統(tǒng)計(jì)學(xué)正態(tài)分布及t分布

1、2正態(tài)分布正態(tài)分布3v樣本有幾個(gè)特別重要的數(shù)字特征，這些數(shù)字是描述樣本頻樣本有幾個(gè)特別重要的數(shù)字特征，這些數(shù)字是描述樣本頻率分布特征的，稱(chēng)之為樣本特征數(shù)率分布特征的，稱(chēng)之為樣本特征數(shù)v而在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)中，樣本特征數(shù)使用頻繁的有以下幾個(gè)而在生物統(tǒng)計(jì)學(xué)中，樣本特征數(shù)使用頻繁的有以下幾個(gè)v1.算術(shù)平均數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)平均數(shù)（ ）。4 2.樣本方差:樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)。 3.樣本標(biāo)準(zhǔn)差:樣本方差的算術(shù)平方根做。6 正態(tài)分布的概念 如果把數(shù)值變量資料編制頻數(shù)表后繪制頻數(shù)分布圖（又稱(chēng)直方圖，它用矩形面積表示數(shù)值變量資料的頻數(shù)分布，每條直條的寬表示組距，直條的面積表示頻數(shù)（或頻率）大小，直條

2、與直條之間不留空隙。），若頻數(shù)分布呈現(xiàn)中間為最多，左右兩側(cè)基本對(duì)稱(chēng)，越靠近中間頻數(shù)越多，離中間越遠(yuǎn)，頻數(shù)越少，形成一個(gè)中間頻數(shù)多，兩側(cè)頻數(shù)逐漸減少且基本對(duì)稱(chēng)的分布，那我們一般認(rèn)為該數(shù)值 變量服從或近似服從 數(shù)學(xué)上的正態(tài)分布。7 當(dāng)當(dāng)n，直方條面積，直方條面積(頻率頻率)各自的概率各自的概率 然后組距然后組距時(shí)，直方條的寬度時(shí)，直方條的寬度，直，直方條方條垂直線(xiàn)，各個(gè)直方條頂點(diǎn)間的連線(xiàn)垂直線(xiàn)，各個(gè)直方條頂點(diǎn)間的連線(xiàn)構(gòu)成一條光滑的曲線(xiàn)，即：概率密度曲線(xiàn)，構(gòu)成一條光滑的曲線(xiàn)，即：概率密度曲線(xiàn)，而曲線(xiàn)下而曲線(xiàn)下(直方條直方條)的總面積始終為，在區(qū)的總面積始終為，在區(qū)間間a,b的概率對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)段下的面積的

3、概率對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)段下的面積(直方直方條面積條面積) 。8正態(tài)分布的概念9 正態(tài)曲線(xiàn)的定義：正態(tài)曲線(xiàn)的定義：函數(shù)函數(shù)22()21( )2xfxe ),(x稱(chēng)稱(chēng)f( x)的圖象稱(chēng)為的圖象稱(chēng)為正態(tài)曲線(xiàn)正態(tài)曲線(xiàn)式中:= 3.1416 e= 2.71828 x-表示變量 -表示理論平均數(shù) -表示總體標(biāo)準(zhǔn)差 2表示總體方差這個(gè)公式表示x變量區(qū)間內(nèi)發(fā)生的概率2( ,)XN 11在不變的情況下函數(shù)曲線(xiàn)形狀不變，若變大時(shí)，曲線(xiàn)位置向右移；若變小時(shí)，曲線(xiàn)位置向左移，故稱(chēng)為位置參數(shù)。12123在不變的情況下函數(shù)曲線(xiàn)位置不變，若變大時(shí)，曲線(xiàn)形狀變的越來(lái)越“胖”和“矮”；若變小時(shí)，曲線(xiàn)形狀變的越來(lái)越“瘦”和“高”，故稱(chēng)為形

4、態(tài)參數(shù)或變異度參數(shù)。1301 2-1-2xy-3= -1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)（1）曲線(xiàn)在）曲線(xiàn)在x軸的上方，與軸的上方，與x軸不相交軸不相交.（2）曲線(xiàn)是單峰的）曲線(xiàn)是單峰的,它關(guān)于直線(xiàn)它關(guān)于直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng).（3）曲線(xiàn)在）曲線(xiàn)在x=處達(dá)到峰值處達(dá)到峰值(最高點(diǎn)最高點(diǎn)) （4）曲線(xiàn)與）曲線(xiàn)與x軸之間的面積為軸之間的面積為1（5）當(dāng)）當(dāng) x時(shí)時(shí),曲線(xiàn)下降曲線(xiàn)下降.并且當(dāng)曲線(xiàn)向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí)并且當(dāng)曲線(xiàn)向左、右兩邊無(wú)限延伸時(shí), 以以x軸為漸近線(xiàn)軸為漸近線(xiàn),向它無(wú)限靠近向它無(wú)限靠近. (6)當(dāng)當(dāng)一定時(shí)，曲線(xiàn)的形狀由

5、一定時(shí)，曲線(xiàn)的形狀由確定確定 . 越大，曲線(xiàn)越越大，曲線(xiàn)越“矮胖矮胖”，表示總體的分布越分散；，表示總體的分布越分散； 越小，曲線(xiàn)越越小，曲線(xiàn)越“瘦高瘦高”，表示總體的分布越集中，表示總體的分布越集中.14v而整個(gè)正態(tài)分布則應(yīng)該是各區(qū)間密度函數(shù)的累計(jì)積分.v一種連續(xù)的分布不可能求某項(xiàng)(某點(diǎn))的概率,而只能求某個(gè)區(qū)間的概率.v任意兩點(diǎn)x1，x2且(x1x2)，X在 (x1, x2)范圍內(nèi)取值的概率P,即正態(tài)分布曲線(xiàn)在(x1, x2)下面積2221()212xxxPedx就是由正態(tài)分布密度函數(shù)2221)(xexf得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)：222)(21)(xexfxuu稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離

6、差，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量這個(gè)變換稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)化或這個(gè)變換稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)化或u變換變換,由于由于x是隨機(jī)變量，因此是隨機(jī)變量，因此u也是隨機(jī)變量，所得到的隨機(jī)變量也是隨機(jī)變量，所得到的隨機(jī)變量U也服從正態(tài)分布，也服從正態(tài)分布，因此，由任意正態(tài)分布隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化得到的隨機(jī)變量因此，由任意正態(tài)分布隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化得到的隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布常稱(chēng)為的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布常稱(chēng)為u分布。分布。2221)(ueuf標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布均具有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布均具有=0，2=1的特性的特性如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可記為：服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，可記為：uN（0，1）2221)(xexf標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)),(x012

7、-1-2xy-33=0=121特殊區(qū)間的概率特殊區(qū)間的概率:若若XN ,則對(duì)于任何實(shí)數(shù)則對(duì)于任何實(shí)數(shù)a0,概率概率 為如圖中的陰影部分的面積，對(duì)于固定的為如圖中的陰影部分的面積，對(duì)于固定的 和和 而言，該面而言，該面積隨著積隨著 的減少而變大。這說(shuō)明的減少而變大。這說(shuō)明 越小越小, 落在區(qū)間落在區(qū)間 的概率越大，即的概率越大，即X集中在集中在 周?chē)怕试酱?。周?chē)怕试酱蟆?( ,) ,()( )aaPaax dx (,aa -a +ax=()0.6826,(22 )0.9544,(33 )0.9974.PXPXPX特別地有特別地有22 我們從上圖看到，正態(tài)總體在我們從上圖看到，正態(tài)總體在 以外

8、取值的概率只有以外取值的概率只有4.6，在，在 以外以外取值的概率只有取值的概率只有0.3 。2,23,3由于這些概率值很?。ㄒ话悴怀^(guò)由于這些概率值很小（一般不超過(guò)5 ），通常稱(chēng)這些情況發(fā)生為），通常稱(chēng)這些情況發(fā)生為小概率事件小概率事件。x如果原總體的平均數(shù)為如果原總體的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，那么樣本平均數(shù)，那么樣本平均數(shù)抽樣總體：抽樣總體：平均數(shù)為：平均數(shù)為：標(biāo)準(zhǔn)差為：標(biāo)準(zhǔn)差為：為樣本平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)誤差簡(jiǎn)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)誤，標(biāo)為樣本平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)誤差簡(jiǎn)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)誤，標(biāo)準(zhǔn)誤表示平均數(shù)抽樣誤差的大小，反映樣本平均數(shù)與準(zhǔn)誤表示平均數(shù)抽樣誤差的大小，反映樣本平均數(shù)與新總體平均數(shù)之間的離散

9、程度。新總體平均數(shù)之間的離散程度。 xxxnx抽樣的樣本平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù)抽樣的樣本平均數(shù)的平均數(shù)等于總體平均數(shù),即即抽樣的抽樣平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以抽樣的抽樣平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本單位數(shù)的平方根。即樣本單位數(shù)的平方根。即4. t-分布（不要求）分布（不要求）設(shè)有服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量設(shè)有服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量x，正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化公式為：正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化公式為：xu 對(duì)于總體方差對(duì)于總體方差2已知的總體，根據(jù)公式可以知道已知的總體，根據(jù)公式可以知道在某一區(qū)間內(nèi)在某一區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率，公式為：出現(xiàn)的概率，公式為： xxuxxuxunx附：附：服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布服從

10、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布假如假如2未知，而且樣本容量又比較?。ㄎ粗?，而且樣本容量又比較?。╪30）時(shí)：）時(shí)： 標(biāo)準(zhǔn)化公式可變換為：標(biāo)準(zhǔn)化公式可變換為：xSxt它不再服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布它不再服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布T分布類(lèi)似于正態(tài)分布，也是一種對(duì)稱(chēng)分布，它只有一個(gè)參數(shù)，就是自由度所謂自由度是指獨(dú)立觀測(cè)值的個(gè)數(shù)，應(yīng)為計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)所使用的n個(gè)觀測(cè)值，受到平均數(shù)x的約束，這就等于有一個(gè)觀測(cè)值不能獨(dú)立取值，因此自由度為df=n-1服從具有服從具有n-1自由度自由度t-分布分布T分布的密度函數(shù)為：分布的密度函數(shù)為：T分布的計(jì)算已列成表格分布的計(jì)算已列成表格,應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要由應(yīng)用時(shí)可根據(jù)需要由t值值,自由度查概率自由度查概率;

11、也可以由概率也可以由概率,自由度查自由度查t值值.2(1)/2(1)/2( )1+, ( /2)n nxf xxnn n /2 o xtn (x) t /2(n) t /2(n) /2則稱(chēng)這個(gè)數(shù)則稱(chēng)這個(gè)數(shù) c 是自由度是自由度n 的的 t 分布的雙側(cè)分布的雙側(cè) 分位點(diǎn)分位點(diǎn) (數(shù)數(shù)) ，記成，記成 t / 2 (n) 。對(duì)稱(chēng)分布的雙側(cè)對(duì)稱(chēng)分布的雙側(cè) 分位點(diǎn)就是上側(cè)分位點(diǎn)就是上側(cè) /2 分位點(diǎn)分位點(diǎn) /2 o x (x) u /2 u /2 /2如：雙側(cè)如：雙側(cè) 0.05 分位點(diǎn)分位點(diǎn) u0.025 = 1.96 （1）t分布為對(duì)稱(chēng)分布，關(guān)于分布為對(duì)稱(chēng)分布，關(guān)于t = 0對(duì)稱(chēng)；只有一個(gè)峰，峰值在對(duì)稱(chēng)；只有一個(gè)峰，峰值在t = 0處；與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線(xiàn)相比，處；與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線(xiàn)相比，t分布曲線(xiàn)頂部略低，兩分布曲線(xiàn)頂部略低，兩尾部稍高而平尾部稍高而平（2）t分布曲線(xiàn)受自由度分布曲線(xiàn)受自由度df 的影響，自由度越小，離散程度越大的影響，自由度