極坐標(biāo)講義與例題

1、極坐標(biāo)極坐標(biāo)與參數(shù)方程與參數(shù)方程 一、基礎(chǔ)知識與例題一、基礎(chǔ)知識與例題 考向一 極坐標(biāo)系與簡單曲線的極坐標(biāo)方程極坐標(biāo)系與簡單曲線的極坐標(biāo)方程 考向：求點的極坐標(biāo)、曲線的極坐標(biāo)方程，把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)系、極坐標(biāo)化為直考向：求點的極坐標(biāo)、曲線的極坐標(biāo)方程，把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)系、極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)角坐標(biāo) 例 1 在極坐標(biāo)系中，直線 C1的極坐標(biāo)方程為 sin 2，M 是 C1上任意一點，點 P 在射線 OM 上，且滿足 |OP| |OM|4，記點 P 的軌跡為 C2. (1)求曲線 C2的極坐標(biāo)方程； (2)求曲線 C2上的點到直線 C3：cos4 2距離的最大值 解：(1)設(shè)P(，)，M(1，

2、)，依題意有 1sin 2，14. 消去1，得曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin (0) (2)將C2，C3的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得C2：x2(y1)21，C3：xy2.C2 是以點(0，1)為圓心，以 1 為半徑的圓，圓心到直線C3的距離d3 22， 故曲線C2上的點到直線C3距離的最大值為 13 22. 考向二 簡單曲線的參數(shù)方程簡單曲線的參數(shù)方程 考向：求曲線的參數(shù)方程，化考向：求曲線的參數(shù)方程，化參數(shù)方程為普通方程，參數(shù)方程的應(yīng)用參數(shù)方程為普通方程，參數(shù)方程的應(yīng)用 例 2 已知圓(x2cos )2(y2cos 22)21. (1)求圓心的軌跡 C 的方程； (2)若存在過點 P(0

3、，a)的直線交軌跡 C 于 A，B 兩點，且|PA|，|AB|，|PB|構(gòu)成等比數(shù)列，求 a 的取值范圍 解：(1)圓(x2cos )2(y2cos 22)21 的圓心(x，y)的坐標(biāo)為(2cos ，22cos 2)，即x2cos ，y22cos 2，消去參數(shù)后可得軌跡C的方程為y4x2(2x2) (2)設(shè)直線AB的方程為xtcos ，yatsin (為直線AB的傾斜角，t為參數(shù))，代入y4x2，得t2cos2tsin a40，顯然 cos 0，即2，設(shè)其兩根為t1，t2.|PA|，|AB|，|PB|構(gòu)成等比數(shù)列，即|AB|2|PA|PB|，又|PA|PB|t1t2|a4cos2，|AB|2|

4、t1t2|2sin2cos44a4cos2sin24（a4）cos2cos4， sin24（a4）cos2cos4a4cos2， 即 sin24(a4)|a4|cos2， tan24(a4)|a4|.由 tan20 得a4， 又|PA|PB|t1t2|0，a4，tan25(a4)， 又設(shè)軌跡上的點M(2，0)，N(2，0)， 則 tan2k2MPa24，a220a800，又a4， a102 5或 4a102 5. 考向三 極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合 考向：極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程交匯考查，為坐標(biāo)系與參數(shù)方程試題的基本考查方式考向：極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程交匯考查，為坐標(biāo)系與參數(shù)方程試

5、題的基本考查方式 例 3 在極坐標(biāo)系中， 圓 C 的極坐標(biāo)方程為 2 3cos 2sin ， 點 A 的極坐標(biāo)為( 3，2)，把極點作為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸作為 x 軸的正半軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位 (1)求圓 C 在直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè) P 為圓 C 上任意一點，圓心 C 為線段 AB 的中點，求|PA|PB|的最大值 解：(1)2 3cos 2sin ， 22 3cos 2sin . 由于2x2y2，xcos ，ysin ， 得x2y22 3x2y0. 圓C在直角坐標(biāo)系中的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2(y1)24. (2)點A的極坐標(biāo)為(3，2)， 點A的直角坐標(biāo)為

6、(3cos 2，3sin 2)，即(3，0) 圓心C(3，1)為線段AB的中點， 故點B的直角坐標(biāo)為(3，2) 圓C的參數(shù)方程為x32cos ，y12sin (為參數(shù))，P為圓C上任意一點， 設(shè)點P的坐標(biāo)為(32cos ，12sin )， 則|PA|PB| （2cos ）2（2sin 1）2 （2cos ）2（2sin 1）254sin 54sin （54sin 54sin ）2102 2516sin2. 當(dāng) sin 0 時，(|PA|PB|)max 10102 5. |PA|PB|的最大值為 2 5. 二、二、教師備用例題教師備用例題 例 1. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中， 直線 l 的參

7、數(shù)方程為x23t，y24t(t 為參數(shù))， 它與曲線 C：(y2)2x21 交于 A、B 兩點 (1)求|AB|的長； (2)在以 O 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系中，設(shè)點 P 的極坐標(biāo)為2 2，34，求點 P 到線段 AB 中點 M 的距離 解：(1)把直線的參數(shù)方程對應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程，化簡得 7t212t50， 設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2， 則t1t2127，t1t257. 所以|AB| （3）2（4）2|t1t2| 5 （t1t2）24t1t210 717. (2)易得點P在平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(2， 2)， 根據(jù)中點坐標(biāo)的性質(zhì)可得AB中點M對應(yīng)的參數(shù)為t1t

8、2267. 所以由t的幾何意義可得點P到M的距離為|PM|（3）2（4）2670 307. 例 2. 直角坐標(biāo)系 xOy 中，以原點為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C的方程為 4cos ，直線 l 的方程為x232t，y12t(t 為參數(shù))，直線 l 與曲線 C 的公共點為 T. (1)求點 T 的極坐標(biāo)； (2)過點 T 作直線 l，l被曲線 C 截得的線段長為 2，求直線 l的極坐標(biāo)方程 解：(1)曲線C：4cos 化為直角坐標(biāo)方程為x24xy20. 將x232t，y12t 代入上式并整理得t24 3t120. 解得t2 3.所以點T的坐標(biāo)為(1，3) 其極坐標(biāo)為2，3.

9、(2)設(shè)直線l的方程為y3k(x1)，即kxy3k0. 由(1)得曲線C是以(2，0)為圓心的圓，且圓心到直線l的距離為3. 則|3k|k213. 解得k0 或k3. 直線l的方程為y3或y3x. 其極坐標(biāo)方程為sin 3或3(R R) 三、相關(guān)練習(xí) 1.已知橢圓的極坐標(biāo)方程為，點為其右焦點， （）求曲線的普通方程； ().過點作傾斜角為的直線 l 與曲線交于不同的兩點求的取值范圍。 2.平面直角坐標(biāo)系xoy中，點2,0A在曲線1C:cossinxay， （0,a為參數(shù)）上。以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 曲線2C的極坐標(biāo)方程為：= cosa （）求曲線2C的普通方程 （）已

10、知點,M N的極坐標(biāo)分別為12(, ),(,)2 ，若點,M N都在曲線1C上，求221211的值。 3.已知過點 P（-1，1）的直線 m 與拋物線2yx交于 A、B 兩個不同點，在線段 AB 上有動點 Q，滿足|PA|、|PQ|、|PB|的倒數(shù)成等差數(shù)列 （I）若|PA|PB|=509,求直線 m的斜率； （II）求證：動點 Q 在定直線l上，并求出直線l的方程； 4.已知一條封閉的曲線 C 由一段圓弧tytxCsin2cos2:1 3,3t和一段拋物線弧:2C) 1(122xxy組成。 （1）以x軸的正半軸為極軸，原點為極點建立極坐標(biāo)系，求曲線 C 的極坐標(biāo)方程； （2）若過原點的直線l

11、與曲線 C 交于 A、B 兩點，求|AB|的取值范圍。 5. 在極坐標(biāo)系中，已知曲線1C：0)4cos(，2C：)0(2在直角坐標(biāo)系中，曲線3C：tytx442（t為參數(shù)） 設(shè)1C與2C相交于點 P （）求點 P 的極坐標(biāo)； （） 若動直線l過點 P， 且與曲線3C相交于兩個不同的點BA,， 求PBPAPBPA的最大值 6.已知直線l的參數(shù)方程為4cos ,1sinxtyt 其中t是參數(shù)，是l的傾斜角。直線l與橢圓22184xy相交于不同兩點 A，B。 （I）求tan的取值范圍； （II）已知點 P 的坐標(biāo)為(4,1)，若線段 AB 上的一點PAAQQPBQB滿足，當(dāng)變化時，求點Q的軌跡方程。

12、 7.在極坐標(biāo)系中，已知圓 C 的圓心極坐標(biāo)為( 2,)4，半徑為 1 （）求圓 C 的極坐標(biāo)方程； （II）以極點為原點，極軸為 x 軸正方向建立直角坐標(biāo)系。其中定點 P(2，2)，過 P 作傾斜角為的直線。 設(shè)該直線與圓 C 交于不同兩點 A,B， 求11|PAPB的取值范圍. 參考答案參考答案 1.已知橢圓的極坐標(biāo)方程為，點為其右焦點， （1）求曲線的普通方程； (2).過點作傾斜角為的直線 l 與曲線交于不同的兩點求的取值范圍。 （）曲線的普通方程為.4 分 （II）直線 L 的參數(shù)方程為代入橢圓得： +6cost-9=0 , t= . 7 分 又-1cos 或或 所求為所求為: .1

13、0 分 2.平面直角坐標(biāo)系xoy中，點2,0A在曲線1C:cossinxay， （0,a為參數(shù)）上。以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 曲線2C的極坐標(biāo)方程為：= cosa （）求曲線2C的普通方程 （）已知點,M N的極坐標(biāo)分別為12(, ),(,)2 ，若點,M N都在曲線1C上，求221211的值。 解: (1)將點 A 坐標(biāo)代入曲線1C,得:2a 所以: 曲線:2Cxyx222 (2) 曲線:1C1422 yx, 將點)sin,cos(11M,)cos,sin(22N代入曲線:2C 1sin4cos221221 (1)1cos4sin222222 (2) 由(1)(2)可

14、得:45112221 已知過點 P（-1，1）的直線 m 與拋物線2yx交于 A、B 兩個不同點，在線段 AB 上有動點 Q，滿足|PA|、|PQ|、|PB|的倒數(shù)成等差數(shù)列 （I）若|PA|PB|=509,求直線 m的斜率； （II）求證：動點 Q 在定直線l上，并求出直線l的方程； 解（I）設(shè)直線m的參數(shù)方程為1cos1sinxttyt （ 為參數(shù), 為直線m的傾斜角），代入拋物線方程并整理得：22sin2sincos20tt（），A、B、對應(yīng)的參數(shù)分別為12tt、， 則 PA1t，PB2,t|PA|PB|=|1t2t|=22sin，2250sin9得 3sin0,sin5，4s5co ，

15、3tan4 2221212sincos8sin0,tan22（），3tan4舍去 直線 m的斜率為34.5 分(未舍去34tan扣 1 分) （II）由解（I）知 A、B、對應(yīng)的參數(shù)12tt、是方程22sin2sincos20tt（） 的兩個根，設(shè) Q 對應(yīng)參數(shù)為t，則1 212222cos2s0,sinsinint ttt, |PA|、|PQ|、|PB|的倒數(shù)成等差數(shù)列, 1 2121120| |t tttt，Q 在線段 AB 上12ttt 、 、同號，所以1 2121221124cos2sint tttttt， t=8 分 4cos14cos8sincos2sin2314scos2sin1

16、cos2sinxQ xyxyiny （ ， ）滿足：， 所以Q在定直線上, 定直線方程為:210 xy .10 分 3.已知一條封閉的曲線 C 由一段圓弧tytxCsin2cos2:1 3,3t和一段拋物線弧:2C) 1(122xxy組成。 （1）以x軸的正半軸為極軸，原點為極點建立極坐標(biāo)系，求曲線 C 的極坐標(biāo)方程； （2）若過原點的直線l與曲線 C 交于 A、B 兩點，求|AB|的取值范圍。 1)35,3(,cos113,3, 2:C 22，38 4.在極坐標(biāo)系中，已知曲線1C：0)4cos(，2C：)0(2在直角坐標(biāo)系中，曲線3C：tytx442（t為參數(shù)） 設(shè)1C與2C相交于點 P （

17、）求點 P 的極坐標(biāo)； （） 若動直線l過點 P， 且與曲線3C相交于兩個不同的點BA,， 求PBPAPBPA的最大值 解： （）聯(lián)立20)4cos(得：點 P 坐標(biāo)為)4,2(4 分 （）曲線3C的普通方程為：xy42，又點P的直角坐標(biāo)為) 1, 1 ( 設(shè)直線l：sin1cos1tytx， （t為參數(shù)，為傾斜角） 代入式得： 03)c o s2( s in2s in22tt，設(shè)BA,點對應(yīng)參數(shù)分別為21, tt 221221sin3sin)cos2(sin2tttt， 2sin24232121ttttPBPAPBPA， 當(dāng)12sin，即4時，PBPAPBPA的最大值為42310 分 5.已

18、知直線l的參數(shù)方程為4cos ,1sinxtyt 其中t是參數(shù)，是l的傾斜角。直線l與橢圓22184xy相交于不同兩點 A，B。 （I）求tan的取值范圍； （II）已知點 P 的坐標(biāo)為(4,1)，若線段 AB 上的一點PAAQQPBQB滿足，當(dāng)變化時，求點Q的軌跡方程。 解（1）將直線l的參數(shù)方程4cos,1sinxtyt 代入橢圓方程22184xy，并化簡得222(cos2sin)(8cos4sin)100tt。 設(shè)點 A，B 對應(yīng)的參數(shù)分別為12,t t，則12,t t是上方程的兩個不等的實根，于是有 22216(2cossin)40(cos2sin)0 ，即有 222(2tan)5(1 2tan)0，解得210210tan44。