坐標(biāo)法解立體幾何習(xí)題及解析

1、百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我坐標(biāo)法解立體幾何i空間直角坐標(biāo)系: 單位正交基底，用S i）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為口國點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以I,j,k示；（2）在空間選定一點(diǎn) O和一個(gè)單位正交基底I, j,k,以的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x軸、y軸、2坐標(biāo)軸.我們稱建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O xyz,點(diǎn)O叫原點(diǎn)，向量向量.通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面；2.空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x, y, z）,使在司用直角坐母系 O xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn) A OA xi yj zk,有序?qū)崝?shù)組在空間直角坐標(biāo)系 O x

2、yz中的坐標(biāo)，記作 坐標(biāo).3.空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：（A(x, y, z) , x叫橫坐標(biāo).)若 a (ai,a2,a3) ， b（x, y, z）叫作向量 Ay叫縱坐標(biāo)，z叫豎（b,b2,0）,則a b (aiLa 1 ( ai,b,a2 b2,a3 ha2, a3)(R)，(ai b,a2 b2,a3 h),b a|b| a2a/baiA(,yi,zi)bi,a2b2,a3bB(x2,y2,Z2),則 A(R)，a3b30 . ( 2)若（X2 xi,y2 yi,Z2 Zi）. 一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)4模長公式：若(ai,a2,

3、a3), b (bi,b2,b3),則 |M|-2224ala2a3 ,aibia2b283b3cos a b異面直線所成的夾角:,2,，b3 . 5.夾角公式:2. 2. 2b2b3cos = I cos <a ? b > I -A(x,yi,Zi), B(X2,y2,Z2),則 |aB | 舄26.兩點(diǎn)間的距離公式：若,、2,、2,.2、5/(x2 xi)(y2 yi)(z2 zi)，或d A,BJ(x2x)(y2 Yi)(22 zi)7、法向量直線的法向量：在直線 L上取一個(gè)定向量a,則與a垂直的非零向量n叫直線L的 法向量平面的法向量：與平面垂直的非零向量n叫平面的法向量.

4、構(gòu)造直線或平面的法向量，在求空間角與距離時(shí)起到了橋梁的作用，在解題過程中只 須求出而不必在圖形中作出來.在空間直角坐標(biāo)系下，構(gòu)造關(guān)于法向量坐標(biāo)的三元一次方 程組，得到直線（或平面）的法向量坐標(biāo)的一般形式，再取特值.其向上或向下的方向可根據(jù)豎坐標(biāo)的符號(hào)來確定.一、平面的法向鬢,例i已知AB= （2 2, i）, AC=（4，5，3）,求平面 八呼的法向量解：設(shè)面 ABC勺法向 量 n （x, y, z）,則 n AB 且 n AC ,即 n - AB =0,且 n 丁 AC =0,即 2x+2y+z=0 且i n x z, 4 i4x+5y+3z=0,解得 2 ，n =z （ ，一 i, i）2

5、 y z,點(diǎn)評(píng)：一般情況下求音向量用待定系數(shù)法由于法向量沒規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有 一個(gè)自由度，可把 n的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為i,再求另兩個(gè)坐標(biāo)平面法向量是垂直于平面的向 量，故法向量的相反向量也是法向量。百度文庫-讓每個(gè)人平等地提升自我12、空間里的垂直關(guān)系1、 如圖，在正方體 ABCD-ABCD中，E、F分別是BB、CD的中點(diǎn)證明AD XDF;解：取 D為原點(diǎn)，DA DC DD為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系， 取正方體棱長為 2,則 A二，0、A (2, 0, 2)、D (0, 0, 2)、E (2,2、 1)、F (0, 1 , 0) . DA DiF = (2, 0, 0) (0, 1

6、, 2) =0, AD ±DF2如圖，已知正三棱柱/ ABC A1B1C1的棱長為,、2,底面邊長為1, M是BC的中點(diǎn).在直線CC上求一點(diǎn)N ,使MNAB1；解：以A&AA1分別為y軸、z軸，垂直于 人&人人的不為*軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz,設(shè)|CN | a,則有3 1 A(Q0,0卜 Bi (, ,2)、2 2一 二3 1 一MN( - - a) AB14 4M (33,0)、N(0,1,a).4 4(3,-,2),由福 MN得2 2MN ABi 0( -,-,a)4 43 1(子” 031八2a8 81a -83、在直二面角 A AB- E中，四邊形 AB

7、C比邊長為2的正方形,AE=EB=/2, F 為 CE上的點(diǎn)，且BFL平面ACE.(I )求證：AE1平面BCE(n)求證：平面 BDFL平面 ABCD.證明：.ABCM正方形，.二BCAB,二二面角 D- AB- E為直二面角,解得,BCX面 AEB以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O, OE所在直線為x軸，AB 所在直線為y軸，過。點(diǎn)平行于AD的直線為z軸，如圖 建立空間直角坐標(biāo)系0-xyz,則A(0, 1, 0),B(0,1,0) , C(0,1,2)D(0, 1,2), E(1, 0,0), .F 為 CE上的點(diǎn),EC =( -1,1,2), EF= EC=(-, 2 ),，F(xiàn) (匚，2 BF=(

8、1-,1,2 ), AC =(0,2,2), AE=( 1,1,0), . BU平面 ACE BF?WC=2(1) 4 =0且1=0,),(I)x0=1, = ； , 1- E (1,0,0 ) , F( , AE=(1,1,0), BE=(-1,1, 0),2).-.AE± BE, BC面 AEB,BC±(n)面 abcM法向量為IAEL平面BCE;二(1, 0,0)，設(shè)面BFD的法向量為m= (x, y ,=(3,m ?BF32=x32), BD=(0, -2, 2), 322y z=0 且 m?BD =332y 2z=0,取 z=1,則 y =1, x=0 m =(0

9、, 1, 1),m?OE =0, .平面 BD吐平面 ABCD例7:在正方 體4助3中.E, F分別是CE二£口的中總求證:4*_1_平面ER以1正洱：女育日i反;國分&力傳由誦由三在 建迂訶可宜用將棟設(shè)正司樹鉗希為2 / A(ao,0),H(2,2 0),dC2,Q2) E(q2>l)JF(l> 1,0)/二JLL 4由=(220)衣=(Q2D/K, 尸£»=(一11書4220) =0“m”： 一( 1.1 2)*(Q2D-0j牙戶 1 成彳 R_l_度；二H 廣 I15平面人80平面ABEF ABC比正萬形，ABEF是矩形，且 AF -AD

10、 a,G是EF的中 2點(diǎn)，求證平面 AGCL平面BGC解：如圖，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則A (0, 0, 0) , B (0, 2a, 0) , C (0, 2a, 2a) , G (a, a, 0) , F(a,a,0),設(shè)平面AGC勺法向量為aG n1 0ax1AC n 02ay(0 2a,2a) BGni (x,y1,i)ay1 0x12a 0 y(a,Ia,0), BC(0,0, 2a)n1 (1, 1,1)BGC勺法向量為BG n2BC n.n1 3(1,y2,z2)，(a, 0, 0)a ay22az2 02即 n1n2V2 1Z21n2 (1,1,0)平面AGCL平面BGC三

11、、空間里的平行關(guān)系1、在正方體AC中，E為DD的中點(diǎn)，求證: 證明：如圖建立坐標(biāo)系。-外工設(shè)仞=2M(2,0,2)-Ct(0,27X£(OAl) LI.1.JjC1 =( 2,2,0)T Afi - (-2:0, 1)TDB. - (111).快平面Cj的法向量忖=(%人辦則|'謁*疥0 hn r-2t + 2v-n，但為=QI-Z*t=0DB曰有"口】一：】；vDB； « = 1 + 1-2=0, DB1k4DB /平面4cg例6隹正方形A13CD A 一 EQDd ,求證：平面 A療| 平面，'/?»】 ABCD A1B1C1D1 D

12、D C1D1 B1F ABE A1 B1BE BA1 BEA m x y z m?BE 2x 2y z m ?BA1 2x 2z xz y 3 m 3 CiDi BiF ABE x0 x0BF 22x0 2m?2)f2 ( 1) 2 %CiDi BiF ABE四、空間的角i、直三棱柱 ABC ABiCi 中，若/BAC 90 , AB ACACi所成的角。如圖建立空間坐標(biāo)系，設(shè)異面直線BAi與ACi所成的角為一 | BA. AC"則cos,_ ,設(shè) AB=a ,易求點(diǎn) B坐標(biāo):|BAi |ACi |點(diǎn)A坐標(biāo)：(0,0,，點(diǎn)A坐標(biāo):(0, 0, 0)(0, a、0),，點(diǎn)Ci坐標(biāo)：(a

13、,cos0 , a ),所以|0 aBA(0, a, 0 a a |a) , ACi,222222,0( a) a . a 0 a2a2 a2(a, 0, a)i2求異面直線BAi與602、在四B P,ABCD 中，ADAB,CD /ABPD，底面 ABCD, AB2,直AD線PA與底面ABCD成60°角，點(diǎn)M,N分別是PA、(i)求異面直線 DN與BC的夾角的余弦值；(2)求直線PA與面PBC所成的角正弦值；(3)求二面角PNC-D的大小的余弦值.解析：以D為原點(diǎn)，向量 正方向，建立坐標(biāo)系，設(shè). PD，底面 ABCDDA, DC, DP的方向分別為AD=i,則 AB=2AD =2,

14、PB的中點(diǎn)./ PAD為直線PA與面ABC所成的角,/ PAD=600 ,. PD=J3 ,D(0,0,0), A(i,0,0), B(i,2,0),C(0,2,0),P(0,0,3),M(；,0,3n(1,i,旦222DN=( 2,i,異面直線DN與BC的夾角的余弦值為| cos DN, BC | =l?l(2)PA=(i直平，0, - 73),4=(i , 2, J3),設(shè)面PBC的法向量為PA與面PBC所成的角為則 m?PB=X1 2yi=0 且 m?| m ?A. 2i m =(0,2, J3), sin -=1 Xi =0,取 Zi =2,則 Xi =0, yi = J3|m|?l由

15、(2)知面PBC的法向量為 m =(0,2,L 7J3),設(shè)面CDN的法向量為n = (x2, y2, z2),=(-2i= 2x2),DC =(0,2,0)2y2z2=0 且 n ?2=(0, 0, B ,= 2y2=0,取 z2=i,貝U x2 = - V3，y2 =0,則 n =( - 33 , 0, 1)I又 m?Dp=3>0,cos m,nm ?n = . 21|m|?|n|14n?Dp = J3>0,，二面角p nc-d的大小的余弦值為【點(diǎn)評(píng)】(1)對(duì)異面直線夾角問題，先求出兩條異面直線的方向向量分別為.21.14m、 n ,在求出m、n的夾角，設(shè)兩異面直線的夾角 ，利

16、用cos =|cosm,n) |求出異面直線的夾角，注意：異面直線夾角與向量夾角的關(guān)系；(2)對(duì)二面角的大小問題，先求出平面 、的法向量m、n ,再求出m、n的夾角，在內(nèi)取一點(diǎn)A,在 內(nèi)取一點(diǎn)B,設(shè)二面角/ l 大小為，若n?T與m?T同號(hào)，則=(m,n),若n?T與 m ?aB異號(hào)，則 =(m,n),注意二面角大小與法向量夾角的關(guān)系、'(3)對(duì)于線面夾角問題，求出線面夾角問題中，求出直線的方向向量m和平面法向量n ,設(shè)線面角為 ： 則直線方向向量 m在平面法向量n方向上的投影的長度1 m?n I與直線方向向量 m的模之|n| m |比1 m ?n |就是線面夾角的正弦值，即 sin

17、=|m?n |.| m | n |m |n |3、如圖， BCD與 MCD都是邊長為2的正三角形，平面 MCD平面平面 BCD , AB 2 J3.(1)求直線AM與平面BCD所成的角的大小；(2)求平面ACM與平面BCD所成的二面角的正弦值.解：如圖建立空間坐標(biāo)系，設(shè)直線 AM與平面BCD所成的角的大小為九 AB 平面BCD是平面BCD的一個(gè)法向量花 | AM BA|故sin 點(diǎn)A坐標(biāo)：(0, 0, 23)點(diǎn)B坐標(biāo)：(0| AM |BA|0,點(diǎn)M坐標(biāo)：(3 ,上3 , J3 ) 22(注明：先作 MOL CD于O,過點(diǎn)C作CH BD于E, CGL y軸于。也y軸于H,再利用坐標(biāo)定義求出點(diǎn) M

18、坐標(biāo))G,過點(diǎn)于是AM3(2sin,32|32BA(0, 0, 24r3)03 2.3|“l(fā))2(；)2 (3)2 0202 (2、.3)22BCD, AB0)。作 OF, BD于 F6.1245(2)易知平面 BCD勺一個(gè)法向量為 n1 =(0, 0, 1)設(shè)平面ACM勺法向量n2 (x0)n2 1 AM 可得 n2 AC =0,而 A (0, 0, 2，M(-2n2 AM =0,5 , C(1 , M2AM(3,手,5 等gl, 2 )AC (1,73,2北)所以2z 02.3z2z取z2, x 0(0, 2,1)0 0 2 1%151_5"5"，平面ACM與平面BCD所成的二面角的正弦值為4、如圖，四棱錐PA AB 金,占八、5ABCD中，底面ABCD為矩形，PAE是棱PB的中點(diǎn).(1)(2)(1)證明：AE若 AD 1,平面PBC ;求二面角B EC證明：如圖建