拋物樣條曲線的原理說明

1、 拋物樣條曲線的原理說明及拋物曲線程序說明 假如我們采用矢量表達(dá)式來表示參數(shù)化的二次曲線，那么可以把拋物線的表達(dá)式寫成如下的一般形式： P(t)=A1+ A2t+ A3t2 (0=<t<=1) 該拋物線過P1, P2, P3三個點(diǎn)，并且：1. 拋物線以P1點(diǎn)為始點(diǎn)。當(dāng)參變量t=0時，曲線過P1點(diǎn)；2. 拋物線以P3點(diǎn)為終點(diǎn)。當(dāng)參變量t=0時，曲線過P3點(diǎn)；3. 當(dāng)參變量t=0.5時，曲線過P2點(diǎn),且切矢量等于P3P1。t=0: P(0)= A1= P1t=1: P(1)= A1 + A2+ A3=P3t=0.5:P(0.5)= A1 + 0.5A2+0.25 A3=P2通過解聯(lián)立方

2、程，得到三個參數(shù)A1 、 A2、 A3分別為：A1 = P1A2=4 P2P33P1A3=2P1+2P34P2把求出的這三個系數(shù)的值，代入拋物線的表達(dá)式P(t)=A1+ A2t+ A3t2得：P(t)=（2t3t+1）P1 +(4t4t2)P2+(4t2t)P3 (0=<t<=1) 設(shè)有一離散型值點(diǎn)列Pi（i=1,2,n）,每經(jīng)過相鄰三點(diǎn)作一段拋物線，由于有n個型值點(diǎn)，所以可以做n-2條拋物線段。 在這n2條拋物線段中，第i條拋物線段為經(jīng)過Pi, Pi+1, Pi+2三點(diǎn)，所以它的表達(dá)式應(yīng)為：Si(ti)=（2t2i3ti+1）Pi +(4 ti4 t2i) Pi+1 +(2t2i

3、ti) Pi+2 (0=< ti <=1) 同理，第i+1條拋物線段為經(jīng)過Pi+1, Pi+2, Pi+3三點(diǎn)，所以它的表達(dá)式應(yīng)為：Si+1(ti+1)=（2t2i+13ti+1+1）Pi+1 +(4 ti+14 t2i+1) Pi+2 +(2t2i+1ti+1) Pi+3 (0=< ti+1 <=1) 一般來說，每兩段曲線之間的搭接區(qū)間，兩條拋物線是不可能重合的。如下圖所示： Si+1 Si Pi+1 Pi+2 Pi+3Pi 顯然，對于擬合曲線來說，整個型值點(diǎn)必須只能用一條光滑的曲線連接起來。為了做到這一點(diǎn)，必須找一種方法把Si和Si+1 這樣的曲線段的共同區(qū)間結(jié)合起

4、來。這種方法就是加權(quán)合成方法。 我們設(shè)共同區(qū)間的函數(shù)是Pi+1(t)=f (T ) Si(ti)+g ( T) Si+1(ti+1). 其中f (T ) 和 g ( T) 是權(quán)函數(shù)。在拋物樣條曲線中我們?nèi)『唵蔚囊淮魏瘮?shù)為權(quán)函數(shù)，且具有互補(bǔ)性，設(shè)f (T ) =1Tg ( T) =T這樣Pi+1(t)= (1T ) Si(ti)+ T Si+1(ti+1).因?yàn)?函數(shù)中有T、ti和ti+1三個參數(shù)，因此接下來我們的工作是統(tǒng)一參數(shù)。我們可以三個參變量統(tǒng)一形式為：T=2tti=0.5+tti+1=t這樣Pi+1(t)= （2t3+4t2t）Pi +(12t3410t2+1) Pi+1 +(12t3+

5、8t2+t) Pi+2 +(4t32t2) Pi+3 (0=< ti <=0.5) 從幾何意義上說，函數(shù)Pi+1(t)表示的上圖的點(diǎn)Pi+1,到Pi+2 之間的線段。但是我們應(yīng)該看到這種方法從n個點(diǎn)中只能得到n3段曲線。但是n個型值點(diǎn)應(yīng)有n1段曲線。一個直接的想法是添加兩個輔助點(diǎn)。那么如何添加呢？方法一：兩個輔助點(diǎn)為P0和Pn+1, P0=P1，Pn+1= Pn ,這樣畫出的曲線為一條不閉合的自由曲線。方法二：添加三個輔助點(diǎn)，P0、Pn+1和Pn+2，然后P0=Pn，Pn+1= P1, ，Pn+2= P2,這樣畫出的曲線為一條閉合的曲線。拋物曲線程序說明：這個程序主要是通過新建一個class CParspl來實(shí)現(xiàn)的，即將存貯控制點(diǎn)，畫自由端拋物曲線以及封閉拋物曲線都封裝在這個類里。在class CCurve2View主要實(shí)現(xiàn)設(shè)置線型、線寬和線色以及客戶區(qū)的一下操作。當(dāng)然這個程序還有改進(jìn)的空間，比如我在class CParspl已經(jīng)有了一個序列化函數(shù)，但是還沒有實(shí)現(xiàn)文檔