軸對(duì)稱(chēng)壓軸題解析

1、軸對(duì)稱(chēng)【知識(shí)脈絡(luò)】【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一：軸對(duì)稱(chēng)圖形及對(duì)稱(chēng)軸1、軸對(duì)稱(chēng)圖形：一個(gè)圖形沿著某直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能完全重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形，該直線(xiàn)就是它的對(duì)稱(chēng)軸2、要點(diǎn)：前提是一個(gè)圖形，且這個(gè)圖形滿(mǎn)足兩個(gè)條件：存在直線(xiàn)（對(duì)稱(chēng)軸）；沿著這條直線(xiàn)折疊，折痕兩旁的部分能重合3、注意：一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)且不一定只有一條，可能有兩條或多條如圖所示：知識(shí)點(diǎn)二：軸對(duì)稱(chēng)及對(duì)稱(chēng)點(diǎn)1、軸對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形沿著某一條直線(xiàn)折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)（或說(shuō)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)），這條直線(xiàn)叫做對(duì)稱(chēng)軸折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)也叫做對(duì)稱(chēng)點(diǎn)2、要點(diǎn)：前提是兩個(gè)圖形；存在一

2、條直線(xiàn)；兩個(gè)圖形沿著這條直線(xiàn)對(duì)折能夠完全重合3、注意：成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形一定全等；它與軸對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別主要是：它是指兩個(gè)圖形，而軸 對(duì)稱(chēng)圖形前提是一個(gè)圖形；成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形除了全等外還有特定的位置關(guān)系如圖所示：知識(shí)點(diǎn)三：軸對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)圖形1、相互轉(zhuǎn)化：軸對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)的關(guān)系非常密切，若把成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，則這個(gè)整體就是對(duì)稱(chēng)圖形；反過(guò)來(lái)，若把軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸兩旁的部分看作兩個(gè)圖形，則這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(xiàn)（原對(duì)稱(chēng)軸）對(duì)稱(chēng)2、軸對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)（1）性質(zhì)1：若兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)；注：經(jīng)過(guò)線(xiàn)段中點(diǎn)并且垂直于這條線(xiàn)段的直線(xiàn)，

3、叫做這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，也叫線(xiàn)段的中垂線(xiàn)性質(zhì)1的證明如下：如圖所示，ABC與關(guān)于l對(duì)稱(chēng)，其中點(diǎn)A、是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，設(shè)交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P將ABC和沿l折疊后，點(diǎn)A與重合，則有，1=2=90°，即對(duì)稱(chēng)軸把垂直平分，同樣也能把、都垂直平分，于是得出性質(zhì)1 （2）性質(zhì)2：軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)證明類(lèi)似性質(zhì)1（3）小結(jié)：不論性質(zhì)1，還是性質(zhì)2所指的都是只要兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么這條直線(xiàn)（對(duì)稱(chēng)軸）就是這兩個(gè)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)也就是說(shuō)這兩條性質(zhì)所體現(xiàn)的是對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系也揭示了軸對(duì)稱(chēng)（軸對(duì)稱(chēng)圖形）的實(shí)質(zhì)知識(shí)點(diǎn)四：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)1、性質(zhì)1：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)

4、段兩端點(diǎn)的距離相等；證法一：如圖所示，l是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，P為l上任意一點(diǎn)如果把AB沿著l對(duì)折，A點(diǎn)和B點(diǎn)一定重合，同時(shí)PA、PB也應(yīng)該重合，如果在l上再取一點(diǎn)，連、，則、也應(yīng)該重合，即它們分別對(duì)應(yīng)相等，由此得出性質(zhì)1證法二：另外，我們還可以從全等的角度得出性質(zhì)1，過(guò)程如下：如上圖， l垂直平分AB， AO=BO，1=2又 PO=PO（公共邊）， RtPAORtPBO（SAS） PA=PB即性質(zhì)1成立2、性質(zhì)2：與一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上性質(zhì)2的探究如下：如圖所示，作直線(xiàn)PCAB于C，則在RtPAC和RtPBC中，PA=PB，PC=PC， RtPACRtPBC

5、， AC=BC即PC垂直平分AB，所以點(diǎn)P在線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)上3、 小結(jié)：（1）從以上的兩個(gè)結(jié)論可以看出，在線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)與A、B兩點(diǎn)的距離相等；反過(guò)來(lái)與點(diǎn)A、B距離相等的點(diǎn)都在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上綜合以上兩點(diǎn)可以得出：線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)可以看作是與線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合（2）線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的兩個(gè)性質(zhì)具有不同的作用，性質(zhì)l是線(xiàn)段的垂直、平分線(xiàn)的性質(zhì)，可用它來(lái)證明線(xiàn)段相等的問(wèn)題；而性質(zhì)2實(shí)質(zhì)是線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定知識(shí)點(diǎn)五：對(duì)稱(chēng)軸的作法1、若兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，其對(duì)稱(chēng)軸就是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)因此只要找到一對(duì)對(duì) 應(yīng)點(diǎn)，再作出連接它們的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)就可以得到這

6、兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸作法相同 2、例如：A、B兩點(diǎn)關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，連接AB，作線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)就是A、B兩點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)軸，作法如下：（1）分別以點(diǎn)A、B為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧（若兩弧半徑小于或等于A(yíng)B，則兩弧沒(méi)有交點(diǎn)或切于一點(diǎn)），兩弧交于C、D兩點(diǎn)；（2）連CD，得直線(xiàn)CD，直線(xiàn)CD即為所求如圖所示：3、說(shuō)明：作對(duì)稱(chēng)軸的方法也就是作線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的方法用此方法可確定線(xiàn)段的中點(diǎn)，即把線(xiàn)段平分知識(shí)點(diǎn)六：軸對(duì)稱(chēng)變換1、由一個(gè)平面圖形得到它關(guān)于某直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圖形，這一過(guò)程叫軸對(duì)稱(chēng)變換2、注意：（1）將一個(gè)圖形進(jìn)行軸對(duì)稱(chēng)變換（作一個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)圖形）關(guān)鍵是作某些點(diǎn)（關(guān)鍵點(diǎn)）關(guān)于

7、這條直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) 如：作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)先作AOl于O；再延長(zhǎng)AO至使，則就是A關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，如下圖所示：主要有兩步：第一步，過(guò)已知點(diǎn)作對(duì)稱(chēng)軸的垂線(xiàn)，得到一個(gè)垂線(xiàn)段；第二步，將這個(gè)垂線(xiàn)段延長(zhǎng)一倍所到達(dá)的點(diǎn)就是已知點(diǎn)關(guān)于這條直線(xiàn)（對(duì)稱(chēng)軸）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（2）成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中的任何一個(gè)都可以看作是另一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換得到的同樣，一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形也可以看作是以它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)軸對(duì)稱(chēng)變換擴(kuò)展而成的（3）經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換并結(jié)合平移變換我們可得到一些美麗的圖案，如圖所示：知識(shí)點(diǎn)七：用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱(chēng)1、關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)的關(guān)系已知P點(diǎn)坐標(biāo)，則它關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，如下圖所示：

8、即關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，坐標(biāo)的關(guān)系是：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)2、關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)橫（縱）坐標(biāo)的關(guān)系已知P點(diǎn)坐標(biāo)為，則它關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，如上圖所示 即關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系是：縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù) 注意：由此我們可以在平面直角坐標(biāo)系中作出與一個(gè)已知圖形關(guān)于x軸或y軸對(duì)稱(chēng)的圖形3、關(guān)于與x軸（y軸）平行的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)橫（縱）坐標(biāo)的關(guān)系（1）P點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為證明：如下圖所示，令坐標(biāo)為，由題意可知，即，故所以同樣可以推導(dǎo)出下面的結(jié)論（2）P點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，如下圖所示三、規(guī)律方法指導(dǎo)1由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱(chēng)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)變換成軸對(duì)稱(chēng)的兩

9、個(gè)圖形中的任何一個(gè)可以看著 由另一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換后得到2軸對(duì)稱(chēng)變換的性質(zhì)：（1）經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣（2）經(jīng)過(guò)軸對(duì)稱(chēng)變換得到的圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（3）連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分3作一個(gè)圖形關(guān)于某條直線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)圖形的步驟：（1）作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（2）按原圖形的連接方式連接所得到的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即得到原圖形的軸對(duì)稱(chēng)圖形4點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，-y）；點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x，y）；點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x，-y）5點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線(xiàn)x=m對(duì)

10、稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2m-x，y）；點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線(xiàn)y=n對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，2n-y）?！镜淅馕觥坷}1：如圖，在RtABC中，AC=BC，點(diǎn)D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，若AC=AD，CAD=30°，連接BD，則ADB的度數(shù)為（）A120°B135°C150°D165°【考點(diǎn)】等腰直角三角形【分析】先根據(jù)ABC是等腰直角三角形得：CAB=ABC=45°，作輔助線(xiàn)，構(gòu)建全等三角形，證明CDBAED，則ADE=CBD，ED=BD，設(shè)CBD=x，則ADE=x，DEB=DBE=15+x，根據(jù)ABC=45°列方程可求x的值，根據(jù)三角形內(nèi)

11、角和得BDC=150°，最后由周角得出結(jié)論【解答】解：AC=BC，ACB=90°，CAB=ABC=45°，AC=AD，AD=BC，CAD=30°，ACD=ADC=75°，DAB=45°30°=15°，DCB=90°75°=15°，EAD=DCB，在A(yíng)B上取一點(diǎn)E，使AE=CD，連接DE，在CDB和AED中，CDBAED（SAS），ADE=CBD，ED=BD，DEB=DBE，設(shè)CBD=x，則ADE=x，DEB=DBE=15+x，ABC=45°，x+15+x=45，x=15

12、76;，DCB=DBC=15°，BDC=180°15°15°=150°，ADB=360°75°150°=135°；故選B例題2：如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC，D、E分別為AB、BC上一點(diǎn)，CDE=A（1）如圖，若BC=BD，求證：CD=DE；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CHDE，垂足為H，若CD=BD，EH=1，求DEBE的值【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【分析】（1）先根據(jù)條件得出ACD=BDE，BD=AC，再根據(jù)ASA判定ADCBED，即可得到CD=DE；（2）先根據(jù)條件得出DCB

13、=CDE，進(jìn)而得到CE=DE，再在DE上取點(diǎn)F，使得FD=BE，進(jìn)而判定CDFDBE（SAS），得出CF=DE=CE，再根據(jù)CHEF，運(yùn)用三線(xiàn)合一即可得到FH=HE，最后得出DEBE=DEDF=EF=2HE=2【解答】解：（1）AC=BC，CDE=A，A=B=CDE，ACD=BDE，又BC=BD，BD=AC，在A(yíng)DC和BED中，ADCBED（ASA），CD=DE；（2）CD=BD，B=DCB，又CDE=B，DCB=CDE，CE=DE，如圖，在DE上取點(diǎn)F，使得FD=BE，在CDF和DBE中，CDFDBE（SAS），CF=DE=CE，又CHEF，F(xiàn)H=HE，DEBE=DEDF=EF=2HE=2

14、例題3：閱讀下面材料：小聰遇到這樣一個(gè)有關(guān)角平分線(xiàn)的問(wèn)題：如圖1，在A(yíng)BC中，A=2B，CD平分ACB，AD=2.2，AC=3.6求BC的長(zhǎng)小聰思考：因?yàn)镃D平分ACB，所以可在BC邊上取點(diǎn)E，使EC=AC，連接DE這樣很容易得到DECDAC，經(jīng)過(guò)推理能使問(wèn)題得到解決（如圖2）請(qǐng)回答：（1）BDE是等腰三角形（2）BC的長(zhǎng)為5.8參考小聰思考問(wèn)題的方法，解決問(wèn)題：如圖3，已知ABC中，AB=AC，A=20°，BD平分ABC，BD=2.3，BC=2求AD的長(zhǎng)【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【分析】（1）由已知條件和輔助線(xiàn)的作法，證得ACDECD，得到AD=DE，A

15、=DEC，由于A(yíng)=2B，推出DEC=2B，等量代換得到B=EDB，得到BDE是等腰三角形；（2）在BA邊上取點(diǎn)E，使BE=BC=2，連接DE，得到DEBDBC，在DA邊上取點(diǎn)F，使DF=DB，連接FE，得到BDEFDE，即可推出結(jié)論【解答】解：（1）BDE是等腰三角形，在A(yíng)CD與ECD中，ACDECD，AD=DE，A=DEC，A=2B，DEC=2B，B=EDB，BDE是等腰三角形；（2）BC的長(zhǎng)為5.8，ABC中，AB=AC，A=20°，ABC=C=80°，BD平分B，1=2=40°BDC=60°，在BA邊上取點(diǎn)E，使BE=BC=2，連接DE，則DEBD

16、BC，BED=C=80°，4=60°，3=60°，在DA邊上取點(diǎn)F，使DF=DB，連接FE，則BDEFDE，5=1=40°，BE=EF=2，A=20°，6=20°，AF=EF=2，BD=DF=2.3，AD=BD+BC=4.3例題4：（1）如圖1，圖2，圖3，在A(yíng)BC中，分別以AB，AC為邊，向ABC外作正三角形，正四邊形，正五邊形，BE，CD相交于點(diǎn)O如圖1，試說(shuō)明：ABEADC；探究：如圖1，BOC=120；如圖2，BOC=90°；如圖3，BOC=72°；（2）如圖4，AB，AD是以AB為邊向ABC外所作正n邊形

17、的一組鄰邊；AC，AE是以AC為邊向ABC外所作正n邊形的一組鄰邊，BE，CD的延長(zhǎng)相交于點(diǎn)O，試猜想：圖4中BOC=（用含n的式子表示）【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；多邊形內(nèi)角與外角；正方形的性質(zhì)【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出DACBAE，再根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系就可以求出BOC的值，在圖2中，連結(jié)BD，然后用同樣的方法證明DACBAE，根據(jù)三角形外角與內(nèi)角之間的關(guān)系就可以求出BOC的值，依此類(lèi)推就可以得出當(dāng)作n邊形的時(shí)候就可以求出圖4BOC的值【解答】證明：如圖1，ABD和AEC是等邊三角，AD=AB，AE=AC，DAB=EAC=ABD=ADB=60

18、6;，DAB+BAC=EAC+BAC，即DAC=BAE在DAC和BAE中，DACBAE（SAS）解：DACBAE，CDA=EBABOC=BDO+OBD，BOC=BDA+ABE+OBD，BOC=BDA+ADC+OBA，BOC=BDA+OBD=60°+60°=120°=如圖2，連結(jié)BD，四邊形ABFD和四邊形ACGE是正方形，AB=AD，AE=AC，BAD=CAE=90°，BDA=DBA=45°，BAD+DAE=CAE+DAE，即BAE=CAD在DAC和BAE中，DACBAE（SAS），CDA=EBABOC=BDO+DBO，BOC=BDA+ADO+

19、DBO，BOC=BDA+ABE+DBO，BOC=BDA+DBA=45°+45°=90°=；如圖3，連結(jié)BD，五邊形ABHFD和五邊形ACIGO是正五邊形，AB=AD，AE=AC，BAD=EAC=108°，BAD+DAE=EAC+DAE，ABD=ADB=36°BAE=DAC在BAE和DAC中，BAEDAC（SAS），ABE=ADCBOC=OBD+BDO，BOC=ADB+ADC+OBD，BOC=ADB+ABE+OBD，BOC=ADB+ABD=72°=（2）以此類(lèi)推，當(dāng)作正n邊形時(shí)，BOC=故答案為：120°，90°，7

20、2°，【跟蹤訓(xùn)練】1. 如圖是一個(gè)風(fēng)箏的圖案，它是軸對(duì)稱(chēng)圖形，EF是對(duì)稱(chēng)軸A=90°，AED=130°，C=45°，則BFC的度數(shù)為140°2. 如圖，ABC中，AB=AC，ADBC，CEAB，AE=CE求證：（1）AEFCEB；（2）AF=2CD3. （2016秋監(jiān)利縣校級(jí)期中）已知：如圖，在RtABC中，BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，以AD為斜邊在A(yíng)BC外作等腰直角三角形AED，連結(jié)BE、EC試猜想線(xiàn)段BE和EC有何關(guān)系，并證明你的猜想4. （2016秋監(jiān)利縣校級(jí)期中）在A(yíng)BC中，ACB=90°，AC=

21、BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E（1）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出新的結(jié)論并說(shuō)明理由5. 如圖，在A(yíng)BC中，AB=AC，BEAC于點(diǎn)E，BE=AE，AD是BAC的角平分線(xiàn)，和BE相交于點(diǎn)P，和BC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，連結(jié)EF，交AD于點(diǎn)Q，連結(jié)BQ（1）求證：BCEAPE；（2）求證：BD=AP；（3）判斷BDQ的形狀，并證明你的結(jié)論6. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（7a，0），B（0，7a），點(diǎn)C為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，ADA

22、B，1=2（1）求ABC+D的度數(shù)；（2）如圖，若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3a，0），求點(diǎn)D的坐標(biāo)（結(jié)果用含a的式子表示）；（3）如圖，在（2）的條件下，若a=1，過(guò)點(diǎn)D作DEy軸于點(diǎn)E，DFx軸于點(diǎn)F，點(diǎn)M為線(xiàn)段DF上一點(diǎn)，若第一象限內(nèi)存在點(diǎn)N（n，2n3），使EMN為等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的N點(diǎn)坐標(biāo)，并選取一種情況計(jì)算說(shuō)明參考答案：1. 如圖是一個(gè)風(fēng)箏的圖案，它是軸對(duì)稱(chēng)圖形，EF是對(duì)稱(chēng)軸A=90°，AED=130°，C=45°，則BFC的度數(shù)為140°【考點(diǎn)】軸對(duì)稱(chēng)圖形【分析】利用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)結(jié)合四邊形內(nèi)角和定理得出答案【解答】解：一個(gè)風(fēng)箏的圖

23、案，它是軸對(duì)稱(chēng)圖形，EF是對(duì)稱(chēng)軸A=90°，AED=130°，C=45°，D=90°，MED=65°，DEF=115°，CFN=360°115°90°45°=110°BFC的度數(shù)為：2（180°110°）=140°故答案為：140°【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和定理，熟練應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵2. 如圖，ABC中，AB=AC，ADBC，CEAB，AE=CE求證：（1）AEFCEB；（2）AF=2CD【考點(diǎn)】全等三角

24、形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)【分析】（1）由ADBC，CEAB，易得AFE=B，利用全等三角形的判定得AEFCEB；（2）由全等三角形的性質(zhì)得AF=BC，由等腰三角形的性質(zhì)“三線(xiàn)合一”得BC=2CD，等量代換得出結(jié)論【解答】證明：（1）ADBC，CEAB，BCE+CFD=90°，BCE+B=90°，CFD=B，CFD=AFE，AFE=B在A(yíng)EF與CEB中，AEFCEB（AAS）；（2）AB=AC，ADBC，BC=2CD，AEFCEB，AF=BC，AF=2CD3. （2016秋監(jiān)利縣校級(jí)期中）已知：如圖，在RtABC中，BAC=90°，AC=2AB，點(diǎn)D是AC的

25、中點(diǎn)，以AD為斜邊在A(yíng)BC外作等腰直角三角形AED，連結(jié)BE、EC試猜想線(xiàn)段BE和EC有何關(guān)系，并證明你的猜想【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形【分析】由條件可求得AB=CD、DE=AE，且BAE=EDC=135°，可證明ABEDCE，再利用AEB=DEC，可證得BECE【解答】解：猜想：BE=CE，BECE證明如下：AC=2AB，D是AC的中點(diǎn)，CD=AB，AED為等腰直角三角形，AE=DE，且EAD=EDA=45°，BAE=CDE=135°，在A(yíng)BE和DCE中ABEDCE（SAS），BE=CE，AEB=DEC，BED+DEC=AEB+BED=AED

26、=90°，BECE，即BE和CE的關(guān)系為相等且垂直【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，由條件證得ABEDCE是解題的關(guān)鍵，注意利用等腰直角三角形的性質(zhì)4. （2016秋監(jiān)利縣校級(jí)期中）在A(yíng)BC中，ACB=90°，AC=BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且ADMN于D，BEMN于E（1）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE；（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出新的結(jié)論并說(shuō)明理由【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形【分析】（1）首先證明DAC=BCE，進(jìn)而

27、利用AAS定理證明DACECB，問(wèn)題即可解決（2）首先證明DAC=BCE，進(jìn)而利用HL定理證明ACDCBE，問(wèn)題即可解決【解答】解：（1）如圖1，ACB=90°，ADMN于D，BEMN于E，DAC+DCA=BCE+DCA，DAC=BCE；在DAC與ECB中，DACECB（AAS），AD=CE，DC=BE，DE=AD+BE（2）如圖2，（1）中的結(jié)論不成立；新的結(jié)論為：DE=ACBE；ACB=90°，ADMN，DAC+ACD=ACD+BCE，DAC=BCE；在A(yíng)CD與CBE中，ACDCBE（AAS），AC=CE，CD=BE，DE=CECD=ACBE；即DE=ACBE【點(diǎn)評(píng)】該

28、命題在考查全等三角形的判定及其性質(zhì)定理的同時(shí)，還滲透了對(duì)旋轉(zhuǎn)變換的考查；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理解題5. 如圖，在A(yíng)BC中，AB=AC，BEAC于點(diǎn)E，BE=AE，AD是BAC的角平分線(xiàn)，和BE相交于點(diǎn)P，和BC邊交于點(diǎn)D，點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，連結(jié)EF，交AD于點(diǎn)Q，連結(jié)BQ（1）求證：BCEAPE；（2）求證：BD=AP；（3）判斷BDQ的形狀，并證明你的結(jié)論【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形【分析】（1）求出AEP=BEC=90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出EBC=EAP，根據(jù)ASA推出BCEAPE即可；（2）根據(jù)全等得出BC=AP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)

29、得出BD=BC，即可求出答案；（3）根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)求出AQ=BQ，求出BAE=45°，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義求出BAD=ABQ=22.5°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出BQD=45°，即可得出答案【解答】證明：（1）如圖：AD是BAC的角平分線(xiàn)，AB=AC，BDP=90°，BD=CD，BEAC，AEP=BEC=90°，在BPD和APE中，AEP=BDP=90°，BPD=APE，PAE+PEA+APE=180°，BDP+BPD+EBC=180°，EBC=EAP，在BCE和APE中，BCEAPE；（2）BCEAPE，BC=AP，BD=CD，BD=BC，BD=AP；（3）BDQ是等腰直角三角形，證明：BE=AE，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，EF是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，AQ=BQ，BAQ=ABQ，BE=AE，BEA=90°，BAE=45°，AD是BAC的角平分線(xiàn)，BAD=CAD=22.5°，BAD=ABQ，BAD=ABQ=22.5°，BQD=22.5°×2=45°，ADB=90&#