直線、平面平行判定及其性質(zhì)

1、第四節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)考綱傳真1以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間 中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些 有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.抓基礎(chǔ)自主學(xué)習(xí)|理教材雙基自主測(cè)評(píng)知識(shí)梳理 n '! bi 1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形1*_1J條件a A a ?a? a b? a a / ba / aa/ a a? p.aA 3= b結(jié)論a/ab / aa A a= ?a / b2.面面平行的判定與性質(zhì)判定性質(zhì)定義定理圖形A 7A7/W /層/zfE A 7條件aA 3= ?a? 3- b? 3- a

2、 A b= P .a / % b / aa/ 3. aA 尸 a.3A尸ball 3, a? 3,結(jié)論all 3all 3a / ba / a3.與垂直相關(guān)的平行的判定(1) a丄 a, b± a? a / b.(2) a丄 a, a丄傳 a/ 3學(xué)情自測(cè)簾1. (思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“V”，錯(cuò)誤的打“X” )(1) 若一條直線 和平面內(nèi)一條 直線平行，那么這條 直線和這 個(gè)平面平 行.()(2) 若直線a/平面a,P a,則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線a的直線有無(wú)數(shù)條.()(3) 若一個(gè)平面 內(nèi)有無(wú)數(shù)條直 線與另一 個(gè)平面平行，則這兩 個(gè)平面平 行.()(4) 若兩個(gè)平面

3、平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行.()答案X X X V2. (教材改編)下列命題中，正確的是()A. 若a， b是兩條直線，且a / b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面B. 若直線a和平面a滿足a/ a，那么a與a內(nèi)的任何直線平行C .若直線a， b和平面a滿足a / a， b / a，那么a / bD .若直線a， b和平面a滿足a / b， a / a， b? a,則b / aD 根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，選 D.3. (2015北京高考)設(shè)a, 3是兩個(gè)不同的平面，m是直線且m? a, “m/曠是“ a / 3 ” 的()A .充分而不必要條件B .必要而不充分條件C. 充

4、分必要條件D. 既不充分也不必要條件B 當(dāng)m 時(shí)，過(guò)m的平面a與3可能平行也可能相交，因而m' a3當(dāng)a/3時(shí)，a內(nèi)任一直線與3平行，因?yàn)閙? a,所以m/3綜上知，“m/3”是“ a/3”的必要而不充分條件.4. 在正方體ABCD-AiBiCiDi中，E是DDi的中點(diǎn)，貝U BDi與平面ACE的位置關(guān)系是.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222254】線,平行如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF,貝U EF是ABDDi的中位EF/BDi,又EF?平面ACE,BDi?平面 ACE,BDi / 平面ACE.B5. （2017河北石家莊質(zhì)檢）設(shè)m, n是兩條不同的直線, 的平面，給出下列四個(gè)命題： 若 m

5、? a, n / a,則 m / n ； 若 all B,y m± a,貝U m± y 若 aG# n , m/ n , m/a,則 m/ B 若 a丄y B丄Y 貝U aB其中是真命題的是 （填上序號(hào)）.丫是三個(gè)不同，m /或m , n異面，故錯(cuò)誤；易知正確；， m /B或m? B ,故錯(cuò)誤；，a/B或a與B相交，故錯(cuò)誤.明考向題型突破I丨考向11與線、面平行相關(guān)命題真假的判斷卜例（2015安徽高考）已知m, n是兩條不同直線,a, B是兩個(gè)不同平面,則下列命題正確的是（）A .若a B垂直于同一平面，則a與B平行B. 若m, n平行于同一平面，則 m與n平行C. 若a

6、B不平行，則在a內(nèi)不存在與B平行的直線D. 若m, n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面D A項(xiàng)，a B可能相交，故錯(cuò)誤；B 項(xiàng)，直線 m， n 的位置關(guān)系不確定，可能相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；C 項(xiàng)，若 m? a aG A n， m/h，貝U mB,故錯(cuò)誤；D項(xiàng)，假設(shè)m，n垂直于同一平面，則必有 mh，所以原命題正確，故D項(xiàng) 正確. 規(guī)律方法 1.判斷與平行關(guān)系相關(guān)命題的真假，必須熟悉線、面平行關(guān)系 的各個(gè)定義、 定理，無(wú)論是單項(xiàng)選擇還是含選擇項(xiàng)的填空題， 都可以從中先選出 最熟悉最容易判斷的選項(xiàng)先確定或排除，再逐步判斷其余選項(xiàng).2. (1)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷. (2

7、)特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情形，通過(guò)舉反 例否定結(jié)論或用反證法推斷命題是否正確.變式訓(xùn)練1 (2017唐山模擬)若m，n表示不同的直線，a B表示不同的 平面，則下列結(jié)論中正確的是 ()A .若m /a,m /n，貝Un /aB. 若m?a,n?B,m/B,n/ a,貝UallBC. 若alB,m /a,n /B,貝U m / nD. 若a/B,m/a,n/m,n? B,則 n/BD 在A中，若m /a, m /，貝U n /a或n? a,故A錯(cuò)誤.在B中，若m?a , n? B, m B n /a,貝U a與B相交或平行，故B錯(cuò)誤.在C中，若a丄B, m / a ,

8、n /B,則m與n相交、平行或異面，故 C錯(cuò)誤.在D中，若a/B, m /a, n /m, n? B,則由線面平行的判定定理得 n B 故D正確.直線與平面平行的判定與性質(zhì)I眸向？ I4*(2016南通模擬)如圖7-4-1所示，斜三棱柱 ABC-AiBiCi中，點(diǎn)D,例Di分別為AC，A1C1上的點(diǎn).(1)當(dāng)ADD等于何值時(shí),BC1 / 平面 AB1D1?(2)若平面BC1D /平面AB1D1,十AD求DC的值.圖 7-4-1解(1)如圖所示，取D1為線段A1C1的中點(diǎn),此時(shí)A1D1D1C11.2分連接A1B，交AB1于點(diǎn)0,連接OD1.由棱柱的性質(zhì)知，四邊形 A1ABB1為平行四邊形,點(diǎn)O為

9、A1B的中點(diǎn).在A1BC1中，點(diǎn)O, D1分別為A1B, A1C1的中點(diǎn),0D1 BC1.4 分又-.OD1?平面 AB1D1, BC1?平面 AB1D1,BC1 /平 面AB1D1.當(dāng)1C1 = 1 時(shí)，BC1 / 平面AB1D1.6 分由平面BCiD /平面ABiDi,且平面AiBCiG平面BCiD = BCi,平面AiBCiG平面ABiDi = DiO得BCi/DiO, 8 分.AiDi AiOOB，又由題可知AiDiDiCiDC AOAd，"Obi,DC 'ADi,即ADDC=i.i2 分規(guī)律方法i 判斷或證明線面平行的常用方法有:(i)利用反證法(線面平行的定義);

10、(2) 利用線面平行的判定定理(a? a b? a a/b? a/a；(3) 利用面面平行的性質(zhì)定理(a? 0?a/3 ;(4) 利用面面平行的性質(zhì)(/ a? B, a a a / .2.利用判定定理判定線面平行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線. 常 利用三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過(guò)已知直線作一平面找其交線.變式訓(xùn)練2(20i4全國(guó)卷U )如圖7-4-2，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA丄平面ABCD, E為PD的中點(diǎn).(i)證明：PB/平面AEC;J3設(shè)AP= i, AD= 3,三棱錐P-ABD的體積V=：",求A到平面PBC的距離.圖 7-4-2解(1)

11、證明：設(shè)BD與AC的交點(diǎn)為0,連接E0.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以0為BD的中點(diǎn)，又E為PD的中點(diǎn)，所以E0/PB.3分因?yàn)镋0?平面AEC, PB?平面AEC,所以PB/平面AEC.5分亠 1心(2)由 V= 6PAAB AD = gAB,又V=于，可得AB= 3.作AHJPB交PB于點(diǎn)H.7分由題設(shè)知BC丄平面PAB，所以BC山H,故AH丄平面PBC.在RtFAB中，由勾股定理可得PBW3，所以AH= PABB=冷尹3 汎 所以A到平面PBC的距離為下廠.12分|庫(kù)!131snr平面與平面平行的判定與性質(zhì)卜例如圖7-4-3所示，在三棱柱ABC-AiBiCi中，E, F, G, H分別是

12、AB,圖 7-4-3AC, A1B1, A1C1的中點(diǎn)，求證:(1)B, C, H, G四點(diǎn)共面；平面EFAi /平面BCHG.證明iG, H分別是A1B1, A1C1的中點(diǎn),GH 是AiBiCi 的中位線，GH /BiCi.2 分又'.BiCi /BC,GH /BC,B, C, H , G四點(diǎn)共面.5分在ABC中，E, F分別為AB, AC的中點(diǎn),EF/BC.EF?平面 BCHG, BC?平面 BCHG,EF / 平面BCHG.7 分'AiG 綊 EB,四邊形AiEBG是平行四邊形，則AiE/GB.AiE?平面 BCHG , GB?平面 BCHG ,AE/平面BCHG.iO

13、分AiEA EF = E,平面EFAi /平面BCHG.12 分遷移探究在本例條件下，若點(diǎn)D為BCi的中點(diǎn)，求證：HD /平面AiBiBA.證明如圖所示，連接HD , AiB,D為BCi的中點(diǎn)，H為AiCi的中點(diǎn)，HD AiB.5 分又 HD?平面 AiBiBA，AiB?平面 AiBiBA，HD /平面AiBiBA.i2 分規(guī)律方法i 判定面面平行的主要方法：(1) 面面平行的判定定理.(2) 線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).2. 面面平行的性質(zhì)定理的作用：(i)判定線面平行；(2)判斷線線平行，線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的問(wèn)題的指導(dǎo)思想.解題時(shí)要看清題目的具

14、體條件，選擇正確的轉(zhuǎn)化方向.性質(zhì)定理判定定理易錯(cuò)警示：利用面面平行的判定定理證明兩平面平行時(shí)， 需要說(shuō)明是一個(gè)平 面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行.變式訓(xùn)練3 (2016山東高考)在如圖7-4-4所示的幾何體中，D是AC的中點(diǎn)，EF/ DB.圖 7-4-4(1) 已知 AB= BC, AE= EC,求證：AC丄FB;(2) 已知G, H分別是EC和FB的中點(diǎn)，求證：GH /平面ABC.證明因?yàn)镋F DB,所以EF與DB確定平面BDEF.2分如圖，連接DE.因?yàn)锳E= EC，D為AC的中點(diǎn)，所以DE丄AC.同理可得BD丄AC.又BDA DE= D，所以AC丄平面BDEF.4分因?yàn)镕B?平面BD

15、EF，所以AC丄FB.5分如圖，設(shè)FC的中點(diǎn)為I，連接GI，HI.在厶CEF中，因?yàn)镚是CE的中點(diǎn)，所以GI / EF.8分又 EF / DB，所以 GI / DB.在厶CFB中，因?yàn)镠是FB的中點(diǎn)，所以 HI / BC.又 HI GGI = I，所以平面GHI /平面ABC.因?yàn)镚H?平面GHI，所以GH /平面ABC.12分名師微博勺思想與方法1. 線線、線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化性質(zhì)定理線線平行三判定定理性質(zhì)定理二線面平行乳定定理性質(zhì)定理上面面平行其中線面平行是核心，線線平行是基礎(chǔ)，要注意它們之間的靈活轉(zhuǎn)化.2 直線與平面平行的主要判定方法（1）定義法；（2）判定定理；（3）面與面平行的性

16、質(zhì).3 平面與平面平行的主要判定方法定義法；（2）判定定理；（3）推論；（4）a丄a, a丄保aB易錯(cuò)與防范1. 在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.2. （1）在面面平行的判定中易忽視 “面內(nèi)兩條相交直線”這一條件.（2）如要一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，易誤認(rèn)為這兩個(gè)平面 平行，實(shí)質(zhì)上也可以相交.3. 在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，要遵從由 “高維”到“低維”，但也要注意，轉(zhuǎn)化 的方向總是由題目的具體條件而定， 決不可過(guò)于“模式化”，另外要注意符號(hào)語(yǔ) 言的規(guī)范應(yīng)用.課時(shí)分層訓(xùn)練（四十一）直線、平面平行的判定及其性質(zhì)A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)（建議用時(shí)：30分鐘）一、選擇題1.設(shè)m，

17、n是不同的直線，a， B是不同的平面，且 m，n? a,則“ all 0' 是“ m/ 0 且 n / 0 的（）【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222255】A .充分不必要條件B 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件A 若 m, n? a, aB,貝U m 且 n 反之若 m , n? a, m 他 且 n則a與B相交或平行，即 力邙”是苗/B且n /0'的充分不必要條件.2. 下列四個(gè)正方體圖形中，A, B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M , N, P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB/平面MNP的圖形的序號(hào)是（）A .C.C 對(duì)于圖形，平面MNP與A M圖 7-4-5B .D .A

18、B所在的對(duì)角面平行，即可得到 AB /平面MNP;對(duì)于圖形，AB/N，即可得到AB/平面MNP;圖形無(wú)論用定義還是判定定理都無(wú)法證明線面平行.3. （2017山東濟(jì)南模擬）如圖7-4-6所示的三棱柱 ABC-AiBiCi中，過(guò) AiBi的平面與平面 ABC交于DE，貝U DE與AB的位置關(guān)系是（）圖 7-4-6A .異面B .平行C 相交D .以上均有可能B 在三棱柱 ABC-AiBiCi 中，AB/AiBi.AB?平面 ABC, AiBi?平面 ABC,ABi /平面ABC.過(guò)AiBi的平面與平面 ABC交于DE,DE/AiBi,DE /AB.4. 已知m, n表示兩條不同直線，a表示平面，

19、下列說(shuō)法正確的是()A .若 m / a, n / a,貝U m / nB. 若 m± a, n? a ,貝U m±nC. 若 m± a, m±n ,貝U n / aD. 若 m/ a, m±n ,貝U n丄 aB 若m Ila, n Ila,則m , n平行、相交或異面，A錯(cuò)；若m丄a , n? a ,則m ±1,因?yàn)橹本€與平面垂直時(shí)，它垂直于平面內(nèi)任一直線，B正確；若m Ja, m±1,則n /a或n? a, C錯(cuò)；若m l/a, mIn,則n與a可能相交，可能平行，也 可能 n? a D 錯(cuò). 5. 給出下列關(guān)于互不相

20、同的直線I , m , n和平面a, B, 丫的三個(gè)命題： 若I與m為異面直線,I? a, m? B,則all B; 若 all Bl? a, m? B 則 I / m； 若 aG# I,陽(yáng)尸 m,a= n ,1 / y 則 m / n.其中真命題的個(gè)數(shù)為 ()【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 3i222256】A. 3B. 2C. iD. 0C 中，當(dāng)a與B不平行時(shí)，也可能存在符合題意的I , m；中，I與m1 /丫，也可能異面；中，1? a ? 1 /,同理，l/m,則m/n,正確.aA y n二、填空題6設(shè)a B, 丫為三個(gè)不同的平面，a, b為直線，給出下列條件：a? a, b? B, a / B, b/

21、a all y Y aL y 肚 y a丄 a, bX B,a / b.其中能推出all B的條件是（填上所有正確的序號(hào)）.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31222257】在條件或條件中，a/B或a與B相交.由a/Y BY a/B,條件滿足.在中，a La, a/? bLa ,從而a/B,滿足.7. 如圖7-4-7所示,正方體 ABCD-AiBiCiDi中，AB = 2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上.若EF /平面ABC,則線段EF的長(zhǎng)度等于.AtB,圖 7-4-72 在正方體 ABCD-A1B1C1D1 中，AB= 2 ,AC= 2 2.又E為AD中點(diǎn),EF /平面AB1C , EF?平面ADC ,平面ADC

22、A平面AB1C = AC ,EF/AC , /-F 為 DC 中點(diǎn),EF = 2ac= 2.8. (2016衡水模擬)如圖7-4-8，在四面體 ABCD中，M , N分別是 ACD, BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與 MN平行的是圖 7-4-8平面ABC，平面ABD 連接AM并延長(zhǎng)交CD于E,則E為CD的中點(diǎn).由于N為BCD的重心，所以B，N，E三點(diǎn)共線,廠 EMEN1且MA= NB = 2，所以 MN AB"于是 MN / 平面ABD 且 MN / 平面ABC.三、解答題9 .一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖7-4-9所示.(1) 請(qǐng)將字母F，G，H標(biāo)記在正方

23、體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說(shuō)明理由);(2) 判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖 7-4-9解(1)點(diǎn)F，G，H的位置如圖所示.5分平面BEG/平面ACH，證明如下: 因?yàn)锳BCD-EFGH為正方體，所以 BC/G, BC= FG.7分又 FG/EH, FG = EH，所以 BC EH , BC= EH ,于是四邊形BCHE為平行四邊形，所以BE/CH.9分又CH?平面ACH，BE?平面ACH，所以BE/平面ACH.同理BG/平面ACH.又BEG BG= B,所以平面 BEG/平面ACH.12分 10.(2017西安質(zhì)檢)如圖7-4-10,在直三棱柱ABC-AiBiCi中，已知

24、AC丄BC,BC = CCi,設(shè) ABi 的中點(diǎn)為 D, BiCA BCi = E.圖 7-4-i0求證：(i)DE /平面 AAiCiC;(2)BCi 丄ABi.證明(i)由題意知，E為BiC的中點(diǎn)，又D為ABi的中點(diǎn)，因此DE /AC.2分又因?yàn)镈E?平面AAiCiC, AC?平面AAiCiC,所以 DE / 平面AAiCiC.5 分(2)因?yàn)槔庵鵄BC-AiBiCi是直三棱柱,所以CCi丄平面ABC.因?yàn)锳C?平面ABC,所以ACJCCi.7分因?yàn)?ACdBC, CCi?平面 BCCiBi, BC?平面 BCCiBi, BCG CCi = C, 所以AC丄平面BCCiBi.又因?yàn)锽Ci?平面BCCiBi，所以BCilAC.10分因?yàn)锽C = CCi，所以矩形BCCiBi是正方形，因此 BCiJBiC.因?yàn)?AC, BiC?平面 BiAC, ACA BiC = C,所以BCi丄平面BiAC.又因?yàn)锳Bi?平面BiAC，所以BCi lABi.i2分B 組 能力提升(建議用時(shí)： i5 分鐘)i 在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 3i222258】A. AC 丄 BDB. AC/ 截面 PQMNC. AC= BDD. 異面直線PM與BD所成的角為45°C 因