第五講數(shù)學(xué)命題教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第五講第五講 數(shù)學(xué)命題教學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)命題教學(xué)設(shè)計(jì) 華東師大數(shù)學(xué)系華東師大數(shù)學(xué)系 李俊李俊數(shù)學(xué)命題（原理、規(guī)則）教學(xué)數(shù)學(xué)命題（原理、規(guī)則）教學(xué)數(shù)學(xué)中的命題主要包括公理、定理、法則、數(shù)學(xué)中的命題主要包括公理、定理、法則、公式，它們都是真命題。數(shù)學(xué)命題揭示了公式，它們都是真命題。數(shù)學(xué)命題揭示了若干概念之間的聯(lián)系。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)命題，不若干概念之間的聯(lián)系。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)命題，不僅是為了掌握這些數(shù)學(xué)命題，而且是為了僅是為了掌握這些數(shù)學(xué)命題，而且是為了能運(yùn)用它們解決實(shí)際問題或?yàn)檫M(jìn)一步學(xué)習(xí)能運(yùn)用它們解決實(shí)際問題或?yàn)檫M(jìn)一步學(xué)習(xí)做必要的準(zhǔn)備。做必要的準(zhǔn)備。與概念教學(xué)一樣，也常常從具體例證開始。與概念教學(xué)一樣，也常常從具體例證

2、開始。因?yàn)樯婕皫讉€(gè)概念以及它們之間的聯(lián)系，因?yàn)樯婕皫讉€(gè)概念以及它們之間的聯(lián)系，所以學(xué)習(xí)層次和復(fù)雜程度會(huì)較概念學(xué)習(xí)高。所以學(xué)習(xí)層次和復(fù)雜程度會(huì)較概念學(xué)習(xí)高。得出數(shù)學(xué)命題的一般順序得出數(shù)學(xué)命題的一般順序已有知識(shí)已有知識(shí)發(fā)現(xiàn)命題，教師并不直接給出命題，發(fā)現(xiàn)命題，教師并不直接給出命題，學(xué)生通過回顧已有知識(shí)，觀察、研究例證，推導(dǎo)學(xué)生通過回顧已有知識(shí)，觀察、研究例證，推導(dǎo)或概括出命題，類似于概念的上位學(xué)習(xí)。教學(xué)中或概括出命題，類似于概念的上位學(xué)習(xí)。教學(xué)中應(yīng)注意聯(lián)系學(xué)生已有的知識(shí)，并為推導(dǎo)或概括鋪應(yīng)注意聯(lián)系學(xué)生已有的知識(shí)，并為推導(dǎo)或概括鋪設(shè)難度適中的臺(tái)階。設(shè)難度適中的臺(tái)階。接受命題接受命題例證檢核，教師先給

3、出命題（可證明例證檢核，教師先給出命題（可證明也可不證明），再通過例證引導(dǎo)學(xué)生理解命題的也可不證明），再通過例證引導(dǎo)學(xué)生理解命題的意義，類似于概念的下位學(xué)習(xí)。教學(xué)中應(yīng)特別注意義，類似于概念的下位學(xué)習(xí)。教學(xué)中應(yīng)特別注意讓學(xué)生體會(huì)命題自然合理的一面。意讓學(xué)生體會(huì)命題自然合理的一面。數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)的認(rèn)知過程觀察例證發(fā)現(xiàn)命題接受命題例證檢核建構(gòu)解決問題反饋?zhàn)C明/分析命題教學(xué)的一般過程命題教學(xué)的一般過程（1 1）發(fā)現(xiàn)或接受命題，為此，需要了解學(xué)生）發(fā)現(xiàn)或接受命題，為此，需要了解學(xué)生預(yù)備知識(shí)掌握情況；需要提供例證；需要預(yù)備知識(shí)掌握情況；需要提供例證；需要引發(fā)認(rèn)知沖突或營(yíng)造問題情境。引發(fā)

4、認(rèn)知沖突或營(yíng)造問題情境。變枯燥乏味為躍躍欲試變枯燥乏味為躍躍欲試合并同類項(xiàng)合并同類項(xiàng)今天，我們來一個(gè)點(diǎn)名做題比賽，我給出一個(gè)多項(xiàng)今天，我們來一個(gè)點(diǎn)名做題比賽，我給出一個(gè)多項(xiàng)式：式：對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式，由一個(gè)同學(xué)給出對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式，由一個(gè)同學(xué)給出x x、y y各一個(gè)值，讓另各一個(gè)值，讓另一個(gè)同學(xué)說出這個(gè)多項(xiàng)式的值，好嗎？如果回答正確，一個(gè)同學(xué)說出這個(gè)多項(xiàng)式的值，好嗎？如果回答正確，就可以再給出就可以再給出x x、y y各一個(gè)值，去考他想考的同學(xué)。各一個(gè)值，去考他想考的同學(xué)。生生1 1：x=0.15x=0.15，y=10y=10，請(qǐng)生，請(qǐng)生2 2回答?；卮稹Ｉ? 2：師：我來回答吧，是師：我來回答吧，是

5、1.51.5，想知道我是怎么算出來的，想知道我是怎么算出來的嗎？嗎？xyxyxyxxxy22218410357333717命題教學(xué)的一般過程命題教學(xué)的一般過程（2 2）如需要證明，與學(xué)生一起研究證明方法，）如需要證明，與學(xué)生一起研究證明方法，如不需要證明，則提供材料讓學(xué)生體會(huì)命如不需要證明，則提供材料讓學(xué)生體會(huì)命題規(guī)定的合理性。題規(guī)定的合理性。 一初中教師花一初中教師花9090秒介紹計(jì)算法則，然后秒介紹計(jì)算法則，然后是大量的例題加習(xí)題是大量的例題加習(xí)題(0,)mnm naaaamn m nN想到想到雜技節(jié)目雜技節(jié)目“拋盤子拋盤子”“過了這個(gè)村就沒了那個(gè)店過了這個(gè)村就沒了那個(gè)店”怎么教？怎么教？

6、初中冪的除法初中冪的除法m,nm,n是正整數(shù)，是正整數(shù)，mn, mn, 則有則有如何就冪的除法講道理如何就冪的除法講道理m,nm,n是正整數(shù)，是正整數(shù)，mn, mn, 則有則有方法方法1 1：因?yàn)椋阂驗(yàn)?所以，一般地有所以，一般地有 方法方法2 2：因?yàn)椋阂驗(yàn)榉椒ǚ椒? 3：因?yàn)椋阂驗(yàn)閙nm naaa532725,aaaaaa()()()()()()mnm na a aa maa aa a aaaaa aaaa aa naa aa 個(gè)個(gè)n個(gè)am-n個(gè)a,m nnm n nmmnm naaaaaaa 還有什么？開放題?6a命題教學(xué)的一般過程命題教學(xué)的一般過程（3 3）認(rèn)識(shí)命題的條件與結(jié)論，如在公

7、式推導(dǎo)）認(rèn)識(shí)命題的條件與結(jié)論，如在公式推導(dǎo)過程中對(duì)條件引起注意，通過對(duì)結(jié)論從結(jié)過程中對(duì)條件引起注意，通過對(duì)結(jié)論從結(jié)構(gòu)、功能、性質(zhì)、使用步驟等角度分析以構(gòu)、功能、性質(zhì)、使用步驟等角度分析以加深印象和理解。加深印象和理解。（4 4）循序漸進(jìn)地應(yīng)用（正用到逆用）命題，）循序漸進(jìn)地應(yīng)用（正用到逆用）命題，將命題納入到已有的知識(shí)體系中去。將命題納入到已有的知識(shí)體系中去。公式法解一元二次方程公式法解一元二次方程復(fù)習(xí)提問復(fù)習(xí)提問復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)“直接開平方法直接開平方法”，如，如 x x2 2=4=4；(x-(x-2)2)2 2=7=7；(x-2)(x-2)2 2=-7=-7這種解法的理論依據(jù)是什么？局限性是什這種

8、解法的理論依據(jù)是什么？局限性是什么？方程么？方程2x2x2 2+7x-4=0+7x-4=0怎么解？配方成能夠怎么解？配方成能夠“直接開平方直接開平方”，要求學(xué)生說明每一步的，要求學(xué)生說明每一步的依據(jù)依據(jù)最關(guān)鍵是哪一步？它的運(yùn)算依據(jù)是什么？最關(guān)鍵是哪一步？它的運(yùn)算依據(jù)是什么？若把二次項(xiàng)的系數(shù)若把二次項(xiàng)的系數(shù)2 2改為改為3 3，-2-2，一般一般地，改為地，改為a0a0，對(duì)方程，對(duì)方程axax2 2+7x-4=0+7x-4=0會(huì)配方會(huì)配方嗎？嗎？若把一次項(xiàng)系數(shù)若把一次項(xiàng)系數(shù)7 7變?yōu)樽優(yōu)閎 b，把常數(shù)項(xiàng)，把常數(shù)項(xiàng)-4-4變變?yōu)闉閏 c，對(duì)方程，對(duì)方程2x2x2 2+bx-4=0+bx-4=0，

9、2x 2x2 2+7x+c=0+7x+c=0， ax ax2 2+bx+c=0 +bx+c=0 會(huì)配方嗎？會(huì)配方嗎？公式推導(dǎo)公式推導(dǎo) aacbabxaacbabxacbaaaacbabx242,242,04, 04, 0442222222222時(shí)當(dāng)與課本不一樣！與課本不一樣！公式得出后的使用，要求說出公式得出后的使用，要求說出a,b,ca,b,c并解并解方程方程x x2 2-3x+2=0 2x-3x+2=0 2x2 2=4-7x x=4-7x x2 2-2 x+2=0-2 x+2=0小結(jié)使用公式法解方程的完整過程小結(jié)使用公式法解方程的完整過程 練習(xí)，達(dá)到熟練練習(xí)，達(dá)到熟練2一元二次方程應(yīng)用一元

10、二次方程應(yīng)用例題例題1 1 一塊長(zhǎng)方形綠地的面積為一塊長(zhǎng)方形綠地的面積為12001200平方米，并且長(zhǎng)比寬平方米，并且長(zhǎng)比寬多多1010米，那么長(zhǎng)和寬各為多少米？米，那么長(zhǎng)和寬各為多少米？練習(xí)練習(xí)1 1 用用100100厘米長(zhǎng)的鉛絲，彎成一個(gè)長(zhǎng)方形的模型，分厘米長(zhǎng)的鉛絲，彎成一個(gè)長(zhǎng)方形的模型，分別在下列條件下，求相鄰兩邊的長(zhǎng)別在下列條件下，求相鄰兩邊的長(zhǎng)（1 1）長(zhǎng)方形的面積是長(zhǎng)方形的面積是525525平方米平方米 （2 2）長(zhǎng)方形的面積是）長(zhǎng)方形的面積是625625平方米平方米（3 3）長(zhǎng)方形的面積是長(zhǎng)方形的面積是700700平方米平方米練習(xí)練習(xí)2 2 利用墻的一邊，用籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形利用

11、墻的一邊，用籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形ABCDABCD，總，總共用去籬笆共用去籬笆3535米，為了使這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為米，為了使這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為150150平方米，平方米，ABAB和和CDCD邊各應(yīng)多少米？邊各應(yīng)多少米？練習(xí)練習(xí)3 3 利用長(zhǎng)為利用長(zhǎng)為2222米的墻的一邊，用籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形米的墻的一邊，用籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)方形ABCDABCD，中間用籬笆分割出兩個(gè)小長(zhǎng)方形，總共用去籬，中間用籬笆分割出兩個(gè)小長(zhǎng)方形，總共用去籬笆笆3636米，為了使這個(gè)長(zhǎng)方形米，為了使這個(gè)長(zhǎng)方形ABCDABCD的面積為的面積為9696平方米，平方米，ABAB和和CDCD邊各應(yīng)多少米？邊各應(yīng)多少米？命題教學(xué)的一般過程命題

12、教學(xué)的一般過程（5 5）引申和拓廣命題，問一問還有什么，使）引申和拓廣命題，問一問還有什么，使教學(xué)對(duì)有興趣繼續(xù)鉆研的學(xué)生具有開放性教學(xué)對(duì)有興趣繼續(xù)鉆研的學(xué)生具有開放性和啟發(fā)性。和啟發(fā)性。小結(jié)小結(jié)公式是什么？讀法？根由方程的系數(shù)公式是什么？讀法？根由方程的系數(shù)a,b,ca,b,c完全完全確定，與未知數(shù)寫成什么字母無關(guān)。它回答了確定，與未知數(shù)寫成什么字母無關(guān)。它回答了解方程的三個(gè)基本問題：有沒有解？多少解？解方程的三個(gè)基本問題：有沒有解？多少解？解是什么。步驟？解是什么。步驟？公式怎么來的？配方，推導(dǎo)過程前半部分是公式怎么來的？配方，推導(dǎo)過程前半部分是“配方法配方法”，后半部分是，后半部分是“直接

13、開方法直接開方法”，開，開方的實(shí)質(zhì)是把一個(gè)二次方程化歸為兩個(gè)一次方方的實(shí)質(zhì)是把一個(gè)二次方程化歸為兩個(gè)一次方程。公式法具有通用性和簡(jiǎn)單性。程。公式法具有通用性和簡(jiǎn)單性。公式之外還有什么？有了系數(shù)公式之外還有什么？有了系數(shù)a,b,ca,b,c，就能求出，就能求出相應(yīng)的根或者指出根不存在，那么，根與這三相應(yīng)的根或者指出根不存在，那么，根與這三個(gè)系數(shù)之間應(yīng)該有確定的關(guān)系，是什么呢？下個(gè)系數(shù)之間應(yīng)該有確定的關(guān)系，是什么呢？下節(jié)課繼續(xù)研究。節(jié)課繼續(xù)研究。c=0，靈活；與其它方法的關(guān)聯(lián)；兩邊乘更高次數(shù)方程的求解；公式解數(shù)學(xué)命題教學(xué)的設(shè)計(jì)重點(diǎn)數(shù)學(xué)命題教學(xué)的設(shè)計(jì)重點(diǎn)是什么是什么(條件、范圍、結(jié)論）條件、范圍、結(jié)

14、論）為什么（推導(dǎo)為什么（推導(dǎo)/合理性）合理性）如何用（簡(jiǎn)單應(yīng)用、逆用、變形等靈活如何用（簡(jiǎn)單應(yīng)用、逆用、變形等靈活應(yīng)用）涉及例題和課堂練習(xí)的設(shè)計(jì)應(yīng)用）涉及例題和課堂練習(xí)的設(shè)計(jì) 引申和拓廣：還有什么引申和拓廣：還有什么Harmin Inspiring Active Learning：a Handbook for Teachers 教學(xué)的革命教學(xué)的革命:創(chuàng)新教育課程設(shè)計(jì)創(chuàng)新教育課程設(shè)計(jì) 施教篇施教篇 激勵(lì)篇激勵(lì)篇 組織課堂篇組織課堂篇 測(cè)試篇測(cè)試篇 思考篇思考篇提供一套切實(shí)可行的教學(xué)提供一套切實(shí)可行的教學(xué)策略策略營(yíng)造一個(gè)有吸引力的課堂營(yíng)造一個(gè)有吸引力的課堂提高考試分?jǐn)?shù)提高考試分?jǐn)?shù)提高學(xué)習(xí)者的責(zé)任心

15、提高學(xué)習(xí)者的責(zé)任心減少不當(dāng)行為減少不當(dāng)行為便于新教師施教便于新教師施教營(yíng)造一個(gè)有吸引力的課堂營(yíng)造一個(gè)有吸引力的課堂在這種課堂上能夠觀察到以下五種高水在這種課堂上能夠觀察到以下五種高水準(zhǔn)的品質(zhì)準(zhǔn)的品質(zhì)尊嚴(yán)尊嚴(yán)(Dignity) 自信、好學(xué)的精神面貌自信、好學(xué)的精神面貌活力活力(Energy) 參與、生機(jī)勃勃參與、生機(jī)勃勃自我管理自我管理(Self-management)集體感集體感(Community) 共同學(xué)習(xí)，取長(zhǎng)補(bǔ)短共同學(xué)習(xí)，取長(zhǎng)補(bǔ)短意識(shí)意識(shí)(Awareness) 機(jī)靈、專注、好奇、富有創(chuàng)見機(jī)靈、專注、好奇、富有創(chuàng)見培養(yǎng)學(xué)生高參與的策略培養(yǎng)學(xué)生高參與的策略活動(dòng)流課程計(jì)劃活動(dòng)流課程計(jì)劃 流暢

16、，吸引流暢，吸引快節(jié)奏快節(jié)奏 集中注意力，避免問集中注意力，避免問“還有什么還有什么問題嗎？問題嗎？有層次，不條塊分割有層次，不條塊分割 螺旋上升，聯(lián)系螺旋上升，聯(lián)系有限制的變化有限制的變化 避免枯燥，多角度，避免避免枯燥，多角度，避免混亂和不安全感混亂和不安全感提高學(xué)生自信的策略提高學(xué)生自信的策略使用真理啟示語(yǔ)使用真理啟示語(yǔ) 可以犯錯(cuò)誤，那是我們的可以犯錯(cuò)誤，那是我們的學(xué)習(xí)途徑；勇于嘗試，我們就能成就更多、學(xué)學(xué)習(xí)途徑；勇于嘗試，我們就能成就更多、學(xué)到更多。到更多。 張貼并逐漸深入討論張貼并逐漸深入討論超越表?yè)P(yáng)與獎(jiǎng)勵(lì)超越表?yè)P(yáng)與獎(jiǎng)勵(lì) 上癮、不公、操縱、吹上癮、不公、操縱、吹捧等副作用，真誠(chéng)的欣賞

17、，理解，關(guān)注，直捧等副作用，真誠(chéng)的欣賞，理解，關(guān)注，直截了當(dāng)，對(duì)錯(cuò)誤暫時(shí)保持沉默，表?yè)P(yáng)集體截了當(dāng)，對(duì)錯(cuò)誤暫時(shí)保持沉默，表?yè)P(yáng)集體提升卓越提升卓越 獎(jiǎng)勵(lì)好學(xué)生是鼓勵(lì)其他學(xué)生最獎(jiǎng)勵(lì)好學(xué)生是鼓勵(lì)其他學(xué)生最差的一種方法，懲罰差學(xué)生是促進(jìn)他們和其差的一種方法，懲罰差學(xué)生是促進(jìn)他們和其他普通學(xué)生最糟糕的一種方法他普通學(xué)生最糟糕的一種方法評(píng)價(jià)評(píng)價(jià)策略策略家庭作業(yè)家庭作業(yè) 給學(xué)生以選擇家庭作業(yè)的權(quán)利，給學(xué)生以選擇家庭作業(yè)的權(quán)利，量、內(nèi)容、時(shí)間由學(xué)生自己定；學(xué)生互批、量、內(nèi)容、時(shí)間由學(xué)生自己定；學(xué)生互批、交流作業(yè)；簡(jiǎn)短地召見每一個(gè)學(xué)生了解困難交流作業(yè)；簡(jiǎn)短地召見每一個(gè)學(xué)生了解困難考試與計(jì)分考試與計(jì)分 不強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)，

18、強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)和形不強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)和形成良好的終身學(xué)習(xí)習(xí)慣，減輕拿不到高分的成良好的終身學(xué)習(xí)習(xí)慣，減輕拿不到高分的學(xué)生的沮喪與灰心，減少花在考試和評(píng)分上學(xué)生的沮喪與灰心，減少花在考試和評(píng)分上的時(shí)間；集體核對(duì)，成長(zhǎng)檔案（自我設(shè)計(jì)、的時(shí)間；集體核對(duì)，成長(zhǎng)檔案（自我設(shè)計(jì)、自我管理的一個(gè)學(xué)習(xí)工具）；學(xué)生想提高分自我管理的一個(gè)學(xué)習(xí)工具）；學(xué)生想提高分?jǐn)?shù)的辦法；與家長(zhǎng)的聯(lián)系卡數(shù)的辦法；與家長(zhǎng)的聯(lián)系卡思考策略思考策略知識(shí)的復(fù)習(xí)與掌握知識(shí)的復(fù)習(xí)與掌握 集體回答，復(fù)習(xí)測(cè)驗(yàn)，集體回答，復(fù)習(xí)測(cè)驗(yàn)，小組互助學(xué)習(xí)，報(bào)告或表演小組互助學(xué)習(xí)，報(bào)告或表演激發(fā)思考激發(fā)思考 歸類，說出共同點(diǎn)與區(qū)別，寫歸類，說出共同點(diǎn)與區(qū)別，寫總結(jié)

19、，預(yù)測(cè)，解釋，解難題，小組討論總結(jié)，預(yù)測(cè)，解釋，解難題，小組討論超越事實(shí)與細(xì)節(jié)超越事實(shí)與細(xì)節(jié) 圍繞一個(gè)概念圍繞一個(gè)概念/規(guī)律而規(guī)律而不是一串事實(shí)來組織一堂課；聯(lián)系實(shí)例；讓不是一串事實(shí)來組織一堂課；聯(lián)系實(shí)例；讓學(xué)生舉例說明如何應(yīng)用，說說你知道的和你學(xué)生舉例說明如何應(yīng)用，說說你知道的和你想知道的想知道的馬明老師的一個(gè)故事馬明老師的一個(gè)故事我在初中學(xué)習(xí)我在初中學(xué)習(xí)“用文字代表數(shù)用文字代表數(shù)”這一節(jié)就感到困這一節(jié)就感到困難，而老師則不理解我的困難。題目是：難，而老師則不理解我的困難。題目是：已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a a尺，寬為尺，寬為b b尺，求周長(zhǎng)。尺，求周長(zhǎng)。我算得結(jié)果是我算得結(jié)果是2(

20、a+b)2(a+b)尺。尺。我問老師：我問老師：“究竟這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少？究竟這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是多少？”老師：老師：“你不是已經(jīng)算出來了嗎？你不是已經(jīng)算出來了嗎？”“沒有呀?jīng)]有呀! ”“! ”“不是已經(jīng)算出來了嗎不是已經(jīng)算出來了嗎? 2(a+b)? 2(a+b)尺尺呀！呀！”“”“長(zhǎng)方形一周究竟是幾尺，我并沒有算出長(zhǎng)方形一周究竟是幾尺，我并沒有算出來呀！來呀！”老師無語(yǔ)。老師無語(yǔ)。公式是一種形式化公式是一種形式化是是“孺子不可教孺子不可教”還是老師實(shí)在不知道還是老師實(shí)在不知道他在哪里產(chǎn)生了困難以及困難的原因是他在哪里產(chǎn)生了困難以及困難的原因是什么？什么？字母代表數(shù)歷來是初學(xué)者學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，字

21、母代表數(shù)歷來是初學(xué)者學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，若小學(xué)用字母來表示周長(zhǎng)、面積、運(yùn)算若小學(xué)用字母來表示周長(zhǎng)、面積、運(yùn)算律等，則教師要充分意識(shí)到字母表示數(shù)律等，則教師要充分意識(shí)到字母表示數(shù)會(huì)比公式內(nèi)容本身帶來更大的困難會(huì)比公式內(nèi)容本身帶來更大的困難引入之前要鋪墊，引入時(shí)要解釋字母表引入之前要鋪墊，引入時(shí)要解釋字母表示的好處示的好處法則教學(xué)法則教學(xué)講得不得法，容易給學(xué)生留下對(duì)數(shù)學(xué)的講得不得法，容易給學(xué)生留下對(duì)數(shù)學(xué)的負(fù)面印象，失去學(xué)習(xí)的興趣負(fù)面印象，失去學(xué)習(xí)的興趣講得好，也會(huì)讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)理性的一講得好，也會(huì)讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)理性的一面，而且蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)之美面，而且蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)之美聯(lián)系已有知識(shí)講法則的道理很重要聯(lián)系已有知識(shí)講

22、法則的道理很重要如何變枯燥乏味為躍躍欲試如何變枯燥乏味為躍躍欲試“有理數(shù)大小的比較有理數(shù)大小的比較”教材的安排：一周氣溫排序教材的安排：一周氣溫排序在數(shù)軸上描點(diǎn)體會(huì)數(shù)軸上排序規(guī)定的合理在數(shù)軸上描點(diǎn)體會(huì)數(shù)軸上排序規(guī)定的合理性（氣溫排序，正數(shù)排序）性（氣溫排序，正數(shù)排序）比較法則比較法則練習(xí)練習(xí)教材設(shè)計(jì)缺乏層次，教材設(shè)計(jì)缺乏層次，“硬灌硬灌”成分多，可考慮重新設(shè)計(jì)。成分多，可考慮重新設(shè)計(jì)?？纱址譃檎龜?shù)之間比、一正一負(fù)比、兩個(gè)負(fù)數(shù)比三類可粗分為正數(shù)之間比、一正一負(fù)比、兩個(gè)負(fù)數(shù)比三類可以設(shè)第一層次的問題：可以設(shè)第一層次的問題：“+6+6和和+2+2哪一個(gè)大？在數(shù)軸上，哪一個(gè)大？在數(shù)軸上，它們哪一個(gè)在右

23、？它們哪一個(gè)在右？+6+6比比+2+2大，在數(shù)軸上，大，在數(shù)軸上，+6+6在在+2+2的右邊。的右邊。我們記作我們記作+6+6+2+2或或+2+2+6+6。”數(shù)軸有理數(shù)的表示剛學(xué)兩個(gè)正有理數(shù)大小的比較在數(shù)軸上表示兩個(gè)正有理數(shù)，右邊的總比左邊的大比較兩個(gè)正有理數(shù)可以看位置坐標(biāo)法思想和數(shù)形結(jié)合坐標(biāo)法思想和數(shù)形結(jié)合思想思想第一層次問題：誰大？誰在右？第二層次問題，第二層次問題，“想一想：甲地的溫度想一想：甲地的溫度是是+4+4，乙地的溫度是，乙地的溫度是-10-10，哪一個(gè)地，哪一個(gè)地方暖和方暖和? ?在數(shù)軸上在數(shù)軸上+4+4與與-10-10哪個(gè)在右邊哪個(gè)在右邊?”?”一致一致!生活經(jīng)驗(yàn)生活經(jīng)驗(yàn)+4

24、比比-10暖和暖和沒沒學(xué)學(xué)過過+4與與-10哪個(gè)大哪個(gè)大?一一正正一負(fù)一負(fù)有理數(shù)大有理數(shù)大小的比較小的比較在數(shù)軸上表示在數(shù)軸上表示一一正正一負(fù)一負(fù)有理數(shù)，右邊的總比左有理數(shù)，右邊的總比左邊的大邊的大比較一比較一正正一負(fù)一負(fù)有理數(shù)有理數(shù)也也可以看位置可以看位置第二層次第二層次問題：?jiǎn)栴}：哪哪一地暖和？一地暖和？誰在右？誰在右？第三層次問題：第三層次問題：“在數(shù)軸上，在數(shù)軸上，-3-3與與-8-8哪一個(gè)在右邊？哪一個(gè)在右邊？”兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大小比較，不再用甲兩個(gè)負(fù)有理數(shù)的大小比較，不再用甲乙兩地溫度比較的實(shí)際背景來引入，乙兩地溫度比較的實(shí)際背景來引入，抽象到在數(shù)軸上比較，突出絕對(duì)值的抽象到在數(shù)軸上

25、比較，突出絕對(duì)值的幾何意義。幾何意義。類比類比思想思想、轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想-8-3第四層次，歸納出結(jié)論第四層次，歸納出結(jié)論“在數(shù)軸上表在數(shù)軸上表示的兩個(gè)有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊示的兩個(gè)有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的大。的大?！币约耙约啊罢龜?shù)都大于零，負(fù)數(shù)正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)都小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小?！睔w納思想歸納思想“負(fù)負(fù)得正負(fù)負(fù)得正”用到加法去了用到加法去了一些學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)的加減法時(shí)完成得一些學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)的加減法時(shí)完成得很好，但學(xué)了乘除法之后回頭再做加減很好，但學(xué)了乘除法之后回頭再做加減法題目，比如（法題目，比

26、如（-2-2）+ +（-4-4），把），把“負(fù)負(fù)負(fù)負(fù)得正得正”用上去了。用上去了。日本學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除法的認(rèn)識(shí)日本學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除法的認(rèn)識(shí) 清水美憲清水美憲調(diào)查對(duì)象：小學(xué)調(diào)查對(duì)象：小學(xué)6 6年級(jí)和初中年級(jí)和初中7 7年級(jí)共年級(jí)共590590個(gè)學(xué)生個(gè)學(xué)生題目：題目：1.1.8/158/152/5 2/5 正確率為正確率為9797和和96.696.6 2. 2.有一個(gè)女孩是這樣考慮的：有一個(gè)女孩是這樣考慮的：“做做8/158/15 2/5 2/5時(shí)，我是分子與分子相乘，分母與分母相乘，然后相除時(shí)，我是分子與分子相乘，分母與分母相乘，然后相除的，那么現(xiàn)在類似地，我就把分子與分子相除，分母與的，那么現(xiàn)在類似地

27、，我就把分子與分子相除，分母與分母相除，即分母相除，即8/158/152/52/5（8 82 2）/ /（15155 5）4/34/3但是，做但是，做2/5 2/5 3/4 3/4時(shí)她感到困難了。你對(duì)她的方法怎么時(shí)她感到困難了。你對(duì)她的方法怎么看？看？ 正確率為正確率為7373和和6565 （1 1）是對(duì)的）是對(duì)的 （2 2）是錯(cuò)的）是錯(cuò)的（3 3）雖然與我的不同但也是對(duì)的）雖然與我的不同但也是對(duì)的（4 4）其他）其他請(qǐng)寫出你作選擇的理由。請(qǐng)寫出你作選擇的理由。 答答“是錯(cuò)的是錯(cuò)的”中的中的 6161和和5353稱稱“因?yàn)樗龥]有顛倒因?yàn)樗龥]有顛倒”6個(gè)月后個(gè)月后對(duì)象：對(duì)象：1616名參加過第一

28、次調(diào)查的名參加過第一次調(diào)查的7 7年級(jí)學(xué)生被分年級(jí)學(xué)生被分成成8 8對(duì)對(duì)。4 4對(duì)（錯(cuò)，錯(cuò)）對(duì)（錯(cuò)，錯(cuò)） 4 4對(duì)（對(duì)，錯(cuò)）對(duì)（對(duì)，錯(cuò)）兩人討論。兩人討論。題目：與第一次測(cè)試完全類似的題目：與第一次測(cè)試完全類似的2 2道題道題結(jié)果：許多原來選結(jié)果：許多原來選“是錯(cuò)的是錯(cuò)的”學(xué)生這次仍堅(jiān)持學(xué)生這次仍堅(jiān)持說說“是錯(cuò)的是錯(cuò)的”，只有，只有2 2名在與同伴一起討論后名在與同伴一起討論后徹底改變了立場(chǎng)，有徹底改變了立場(chǎng)，有5 5名始終絲毫不改變立場(chǎng)，名始終絲毫不改變立場(chǎng)，在混合組中原來選在混合組中原來選“是錯(cuò)的是錯(cuò)的”學(xué)生立場(chǎng)有些學(xué)生立場(chǎng)有些轉(zhuǎn)變但不穩(wěn)固轉(zhuǎn)變但不穩(wěn)固清水美憲說：清水美憲說：請(qǐng)注意高分背后

29、的請(qǐng)注意高分背后的“思維固執(zhí)思維固執(zhí)”不用乘以倒數(shù)的規(guī)則所以是錯(cuò)的不用乘以倒數(shù)的規(guī)則所以是錯(cuò)的死抱法則，是不管條件符合不符合用死抱法則，是不管條件符合不符合用了再說的根源了再說的根源會(huì)做不等于理解會(huì)做不等于理解在上海的一個(gè)調(diào)查結(jié)果在上海的一個(gè)調(diào)查結(jié)果“老師既然說了方法，就一定是最簡(jiǎn)便的方法，所以（李明的方老師既然說了方法，就一定是最簡(jiǎn)便的方法，所以（李明的方法）是錯(cuò)的。法）是錯(cuò)的?！薄耙?yàn)樗话凑照_的方法去做，雖然有時(shí)碰巧能對(duì)了，但大布因?yàn)樗话凑照_的方法去做，雖然有時(shí)碰巧能對(duì)了，但大布份（部分）是不行的。份（部分）是不行的?！薄耙?yàn)榉謹(jǐn)?shù)除以另一個(gè)分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)乘以另一個(gè)分（數(shù)）的倒數(shù)，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)

30、除以另一個(gè)分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)乘以另一個(gè)分（數(shù)）的倒數(shù)，李明沒有這么做。李明沒有這么做?！薄袄蠲鞯母拍畈粔蚯宄瑢⒎?jǐn)?shù)的乘法與除法搞混了，應(yīng)該乘以李明的概念不夠清楚，將分?jǐn)?shù)的乘法與除法搞混了，應(yīng)該乘以倒數(shù)。倒數(shù)?！薄袄蠋煵皇沁@樣教的，我是好孩子，聽老師的。老師不是這樣教的，我是好孩子，聽老師的?！睌?shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的常見病數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的常見病沒有形成基礎(chǔ)，強(qiáng)加于人沒有形成基礎(chǔ)，強(qiáng)加于人對(duì)使用的條件印象模糊，不會(huì)應(yīng)用對(duì)使用的條件印象模糊，不會(huì)應(yīng)用死背概念和定理的表述，不抓實(shí)質(zhì)，理解死背概念和定理的表述，不抓實(shí)質(zhì)，理解不深，無法對(duì)付變化不深，無法對(duì)付變化造成造成不讓學(xué)生參與形成概念的生動(dòng)過程，降低概括不讓學(xué)生參與形

31、成概念的生動(dòng)過程，降低概括水平；水平；不揭示命題的形成過程，降低了理解水平；不揭示命題的形成過程，降低了理解水平；忽視數(shù)學(xué)方法的探討過程，加重學(xué)生記憶負(fù)擔(dān)，降忽視數(shù)學(xué)方法的探討過程，加重學(xué)生記憶負(fù)擔(dān)，降低了分析水平。低了分析水平。學(xué)生只會(huì)復(fù)制，不能發(fā)展，因循守舊，不能開拓創(chuàng)新。學(xué)生只會(huì)復(fù)制，不能發(fā)展，因循守舊，不能開拓創(chuàng)新。定理的教學(xué)定理的教學(xué)定理因綜合性更強(qiáng)而使教學(xué)更為復(fù)雜定理因綜合性更強(qiáng)而使教學(xué)更為復(fù)雜和困難和困難已有知識(shí)的熟練已有知識(shí)的熟練數(shù)學(xué)語(yǔ)言的聽說讀寫數(shù)學(xué)語(yǔ)言的聽說讀寫 形成邏輯推理的思維形成邏輯推理的思維 判定四邊形為平行四邊形判定四邊形為平行四邊形平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的

32、性質(zhì)：兩組對(duì)比平行兩組對(duì)比平行一組對(duì)邊平行且相一組對(duì)邊平行且相等等對(duì)角相等對(duì)角相等判定四邊形為平行四判定四邊形為平行四邊形的途徑？邊形的途徑？在在“三角形內(nèi)角和定理三角形內(nèi)角和定理”的課堂的課堂上上如圖，用橡皮筋構(gòu)成如圖，用橡皮筋構(gòu)成ABCABC，其中頂點(diǎn)，其中頂點(diǎn)B B、C C固定不動(dòng)，固定不動(dòng)，放松皮筋后，點(diǎn)放松皮筋后，點(diǎn)A A自動(dòng)收縮，產(chǎn)生一系列的三角形：自動(dòng)收縮，產(chǎn)生一系列的三角形：A1BCA1BC，A2BCA2BC，A3BCA3BC，請(qǐng)觀察其內(nèi)角和會(huì)產(chǎn)，請(qǐng)觀察其內(nèi)角和會(huì)產(chǎn)生怎樣的變化？生怎樣的變化？生：內(nèi)角和不變，都是生：內(nèi)角和不變，都是180180師：好，說說你是怎樣觀察出來的？師

33、：好，說說你是怎樣觀察出來的？生：小學(xué)老師教的。生：小學(xué)老師教的。師：是的，小學(xué)介紹過三角形的內(nèi)角和等于師：是的，小學(xué)介紹過三角形的內(nèi)角和等于180180，但沒有證明。進(jìn)入中學(xué)階段，我們要給出一個(gè)嚴(yán)格的但沒有證明。進(jìn)入中學(xué)階段，我們要給出一個(gè)嚴(yán)格的證明。證明。ABCDA3A2A1通過圖示我看到，當(dāng)點(diǎn)通過圖示我看到，當(dāng)點(diǎn)A A趨向于趨向于BCBC時(shí)，時(shí)，BB，CC趨向于趨向于0 0，而，而AA趨向于趨向于180180，合起，合起來，三角形內(nèi)角和趨向于來，三角形內(nèi)角和趨向于180180；同時(shí)，這；同時(shí)，這個(gè)圖形還告訴我們?cè)趺醋C明個(gè)圖形還告訴我們?cè)趺醋C明師：好，你說說證明。師：好，你說說證明。生：設(shè)

34、三角形的內(nèi)角和為生：設(shè)三角形的內(nèi)角和為x x，在，在BCBC上取一上取一點(diǎn)點(diǎn)D D（相當(dāng)于（相當(dāng)于A A的運(yùn)動(dòng)終點(diǎn)），連的運(yùn)動(dòng)終點(diǎn)），連ADAD，有，有 x+180 x+180=2x=2x，x=180 x=180師：證明出來了，同學(xué)們好好看一看，做師：證明出來了，同學(xué)們好好看一看，做得對(duì)不對(duì)？得對(duì)不對(duì)？改進(jìn)版改進(jìn)版師：觀察點(diǎn)師：觀察點(diǎn)A A沿沿BABA方向運(yùn)動(dòng)的情況。當(dāng)點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)的情況。當(dāng)點(diǎn)A A變?yōu)樽優(yōu)锽ABA延長(zhǎng)線上的延長(zhǎng)線上的A1A1，A2A2，時(shí)，時(shí)，AA變變小，小，CC變大；當(dāng)點(diǎn)變大；當(dāng)點(diǎn)A A奔向太陽(yáng)，即奔向太陽(yáng)，即A0A0的一瞬間，產(chǎn)生出平行線的一瞬間，產(chǎn)生出平行線CACA0 0

35、BABA，由同旁內(nèi)角之和等于，由同旁內(nèi)角之和等于180180，C180C180-B-B，猜想內(nèi)角和，猜想內(nèi)角和180180且且1800BCABACACBAABCAA2A3A4A0勾股定理設(shè)計(jì)一勾股定理設(shè)計(jì)一日本教材的編排是在章首提出兩個(gè)問題：日本教材的編排是在章首提出兩個(gè)問題：Q1 Q1 下圖下圖, ,中，分別以直角三角形中，分別以直角三角形ABCABC的的3 3條條邊為邊向外畫正方形。邊為邊向外畫正方形。Q2 Q2 求出求出Q1Q1中各個(gè)正方中各個(gè)正方形的面積，填入下表。并在圖形的面積，填入下表。并在圖中畫與中畫與, ,不同的直角三角形，用相同的方法求面積。不同的直角三角形，用相同的方法求面

36、積。猜想猜想證明證明（三平方）定理（三平方）定理證法一證法一自由研究：勾股定理的其他證明自由研究：勾股定理的其他證明證法二證法二證法三證法三還有沒有其他證明方法？利用還有沒有其他證明方法？利用附錄中附錄中的圖來考慮一下的圖來考慮一下附錄給的三種圖示證法附錄給的三種圖示證法淡化發(fā)現(xiàn)與證明，注重應(yīng)用淡化發(fā)現(xiàn)與證明，注重應(yīng)用該日本教材還設(shè)立該日本教材還設(shè)立2 2小節(jié)講定理在平面圖小節(jié)講定理在平面圖形中的應(yīng)用（求平面中如邊長(zhǎng)、弦長(zhǎng)、形中的應(yīng)用（求平面中如邊長(zhǎng)、弦長(zhǎng)、圓心距等、求兩點(diǎn)間的距離、探究在數(shù)圓心距等、求兩點(diǎn)間的距離、探究在數(shù)軸上表示帶根號(hào)的數(shù)字的方法等問題）軸上表示帶根號(hào)的數(shù)字的方法等問題）和

37、它在空間圖形中的應(yīng)用（求空間中如和它在空間圖形中的應(yīng)用（求空間中如長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)等問題）。長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)等問題）。知道三邊長(zhǎng)，能求三角形面積嗎？知道三邊長(zhǎng)，能求三角形面積嗎？小明：小明：“不知道三角形的高就沒法求面積。不知道三角形的高就沒法求面積。”惠子：惠子：“作頂點(diǎn)作頂點(diǎn)A A到到BCBC的垂線的垂線AHAH，并設(shè)，并設(shè)BH=xcm BH=xcm ?！毙∶鳎盒∶鳎骸癆BHABH和和ACHACH可以用勾股定理。那么可以用勾股定理。那么AHAH2 2可以表示成兩個(gè)方程式，可以表示成兩個(gè)方程式，x x的方程式可以表的方程式可以表示為示為 ?！被葑樱夯葑樱骸叭糁廊糁纗 x的值，則的值，則AHA

38、H的值也可知。的值也可知。3 3邊邊的長(zhǎng)都知道的話，那么三角形的面積也可以知的長(zhǎng)都知道的話，那么三角形的面積也可以知道了！道了！”在圓錐中，從底面圓上一點(diǎn)出發(fā)，沿著圓在圓錐中，從底面圓上一點(diǎn)出發(fā)，沿著圓錐側(cè)面繞行一周。請(qǐng)回答以下問題。錐側(cè)面繞行一周。請(qǐng)回答以下問題。（1 1）求圓錐的高和體積。）求圓錐的高和體積。（2 2）求繞行軌跡的最短長(zhǎng)度。）求繞行軌跡的最短長(zhǎng)度。勾股定理引入的設(shè)計(jì)二勾股定理引入的設(shè)計(jì)二復(fù)習(xí)三角形三邊的關(guān)系：兩邊之和大于復(fù)習(xí)三角形三邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，即便是較小兩邊的和也大于第第三邊，即便是較小兩邊的和也大于第三邊。引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)、思考：三角形較三邊。引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)、思考：三角形較小兩邊的平方和與第三邊的平方有何大小兩邊的平方和與第三邊的平方有何大小關(guān)系呢？（分別