高等數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

1、高等數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用 （4）對(duì)模型進(jìn)行分析、檢驗(yàn)和修改。建立模型后，要對(duì)模型進(jìn)行分析，即用解方程、推理、圖解、計(jì)算機(jī)模擬、定理證明、穩(wěn)定性討論等數(shù)學(xué)的運(yùn)算和證明得到數(shù)量結(jié)果，將此結(jié)果與實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行比較，以驗(yàn)證模型的合理性。一般地，一個(gè)模型要經(jīng)過(guò)反復(fù)地修改才能成功。（5）模型的應(yīng)用。用已建立的模型分析、解釋已有的現(xiàn)象，并預(yù)測(cè)未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)，以便給人們的決策提供參考。歸納起來(lái)，數(shù)學(xué)建模的主要步驟可以用下面的框圖來(lái)說(shuō)明： 問(wèn)題 假設(shè) 建模 分析 應(yīng)用 檢驗(yàn)、修改 圖1（二）數(shù)學(xué)建模的范例例 教室的墻壁上掛著一塊黑板，學(xué)生距離墻壁多遠(yuǎn)，能夠看得最清楚？這個(gè)問(wèn)題學(xué)生在實(shí)際中經(jīng)常遇到，憑我們的實(shí)

2、際經(jīng)驗(yàn)，看黑板上、下邊緣的視角越大，看得就會(huì)越清楚，當(dāng)我們坐得離黑板越遠(yuǎn)，看黑板上、下邊緣的視角就會(huì)越小，自然就看不清楚了，那么是不是坐得越近越好呢？先建立一個(gè)非常簡(jiǎn)單的模型： A黑板 a B bD C 圖2.3-1模型1：先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行如下假設(shè)：1假設(shè)這是一個(gè)普通的教室（不是階梯教室），黑板的上、下邊緣在學(xué)生水平視線的上方a米和b處。2看黑板的清楚程度只與視角的大小有關(guān)。設(shè)學(xué)生D距黑板米，視黑板上、下邊緣的的仰角分別為。由假設(shè)知：所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最大，從而視角最大。從結(jié)果我們可以看出，最佳的座位既不在最前面，也不在最后面。坐得太遠(yuǎn)或太近，都會(huì)影響我們的視覺(jué)，這符合我們的實(shí)際情況。 y A B

3、 D x O 圖2.3-2下面我們?cè)谠心Ｐ偷幕A(chǔ)上，將問(wèn)題復(fù)雜一些。模型2：設(shè)教室是一間階梯教室，如圖2.3-2所示。為了簡(jiǎn)化計(jì)算我們將階梯面看成一個(gè)斜面，與水平面成角，以黑板所在直線為軸，以水平線為軸，建立坐標(biāo)系（見(jiàn)圖2.3-2）。則直線OE的方程（除原點(diǎn)）為： 若學(xué)生D距黑板的水平距離為，則D在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，則：所以 設(shè)，要使最大，只要最小就可以了。對(duì)求導(dǎo)得：當(dāng)時(shí)，則隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，則隨的增大而減小，由因?yàn)槭沁B續(xù)的，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，也就是時(shí)，學(xué)生的視角最大。通過(guò)這兩個(gè)模型，我們便可以解釋為什么學(xué)生總愿意坐在中間幾排。模型1和模型2所應(yīng)用的基本知識(shí)都是相同的，只是因?yàn)榧僭O(shè)的教

4、室的環(huán)境不同，建立的模型有些細(xì)微差別，所以結(jié)果不同，但這兩個(gè)結(jié)果都是基本符合實(shí)際的。在解題過(guò)程中，我們只考慮了一個(gè)因素，那就是視角，其實(shí)我們還可以考慮更多的因素，比如：前面學(xué)生對(duì)后面學(xué)生的遮擋，學(xué)生看黑板的舒適度（視線與水平面成多少度角最舒服），等。我們考慮的因素越多，所的結(jié)果就會(huì)越合理。但有時(shí)如果考慮的因素過(guò)多、過(guò)細(xì)的話，解題過(guò)程就會(huì)相當(dāng)繁瑣，有時(shí)甚至得不到結(jié)果。所以“簡(jiǎn)化假設(shè)”時(shí)就需要我們冷靜的分析，在眾多的因素中抓住主要矛盾，作出最佳的選擇。因此在建立模型時(shí)既要符合實(shí)際，又要力求計(jì)算簡(jiǎn)便。二、矩陣在實(shí)際生活中的應(yīng)用（一）有關(guān)矩陣的乘法矩陣A= 與=相乘 = = = （二）矩陣應(yīng)用的范例人

5、口流動(dòng)問(wèn)題例 假設(shè)某個(gè)中小城市及郊區(qū)鄉(xiāng)鎮(zhèn)共有40萬(wàn)人從事農(nóng)、工、商工作，假定這個(gè)總?cè)藬?shù)在若干年內(nèi)保持不變，而社會(huì)調(diào)查表明：（1） 在這40萬(wàn)就業(yè)人員中，目前約有25萬(wàn)人從事農(nóng)業(yè)，10萬(wàn)人從事工業(yè)，5萬(wàn)人經(jīng)商；（2） 在務(wù)農(nóng)人員中，每年約有10%改為務(wù)工，10%改為經(jīng)商；（3） 在務(wù)工人員中，每年約有10%改為務(wù)農(nóng)，20%改為經(jīng)商；（4） 在經(jīng)商人員中，每年約有10%改為務(wù)農(nóng)，20%改為務(wù)工?，F(xiàn)欲預(yù)測(cè)一、二年后從事各業(yè)人員的人數(shù)，以及經(jīng)過(guò)多年之后，從事各業(yè)人員總數(shù)之發(fā)展趨勢(shì)。解： 若用三維向量(xi,yi,zi)T表示第i年后從事這三種職業(yè)的人員總數(shù)，則已知(x0,y0,z0)T=(25，10，5)T。而欲求(x1,y1,z1)T，(x2,y2,z2)T 并考察在n時(shí)(xn,yn,zn)T的發(fā)展趨勢(shì)。 依題意，一年后，從事農(nóng)、工、商的人員總數(shù)應(yīng)為 即以(x0,y0,z0)T=(25，10，5)T代入上式，即得: 即一年業(yè)人員的人數(shù)分別為21.5萬(wàn)10.5萬(wàn)、8萬(wàn)人。以及 即兩年后從事各業(yè)人員的人數(shù)分別為19.05萬(wàn)、11.1萬(wàn)、9.85萬(wàn)人。進(jìn)而推得： 即n年之后從事各業(yè)人員的人數(shù)完全由 決