初中數(shù)學(xué)開放性探究性試題及解題策略

1、初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)研討交流材料初中數(shù)學(xué)開放性探究性試題及解題策略隨著基礎(chǔ)教育課程改革和素質(zhì)教育的全面推進，近幾年在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中和各省、市的中考題中，出現(xiàn)了一批符合學(xué)生年齡特點和認知水平、設(shè)計優(yōu)美、個性獨特的開放題。開放題打破傳統(tǒng)模式，構(gòu)思新穎，使人耳目一新。數(shù)學(xué)開放題被認為是當(dāng)前培養(yǎng)創(chuàng)新意識、創(chuàng)造能力的最富有價值的數(shù)學(xué)問題，加大數(shù)學(xué)開放題在中考命題中的力度，是應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌的重要體現(xiàn)，對發(fā)揮學(xué)生主體性方面確實具有得天獨厚的優(yōu)勢，是培養(yǎng)學(xué)生主體意識的極好材料。一、數(shù)學(xué)開放題的概述1、關(guān)于數(shù)學(xué)開放題的幾種論述：什么是數(shù)學(xué)開放題，現(xiàn)在還沒有統(tǒng)一的認識，主要有如下的論述：（1）答案不固定或者條件不

2、完備的習(xí)題，我們稱為開放題；（2）開放題是條件多余需選擇、條件不足需補充或答案不固定的題；（3）有多處正確答案的問題是開放題。這類問題給予學(xué)生以自己喜歡的方式解答問題的機會，在解題過程中，學(xué)生可以把自己的知識、技能以各種方式結(jié)合，學(xué)生可以把自己的知識、技能以各種方式結(jié)合，去發(fā)現(xiàn)新的思想方法；（4）答案不唯一的問題是開放性的問題；（5）具有多種不同的解法，或有多種可能的解答的問題，稱之為開放題；（6）問題不必有解，答案不必唯一，條件可以多余，稱之為開放題。數(shù)學(xué)開放題，通俗地說就是給學(xué)生以較大認知空間的題目。EA DB C 圖1一個問題是開放還是封閉常常取決于提出問題時學(xué)生的知識水平如何。例如：對

3、n個人兩兩握手共握多少次的問題，在學(xué)生學(xué)習(xí)組合知識以前解法很多，是一個開放題，在學(xué)習(xí)組合知識之后則是一個封閉題。2、數(shù)學(xué)開放題的基本類型：大概包括以下幾種：（1）條件開放型這類問題一般是由給定的結(jié)論，反思，探索應(yīng)具備的條件，而滿足結(jié)論的條件并不唯一A DC EB1 2例1、如圖1，要得到AD/BC，只需滿足條件（只填一個）。再如：如圖2，AB=DB，1=2，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件，使圖2ABCDBE，則需添加的條件是。（2）結(jié)論開放型這類題目就是在給定的條件下，探索響應(yīng)的對象是否存在。它有結(jié)論存在和結(jié)論不存在兩種情況。其基本解題方法是：假設(shè)存在，演繹推理，得出結(jié)論，從而對是否存在做出準確的判斷

4、。DBCA例2、如圖，O的直徑AB為6，P為AB上一點，過點P作O的弦CD，連結(jié)AC、BC，設(shè)BCD=mACD，是否存在正實數(shù)m，使弦CD最短？如果存在，請求出m的值；如果不存在請說明理由。簡析：假設(shè)存在正實數(shù)m，使弦CD最短，則有CDAB于P，從而cosPOD=OP:OD， 因為，AB=6，所以cosPOD=30。于是ACD=15，BCD=75，故m=5。（3）簡略開放型例3、計算：，學(xué)生可能出現(xiàn)以下幾種方法。方法1：直接通分，相加后再約分。方法2：原式=。方法3：原式=.方法1是常規(guī)方法；方法2體現(xiàn)的是一種化歸思想，但也不簡單；方法3轉(zhuǎn)化為一些互為相反數(shù)的和來計算，顯然新穎、簡便。此外，設(shè)

5、計開放型、舉例開放型、實踐開放型、信息開放型（限于篇幅不舉例子）。還有綜合開放型、情境開放型等。這些開放題的條件、問題變化不定，有的條件隱蔽多余，有的結(jié)論多樣，有的解法豐富等。二、開放題具有不同于封閉題的顯著特點（1）數(shù)學(xué)開放題內(nèi)容具有新穎性，條件復(fù)雜、結(jié)論不定、解法靈活、無現(xiàn)成模式可套用。題材廣泛，貼近學(xué)生實際生活，不像封閉性題型那樣簡單，靠記憶、套模式來解題。（2）數(shù)學(xué)開放題形式具有多樣性、生動性，有的追溯多種條件，有的追溯多種條件，有的探求多種結(jié)論，有的尋找多種解法，有的由變求變，體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學(xué)氣息，不像封閉性題型形式單一的呈現(xiàn)和呆板的敘述。（3）數(shù)學(xué)開放題解決具有發(fā)散性，由于開放題的答案

6、不唯一，解題時需要運用多種思維方法，通過多角度的觀察、想像、分析、綜合、類比、歸納、概括等思維方法，同時探求多個解決方向。（4）數(shù)學(xué)開放題教育功能具有創(chuàng)新性，正是因為它的這種先進而高效的教育功能，適應(yīng)了當(dāng)前各國人才競爭的要求。三、開放探索性試題備考策略：（一）數(shù)與式的開放題此類題常以找規(guī)律的閱讀題形式出現(xiàn)，解題要求能善于觀察分析，歸納所提供的材料，猜想其結(jié)論。例題：觀察下列等式：9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 這些等式反映出自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n表示自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示出來： 。策略小結(jié)：此類“猜想性”開放題要求能夠從所給條件出發(fā)，通過觀察、試驗、分析、歸

7、納、比較、概括、猜想、探索出一般規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于正確的歸納和猜想。（二）方程開放題此類問題主要以方程知識為背景，探索方程有解的條件或某種條件解的情況，求字母參數(shù)的值。例題：是否存在k，使關(guān)于x的方程9x2-（4k-7）x-6k2=0的兩個實數(shù)根x1、x2，滿足|x1-x2|=10如果存在，試求出所有滿足條件的k的值；若不存在，說明理由。策略小結(jié)：此類“存在性”開放題，其解題的一般思路是先假定滿足條件的結(jié)果存在，再依據(jù)有關(guān)知識推理，要么得到下面結(jié)果，肯定存在性；要么導(dǎo)出矛盾，否定存在性。（三）函數(shù)開放題xyO-1此類題是以函數(shù)知識為背景，設(shè)置探索函數(shù)解析式中字母系數(shù)的值及關(guān)系，滿足某條件的點

8、的存在性等。例題：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖像如圖所示，問由此圖像中所顯示的拋物線的特征，可以得到二次函數(shù)的系數(shù)a、b、c的哪些關(guān)系和結(jié)論。分析：a0；即2a+3b=0；c= -1；策略小結(jié)：此類“圖像信息”開放題，只有認真觀察圖像上所給出的各個數(shù)據(jù)及位置特征，靈活運用函數(shù)性質(zhì)，才能找出所有的關(guān)系與結(jié)論，數(shù)形結(jié)合是解此類題的重要數(shù)學(xué)思想方法。（四）幾何開放題此類問題常以幾何圖形為背景，設(shè)置探索幾何量間的關(guān)系或點、線位置關(guān)系DOAF B COA DE B CF例題：如圖1，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，A是弧BD的中點，過A點的切線與CB的延長線交于點E。（1）求證：ABDA

9、=CDBE（2）若點E在CB延長線上運動，點A在弧BD上運動，使切線EA變?yōu)楦罹€EFA，其他條件不變，問具備什么條件使原結(jié)論成立？（要求畫出示意圖2注明條件，不要求證明）分析：此題第（2）小題是一道條件探索性問題。其解法是“執(zhí)果索因”，要得到ABDA=CDBE，即要得ABECDA，已有條件ABE=CDA，還需增加條件：BAE=ACD，或BF=AD，或BF=DA，或FABD，或BCF=ACD等。策略小結(jié)：此類探索性試題，解答一般方法是“執(zhí)果索因”，能畫出圖形要盡量畫出圖形，再結(jié)合圖形逆向推導(dǎo)探索出需要增加的條件，為探索結(jié)論，可以作輔助線，對于結(jié)論未定的問題，也可反面思考，尋求否定結(jié)論的反例，達到

10、目的。（五）綜合性開放題此類問題是以幾何、代數(shù)綜合知識為背景，考查分析，推理能力，綜合運用知識解題能力。例題：如圖，在ABC中，AB=BC=2，高BE=3，在BC邊的延長線上取一點D，使CD=3。（1）現(xiàn)有一動點P，由A沿AB移動，設(shè)AP=t，SPCD=S，求S與t之間的關(guān)系式及自變量的取值范圍；（2）在（1）的條件下，當(dāng)t=時，過點C作CHPD垂足為H；求證：關(guān)于x的二次函數(shù)y= -x+2-（10k）x+2k的圖像與x軸的兩個交點關(guān)于原點對稱；（3）在（1）的條件下，是否存在正實數(shù)t，使PD邊上的高CH=CD，如果存在，請求出t的值；如果不存在，請說明理由。分析：（1）（2）略。（4）假設(shè)存

11、在實數(shù)根t，使得CH=CD，則CDH=30可推得BPD=90，則BP=BD=2.5AB，這與P在AB邊上矛盾，故這樣的P點不存在。策略小結(jié)：此類綜合性開放題，需要學(xué)生綜合題設(shè)條件，通過觀察，比較、聯(lián)想、猜測、推理、判斷等探索活動逐步得到結(jié)論，有時需分析運動變化過程，尋找變化中的特殊位置，即“動”中求“靜”、“一般”中見“特殊”，再探求特殊位置下應(yīng)滿足的條件，利用分類討論思想，各個擊破。常見的開放題舉例：例1：在多項式4x2+1中添加一個條件，使其成為一個完全平方式，則添加的單項式是（只寫出一個即可）。分析：要使多項式4x2+1成為一個完全平方式，可添加一次項，也可添加二次項，還可添加常數(shù)項。解

12、：（1）添加4x可得完全平方式（2x+1）2 （2）添加-4x可得完全平方式（2x-1）2（3）添加-1可得完全平方式（2x）2 （4）添加-4x2可得完全平方式12例2：已知反比例函數(shù)，其圖象在第一、第三象限內(nèi)，則k的值可為（寫出滿足條件的一個k的值即可）分析：對于反比例函數(shù)（是常數(shù)，0）。當(dāng)它的圖象在第一、第三象限時有0，所以本題中應(yīng)該是-20，即2。解：-20 2 即只要的值大于2就可以滿足題目要求。例3：已知：ABC內(nèi)接于O，過點A作直線EF，如圖，AB為直徑，要使得EF是O的切線，還需添加的條件是：（只須寫出三種情況） （1）（2）（3）分析：根據(jù)題目所給條件，要使得EF是O的切線，

13、關(guān)鍵是找到ABEF的條件即可解決問題。解：（1）CAE=B （2）ABEF （3）BAC+CAE=90 （4）C=FAB （5）EAB=BAF例4：已知一元二次方程有一個根為1，那么這個方程可以是（只需寫出一個方程）分析：如果一元二次方程有解，則有兩個解，題目給出方程有一個根為1，我們可以將此一元二次方程寫成（x-1）（x+a）=0的形式，則問題可以解決。例5：有這樣一個分式，字母x的取值范圍是x-2，若分子為x+1，你能寫出一個符合上面條件的分式嗎？分析：由題目給出的已知條件x-2知此分式分母中x的取值不能為-2，否則分式會無意義。解：滿足條件的分式可以是：、教材例習(xí)題改編與開放探索試題舉例

14、：1、八年級四邊形一章曾有一道經(jīng)典題，多年來多次被各個省市搬上中考試卷，關(guān)于它的變式也相當(dāng)?shù)亩?，題目是這樣的“兩個相同的正方形如圖疊合，其邊長為4，請問陰影部分的面積為多少？”圖1 圖2 圖3 圖4圖5 圖6 2、（九年級教材）已知：如圖，AB為O直徑，C、D是半圓弧上的兩點，E是AB上除O外的一點，AC與DE交于點F，AD=CD，DEABAF=DFCDB O E A（1）寫出以中的任意兩個條件，推出第三個（結(jié)論）的一個正確命題，并加以證明。（2）“以”中的任意兩個為條件，推出第三個（結(jié)論）的一個正確命題，并加以證明。答案：可以組成3組正確的命題，即若則，若則，若則。3、典型范例重開放：體現(xiàn)師生解題智慧。（例如基本題）如圖，AB是O的直徑，點D在AB的延長線上，BD=OB，點C在O上，CAB=30，求證：DC是O的切線。探究1：如圖，已知弦AB與半徑相等，連接OB，并延長使BC=OB。（1）問AC是O有什么關(guān)系,并證明你的結(jié)論。（2）請你在O上找出一點D，使AD=AC。（自己完成作圖，并證明你的結(jié)論） 探究2：如圖，O的直徑AB=6cm，P是AB的延長線上的一點，過P點作O的切線，切點為C，連接AC。（1）若CPA=30，求PC的長；（2）若點P在AB的延長線上運動，CPA平分線交AC于點M，你認為CMP的大小是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由：