間的關(guān)系：二次函數(shù)2yaxbxc的零點(diǎn)，就是二次方程20axbxc的根，也是二次函20 / 36數(shù)2yaxbxc的圖像與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).5. 二分法：對于區(qū)間a,b上的連續(xù)不斷，且( )( )0f af b的函數(shù)( )yf x，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.二、疑難知識1.關(guān)于函數(shù)( )( )yf xg x的零點(diǎn)，就是方程(

47、 )( )f xg x的實(shí)數(shù)根，也就是( )yf x與函數(shù)( )yg x圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 要深刻理解，解題中靈活運(yùn)用.2.如果二次函數(shù)2( )yf xaxbxc，在閉區(qū)間m,n上滿足( )( )0f mf n，那么方程20axbxc在區(qū)間（m,n）上有唯一解，即存在唯一的1( , )xm n，使1()0f x，方程20axbxc另一解2(,)( ,)xmn .3. 二次方程20axbxc的根在某一區(qū)間時，滿足的條件應(yīng)據(jù)具體情形而定.如二次方程( )f x20axbxc的根都在區(qū)間( , )m n時應(yīng)滿足：02( )0( )0bmnaf mf n 4.用二分法求二次方程的近似解一般步驟是（1

48、）取一個區(qū)間（, a b）使( )( )0f af b（2）取區(qū)間的中點(diǎn)，02abx（3）計算0()f x，若0()0f x，則0 x就是( )0f x 的解，計算終止；若0( )()0f af x，則解位于區(qū)間（0,a x）中，令110,aa bx；若0()( )0f xf b則解位于區(qū)間（0,x b）令101,ax bb（4）取區(qū)間是（11,a b）的中點(diǎn)，1112abx重服第二步、第三驟直到第 n 步，方程的解總位于區(qū)間（,nna b）內(nèi)（5）當(dāng),nna b精確到規(guī)定的精確度的近似值相等時，那么這個值就是所求的近似解.21 / 36三、經(jīng)典例題 例例 11已知函數(shù)2( )3f xxaxa

49、 若 2,2x 時，( )f x0 恒成立，求a的取值范圍.錯解錯解：（一）( )0f x 恒成立，24(3)aa0 恒成立解得a的取值范圍為62a 錯解錯解：（二）2( )3f xxaxa 若 2,2x 時，( )f x0 恒成立( 2)0(2)0ff即22( 2)2302230aaaa 解得a的取值范圍為773a 錯因錯因：對二次函數(shù)( )f x2axbxc當(dāng)xR上( )f x0 恒成立時，0片面理解為，2axbxc0， 2,2x 恒成立時，0 ；或者理解為( 2)0(2)0ff這都是由于函數(shù)性質(zhì)掌握得不透徹而導(dǎo)致的錯誤.二次函數(shù)最值問題中“軸變區(qū)間定”要對對稱軸進(jìn)行分類討論；“軸定區(qū)間變

50、”要對區(qū)間進(jìn)行討論.正解正解：設(shè)( )f x的最小值為( )g a（1）當(dāng)22a 即a4 時，( )g a( 2)f 73a0，得73a 故此時a不存在；(2) 當(dāng) 2,22a 即4a4 時，( )g a3a24a0，得6a2又4a4，故4a2；（3）22a即a4 時，( )g a(2)f7a0，得a7，又a4故7a4綜上，得7a2 例例 22已知210mxx 有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)，求m的取值范圍.錯解錯解：設(shè)2( )1f xmxx210mxx 有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)(0)(1)0ff得m2錯因錯因：對于一般( )f x，若( )( )0f af b，那么，函數(shù)( )yf x

51、在區(qū)間（a,b）上至少有一個零點(diǎn)，但不一定唯一.對于二次函數(shù)( )f x，若( )( )0f af b則在區(qū)間（a,b）上存22 / 36在唯一的零點(diǎn)，一次函數(shù)有同樣的結(jié)論成立.但方程( )f x0 在區(qū)間（a,b）上有且只有一根時，不僅是( )( )0f af b，也有可能( )( )0f af b.如二次函數(shù)圖像是下列這種情況時，就是這種情況.由圖可知( )f x0 在區(qū)間（a,b）上有且只有一根，但是( )( )0f af b正解正解：設(shè)2( )1f xmxx， （1）當(dāng)m0 時方程的根為1，不滿足條件.（2）當(dāng)m0210mxx 有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)又(0)f10有兩種可能情形

52、(1)0f得m2或者1(1)02fm且00 即)(xfx )1)()1)()()()(2121111axxxaxaxxxxFxxxFxxxfx021xxxa1.01 , 021axxx0)(1xfx綜合得1)(xxfx（2）依題意知abx20，又abxx121aaxaxaxxaabx2121)(221210, 012ax22110 xaaxx點(diǎn)評點(diǎn)評：解決本題的關(guān)健有三：一是用作差比較法證明不等式；二是正確選擇二次函數(shù)的表達(dá)式，即本題選用兩根式表示；三要知道二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，此直線為二次函數(shù)的對稱軸，即abx20 例例 88 已知函數(shù)0) 1 (),1(2)(2fbccbxxxf，且

53、方程01)(xf有實(shí)根. (1)求證：-3c-1,b0. (2)若 m 是方程01)(xf的一個實(shí)根，判斷)4(mf的正負(fù)并加以證明分析：（1）題中條件涉及不等關(guān)系的有1 bc和方程01)(xf有實(shí)根.及一個等式0) 1 (f，通過適當(dāng)代換及不等式性質(zhì)可解得；（2）本小題只要判斷)4(mf的符號，因而只要研究出4m值的范圍即可定出)4(mf符號.(1)證明：由0) 1 (f，得 1+2b+c=0,解得21cb，又1 bc，1cc21解得313c，又由于方程01)(xf有實(shí)根，即0122cbxx有實(shí)根，故0) 1(442cb即0) 1(4) 1(2cc解得3c或1c27 / 3613c，由21c

54、b，得b0.（2）cbxxxf2)(2=) 1)() 1(2xcxcxcx01)(mf，cm1（如圖）c4m43bc 且 f(1)=0，證明：f(x)的圖像與 X 軸相交；(2)證明：若對 x1、x2R ，且 f(x1) f(x2),則方程2)()()(21xfxfxf 必有一實(shí)根在區(qū)間（x1,x2）內(nèi)；(3)在（1）的條件下，是否存在實(shí)數(shù) m，使 f(m) = a 成立時,f(m+3)0.2.52.5函數(shù)的綜合運(yùn)用函數(shù)的綜合運(yùn)用一、知識導(dǎo)學(xué)一、知識導(dǎo)學(xué)1.在應(yīng)用中深化基礎(chǔ)知識.在復(fù)習(xí)中基礎(chǔ)知識經(jīng)歷一個由分散到系統(tǒng)，由單一到綜合的發(fā)展過程.這個過程不是一次完成的，而是螺旋式上升的.因此要在應(yīng)用

55、深化基礎(chǔ)知識的同時，使基礎(chǔ)知識向深度和廣度發(fā)展.2.以數(shù)學(xué)知識為載體突出數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法是觀念性的東西，是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂，同時它又離不開具體的數(shù)學(xué)知識.函數(shù)內(nèi)容最重要的數(shù)學(xué)思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的思想.此外還應(yīng)注意在解題中運(yùn)用的分類討論、換元等思想方法.解較綜合的數(shù)學(xué)問題要進(jìn)行一系列等價轉(zhuǎn)化或非等價轉(zhuǎn)化.因此本課題也十分重視轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.3.要重視綜合運(yùn)用知識分析問題解決問題的能力和推理論證能力的培養(yǎng).函數(shù)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的開始，還不可能在大范圍內(nèi)綜合運(yùn)用知識.但從復(fù)習(xí)開始就讓學(xué)生樹立綜合運(yùn)用知識解決問題的意識是十分重要的.推理論證能力是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，近幾年高考命題中加強(qiáng)對這方面

56、的考查，尤其是對代數(shù)推理論證能力的考查是十分必要的.本課題在例題安排上作了這方面的考慮.4.函數(shù)應(yīng)用題主要研究如何利用函數(shù)思想解決生產(chǎn)實(shí)踐中的實(shí)際問題，要求各位同學(xué)有較寬的知識面，能讀懂題意，然后對問題進(jìn)行分析，靈活運(yùn)用所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，建立量與量的函數(shù)關(guān)系，把實(shí)際問題材轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過對函數(shù)問題材的解決達(dá)到實(shí)際問題解決目的.二、疑難知二、疑難知識識1.為了能較快地解決函數(shù)綜合問題，要求各位學(xué)生在全面復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念，全面把握各類函數(shù)的特征，提高運(yùn)用基礎(chǔ)知識解決問題的能力.掌握初等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)的能力，重視數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用和

57、推理論證能力的培養(yǎng).初步溝通函數(shù)與方程、不等式及解析幾何有關(guān)知識的橫向聯(lián)系，提高綜合運(yùn)用知識解決問題的能力.樹立函數(shù)思想，使學(xué)生善于用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)分析問題.2.對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的學(xué)習(xí)，是提高分析問題、解決問題能力的好途徑.不少人在數(shù)學(xué)應(yīng)用題面前，束手無策；有的讀不懂題意；有的不會歸納抽象、建模，因此要解好應(yīng)用題，首先應(yīng)加強(qiáng)提高閱讀理解能力，然后將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號，實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再運(yùn)用數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想去解決問題.三、經(jīng)典例題三、經(jīng)典例題 例例 11 不等式 ).23(log)423(log2)2(2)2(22xxxxxx錯解錯解： , 122x, 2342322xxxx

58、. 223, 0622xxxx或29 / 36錯因錯因： 當(dāng)2x時，真數(shù)0232 xx且2x在所求的范圍內(nèi)（因 232 ） ，說明解法錯誤.原因是沒有弄清對數(shù)定義.此題忽視了“對數(shù)的真數(shù)大于零”這一條件造成解法錯誤，表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性.正解正解 122x2342302304232222xxxxxxxx 2231231313131xxxxxx或或或. 22xx或 例例 22將進(jìn)價為 8 元的商品，按每件 10 元售出，每天可銷售 0 件，若每件售價漲價 0.5 元，其銷售量就減少 10 件，問應(yīng)將售價定為多少時，才能使所賺利潤最大，并求出這個最大利潤.錯解錯解：設(shè)每件售價提高 x 元，利潤為

59、y 元，則 y=)20200)(8(xx81) 1(202xx=1 時，1620maxy（元）錯因錯因：沒理解題意，每天銷售 0 件是在定價 10 元時的情況下，所設(shè)的應(yīng)理解為在定價目10 元的基礎(chǔ)上，再每件售價提高 x 元，故利潤每件應(yīng)為（2+x）元，此時的銷售量為（020 x）元正解正解：設(shè)每件售價提高 x 元，利潤為 y 元，則 y=)20200)(2(xx=720)4(202x故當(dāng)4x，即定價為 14 元時，每天可獲得最大利潤為 720 元. 例例 33某工廠改進(jìn)了設(shè)備，在兩年內(nèi)生產(chǎn)的月增長率都是 m，則這兩年內(nèi)第二年三月份的產(chǎn)值比第一年三月份的產(chǎn)值的增長率是多少？錯解錯解：設(shè)第一年三

60、月份的產(chǎn)值為 a，則經(jīng)過二年，三月份的產(chǎn)值是 a(1+m)11,則所求增長率為1)1 ()1 (1111maama，或把第二年三月份的產(chǎn)值寫為 a(1+m)13.錯因錯因：對增長率問題的公式xpNy)1 ( 未透徹理解而造成錯解，或者是由于審題不細(xì)致而造成題意的理解錯誤.若某月的產(chǎn)值是 a，則此后第x月的產(chǎn)值為xma)1 ( ，指數(shù)x是基數(shù)所在時間后所跨過的時間間隔數(shù).正解正解：設(shè)第一年三月份的產(chǎn)值為 a，則第四個月的產(chǎn)值為 a(1+m)，五月份的產(chǎn)值為 a(1+m)2，從此類推，則第二年的三月份是第一年三月份后的第 12 個月，故第二年的三月份的產(chǎn)值是a(1+m)12，又由增長率的概念知，這