圓的培優(yōu)專題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓的培優(yōu)專題1與圓有關(guān)的角度計算一 運用輔助圓求角度1、如圖，ABC內(nèi)有一點D，DADBDC，若DAB，DAC， 則BDC . （BDCBAC100）2、如圖，AEBEDEBCDC，若C，則BAD . （）3、如圖，四邊形ABCD中，ABACAD，CBD，BDC，則 第1題 第2題 第3題 BAD . （BADBACCAD4060100）解題策略：通過添加輔助圓，把問題轉(zhuǎn)化成同弧所對的圓周角與圓心角問題，思維更明朗！4、如圖，ABCD中，點E為AB、BC的垂直平分線的交點，若D， 則AEC . （AEC2B2D120）5、如圖，O是四邊形ABCD內(nèi)一點，OAOBOC，

2、ABCADC， 則DAODCO . （所求360ADCAOC150）6、如圖，四邊形ABCD中，ACBADB，ADC，則ABC . 第4題 第5題 第6題 （ABCADC25）解題策略：第6題有兩個直角三角形共斜邊，由直角所對的弦為直徑，易得到ACBD共圓.二 運用圓周角和圓心角相互轉(zhuǎn)化求角度7、如圖，AB為O的直徑，C為的中點，D為半圓上一點，則ADC .8、如圖，AB為O的直徑，CD過OA的中點E并垂直于OA，則ABC .9、如圖，AB為O的直徑，則ABC . 第7題 第8題 第9題答案：7、45； 8、30； 9、22.5； 10、40； 11、150； 12、110解題策略：以弧去尋找

3、同弧所對的圓周角與圓心角是解決這類問題的捷徑！10、如圖，AB為O的直徑，點C、D在O上，BAC，則ADC .11、如圖，O的半徑為1，弦AB，弦AC，則BOC .12、如圖，PAB、PCD是O的兩條割線，PAB過圓心O，若，P， 則BDC . （設(shè)ADC，即可展開解決問題） 第10題 第11題 第12題解題策略：在連接半徑時，時常會伴隨出現(xiàn)特殊三角形等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等邊三角形，是解題的另一個關(guān)鍵點！ 圓的四接四邊形的外角等于內(nèi)對角，是一個非常好用的一個重要性質(zhì)！圓的培優(yōu)專題2與垂徑定理有關(guān)的計算1、如圖，AB是O的弦，ODAB，垂足為C，交O于點D，點E在O上，若B

4、ED ，O的半徑為4，則弦AB的長是 .略解：ODAB，AB2AC，且ACO90， BED30，AOC2BED60 OAC30，OCOA2，則AC，因此AB.2、如圖，弦AB垂直于O的直徑CD，OA5，AB6，則BC .略解：直徑CD弦AB，AEBEAB=3 OE，則CE549 第1題 第2題 第3題 BC3、如圖，O的半徑為，弦ABCD，垂足為P，AB8，CD6，則OP .略解：如圖，過點O作OEAB，OFCD，連接OB，OD. 則BEAB4，DFCD3，且OBOD OE，OF 又ABCD，則四邊形OEPF是矩形，則OP4、如圖，在O內(nèi)，如果OA8，AB12，AB，則O的半徑為 .略解：如圖

5、，過點O作ODAB，連接OB，則ADAB4，因此，BD8，OD OB.5、如圖，正ABC內(nèi)接于O，D是O上一點，DCA，CD10，則BC 略解：如圖，連接OC，OD，則ODCOCD ABC為等邊三角形，則OCAOCE30，ODCOCD45 OCD是等腰三角形，則OC 第4題 第5題 第6題 過點O作OEBC，則BC2CE6、如圖，O的直徑AB4，C為的中點，E為OB上一點，AEC，CE的延 長線交O于點D，則CD 略解：如圖，連接OC，則OC2 C為的中點，則OCAB，又AEC，OCE30 如圖，過點O作OFCD，則OFOC1，CF，CD2CF7、如圖，A地測得臺風(fēng)中心在城正西方向300千米的

6、B處， 并以每小時千米的速度沿北偏東的BF方向移 動，距臺風(fēng)中心200千米范圍內(nèi)是受臺風(fēng)影響的區(qū)域. 問：A地是否受到這次臺風(fēng)的影響？若受到影響，請求 出受影響的時間？解：如圖，過點A作ACBF交于點C， ABF30，則ACAB，因此A地會受到這次臺風(fēng)影響； 如圖，以A為圓心200千米為半徑作A交BF于D、E兩點，連接AD， 則DE2CD2， 所以受影響的時間為（時）圓的培優(yōu)專題3圓與全等三角形1、如圖，O的直徑AB10，弦AC6，ACB的平分線交O于D，求CD的長.解：如圖，連接AB，BD，在CB的延長線上截取BEAC，連接DE ACDBCD，ADBD 又CADEBD，ACBE CADEBD

7、（SAS） CDDE，ADCBDEAB為O的直徑，則ACBADB90BC；ADCCDBCDBBDE90，即CDE CDE是等腰直角三角形且CE14，CD2、如圖，AB是O的直徑，C是半圓的中點，M、D分別是CB及AB延長線上一點，且 MAMD，若CM，求BD的長.解：如圖，連接AC，則ACBC，C90，即ABC是等腰直角三角形 過點M作MNAD，則NMAMAD 則CMN也是等腰直角三角形，則MNCM2 ANCMBD135，又MAMD，DNMAMADAMNBMD（AAS） BDMN23、如圖，AB為O的直徑，點N是半圓的中點，點C為上一點，NC. 求BCAC的值.解：如圖，連接AN，BN，則AB

8、N是等腰直角三角形 在BC上截取BDAC，連接DN ANBN，CANDBN，ACBD ACNBDN（SAS）CNDN，CNADNB，CNDCNAANDADNDNB90，即CND是等腰直角三角形CDNC，BCACBCBDCD4、如圖，點A、B、C為O上三點，點M為上一點，CEAM于E， AE5，ME3，求BM的長.解：如圖，在AM上截取ANBM，連接CN，CM. ，ACBC，又AB ACNBCM（SAS） CNCM，又CEAM NEME3， BMANAENE25、如圖，在O中，P為的中點，PDCD，CD交O于A，若AC3，AD1， 求AB的長.解：如圖，連接BP、CP，則BPCP，BC 過點P作

9、PEAB于點E，又PDCD BEPCDP BEPCDP（AAS） BECD3+14，PEPD 連接AP，則RtAEPRtADP（HL），則AEAD1 ABAE+BE56、如圖，AB是O的直徑，MN是弦，AEMN于E，BFMN于F，AB10，MN8. 求BFAE的值.解：AEMN，BFMN，則AEBF，AB如圖，延長EO交BF于點G，則AOEBOG，AOBO AOEBOG（AAS），則OEOG 過點O作OHMN，F(xiàn)G2OH，HN4 連接ON，則ON5，OH，則BGAEFG6.圓的培優(yōu)專題4圓與勾股定理1、如圖，O是BCN的外接圓，弦ACBC，點N是的中點，BNC， 求 的值.解：如圖，連接AB，

10、則AB為直徑，BNA90 連接AN，則BNAN，則ABN是等腰直角三角形BNAB；又BACBNC，BCAB， （方法2，過點B作BDCN，即可求解）2、如圖，O的弦ACBD，且ACBD，若AD，求O半徑.解：如圖，作直徑AE，連接DE，則ADE90 又ACBD，則ADBDACADBEDB90 DACEDB，則， ACBD，則 ADDE，即ADE是等腰直角三角形 AEAD4，即O的半徑為23、如圖，AB為O的直徑，C為O上一點，D為CB延長線上一點，且CAD， CEAB于點E，DFAB于點F. （1）求證：CEEF；（2）若DF2，EF4，求AC.（1）證： AB為O的直徑，CAD， 則ACD是

11、等腰直角三角形，即ACDC 又CEAB，則CAEECB 如圖，過點C作CG垂直DF的延長線于點G 又CEAB，DFAB，則四邊形CEFG是矩形，AECDGC90 EFCG，CEDG，則ECBCDGCAE ACEDCG（AAS），則CECGEF（2）略解：ACCD.4、如圖，AB為O的直徑，CDAB于點D，CD交AE于點F，. （1）求證：AFCF； （2）若O的半徑為5，AE8，求EF的長（1）證：如圖，延長CD交O于點G，連接AC 直徑ABCG，則 CAEACG，則AFCF（2）解：如圖，連接OC交AE于點H，則OCAE，EHAHAE=4 OH，則CH532 設(shè)HF，則CFAF4 則，即HF

12、 EF5、如圖，在O中，直徑CD弦AB于E，AMBC于M，交CD于N，連接AD. （1）求證：ADAN； （2）若AB，ON1，求O的半徑.（1）證：CDAB，AMBC CCNMCB90 BCNM， 又BD，ANDCNM DAND，即ADAN（2） 解：直徑CD弦AB，則AE 又ANAD，則NEED 如圖，連接OA，設(shè)OE，則NEED OAOD ，則 O的半徑OA3圓的培優(yōu)專題5圓中兩垂直弦的問題1、在O中，弦ABCD于E，求證：AODBOC.證：如圖，連接AC， ABCD，則CABACD90 又AOD2ACD，BOC2BAC AODBOC.2、在O中，弦ABCD于點E，若O的半徑為R，求證：

13、AC2BD24R2.證：ABCD，則CABACD90 如圖，作直徑AM，連接CM 則ACMACDDCM90CABDCM，CMBD AC2CM2AM2 AC2BD24R2.3、在O中，弦ABCD于點E，若點M為AC的中點，求證MEBD.證：如圖，連接ME，并延長交BD于點F ABCD，且點M為AC的中點 ME為RtAEC斜邊上的中線 AMME AAEMBEF 又BC，AC90 BEFB90，即BFE90 MEBD.4、在O中，弦ABCD于點E，若ONBD于N，求證：ONAC.證：如圖，作直徑BF，連接DF， 則DFBD，又ONBD， ONFD，又OBOF ONDF 連接AF，則AFAB，又CDA

14、B AFCD ，則ACFD ONAC5、在O中，弦ABCD于點E，若ACBD，ONBD于N，OMAC于M. （1）求證：MEON； （2）求證：四邊形OMEN為菱形.證：（1）如圖，延長ME交OD于點F OMAC，則點M為AC的中點 ABCD，則ME為RtACE的斜邊上中線 AMEM， AAEMBEF 又BC，AC90 BBEF90，則BFE90 MFBD，又ONBD MFON （2）由（1）知MFON，同理可證OMNE， 四邊形OMEN是平行四邊形 ACBD，OMON 四邊形OMEN為菱形.圓的培優(yōu)專題6圓與內(nèi)角（外角）平分線一 圓與內(nèi)角平分線問題往往與線段和有關(guān)，實質(zhì)是對角互補的基本圖形1

15、、如圖，O為ABC的外接圓，弦CD平分ACB，ACB. 求證：CACBCD.證：如圖，在CA的延長線上截取AEBC，連DE，AD，BD CD平分ACB，ADBD 又DAEDBC，AEBC DAEDBC（SAS） CDDE，又ACD45 CDE是等腰直角三角形，則CACBCECD.2、如圖，O為ABC的外接圓，弦CD平分ACB，ACB，求的值.解：如圖，在CA的延長線上截取AEBC，連DE，AD，BD CD平分ACB，ADBD 又DAEDBC，AEBC DAEDBC（SAS） CDDE，又ACD60 CDE是等邊三角形 CDCECABC，即13、如圖，過O、M的動圓交軸、軸于點A、B，求OAOB

16、的值.解：如圖，過點M作ME軸，MF軸，連AM、BM 由M（1，1）知：四邊形OFME是正方形 OEOF4，EMFM，又MBFMAE， AEMBFM（AAS），則AEBF OAOBAEOEOFBF8.二 圓中的外角問題往往與線段的差有關(guān)4、如圖，O為ABC的外接圓，弦CP平分ABC的外角ACQ，ACB. 求證：（1）；（2）ACBCPC.證：（1）如圖，連接AP，則PCQPAB 又PCQPCA，則PABPCA （2）連接BP，由（1）得，PAPB 在AC上截取ADBC，連PD，又PADPBC PADPBC（SAS），則PDPC 又PCD45，則PCD是等腰直角三角形，ACBCCDPC.5、如圖

17、，O為ABC的外接圓，弦CP平分ABC的外角ACQ，ACB. 求的值.解：如圖，在BC上截取BDAC，連AP、BP、DP PCBPCQPBA APBP，又CAPDBP CAPDBP（SAS），則CPDP 又ACB120，PCD30， 6、如圖，A，B，經(jīng)過A、B、O三點，點 這P為上動點（異于O、A）. 求的值.解：如圖，在BP上截取BCAP A，B，則OAOB4 又OAPOBC OAPOBC（SAS） OCOP，且COPAOB90，則 .圓的培優(yōu)專題7與切線有關(guān)的角度計算一 切線與一個圓 答案：1、；2、；3、；4、；5、；6、1、如圖，AD切O于A，BC為直徑，若ACB，則CAD .2、如

18、圖，AP切O于P，PB過圓心，B在O上，若ABP，則APB .3、如圖，PA、PB為O的切線，C為上一點，若BCA，則APB . 第1題 第2題 第3題 第4題 第5題4、如圖，PA、PB為O的切線，C為上一點， 若BCA，則APB .5、如圖，點O是ABC的內(nèi)切圓的的圓心，若 BAC，則BOC .6、如圖，PA切O于A，若PAAB，PD平分 第6題 APB交AB于D，則ADP . （設(shè)元，列方程）二 切線與兩個圓7、如圖，兩同心圓的圓心為O，大圓的弦AB、AC 分別切小圓于D、E，小圓的的度數(shù)為， 第7題 第8題 第9題 則大圓的的度數(shù)為 .8、如圖，O1和O2交于A、B兩點，且點O1在O2

19、上，若D，則C 9、如圖，O1和O2外切于D，AB過點D，若AO2D，C為優(yōu)弧上任一點， 則DCB . 答案：7、；8、40；9、（過點D作兩圓的切線）圓的培優(yōu)專題8與切線有關(guān)的長度計算1、如圖，在O的內(nèi)接ACB中，ABC，AC的延長線與過點D的切線BD交于 點D，若O的半徑為1，BDOC，則CD . （CD）2、如圖ABC內(nèi)接于O，ABBC，過點A的切線與OC的延長線交于D，BAC， CD，則AD . （AD3）3、如圖，O為BCD的外接圓，過點C的切線交BD的延長線于A，ACB， 第1題 第2題 第3題 第4題 ABC，則 的值為 . （）4、如圖，AB為O的直徑，弦DC交AB于E，過C作

20、O的切線交DB的延長線于M， 若AB4，ADC，M，則CD . （CD）5、如圖，等邊ABC內(nèi)接于O，BD切O于B，ADBD于D，AD交O于E，O 的半徑為1，則AE . （AE1）6、如圖，ABC中，C，BC5，O與ABC的三邊相切于D、E、F，若O的 半徑為2，則ABC的周長為 . （C30）7、如圖，ABC中，C，AC12，BC16，點O在AB上，O與BC相切于D， 連接AD，則BD . （示：過D作DEAB，設(shè)CDDE，BD10） 第5題 第6題 第7題解題策略：連半徑，有垂直；尋找特殊三角形；設(shè)元，構(gòu)建勾股定理列方程.圓的培優(yōu)專題9圓的切線與垂徑定理1、如圖，AB為O的直徑，C為的中

21、點，CDBE于D. （1）判斷DC與O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若DC3，O的半徑為5，求DE的長.解：（1）DC是O的切線，理由如下： 如圖，連接OC，BC，則ABCCBDOCB OCBD，又CDBE OCCD，又OC為O的半徑 DC是O的切線 （2）如圖，過O作OFBD，則四邊形OFDC是矩形，且BEEF OFCD3，DFOC5， EFBF，DEDFEF12、如圖，AB為O的直徑，D是的中點，DEAC交AC的延長線于E，O的切線 BF交AD的延長線于點F. （1）求證：DE為O的切線； （2）若DE3，O的半徑為5，求DF的長.（1）證：顯然，CADOADODA ODAE，又DEAC

22、， ODDE，又OD為O半徑 DE為O的切線（2）解：如圖，過點O作OGAC，則OGDE是矩形，即OGDE3，DEOD5 AG，則AE549， 連接BD，則BDAD，BD 設(shè)DF，則BF，DF.3、 如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，BD是O的直徑，AECD于E，DA平分BDE. （1）求證：AE是O的切線； （2）若AE2，DE1，求CD的長.（1）證：如圖，連接OA，則ADEADOOAD OACD，又AECD OAAE，又OA為O的半徑 AE是O的切線（2）解：如圖，過點O作OFCD，則CD2DF，且四邊形OFEA是矩形 EFOAOD，OFAE2 設(shè)DF，則ODEF ， CD2CF4、如圖，A

23、E是O的直徑，DF切O于B，ADDF于D，EFDF于F. （1）求證：EFADAE； （2）若EF1，DF4，求四邊形ADFE的周長.（1）證：如圖，連接CE，則四邊形CDFE是矩形 連接OB交CE于點G， DF是O的切線 OBDF，OBCE BGCDEF，OGAC，又AOOE AC2OG EFADACCDEF2OG2BG2OBAE.（2）解：顯然CEDF4，CDEF1 設(shè)AC，則AD，AE ，則，則AC3，AD4，AE5 四邊形CDFE的周長為14.圓的培優(yōu)專題10圓的切線與勾股定理1、如圖，已知點A是O上一點，半徑OC的延長線與過點A的直線交于點B，OCBC， ACOB. （1）求證：AB

24、是O的切線；（2）若ACD，OC2，求弦CD的長.（1）證：OCOB， AC為OAB的OB邊上的中線，又ACOB OAB是直角三角形，且OAB90，又OA為O的半徑 AB是O的切線（2）解：顯然，OAOCAC，即OAC是等邊三角形 AOC60，D30 如圖，過點A作AECD于點E， ACD45，AEC是等腰直角三角形， AECEACOC，DEAE CD2、如圖，PA、PB切O于A、B，點M在PB上，且OMAP，MNAP于N. （1）求證：OMAN；（2）若O的半徑，PA9，求OM的長.（1）證：如圖，連接OA，PA為O的切線， OAAP，又MNAP OAMN，又OMAP， 四邊形OANM是矩形

25、，即OMAN（2）解：如圖，連接OB，PB、PA為O的切線 OBMMNP90，PBPA9 OMAP，OMBP，又OBOAMN，OBMMNP（AAS） OMPM，則32OM2（9OM）2，OM53、如圖，AB為O的直徑，半徑OCAB，D為AB延長線上一點，過D作O的切線， E為切點，連接CE交AB于F. （1）求證：DEDF；（2）連接AE，若OF1，BF3，求DE的長.（1）證：如圖，連接OE PE為O的切線， OEDE，又OCAB CCFOOEFDEF90 又COCF，CFODFE DEFDFE，DEDF（2）解：顯然，OEOBOFBF4 設(shè)BD，則DEDF，OD ， DE7.54、如圖，正

26、方形ABCO的頂點分別在軸、軸上，以AB為弦的M與軸相切于F， 已知A，求圓心M的坐標(biāo).解：如圖，連接FM交延長交AB于點E M與軸相切，即OC是M的切線EFOC，又四邊形ABCO是正方形EFAB，又A（0，8）即ABEMOA8 AE4 設(shè)MFAM，則EM8 ，即MF5 點M的坐標(biāo)為（4，5）圓的培優(yōu)專題11圓的切線與全等三角形1、如圖，BD為O的直徑，A為的中點，AD交BC于E，過D作O的切線，交BC 的延長線于F. （1）求證：DFEF；（2）若AE2，DE4，求DB的長.（1）證：如圖，連接AB BD為O的直徑，DF為O的切線 BADBDF90 ABCAEBADBFDE90 又ABCAD

27、B，AEBDEF DFEDEF，DEEF（2）解：如圖，過點F作FGED，則EGGD2AE， 又BAEFGE90，AEBGEF， ABEGFE（ASA）， BEEF，即DE為RBDF的斜邊上中線 DFEFDE4，BF8，則BD2、如圖，AB為O的直徑，C、D為O的一點，OCAD，CFDB于F. （1）求證：CF為O的切線；（2）若BF1，DB3，求O的半徑.（1）證：AB為O的直徑 DFAD，又OCAD OCDF，又CFDB OCCF，又OC為O的半徑 CF為O的切線（2）解：如圖，過點C作CEBD于點E， 則BEDE1.5，EF2.5 又OCCF，CFEF 四邊形OCFE是矩形 O有半徑OC

28、EF2.53、如圖，以O(shè)的弦AB為邊向圓外作正方形ABCD. （1）求證：OCOD； （2）過D作DM切O于M，若AB2，DM，求O的半徑.（1）證：如圖，連接OA、OB，則OAOB OABOBA 四邊形ABCD是正方形 ADBC，DABCBA90 OADOBC OADOBC（SAS） OCOD（2）解：如圖，連接OM、BD，則OMDM，且BDABDM 又OMOB，ODOD，ODMODB（SSS） OBBD，又ABD45 OAB45，即OAB是等腰直角三角形 OAAB4、如圖，在ABC中，ACBC，ACB，以BC為直徑的O交AB于D. （1）求證：ADBD；（2）弦CE交BD于M，若，求 .（

29、1）略證：連接CD，則CDAB 又ACBC，ACB，ADBD（2）解：如圖，連接BE，過A作ANCE于N， ， AN2BE CANBCE，ACBC，ANCCEB ANCCEB（AAS） BECN，CEAN 設(shè)CNBE，則CEANBE， BC，ABBC，即BD .圓的培優(yōu)專題12圓的切線與等腰三角形1、如圖，在ABC中，ABAC，以AB為直徑的O與邊BC交于D，與邊AC交于E， 過D作DFAC于F. （1）求證：DF為O的切線；（2）若DE，AB5，求AE的長.（1）證：如圖，連接AD，OD， AB為O的直徑， ADBC，又ABAC，OAOB EADDABADO ODAC，又DFAC ODDF，

30、又OD為O的直徑 DF為O的切線（2）解：EADDAB，BDDE，又AB5，AD DF×ACAD×CD，DF2，CFEF，AE5232、如圖，在ABC中，ABAC，以邊AB為直徑作O，交BC于D，過D作DEAE. （1）求證：DE是O的切線；（2）連接OC，若CAB，求 的值.（1）證：如圖，連接AD，OD，則ADBC 又ABAC，CDBD，又AOOB ODAC，又DEAE ODDF，DE是O的切線；（2）解：如圖，過點O作OFBD于F，則BD2BF ABAC，CAB，B30 設(shè)OF，則BF，OB， ACAB，CDBD，則CF 由勾股定理，得OC，由面積法，得DE，.3、如

31、圖，ABAC，點O在AB上，O過點B，分別交BC于D、AB于E，DFAC. （1）證：DF為O的切線；（2）若AC切O于G，O的半徑為3，CF1，求AC.（1）證：如圖，連接OD， ABAC，OBOD BCODB ODAC，又DFAC ODDF，又OD為O的半徑 DF為O的切線（2）解：如圖，連接OG，AC為O的切線 OGAC，又ODDF，DFAC，OGOD 四邊形ODFG是正方形，即OBOGGF3 設(shè)AG，則ABAC，則AO ，則AC84、如圖，CD是O的弦，A為的中點，E為CD延長線上一點，EG切O于G. （1）求證：KGGE；（2）若ACEG， ，AK，求O的半徑.（1）證：如圖，連接O

32、G，OA交CD于點F A為的中點，EG是O的切線 OACD，OGGE OAGAKFOGAEGK 又OAGOGA，AKFEKG EGKEKG KGGE（2）解：ACEG，CAKEGK，又EGKEKGCKA CAKCKA，CACK 設(shè)CKCA，則DK，CD，CF，EG AF 在RtAFK中， CE8，AE6， 設(shè)O的半徑為R，則R282（R6）2，R圓的培優(yōu)專題13圓與三角形的內(nèi)心1、如圖，AB是O的直徑，點M為BC上一點，且CMAC. （1）求證：M為ABE的內(nèi)心；（2）若O的半徑為5，AE8，求BEM的面積.（1）證：如圖，連接CE，則ACCECM CMECEM，CEACBE CBEBEMCE

33、AAEM AEMBEM，又ABCCBE 點M為ABE的內(nèi)心.（2）解：如圖，過點M作MNBE于點N，則MN為ABE的內(nèi)切圓的半徑. AB10，AE8，則BE MN， MN2 BME的面積為×6×26.2、如圖，O為ABC的外接圓，BC為直徑，AD平分BAC點M是ABC的內(nèi)心. （1）求證：BCDM；（2）若DM，AB8，求OM的長.（1）證：如圖，連接BD，CD， BC為直徑，AD平分BAC BDCD，BDC90， BCCD 連接CM，則ACMBCM，DACBCD DMCACMDACBCMBCDDCM， DMCD，即BCDM（2） 解：顯然，BCDM10，AB8，則AC6，

34、且MAE45 如圖，過M作MEBC于點N，作MFAC于點F，則MEMFAF2 CFCE4，則OE1 OM.3、如圖，AB為O的直徑，C為O上一點，D是的中點，DEAB于E，I是ABD 的內(nèi)心，DI的延長線交O于N. （1）求證：DE是O的切線；（2）若DE4，CE2，求O的半徑和IN的長.（1）證：D是的中點，OAOD CADDAOADO ODAE，又DEAB ODDE，又OD為O的半徑 DE是O的切線.（2）解：如圖，過點O作OFAC，則AFCF DEAB，ODDE 四邊形ODEF是矩形，則OFDE4 設(shè)O的半徑為R，則OAODEFR，AFCFR2 （R2）242 R2，R5， AB10，如

35、圖，連接BI，AN，BN，則INBNAN 4、如圖，在ABC中，ABAC，I是ABC的內(nèi)心，O交AB于E，BE為O的直徑. （1）求證：AI與O相切；（2）若BC6，AB5，求O的半徑.（1）證：如圖，延長AI交BC于點D，則ADBC， 連接OI，則OIBOBIOBD OIBC，又ADBC ADOI，又OI為O的半徑 AI與O相切（2）顯然BD3，AB5，則AD4 如圖，過點I作IFAB于點F，則BFBD3，AF2，IFID， 設(shè)IFID，則AI，則IF 設(shè)O的半徑為R，則OF3R，（3R）2（）2 R2，R圓的培優(yōu)專題14圓中動態(tài)問題1、如圖，點P是等邊ABC外接圓上的一個動點，求證PAPB

36、PC.證：如圖，在AP上截取PDPC，連接CD ABC是等邊三角形，ABCACB60 DPCABC60 PCD是等邊三角形，即CDPC ACDBCDBCPBCD60 ACDBCP，又ACBC ACDBCP（SAS） ADBP PAADDPPBPC.2、已知弦ADBD，且AB2，點C在圓上，CD1，直線AD、BC交于點E. 圖1 圖2 （1）如圖1，若點E在O外，求AEB的度數(shù)； （2）如圖2，若C、D兩點在O上運動，CD的 長度不變，點E在O內(nèi)，求AEB的度數(shù).解：（1）如圖1，連接OC，OD ADBD AB為O的直徑，且AB2 CDOCOD1，即OCD是等邊三角形 COD60 CBDCOD=

37、30 AEB60 （2）如圖2，連接OC，OD 同理可得：ACD60， CBDCOD=30 又ADB90，AED1203、已知直線經(jīng)過O的圓心O，且交O于A、B，點C在O上，且AOC，點 P是直線上一個動點（與O不重合），直線CP與O交于Q，且QPQO. （1）如圖1，當(dāng)點P在線段AO上時，求OCP的度數(shù)； （2）如圖2，當(dāng)點P在線段OA的延長線上時，求OCP的度數(shù)； （3）如圖3，當(dāng)點P在線段OB的延長上時，求OCP的度數(shù). 圖1解：（1）如圖1，設(shè)OCP OCOQ，則OQP 又AOC，QPQO QOPQPO OCP （2）如圖2，設(shè)COQ， 圖2 又AOC，QPQO QOPQPO 又OCOQ OQPOCQ COQ 圖3 OCP （3）如圖3，設(shè)QPO QPPO，則QOPQPO OCOQ OCQOQC QPO10 OCP20圓的培優(yōu)專題15聚焦圓中無圖多解題 圓是中考數(shù)學(xué)考查的一個熱點，題型較全，選擇、填空、作圖、計算與證明經(jīng)常出現(xiàn)，常與三角形、四邊形