2020屆湖北省武漢市高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、第1頁共 18 頁2020 屆湖北省武漢市高三下學(xué)期 3 月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)(文)試一、單選題1 已知復(fù)數(shù) z=( 1+2i) (1+ai) (a R),若 z R,則實(shí)數(shù) a =()11A .B.C. 2D . - 222【答案】D【解析】化簡 z=(1+2i)(1+ai)=1 2a a 2 i，再根據(jù) z R 求解.【詳解】因?yàn)?z=(1+2i)(1+ai)=:1 2aa 2 i,又因?yàn)?z R,所以a 20,解得 a = -2.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題2 .已知集合 M = x| 1vxv2, N = x|x (x+3) 0貝 U MA

2、N =()A . - 3, 2)B. (- 3, 2)C.( - 1, 0D . (- 1, 0)【答案】C【解析】 先化簡 N= x|x (x+3) 0=x|-3WW0,再根據(jù) M = x|- 1vxv2，求兩集合的交集【詳解】 因?yàn)?N= x|x (x+3)w0=x|-3$w0,又因?yàn)?M = x|- 1vxv2,所以 MAN = x|- 1vx0在 - 1, 1恒成立，貝U實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（）3亦A.a0B.aWC.a0在 - 1, 1恒成1立，轉(zhuǎn)化為a x2在-1, 1恒成立再求解x【詳解】當(dāng)x 0時(shí)，不等式成立，a R當(dāng)x 0時(shí) 關(guān)于 x 的不等式 x3- ax2+10在 -

3、1, 1恒成立，沿 SE、SF 及 EF 把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使Gi、G2、G3三點(diǎn)重合，重合后的A . SG EFG 所在平面B . SD EFG 所在平面C . GF ! SEF 所在平面D. GD ! SEF 所在平面第9頁共 18 頁1一、a x2在-1 1恒成立，x1x2，x彳0,x123.123時(shí)，g X所以 a 0故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式恒成立問題及導(dǎo)數(shù)求最值，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的 能力，屬于中檔題12 .已知 ABC 的三邊分別為 a, b, c,若滿足 a2+b2+2c2= 8,則 ABC 面積的最大值為（ ）【答案】B2 222 2 2 24

4、 ab 8 3c 4S，而a b 8 2c 2ab，兩式結(jié)合有2 22222 24S 8 2c28 3c216 5c2c2，再用基本不等式求解【詳解】因?yàn)?a2+b2+2c2= 8,所以a2b28 2c2,解得x1時(shí)，g x 0.所以當(dāng)xZV123時(shí)，g x取得極小值，又g 10,g 12,所以g x的最小值為 0.【解析】根據(jù) a2+b2+2c2= 8，得到a2b28 2c2，由余弦定理得到2abcosC 8 3c2，由正弦定理得到2absin C 4S，兩式平方相加得由余弦定理得cosC2 , 2 2a b c2ab8 3c22ab第10頁共 18 頁即2ab cosC 8 3c2第11頁

5、共 18 頁1由正弦定理得S absinc,2即2absinC 4S由，平方相加得4 ab2228 3c24S2ab228222c,22222A1165c2225c264所以4S8 2c283c165c2c2525即S2-，所以S紅5,55128當(dāng)且僅當(dāng)a2b2且16 5c25c2即a2b2,c2時(shí)，取等號(hào)55故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題二、填空題13 .函數(shù) f (x)= xlnx+1 在點(diǎn)(e, e+l )處的切線方程為 _.【答案】2x- y- e+1 = 0.【解析】根據(jù)函數(shù) f (x)= xlnx+1，求導(dǎo)得

6、f x 1 In x,再分別求得f e,f e,用點(diǎn)斜式寫出切線方程【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) f (x)= xlnx+1 ,所以 f x 1 Inx,所以f e 1 lne 2,f e elne 1 e 1,所以切線方程為：y e 12 x e,即2x y e 10.故答案為：2x y e 10【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題cosx a14 .若函數(shù) f (x)- 在(0,)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為_.第12頁共 18 頁sinx2【答案】a亠1.第13頁共 18 頁【解析】將函數(shù) f（x）cosx a在（0,）上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化f X1 a2csx

7、0 sinx2sin x1 1在f0,）上恒成立 即a在f0,）上恒成立 再求最大值即可.2cosx2cosx【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) f （x）cosx a在（0,）上單調(diào)遞減，si nx2所以f x1嚴(yán)叫0在（0，）上恒成立，sin x21一、即a在（0，）上恒成立，cosx2因?yàn)閤 0,2所以cosx 0,1，1所以（，1，cosx所以a 1.故答案為：a 1【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.15.已知M x.1 y2y 1 x2，則 M 的最大值為【答案】1.【解析】 利用柯西不等式求解【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)嚴(yán)1七，即x2y21取等號(hào).故

8、M 的最大值為 1 故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了柯西不等式的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題16 根據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某個(gè)碼頭 A 南偏東 45 方向的 600km 處的熱帶風(fēng)暴中 心 B 正以30km/h 的速度向正北方向移動(dòng)， 距離風(fēng)暴中心 450km 以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，從現(xiàn)在起經(jīng)過 _小時(shí)后該碼頭 A 將受到熱帶風(fēng)暴的影響(精確到0.01).【答案】9.14h.由柯西不等式xC2x21 x221 y2y2第14頁共 18 頁【解析】 先建立坐標(biāo)系，設(shè)風(fēng)暴中心最初在 B 處，經(jīng) th 后到達(dá) C 處.自 B 向 x 軸作垂 線，垂足為 D .若在點(diǎn) C 處受到熱帶風(fēng)

9、暴的影響，則 AC= 450,則有AD2DC2450, 即:(600sin4530t)2450；兩邊平方并化簡、整理求解 .【詳解】建立如圖所示直角坐標(biāo)系:設(shè)風(fēng)暴中心最初在 B 處，經(jīng) th 后到達(dá) C 處.自 B 向 x 軸作垂線，垂足為 D .若在點(diǎn) C 處受到熱帶風(fēng)暴的影響，則OC = 450,即.AD2DC2450,即(600cos45 )2(600sin45 30t)2450;兩邊平方并化簡、整理得t2- 20、.2t+175 = 0二t10.2 5或10、2 5，10 ,2 5 9.14所以9.14時(shí)后碼頭將受到熱帶風(fēng)暴的影響.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，還考查了運(yùn)算

10、求解的能力，屬于中檔題三、解答題17.若等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,滿足 a4- a1= S3, a5- a1= 15.(1) 求數(shù)列an的首項(xiàng) a1和公比 q;(2) 若 ann+100，求 n 的取值范圍.【答案】(1) q = 2, a1= 1； (2) n 7.【解析】(1)根據(jù) a4- a1= S3, a5- a1= 15，利用 q, aJ法求解.(2)由(1)建立不等式2n 1 n+100,通過估值法求解第15頁共 18 頁【詳解】(1)Ta4- ai= S3, a5- ai= 15.顯然公比 ql,3a11q3a1q 11 q ，解可得 q= 2, a1= 1,a1q41

11、15(2) 由(1)可得 an=2n 1,Tan n+100，即2n 1 n+100,解可得，n7.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.18 .如圖，在棱長為 a 的正方體 ABCD - A1B1C1D1中，P, Q, L 分別為棱 A1D1, C1D1,BC 的中點(diǎn).(1)求證：AC 丄 QL ;(2)求四面體 DPQL 的體積.【答案】(1)見解析；(2)爲(wèi)3.8【解析】(1)取 CD 的中點(diǎn) H，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，有QH 丄 AC , AC 丄 HL ,再利用線面垂直的判定定理證明 (2)連接PB1, B1L,四邊形 LDPB1是平行

12、四邊形，根據(jù)等體積法，則有VQPDLVQ PB,LVLQPB1, 然后通過VLQPB1求解【詳解】(1)證明：如圖所示:第16頁共 18 頁H 為 CD 的中點(diǎn)，連接 QH , HL, P, Q, L 分別為棱 A1D1, C1D1, BC 的中點(diǎn).所以 QH 丄 AC, AC 丄 HL , QHAHL = H,所以 AC 丄平面 QHL ,/ QL?平面 QHL , AC 丄 QL ；(2)解：如圖所示:5Q/1. Xa 1/ 汀 j*-*-丿CAB連接 PBi， BiL，四邊形 LDPBi是平行四邊形，則VQPDLVQ PBLVL QPB1121111111VL QPB,二SPQB1AA1

13、a -a aa aaa a313222222213a.8【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方體的幾何特征和線面垂直的判定定理，以及三棱錐的體積，還考查了空間想象，推理論證，運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題19 一個(gè)小商店從一家食品有限公司購進(jìn)10 袋白糖，每袋白糖的標(biāo)準(zhǔn)重量是500g,為了了解這些白糖的實(shí)際重量，稱量出各袋白糖的實(shí)際重量(單位：g)如下：503, 502,496, 499, 491, 498, 506, 504, 501, 510(1) 求這 10 袋白糖的平均重量X和標(biāo)準(zhǔn)差 s；(2) 從這 10 袋中任取 2 袋白糖，那么其中恰有一袋的重量不在( x s,應(yīng) s)的概率是多少？(附： 0)

14、的焦點(diǎn)為 F , P 是拋物線r上一點(diǎn)，且在第一象uur限，滿足FP(2,2、3)(1) 求拋物線r的方程；(2) 已知經(jīng)過點(diǎn) A ( 3,- 2)的直線交拋物線r于 M, N 兩點(diǎn)，經(jīng)過定點(diǎn) B ( 3,- 6) 和 M 的直線與拋物線r交于另一點(diǎn) L,問直線 NL 是否恒過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)，求出 該定點(diǎn)，否則說明理由.【答案】(1) y2= 4X； (2)直線 NL 恒過定點(diǎn)(-3, 0),理由見解析.【答(1) 501 , 5.08； (2)1645則其平均重量X64(X點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入拋物線方程求解“4x yyi于(2)設(shè) M(xo，yo)， N (xi， yi)， L (x2， y

15、2)，表示出 MN 的方程 y - 和 MLyoyi4x y0y2的方程 y - ，因?yàn)?A (3,- 2) , B (3,- 6)在這兩條直線上，分別代入兩yoy2直線的方程可得 yiy2= i2 ,然后表示直線 NL 的方程為：y-yi4(xyi2)，代yiy24入化簡求解.【詳解】(i)由拋物線的方程可得焦點(diǎn) F ( , o),滿足FP( 2 , 2、3)的 P 的坐標(biāo)為(2 ,222 .3 ), P 在拋物線上,p22)，即P2+4P-i2=o，Po，解得P=2，所以拋物線的方程為：y2= 4x;即 y,yoyi-2), B (3 , - 6)分別代入 ，的方程【解析】(1)根據(jù)拋物線

16、的方程，求得焦點(diǎn)puuuF ( -，0)，利用FP所以(2、3)2= 2p (2(2)設(shè) M (xo,yo),(xi,yi) ,L(X2,y2),貝廿 yi2= 4xi, y22= 4x2,直線 MN 的斜率則直線 MN 的方程為:yiyoXoyiyo22% y。4yiyo，y- yoyiyo(x同理可得直線 ML 的方程整理可得 y4xyo讐,64(Xi2 yyi第 i4 頁共 i8 頁可得yoyii2 yy2，消 yo可得 yiy2= i2 ,易知直線 kNL,則直線 NL 的方程為：y- yi2建),yiy2第20頁共 18 頁y”2-xy y2yi，故 yy212- xyiy2-yiy

17、?4所以 y(x+3),yiy2因此直線 NL 恒過定點(diǎn)(-3, 0).【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的方程及直線與拋物線的位置關(guān)系,直線過定點(diǎn)問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題sinx21 . (1 )研究函數(shù) f (x)在(0,n)上的單調(diào)性;x(2)求函數(shù) g (x)= x2+ncos 的最小值.2【答案】(1) f (X)在(0,n)遞減；(2) 一 .4sinx【解析】(1)根據(jù)f X，求導(dǎo)得f xxxcosx sinx2，設(shè) m (x)= xcos x -xsinx, x (0,n),通過求導(dǎo)來判斷其正負(fù)，從而得到f (x)的正負(fù)，進(jìn)而研究f (x)的單調(diào)性.(

18、2)易知 g (x)是偶函數(shù)，故只需求x 0 , +s)時(shí) g (x)的最小值，求導(dǎo)得 g (x)=2x-nsinx,根據(jù) sinx 的特點(diǎn)，分 x ( 0,)和x22時(shí)兩種情況討論 g( x)單調(diào)性，進(jìn)而求其最小值【詳解】sinxxcosx sinx(1)因?yàn)閒 x，所以f Xxx設(shè) m(x)=xcos x-sinx,x (0, n),m(x)=-xsin xv0,所以 m (乂)在(0,n)遞減，則 m (x)vm (0)= 0故 f (x)v0，所以 f (x)在(0,n)遞減;(2)觀察知 g (x)為偶函數(shù)，故只需求 x 0 , +s)時(shí) g (x)的最小值,由 g(x)= 2x-n

19、sinx，當(dāng) x (0,) 時(shí)，設(shè) n (x)= 2x-nsinx，貝 n (x)= 22-ncos(,顯然 n (x)遞增，而 n (0)=2- nV0, n一20 ,2第21頁共 18 頁第22頁共 18 頁由零點(diǎn)存在定理，存在唯一的x00, ，使得 n(Xo)= 02當(dāng) x (0,xo)時(shí)，n(x)v0, n (x)遞減，當(dāng)xXo，時(shí)，n (x) 0, n (x)遞增，2而 n ( 0)= 0,n0，故x 0,時(shí)，n (x)v0,2 2即 x0, 時(shí)，g (x)v0,貝Ug (x)遞減；2又當(dāng)x,時(shí)，2xn nsinx, g (x) 0, g (x) 遞增；22所以g(x)ming -2

20、4【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及最值，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題x 5cos一22 .在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 Ci的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原y 4si n點(diǎn) o 為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2：p2- 4pCOSH03 = 0.(1) 求曲線 C1的一般方程和曲線 C2的直角坐標(biāo)方程；(2) 若點(diǎn) P 在曲線 Ci上，點(diǎn) Q 曲線 C2上，求|PQ|的最小值.2 2【答案】(1) J 1 , ( x-2)2+y2= 1 ; (2) 2.2516x 5cos【解析】(1)由 C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去參數(shù)即可轉(zhuǎn)換為直角坐y

21、4si n標(biāo)方程，根據(jù)曲線 C2：p2-4pcos9+30.利用x cos ,y sin轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程(2)設(shè)點(diǎn) P (5COS94sin ),根據(jù)點(diǎn) Q 在圓上，先求點(diǎn) P 到圓心的距離，然后減去半徑即為最小值【詳解】第23頁共 18 頁x 5cos(1)曲線 Cl的參數(shù)方程為(為參數(shù))，y 4si n2 2兩式平方相加整理得 1.2516sin代入 p2 4pcos9+30.得 x2+y2 4x+3 = 0, 整理得(x 2)2+y2= 1 .(2)設(shè)點(diǎn) P (5cos94sin9)在曲線所以:當(dāng) cos0=1 時(shí)，|PO|min=3,所以|PQ|的最小值 3 1 = 2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程，普通方程，極坐標(biāo)方程間的互化及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，還考 查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題23 .已知函數(shù) f (x)= |2x a|+|x- a+1|.(1) 當(dāng) a= 4 時(shí)，求解不等式 f (x)82(2)已知關(guān)于x的不等式 f (