對稱變換和對稱矩陣

1、7.5 對稱變換和對稱矩陣授課題目：7.5 對稱變換和對稱矩陣教學目的： 1掌握對稱變換的概念，能夠運用對稱變換和對稱矩陣之間的關系解題 2掌握對稱變換的特征根、特征向量的性質(zhì)3對一個實對稱矩陣，能熟練地找到正交矩陣，使 為對角形授課時數(shù)：3學時教學重點：對稱變換的特征根、特征向量的性質(zhì); 對實對稱矩陣，能熟練地找到正交矩陣，使 為對角形教學難點：定理的證明教學過程：一、 對稱變換1、一個問題問題：歐氏空間V中的線性變換應該滿足什么條件，才能使它在某個正交基下的矩陣是對角形？V滿足：2、對稱變換的定義設是歐氏空間V中的線性變換，如果都有、則稱是V的一個對稱變換例1 以下的線性變換中,指出哪些是

2、對稱變換? 3、對稱變換與對稱矩陣的關系Th1：n維歐氏空間V中的線性變換是對稱變換的充分必要條件是：關于任意一個正交基的矩陣是實對稱矩陣 證：必要性：設是對稱變換，關于V的標準正交基的矩陣是A=即A則 因是對稱變換，是標準正交基，所以因此，A是對稱矩陣 充分性 設關于V的標準正交基的矩陣是A=是實對稱矩陣，即A，A=對任意，有于是AA其中A，A分別是，關于標準正交基的坐標列向量，因此 因A=故= 二、 對稱變換的基本性質(zhì)1、特征根的性質(zhì)Th2 實對稱矩陣的特征根都是實數(shù)證明：設A= 是一個n 階實對稱矩陣，是A在復數(shù)域內(nèi)的任意一個特征根， 是A的屬于特征根的特征向量，于是有記 ，兩端取共軛轉(zhuǎn)

3、置，由復數(shù)共軛的性質(zhì)及得 所以 A=又因為即A=所以即對稱變換的特征多項式在C內(nèi)的根都是實根2、特征向量的性質(zhì)Th3：n維歐氏空間的一個對稱變換的屬于不同特征根向量彼此正交。證：設是n維歐氏空間歐氏空間V的一個對稱變換，是V的特征向量。則則有=因為三、 主要結果1、主要定理Th4：設是n維歐氏空間的一個對稱變換，那么存在的一個標準基，使得關于這個基的矩陣是對角形式。證明：對n 用數(shù)學家歸納法，n =1時是明顯的，因為關于任意單位向量的矩陣都是對角形式。 設n 1，并且假設對于n-1維歐氏空間的對稱變換來說定理成立，現(xiàn)在設n 維歐氏空間的一個對稱變換，有特征根，令是的一個特征根，是中屬于的一個特

4、征向量，并且可設是單位向量： 令，在之下不變 也在之下不變，事實上，設，對于任意我們有 所以，在上的限制是的一個對稱變換，并且的特征根都是的特征根，因。2、求使為對角形正交矩陣U的步驟.Th5：設A是一個n 階實對稱矩陣，那么存在一個n 階正交矩陣U，使得是一個對角形。 按下列步驟求出使（A是實對稱矩陣）為對角形的正交矩陣U， （1）求實對稱矩陣A的全部特征根。 （2）對每個不同和特征根，求出齊次線性方程解（）X=的基礎解系，并將其正交化、單位化，得到A的屬于特征根的一組兩兩正交的單位特征向量。 （3）以這些單位特征向量為列作成一個矩陣U，則U就是要求的正交陣，以U的列為坐標寫出對應的向量，它是的特征向量組成的標準正交基。 例3：設A=求正交矩陣U，使為對角形矩陣。解：因為A 的特征多項式為，故A的特征根為1（三重）和-