廣州一模數(shù)學(xué)試題及答案

1、試卷類型：A5 / 162018年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）2018.3本試卷共4頁，21小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘 注意事項(xiàng)：1 .答卷前，考生務(wù)必用 2B鉛筆在“考生號(hào)”處填涂考生號(hào)。用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己 所在的市、縣/區(qū)、學(xué)校以及自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。2 .選擇題每小題選出答案后，用 2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改 動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3 .非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的 相應(yīng)

2、位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改 液。不按以上要求作答的答案無效。4 .作答選做題時(shí)，請先用2B鉛筆填涂選做題題號(hào)對應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無效。5 .考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。1 一參考公式：錐體的體積公式V =-Sh,其中S是錐體的底面積，h是錐體的高.3、選擇題：本大題共符合題目要求的.n n 1 2n 18小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是21.已知i是虛數(shù)單位，若（m +i ） =3-4i ,則實(shí)數(shù) m的值為A. -2B. ±2C. *&

3、D. 22 .在 ABC中，角A, B , C所對的邊分別為a, b, c,若C=2B,則*為 bA. 2sin C b. 2cos B c. 2sin B d . 2cosC223 .圓(x1 ) +(y2 ) =1關(guān)于直線y =x對稱的圓的方程為2222A. (x -2 ) +(y -1 ) =1b. (x+1 ) +( y-2 ) =12222C. (x+2 ) +(y -1 ) =1d. (x-1 ) +(y+2 ) =14 .若函數(shù)f (x )= Jx2 +ax+1的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集 R ,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A. （2,2）B. （-00, 2 初（2,收）C. （-00,2】J 口

4、收）5 .某中學(xué)從某次考試成績中抽取若干名學(xué)生的分?jǐn)?shù)，并繪制 成如圖1的頻率分布直方圖.樣本數(shù)據(jù)分組為50,60）,60,70 ), 170,80), 180,90),較0,100 .若用分層抽樣的方法從樣本中抽取分?jǐn)?shù)在80,100范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)16個(gè),則其中分?jǐn)?shù)在90,100范圍內(nèi)的樣本數(shù)據(jù)有A. 5個(gè)B. 6個(gè)C. 8 個(gè) D. 10個(gè)，一!- 3 一 ，一 一一，6 .已知集合 A = <xxw Z且wZ*則集合A中的元素個(gè)數(shù)為、2 -x JA. 2B. 3C. 4D. 57 .設(shè)a, b是兩個(gè)非零向量，則使a|_b= a|b成立的一個(gè)必要非充分條件是A. a=b B. a _L b

5、 C. a = ?b>0)D.ajb8 .設(shè)a , b , m為整數(shù)(m a 0),若為 a 三 b (mod m 若 a = C；0 + C；0a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱 a和b對卞m同余，記2+C20 22 +|+C20 220, a 三b（mod10）,則 b 的值可以是A. 2018B , 2018二、填空題：本大題共 7小題，考生作答 （一）必做題（913題）C. 2018D. 20186小題，每小題5分，滿分30分.9.若不等式x-a <1的解集為x1<x<3,則實(shí)數(shù)a的值為.*10 .執(zhí)行如圖2的程序框圖，若輸出 S=7,則輸入k（ku N ）的值為.

6、11 . 一個(gè)四棱錐的底面為菱形，其三視圖如圖3所示，則這個(gè)四棱錐的體積是.側(cè)（左）視圖113.在數(shù)列 Qn中，已知a1 =1, an+= ，記G為數(shù)列an的刖n項(xiàng)和，則an 1S，2014（二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題）14 .(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)圖4在極坐標(biāo)系中，直線P(sinH cosi )= a與曲線P = 2cos日4sin 9相交于A , B兩點(diǎn)，若AB =2j3,則實(shí)數(shù)a的值為.15 .(幾何證明選講選做題)如圖4, PC是圓O的切線，切點(diǎn)為C ,直線PA與圓O交于A, B兩點(diǎn)，NAPC的平分線分別交弦CA, CB于D,PE兩點(diǎn)，已知PC =3, PB=2,

7、則 工上的值為.PD三、解答題：本大題共 6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16 .(本小題滿分12分)一、,r冗)已知函數(shù)f (x) =sin x+acosx的圖象經(jīng)過點(diǎn) _一,0 .I 3 ；(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)設(shè)g(x) = If (x) 2 -2 ,求函數(shù)g(x)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間.17 .(本小題滿分12分)2甲，乙，丙三人參加某次招聘會(huì)，假設(shè)甲能被聘用的概率是2,甲，丙兩人同時(shí)不能被聘用的5概率是 巨，乙，丙兩人同時(shí)能被聘用的概率是耳，且三人各自能否被聘用相互獨(dú)立.2510(1)求乙，丙兩人各自能被聘用的概率；1 2)設(shè)表示甲，乙，丙三人中能

8、被聘用的人數(shù)與不能被聘用的人數(shù)之差的絕對值，求自的分布列與均值(數(shù)學(xué)期望).18 .(本小題滿分14分)如圖5,在棱長為a的正方體ABCD AB1cl D1中，點(diǎn)E是棱D1D的中點(diǎn)，點(diǎn)F在葭BB上，且滿足B1F =2FB .(1)求證：EF _L ACi ；(2)在棱CiC上確定一點(diǎn)G ,使A, E , G , F四點(diǎn)共面，并求 此時(shí)CiG的長；(3)求平面AEF與平面ABCD所成二面角的余弦值.19 .(本小題滿分14分)已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為10,公差為2,等比數(shù)列bn的首項(xiàng)為1,公比為2, ne N(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)第n個(gè)正方形的邊長為cn = min an ,

9、bn,求前n個(gè)正方形的面積之和 Sn.(注：min a,b表示a與b的最小值.)20 .(本小題滿分14分)22x y-已知雙曲線E： L = 1( a >0 )的中心為原點(diǎn)O,左，右焦點(diǎn)分別為 E, F2,離心率為 a 4氧5,點(diǎn)P是直線x = a-上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q在雙曲線E上，且滿足PFF2 = 0.53(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：直線 PQ與直線OQ的斜率之積是定值;(3)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,過點(diǎn)P作動(dòng)直線l與雙曲線右支交于不同兩點(diǎn)M , N ,在線段MHPM，證明點(diǎn)H恒在一條定直線上.MN上取異于點(diǎn)M , N的點(diǎn)H ,滿足一J =PN HN21.(本小題滿分14分)2_x已知

10、函數(shù)f(x)=(x -2x+1)e (其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間;(2)定義：若函數(shù) h(x )在區(qū)間s,t(s<t )上的取值范圍為 s,t，則稱區(qū)間 s,t】為函數(shù)h(x )的“域同區(qū)間”.試問函數(shù)f (x)在(1,收)上是否存在“域同區(qū)間”？若存在，求出所有符合條件的“域同區(qū)間”；若不存在，請說明理由.2018年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試(一)數(shù)學(xué)(理科)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：1.參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可 根據(jù)試卷主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù).2 .對解答題中的計(jì)算題，

11、當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變該題 的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解 答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.3 .解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).4 .只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.一、選擇題：本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.共 8小題，每小題，滿分 40分.題號(hào)12345678答案ABADBCDA、填空題：本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，體現(xiàn)選擇性.共 7小題，每小題，滿分 30分.其中 1415題是選做題，考生只能選做一題.題號(hào)9101112131415答案234

12、正 102011-1 或-5232三、解答題：本大題共 6小題，滿分80分.16.（本小題滿分1）（本小題主要考查三角函數(shù)圖象的周期性、單調(diào)性、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角函數(shù)倍角公式 等等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力）解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f （x） =sin x+acosx的圖象經(jīng)過點(diǎn),0 i,所以f 21= 0 .33即 sin +acos - 1=0.3326 / 16解得a = 33 -(2)方法 1 ：由(1)得 f (x) =sinx + 73Gos x .一2所以 g(x) = f (x) -2 = sinx3cosx) -2=sin2 x 2 3sin x

13、cosx 3cos2 x - 2 =3sin 2x cos2x=2 j 3sin2x - cos 2xji= 2!sin2xcos cos2xsin -所以g （x）的最小正周期為因?yàn)楹瘮?shù)y= sin x的單調(diào)遞增區(qū)間為2kn: - -, 2kji + %kw Z22一.兀兀所以當(dāng)2ku- -2x -即k冗一冗一<2ku+-(k Z)時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,<x <kTt + - (kw Z陰，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增. 36所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,冗，冗._ _k u- -, k u+ (k ,= Z).36方法 2：由(1)得 f (x) =sin x + 用co

14、sxjiji=2 i sin x cos cos xsin 一13 / 16= 2sin x+ I.32所以 g(x) =f (x) -2 = 2sin,2 冗 -= 4sin x+- -2I 3；i 2冗公=一2cos . 2x + 一 分I 3 ；2所以函數(shù)g(x)的最小正周期為 J = n分2因?yàn)楹瘮?shù)y = cos x的單調(diào)遞減區(qū)間為 12k/2kn+n(kw Z ),2 二所以當(dāng)2kn2x十E2kn+n(kw Z )時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增. 3rr冗冗.即ku- <x <ku + - (ku Z)時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.36所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為|ku-,ku

15、+-l(kw Z ).一 3617.(本小題滿分1)(本小題主要考查相互獨(dú)立事件、解方程、隨機(jī)變量的分布列與均值(數(shù)學(xué)期望)等知識(shí)，考查或 然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí))解：(1)記甲，乙，丙各自能被聘用的事件分別為A1 , A2, A3,由已知A, M4相互獨(dú)立，且滿足C A 2P(A1 )=-，5中-P(A)1-P(A)卜 25,3P(A2)P(A) =而.1 3解得 P(A2 ) = -, P(A3 )= .2 5所以乙，丙各自能被聘用的概率分別為1,25(2) £的可能取值為1,3.因?yàn)?p =3)=p aa2A3p A1A2A3=P A

16、p A2PA3 濘1-P Ai1 - P A21 - P A3所以 P =1 =1 -P =3=1256251925所以£的分布列為13P1962525c 637. 3 25 2519所以E . =1 192518.（本小題滿分1）（本小題主要考查空間線面關(guān)系、四點(diǎn)共面、二面角的平面角、空間向量及坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，考查 數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力） 推理論證法：(1)證明：連結(jié)B1D1 , BD ,因?yàn)樗倪呅蜛BC1D1是正方形，所以A1C1IB1D1.在正方體 ABCD AB1GD1 中，DD1 _L平面 ABGD1,AC1 仁平

17、面 AB1GD1,所以 AC1 1DD1 .因?yàn)?B1D1ADD1 =D1, B1D1, DD1 u 平面 BB1D1D ,所以AC1，平面BB1D1D .因?yàn)镋F u平面BRD1D，所以EF _L A1C1 .(2)解：取CiC的中點(diǎn)H ,連結(jié)BH ,則BH J AE .在平面BB1C1C中，過點(diǎn)F作FG J BH ,則FGAE .連結(jié)EG ,則A, E , G , F四點(diǎn)共面.一 1 一一 1一 一1 一一1因?yàn)?CH =C1C = a ,HG = BF= C1C=a,22331所以 C1G =C1C -CH -HG =-a .1故當(dāng)C1G = a時(shí)，A, E, G, F四點(diǎn)共面. 6(3

18、)延長 EF , DB ,設(shè) EF 門 DB = M ,連結(jié) AM ,則AM是平面AEF與平面ABCD的交線.過點(diǎn)B作BN _L AM ,垂足為N ,連結(jié)FN ,因?yàn)?FB _LAM , FBBN = B ,所以AM _L平面BNF .因?yàn)镕N u平面BNF，所以AM _L FN .所以ZFNB為平面AEF與平面ABCD所成二面角的平面角.2一,3因?yàn)镸BBFMDMBMBDE所以 MB =2V2a.在 ABM 中，AB=a, /ABM =1350，所以 AM 2 = AB2 MB2-2 AB MB cos135=a2 +(2>/2a 2 -2MaM廠2亞、 2V2aMi2= 13a2即

19、AM = /3a.1_1 _因?yàn)橐籄M MBN =-ABMB sin135 ,所以BNAB MB sin135；AMM因?yàn)閍2y所以 FN 二:BF2 BN2 , j 1 aBN 6所以 cos/FNB =.FN 7故平面AEF與平面ABCD所成二面角的余弦值為 6 .7空間向量法：(1)證明：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA , DC, DD1所在的直線 分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則 A(a,0,0), A(a,0,a), G(0,a,a),1 匚 1E 0,0, -a , F a,a,-a , 2.3口 ，f i )所以 A|C1 =(-a,a,0 ), EF = I a,

20、a, - aI 6 )所以 EF _L AC1 .(2)解：設(shè)G(0,a,h ),因?yàn)槠矫?ADD1AL:平面 BCC1B1,平面 ADD1A1 口 平面 AEGF = AE ,平面 BCG B Pl 平面 AEGF = FG ,所以FGmAE .所以存在實(shí)數(shù) X ,使得FG = *“AE .,FG I a,0,h1因?yàn)?AE - -a,0, a2i 一 .1/一 1所以.a,0, ha =九 a,0, a .I 3 J I 25 _.5所以九=1, h = a .61一故當(dāng)CiG= a時(shí)，A, E, G, F四點(diǎn)共面.6(3)解：由(1)知 AE =1 a,0, -a i, AF =i 0,

21、a,-a I.2.3設(shè)門=(x,y,z強(qiáng)平面AEF的法向量,x1 14 / 161 八-ax -az = 0, 2 即 21 c ay az =0.3取 z=6,則 x=3, y = 2 .所以n = (3,-2,6)是平面AEF的一個(gè)法向量.-H而DD =(0,0,a )是平面ABCD的一個(gè)法向量，設(shè)平面AEF與平面ABCD所成的二面角為0 , nLDo!貝U cos日=j R 110父3+0工(2 )+ax6| 6J32 +(2)2 +62 xa 7故平面AEF與平面ABCD所成二面角的余弦值為 6 .7第(1)、(2)問用推理論證法，第(3)問用空間向量法： (1)、(2)給分同推理論證

22、法.(3)解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA , DC, DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，11* y則 A a,0,0 , E 0,0, -a , F a,a,-a , 2.31 F 1則 AE = a,0, a , AF = 0, a,a .2 .3設(shè)n=(x,y,z您平面AEF的法向量，=0.=0,即- ax 1az=0,2ay 1az =0.31 20 / 16取 z=6,則 x=3, y = 2.所以n =（3,-2,6）是平面AEF的一個(gè)法向量._ 而DD1 =（0,0, a ）是平面ABCD的一個(gè)法向量,設(shè)平面AEF與平面ABCD所成的二面角為0 , nD

23、Dll貝U cos 9 =-二 'in| l_|DDi|0x3+0x（-2 ）+ax6| 6,32 +（2 ）2 +62 xa 7故平面AEF與平面ABCD所成二面角的余弦值為19.（本小題滿分1）（本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、分組求和等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及 運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)）解：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列an的首項(xiàng)為10,公差為2,所以 an =10+（n1F2,即 an =2n+8.因?yàn)榈缺葦?shù)列 的首項(xiàng)為1,公比為2,所以 bn =1M2n）即bn =2n. 因?yàn)?a1 =10, a2=12, a3=14, a4 =16, a5=18, a6=20,b=1,

24、 d=2, b3=4, b4=8, 4=16, b6=32.易知當(dāng)nE5時(shí)，an >bn.下面證明當(dāng)n26時(shí)，不等式bn >an成立.方法1：當(dāng)n = 6時(shí)，b6 =26'=32 >20 = 2M6 + 8 = a6,不等式顯然成立.假設(shè)當(dāng)n = k（k之6）時(shí)，不等式成立，即 2k, > 2k+8.則有 2k =22k->2(2k+8)= 2(k +1)+8 + (2k+6 )>2(k+1 )+8.這說明當(dāng)n = k +1時(shí)，不等式也成立.綜合可知，不等式對 n _6的所有整數(shù)都成立.所以當(dāng)n之6時(shí)，bn >an.方法2：因?yàn)楫?dāng)n之6時(shí)n 1

25、n 1bn -an =2 _ - 2n 8 = 11)2n 8012n 1-CnCnCn，Cn=_ 2n 8>(Cn_1 +C；+C2+CnZ3 +Cni +Cn)(2n+8)= 2(C"+C； JC”(2n+8)2=n -3n -6 = n(n -4 )+(n -6 )>0 ,所以當(dāng)n至6時(shí)，bn >an.,2n 1所以 cn = min lan,bn ：' -,2n 8,n工5,n 5.m 222n；則 Cn =24 n 4 ,當(dāng)n W5時(shí)，n <5,n 5.Sn =G2C22 I |l| Cn2=n2 b22 b32 I” bn2=2°

26、 22 24 - 22n，上J1(4n-1).1 -43當(dāng)n >5時(shí),Sn =G2 C22 C32 “I Cn2=b12b22- III -b52-a62a72HI -an21522. .2=- 4 -14 6 4 L i 7 4 I n 43-二341 , 4 62 72TH, n28 67 HI n16 n -5二341 4，1222 HIn2- 1222 JIT 5232 67 l|l n 64 n -5n n 1 2n 1=341 45532_66 n n-5264 n-54 3 ,0 2242 5cn- n +18n +n -679 .3334n -1,n -5,綜上可知，Sn

27、 = 34 n3 18n2 242 n -679, n 5.3320.(本小題滿分1)(本小題主要考查直線的斜率、雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié) 合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力)(1)解：設(shè)雙曲線E的半焦距為c，c _ 3r 5由題意可得 a - 5 ,22c = a 4.解得a=冊.(2)證明：由(1)可知，直線2 a x 二 一35，點(diǎn) F2(3,0).設(shè)點(diǎn)_ 5-P.-,t , Q% ,% )，3因?yàn)镻F2八 c 5=0,所以.3 ,t3l|J(3 -xo, _y0)-0 .，4所以 ty0 = (x0 3 ).3因?yàn)辄c(diǎn)

28、Q(X0,y。)在雙曲線E上,2X0所以52y-=1,即4yo242= -(xo .5 )5所以 kpQ koQ -y0 -t y。y(2 -ty。5 Xo 25X。一二Xo -Xo334 245 %一5 飛 飛-3425Xo -3Xo所以直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值5(3)證法1 :設(shè)點(diǎn)H X y ,且過點(diǎn)P. 5,1的直線l3與雙曲線E的右支交于不同兩點(diǎn)M(x1,y1), N(X2,y2),則 4x12 -5y； =20 , 4x22_5y22 =20,即 y12 =-(x12 -5),5Y22 =432 -5 ).5PMMHPN HNPM=九，則MH =PN , T HN .9 5

29、k2-422/ 1653,y1”5x2 - 1 y2 _113)J ： x - xi , y - yi = ' x2 - x , y2 - y .整理，得y燈2 =1x1 + Zx2 = x(1 + 九),y1 一二,y2 = y 1.由x，x得22-y2iy.2 y2949將 yi=(xi -5),542=5)代入, 5224x1 - 1 x2X將代入，得y = x 4 .3所以點(diǎn)H恒在定直線4x3y-12=0上.證法2：依題意，直線l的斜率k存在.設(shè)直線l的方程為y 1 = k ' x -| j,5)y1=k x-二,由 I "x2消去y得9(4 -5k2222)

30、x +30(5k -3k )x-25(5k 6k+9)=0.因?yàn)橹本€l與雙曲線E的右支交于不同兩點(diǎn) MlxjyJ, N(x2,y2),則有,=900 5k2-3k 2 +900(4-5k2 )(5k2-6k+9)>0, (T30 5k2 -3kx2 =*2 =2,9 5k2 -425 5k2-6k 9設(shè)點(diǎn)H (x, y>PMPNMH得HN5X| -35X2-3x - x1x2 - x1 24 / 16整理得6%乂2-(3乂+5)(為+乂2)+10乂=0.1將代入上式得10x =150 5k2 -6k 930 3x 5 5k2 -3kZ_2_29 5k -49 5k -4整理得(3x5)k4x+15 = 0.因?yàn)辄c(diǎn)H在直線l上，所以y 1 = k ' x 5 i .3聯(lián)立消去k得4x 3y 12=0.所以點(diǎn)H恒在定直線4