西安交大西工大 考研備考期末復(fù)習(xí) 線性代數(shù)第5章二次型

1、上節(jié)課內(nèi)容復(fù)習(xí)上節(jié)課內(nèi)容復(fù)習(xí)(1)(1)相似矩陣相似矩陣(2)(2)矩陣對(duì)角化的條件和方法矩陣對(duì)角化的條件和方法(3)(3)實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化(4)(4)二次型化標(biāo)準(zhǔn)形二次型化標(biāo)準(zhǔn)形 用正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形, 并求出所作的非退化線性變換并求出所作的非退化線性變換(即可逆變換即可逆變換):;222 )(1)323121321xxxxxx,x,xxf.4844 )(2)323121232221321xxxxxxxxx,x,xxf二次型二次型 f 的矩陣的矩陣 A 為為,011101110AA 為特征多項(xiàng)式為為特征多項(xiàng)式為111111E|A,)

2、1)(2(2 ,21101121p,p所以所以 A 的特征值為的特征值為.2,1321當(dāng)當(dāng)121時(shí)時(shí), 解方程組解方程組0,)(xEA即即, 0111111111321xxx得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系當(dāng)當(dāng)23時(shí)時(shí), 解方程組解方程組0,)2(xEA即即, 0211121112321xxx得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.1113p 則則 p1 , p2 , p3 為為 A 的三個(gè)線性無關(guān)的特征的三個(gè)線性無關(guān)的特征,01121111ppe,21161222ppe.11131333ppe向量且這三個(gè)向量?jī)蓛烧幌蛄壳疫@三個(gè)向量?jī)蓛烧? 現(xiàn)把它們單位化現(xiàn)把它們單位化. 令令令令,31620316121316121)

3、(321,e,eeP.31313162616102121T1PP則則,2111APP且且 令令 x = Py, 則則 f 的標(biāo)準(zhǔn)形為的標(biāo)準(zhǔn)形為.2)(232221TTTTyyyyyyAPPyAxxf 可逆變換可逆變換(且為正交變換且為正交變換)為為.3162,316121,31612132332123211yyxyyyxyyyx124242421E|A,124242421AA 為特征多項(xiàng)式為為特征多項(xiàng)式為,)5)(4(2二次型二次型 f 的矩陣的矩陣 A 為為 ,14110121p,p所以所以 A 的特征值為的特征值為.4,5321當(dāng)當(dāng)521時(shí)時(shí), 解方程組解方程組0,)5(xEA即即, 04

4、24212424321xxx得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系當(dāng)當(dāng)43時(shí)時(shí), 解方程組解方程組0,)4(xEA即即, 0524282425321xxx得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系.2123p 則則 p1 , p2 , p3 為為 A 的三個(gè)線性無關(guān)的特征的三個(gè)線性無關(guān)的特征,10121111ppe,141231222ppe.21231333ppe向量且這三個(gè)向量?jī)蓛烧幌蛄壳疫@三個(gè)向量?jī)蓛烧? 現(xiàn)把它們單位化現(xiàn)把它們單位化. 令令令令,32231213123403223121)(321,e,eeP.32313223123423121021T1PP則則,4551APP且且 令令 x = Py, 則則 f 的標(biāo)準(zhǔn)形為

5、的標(biāo)準(zhǔn)形為.455)(232221TTTTyyyyyyAPPyAxxf 可逆變換可逆變換(且為正交變換且為正交變換)為為.3223121,31234,322312132133223211yyyxyyxyyyx. 用正交變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形, 具有保持幾具有保持幾何形狀不變的優(yōu)點(diǎn)何形狀不變的優(yōu)點(diǎn). 如果不限于用正交變換如果不限于用正交變換, 那么那么還可以有多種方法還可以有多種方法(對(duì)應(yīng)有多個(gè)可逆的線性變換對(duì)應(yīng)有多個(gè)可逆的線性變換)把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形. 這里介紹這里介紹下面舉例來說明這兩種方法下面舉例來說明這兩種方法.一、拉格朗日配方法的具體步驟一、拉

6、格朗日配方法的具體步驟1.若二次型含有若二次型含有 的平方項(xiàng)，則先把含有的平方項(xiàng)，則先把含有 的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對(duì)其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過非退化線樣進(jìn)行，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形; ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且2.若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是 則先作可逆線性變換則先作可逆線性變換0 ija),(ji 化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按1中方中方法配方法配方.解解

7、32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的變變換換矩矩陣陣為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例1 131212122xxxxx 322322652xxxx 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出來的項(xiàng)去掉配方后多出來的項(xiàng) 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxx

8、xxxxxf .2221yy 所用變換矩陣為所用變換矩陣為 .01,100210111 CC 用配方法化二次型用配方法化二次型323121321222)(xxxxxx,x,xxf成標(biāo)準(zhǔn)形成標(biāo)準(zhǔn)形, 并求所用的變換矩陣并求所用的變換矩陣. 由于二次型中沒有變量的平方項(xiàng)由于二次型中沒有變量的平方項(xiàng), 故針故針性變換以產(chǎn)生變量的平方項(xiàng)性變換以產(chǎn)生變量的平方項(xiàng):對(duì)某個(gè)交叉乘積項(xiàng)對(duì)某個(gè)交叉乘積項(xiàng), 如如 2x1x2 作如下的可逆的線作如下的可逆的線) 1 (,33212211yxyyxyyx則原二次型變?yōu)閯t原二次型變?yōu)?422)( 2)( 2)( 23122213213212121yyyyyyyyyyy

9、yyyf由于新變量的二次型中含有平方項(xiàng)由于新變量的二次型中含有平方項(xiàng), 如如 y12 或或 y22 , 并注意到并注意到, 二次型中除二次型中除 y22 外其他項(xiàng)中不含變量外其他項(xiàng)中不含變量 y2 , 所以所以, 將所有含將所有含 y1 的項(xiàng)配成完全平方的項(xiàng)配成完全平方:232223312122)242(yyyyyyf令令,3322311yzyzyyz即即) 2 (,3322311zyzyzzy則二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形則二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形.222232221zzzf.22)(22322231yyyy所用矩陣為所用矩陣為100010101100011011C.100111111 . 注意到初等矩陣注意到

10、初等矩陣 Pk 與與 PkT 是同種類型的初等是同種類型的初等矩陣矩陣. 矩陣矩陣 A 右乘右乘 Pk , 左乘左乘 PkT 相當(dāng)于對(duì)矩陣相當(dāng)于對(duì)矩陣 A施行了一次初等列變換與一次對(duì)應(yīng)的初等行變換施行了一次初等列變換與一次對(duì)應(yīng)的初等行變換(例如例如, 若若 Pk 為交換矩陣的第為交換矩陣的第 i 列與第列與第 j 列所對(duì)應(yīng)列所對(duì)應(yīng)的初等矩陣的初等矩陣, 則則 PkT 可看做交換矩陣的第可看做交換矩陣的第 i 行與第行與第j 行所對(duì)應(yīng)的初等矩陣行所對(duì)應(yīng)的初等矩陣), 稱之為對(duì)矩陣稱之為對(duì)矩陣 A 施行了施行了換換: 構(gòu)造矩陣構(gòu)造矩陣,EAC其中其中 A = (aij)nn 為二次型的矩陣為二次型

11、的矩陣, E 為為 n 階單位階單位另外另外, 如果矩陣如果矩陣 A 經(jīng)過有限次的各對(duì)相應(yīng)的經(jīng)過有限次的各對(duì)相應(yīng)的初等變換變?yōu)閷?duì)角矩陣初等變換變?yōu)閷?duì)角矩陣, 則單位矩陣則單位矩陣 E 經(jīng)過同樣經(jīng)過同樣的初等列變換變?yōu)榫仃嚨某醯攘凶儞Q變?yōu)榫仃?P . 因而因而, 可以用下面的可以用下面的方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形方法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形, 并求出所用的初等變并求出所用的初等變矩陣矩陣.第第 j 行加至第一行行加至第一行, 并將并將 C 的第的第 j 列加至第一列列加至第一列, 如果如果 a11 0, 則將則將 A 的第一行的適的第一行的適當(dāng)倍數(shù)加到當(dāng)倍數(shù)加到 A 的其余各行的其余各行, 使使 A 的第

12、一列的其余的第一列的其余元素都變?yōu)榱阍囟甲優(yōu)榱? 施行一次同樣的初等列變換施行一次同樣的初等列變換. 由于由于 A 為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣,這樣變換后這樣變換后, A 的第一行的其余元素也必變?yōu)榱愕牡谝恍械钠溆嘣匾脖刈優(yōu)榱?如果如果 a11 = 0 , 但存在某個(gè)但存在某個(gè) a1j 0 , 則將則將 A 的的每作一次初等行變換時(shí)每作一次初等行變換時(shí), 對(duì)矩陣對(duì)矩陣 C可用下面的分塊矩陣表示上述結(jié)果可用下面的分塊矩陣表示上述結(jié)果:,002111RRAEA使使 C 的第一行第一列的元素不為零的第一行第一列的元素不為零, 為簡(jiǎn)單起見為簡(jiǎn)單起見,仍記仍記 C 中與矩陣中與矩陣 A 對(duì)應(yīng)的子塊為對(duì)應(yīng)的

13、子塊為 A. 再用上面的再用上面的方法將矩陣方法將矩陣 A 的第一列與的第一列與 C 的第一行其余元素的第一行其余元素都變?yōu)榱愣甲優(yōu)榱?其中其中, A1 是是 n - - 1 階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣, 單位矩陣單位矩陣 E 經(jīng)過經(jīng)過 用同樣的方法變換矩陣用同樣的方法變換矩陣,RA21EA經(jīng)過有限次的初等變換經(jīng)過有限次的初等變換, 必可將矩陣必可將矩陣化成化成變換變換.塊形式相應(yīng)的形式塊形式相應(yīng)的形式 (R1 , R2) .上述初等列變換后所變成的矩陣寫成了與上述初等列變換后所變成的矩陣寫成了與A 的分的分矩陣矩陣則則x = Py 即為所作的非退化的線性即為所作的非退化的線性,P 用初等變換法

14、將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形用初等變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形, 并求出所用的線性變換并求出所用的線性變換.222)(323121321xxxxxx,x,xxf ,011101110A二次型的矩陣為二次型的矩陣為構(gòu)造矩陣構(gòu)造矩陣 C,100010001011101110EAC對(duì)對(duì) C 施行初等變換施行初等變換, 使使 A 變成對(duì)角矩陣變成對(duì)角矩陣, 則則 E 變變100010001011101110C.10012/ 1112/ 1120002/ 10002成變換矩陣成變換矩陣 P.所以標(biāo)準(zhǔn)形為所以標(biāo)準(zhǔn)形為.2212232221yyyf所用線性變換為所用線性變換為: x = Py ,其中其中.11012111

15、211/P.42222432)(434232312124232221321xxxxxxxxxxxxxx,x,xxf 用初等變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形用初等變換法將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形, 并求出所用的線性變換并求出所用的線性變換. ,4210231111210111A二次型的矩陣為二次型的矩陣為,10000100001000014210231111210111EAC構(gòu)造矩陣構(gòu)造矩陣 C10000100001000014210231111210111.10002100321053113000020000100001所以標(biāo)準(zhǔn)形為所以標(biāo)準(zhǔn)形為.3224232221yyyyf所用線性變換為所用線性變換為: x

16、 = Py ,其中其中.1000210032105311P定理定理.二次型的標(biāo)準(zhǔn)形顯然不是唯一的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形顯然不是唯一的,只是標(biāo)準(zhǔn)形只是標(biāo)準(zhǔn)形中所含項(xiàng)數(shù)是確定的中所含項(xiàng)數(shù)是確定的(即是二次型的秩即是二次型的秩).不僅如此不僅如此,在限定變換為實(shí)變換時(shí)在限定變換為實(shí)變換時(shí),標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個(gè)數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個(gè)數(shù)是不變的不變的(從而負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)也不變從而負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)也不變), 也就是有以下也就是有以下 這個(gè)定理稱為這個(gè)定理稱為. .二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為二次二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為二次型的型的，負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為，負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為若二次型若二次型 f 的正慣性指數(shù)為的正慣性

17、指數(shù)為 p，秩為，秩為 r ,則則 f 的規(guī)范形便可確定為的規(guī)范形便可確定為f = y12 + + yp2 yp+12 yn2 .科學(xué)技術(shù)上用得較多的二次型是正慣性指科學(xué)技術(shù)上用得較多的二次型是正慣性指數(shù)為數(shù)為 n 或負(fù)慣性指數(shù)為或負(fù)慣性指數(shù)為 n 的的 n 元二次型，我們?cè)涡?，我們有下述定義有下述定義. , ; ;00011112221121111nnnnaaaa,aaaa,a.,n,raaaarrrrr)21(0) 1(1111這個(gè)定理稱為這個(gè)定理稱為, 這里不予證明這里不予證明. 判定下列二次型的正定性判定下列二次型的正定性.32212322213212432 )(1)xxxxxxx

18、,x,xxf323121242322214321222333)(2)xxxxxxxxxx,x,x,xxf二次型二次型 f 的矩陣的矩陣 A 為為,310122021A,a0111,aaaa02222122211211各階順序主子式計(jì)算如下各階順序主子式計(jì)算如下: 310122021|A|. 05 由此可知二次型的正定性如下由此可知二次型的正定性如下:二次型二次型 f 的矩陣的矩陣 A 為為,1000031101310113A,a0311,aaaa08311322211211 311131113, 020 1000031101310113|A|. 020 由此可知二次型的正定性如下由此可知二次型的正定性如下:2232-34345A =練習(xí)練習(xí)1：21-131931-134-531-51A 練習(xí)練習(xí)2：三個(gè)順序主子式分別計(jì)算如下：三個(gè)順序主子式分別計(jì)算如下：2= 2 0222-3= -10 02232-34345= -7 02119= 17 021-1193-134= 35 0不不 定 定21-131931-134-531-51= -308 1 . 設(shè)設(shè) f(x1 ,