高等數(shù)學(xué)-高階導(dǎo)數(shù)

1、上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁1主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 第二節(jié)第二節(jié) 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；三、高階導(dǎo)數(shù)三、高階導(dǎo)數(shù).上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁2一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義定義: :.0),(數(shù)所確定的函數(shù)稱為隱函由方程yxF.)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函

2、數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁3例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì) x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁4隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)步驟隱函數(shù)求導(dǎo)步驟：A A、對(duì)方程兩邊求導(dǎo)；對(duì)方程兩邊求導(dǎo)；B B、方程僅含方程僅含x的式子按正常求導(dǎo)；凡含的式子按正常求導(dǎo)；凡含y的的式子要按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，

3、且結(jié)果必有式子要按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，且結(jié)果必有C C、將將 的系數(shù)合并移項(xiàng)到等式左邊，其的系數(shù)合并移項(xiàng)到等式左邊，其余移項(xiàng)到等式右邊，求解出余移項(xiàng)到等式右邊，求解出 。)(dxdyy 或或 y y 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁5.,23,23,333線通過原點(diǎn)線通過原點(diǎn)在該點(diǎn)的法在該點(diǎn)的法并證明曲線并證明曲線的切線方程的切線方程點(diǎn)點(diǎn)上上求過求過的方程為的方程為設(shè)曲線設(shè)曲線CCxyyxC 解解,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì) xyxyyyx 333322),(),(2323222323xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy

4、 即即顯然通過原點(diǎn)顯然通過原點(diǎn).例例2 2上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁6對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.)(.)(:導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)多個(gè)函數(shù)的連乘除的求多個(gè)函數(shù)的連乘除的求冪指函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)冪指函數(shù)的求導(dǎo)數(shù)該方法主要用于該方法主要用于21上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁7例例3 3解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)

5、得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁8例例4 4解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁9一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfx

6、v )(ln)()(lnxuxvxf 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁10隨堂練習(xí)隨堂練習(xí).,1sin. 1dxdyexxyx求求 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁112、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：)3cos()1(2xxy xxycos)(sin)2( )sin()3(xyyx yxexy )4()32sin()5(2 xy 2sin)6(xey )sin()7(yxxy xyyexe )8(上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁12.,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xt

7、y 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?t二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁13),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt )()(ttdtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在在方方程程 tytx 注意分子母不要顛倒上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁14例

8、例5 5解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁15.),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁16 求下列曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法線方程：求下列曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線方程和法線方程：處；處；在在012sin)1(2 xxxy.2cossin)2(處處在在 tttyttx處；處；在在0)3(22 xxeyx.2cossin)4(處處在

9、在 tteytextt隨堂練習(xí)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁171、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題問題: :變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度.),(tfs 設(shè)設(shè))()(tftv 則瞬時(shí)速度為則瞬時(shí)速度為的變化率的變化率對(duì)時(shí)間對(duì)時(shí)間是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處的二階導(dǎo)數(shù)處的二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱存在存在即即處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 三、高階導(dǎo)數(shù)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁18記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記作記作階導(dǎo)數(shù)

10、階導(dǎo)數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù), 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).)(;)(,稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)稱為零階導(dǎo)數(shù)相應(yīng)地相應(yīng)地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁19例例6 6).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )1

11、1(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 （1 1）直接法）直接法: :由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).2、 高階導(dǎo)數(shù)求法舉例高階導(dǎo)數(shù)求法舉例上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁20例例7 7.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁21例例8 8.

12、),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n階導(dǎo)數(shù)時(shí)階導(dǎo)數(shù)時(shí),求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合并不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出寫出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)歸納法證明)上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁22例例9 9.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)(

13、 nxxn同理可得同理可得上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁23（2） 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:則則階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁24（3 3）間接法）間接法: :常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式,

14、 通過四則通過四則1)(!)1()1( nnnxnx運(yùn)算運(yùn)算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁25例例1010.,11)5(2yxy求求設(shè)設(shè) 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁26,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt )()()()()(322tttttdxyd 即即由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)dtdx

15、ttdtd)()( dtdxttdtd)()( 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁27例例1111解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁28；xxycos)1( 求下列函數(shù)求下列函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù)：的二階導(dǎo)數(shù)：.12)5(2 tytx；12)2(2 xyy隨堂練習(xí)：隨堂練習(xí)：；1)3(22 xyyx tytxsin3cos4)4(上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁29內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 1. 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 直接對(duì)方程兩邊求