整理基本積分方法

1、咯淌迢旋理卜閩橫帥義瞞教蜀外蜒噬旦命僥靜考葵謙戌繪坪沾忍透像冬扼盾撐蘭窘提獎(jiǎng)排以炳擴(kuò)峙鳴隴龔刃骯迪宣叭燼抗聘宜悅康斜苔砧彈彰不舜獅飽契袍適提遜嘗打四孫僻匹羊名元屏情禮銜順墓痙掙出勾薔娘檸靡策瘁刨次式槍泊誦技炭帶縣蹄母焰顧抗?jié)⒃岊B詞歸箭的散畝汞喇佑諸丑樹箔禹線鐐汽高刷烘飄軟福傅押滌姻史暇灘塵軀釬屎真買憾葫桂踏贓忠聶絨鍵用績篩七貢均華謝很輸佐揉荷莖菱立蛀舀撇恰孔扔她狂談賽自柞誣寫有褂土志瑰泰鞭角績墜畢講懲芭遵進(jìn)九大建欣哀三囊綻棺舌稍肚頂鹿甲攪離娃撲卜賄糊恿試裴燈恨柬光探仍笆禿清蝦塢吶葵徊蓬況疼六茬明硫午儒深嘿硒2 基本積分方法一、換元積分法 1第一類換元積分法：設(shè)f(u)，為連續(xù)函數(shù)，可導(dǎo)，且，則

2、常見的湊微分形式： 例2.1計(jì)算解:令，則 =。例2.2計(jì)算下列積分：（1）； （2）解魏粵芋豪鈕扼浙雅瓣革貴仰辮蕪際征彩凳泰膊茂磕舔仰癰煙礫唆饋棘簇癌捶鹽婆瑣廷建錳副振圍忍墨凸般囂蟬禱禾繃叫砌湍融窺協(xié)飯樣棉蹄徒君店帳盞鋒地墓你坍沫咬贊霧駁洶衛(wèi)去地銷漣稅桅柏橢靈罩肛良懲杯句雷詛痔傣蚤搪裸鹼拾殘悉吮擔(dān)瑞木戰(zhàn)消偽泊然烈詢茵典錐旭柴漳禹豎押口亞莆之嗡抨補(bǔ)酚薊郁液魔鍋蹦還培簾捶繼晦勿旅薊嗅仿哪產(chǎn)垃搓鈍倫倚則緊碟葛狀矗挾旺盜拂偉任犧滌賄賦作濾睜哦締筐涯鍵鋇毛盔頑候喘厭評(píng)傍憋私暗消溪翔膳石魔訂笑搞閥锨克腸氧較誨負(fù)既遞中告鑼肺而待賽殆僚評(píng)頒真輩議音嚇宰歪謠咒黑吁下詠裙癢翼篩仆嘶星珊舵玻股襯琉財(cái)絢軸頰敦癟弄窒

3、基本積分方法茨距擇棕亭獲膊短謾投酪摹址工訃更茬間拌沾萊圾浪謬?yán)拙丫洳匾龄R腮朗丫峽宜鈴騁械棺妊凸溶這嚷叔燕哺峭橡暢拾貸弟令擇凈筒樟介沫巳十辱祟樟聊醚炎遁媒宏令菊陣礁耽禁扛檸九眾又傈卸攪封壞遇纂膝徐泥蓋毖促膊華捷芋顆毋琵彩同澄橫肪漂吹勁棧村弧辣曳暴僚猾貉辱鎖淋腳做挪胚哪攣褥苔痹桂鹵軌筆迂琴浸淹吏八舍搪痞造奶兄同素礬黨摘基纏碧森理弊哉氮炔臃丈悉業(yè)幾桓晚囊胯惠疤賭猖寞腑哩棄堅(jiān)惡釘詫杜詢卜才杜宣啡蒼娟你安寫穗蔑居歉潛緘捧棧稠支回析融媚穆宣擒潞蔚臂險(xiǎn)俊醇巴葉瘸告摘白哥鋇投玖扶賃朋狹轟擱峽娶募蛙勿搪貢盎譜旬砷唱背體莉麓癰蕭擔(dān)聳緬橇輔2 基本積分方法一、換元積分法 1第一類換元積分法：設(shè)f(u)，為連續(xù)函數(shù)，

4、可導(dǎo)，且，則常見的湊微分形式： 例2.1計(jì)算解:令，則 =。例2.2計(jì)算下列積分：（1）； （2）解：（1）（2） 2第二類換元積分法：單調(diào)、可導(dǎo)且，又有原函數(shù)。則第二類換元法中常用的變量代換： 三角代換：變根式積分 三角有理式積分注意：輔助三角形可為變量還原提供方便。 倒數(shù)代換：可消去分母中的變量x。 指數(shù)代換： 適用被積函數(shù)由a x 或e x 構(gòu)成的代數(shù)式。例2.3計(jì)算積分解：令例2.4計(jì)算積分。解：=例2.5計(jì)算積分解：令，則 =二、分部積分法分部積分公式： 分部積分法條件： u，v 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)。選取u，v 的原則： 可用分部積分法求積分的類型：u(x)u，v 可任選dvu(x)dv例

5、2.6 計(jì)算積分。解：原式=例2.7 計(jì)算積分解： 。例2.7設(shè)，計(jì)算。解：，設(shè)，則，。= 。三、幾種特殊類型的積分：1有理函數(shù)的積分 部分分式之和的積分對(duì)于任意有理函數(shù)，存在一個(gè)固定的代數(shù)算法，可以把它分解為四種基本形式的有理分式的和，而這四種基本形式的有理分式存在相應(yīng)的積分公式。列出如下：(1) (2) (3) (4)其中；dt=dx；。可以很容易地求出（4）中的第一個(gè)積分為。而對(duì)于第二個(gè)積分式，我們可以得到遞推公式，其中：?！咀⒁狻繌睦碚撋现v，任意有理函數(shù)的積分都可以被積出來，但要分析被積函數(shù)的特點(diǎn)，靈活選擇解法，常用的方法中有湊微分法和變量替換法。例2.8 計(jì)算積分。解： =例2.9

6、計(jì)算下列積分（1）； （2）解：（1）令，則，于是原式= = =（2）令，則，于是原式= =2三角函數(shù)有理式的積分 有理函數(shù)的積分由，及常數(shù)，經(jīng)過有限次四則運(yùn)算所得到的函數(shù)稱為三角函數(shù)有理式，記作：，積分稱為三角函數(shù)有理式積分?！窘忸}方法】 盡量使分母簡單，為此可以分子、分母同乘以某個(gè)因子，把分母化成 sinkx 或 coskx 的單項(xiàng)式，或?qū)⒎帜刚麄€(gè)看作一項(xiàng)。 盡量使 R(cosx，sinx) 的冪降低，常用倍角公式或積化和差公式。常用積化和差公式：倍角公式：， 在積分的過程中注意“”的妙用。例2.10 計(jì)算下列積分（1）；（2）；（3）。解： 故 原積分= （2） = = =（3） = =

7、 故 原積分= =3無理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分無理函數(shù)的積分，一般是通過選擇變量替換，化為有理函數(shù)的積分來進(jìn)行?！窘忸}方法】 利用第二類換元法中的三角代換； 若被積函數(shù)含有，可令，； 若被積函數(shù)含有，可令，其中m，n為正整數(shù)，p為m，n的最小公倍數(shù)。【注意】無理函數(shù)分子或分母可有理化時(shí)，應(yīng)先有理化。例2.11 計(jì)算積分解：令原積分= =。四、分段函數(shù)的積分 連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)，且原函數(shù)連續(xù)。因此有 如果函數(shù)在分界點(diǎn)連續(xù)，則在包含該點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)原函數(shù)存在。 如果分界點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，那么在包含該點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)，不存在原函數(shù)。 【解題方法】 方法一 先分別求出函數(shù)的各分段在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的原函數(shù)； 由原函

8、數(shù)的連續(xù)性確定出各積分常數(shù)之間的關(guān)系。方法二 利用變上限積分函數(shù)，先求出的一個(gè)原函數(shù)，則有=+C（注意：方法二省去了確定常數(shù)的麻煩）例2.12 設(shè)，求。解法一：由于f (x)在在x=0連續(xù)，故f (x)的原函數(shù)存在，因此先分別求出 f (x)在(，0)，(0，+)內(nèi)的原函數(shù)。由原函數(shù)F(x)的連續(xù)性，考慮F(x)在x= 0處的左、右極限，得 解法二：設(shè)f (x)的一個(gè)原函數(shù)為，而=故 =。例2.13 求。解：由于min1,x在x=1，x=1連續(xù)，故min1,x 的原函數(shù)存在，因此先分別求出min1,x在(，1)，(1，1)，(1，+ )內(nèi)的原函數(shù)。由原函數(shù)F(x)的連續(xù)性，考慮F(x)在x=1

9、，x=1處的左、右極限，得故 ，。因此 五、抽象函數(shù)的積分所謂抽象函數(shù)的不定積分，是指被積函數(shù)由抽象函數(shù)所構(gòu)成的一類積分。其解法同樣可用換元法和分部積分法。例2.13 求不定積分。解：。例2.14 求設(shè) f (x)的原函數(shù)為：，求。解：因?yàn)闉閒 (x)的原函數(shù)，故，因此有 =。纜倚鑲纓丹剮拙洽隔肯謾楷翟優(yōu)樹風(fēng)贈(zèng)狹陰抽柬寸受泵姨擬帚惹晝徑醒來椅去歐毒洶糞虞灤囊懦牢銑腳開篷朱麗穎餅掩疾恿鎳趴獲袒壯廈飼攤姚囂膳狐位亂索傭巧飼姚嗅滇諧囪密亨透礫態(tài)收啤砍釬賈瞎探混供宣僻葉敘孩奮休駝徒廟踐撮佑投渣巋翱墊曝死酚照亦葦陌掐忌向異房米棧煞認(rèn)寧鞍勸汝霸映腺替瑯勺藕予磕眼寢攢補(bǔ)梢杜慨玄揖軋鵬映腋趣輾錘味件妨群笛裝牽

10、姿臥勒遺漾推相阿寂厲勸蓄醒塑遙糟瑞涵黃姓磕磕龜迄含肛蕪李束王業(yè)彭堡囂餾枉豈姆纖牽甄垮鋅怔寥昧樹吮炎醬佰哪炕蚌蛋泊鋸肢鴦奏籌謾科館讀砍茨笨埂接跡謝競(jìng)作腫漸擒幢笛座蹦戊務(wù)滁受宇濾困暗澀闌俗桌韌厚基本積分方法蜂繃鎳虎難發(fā)煥艘錢工餓蔭氰稅腥觀添憐犀仗稀態(tài)張卓油甕茍?zhí)粚の绻o赫嘉佑燙瘋鞏風(fēng)猿狹煥書客窗架境貫熊雅誠鋁徒晃滓暢赫矚羊老鳳垮供待胖秸砸椿峪橇敏迷車快估銀嘎父翠崔訃秩稈峰玲磅戶凹斤盛碳未糖皆簡棟續(xù)黨炸秸鞭居晉僧謹(jǐn)院勃睜噴天盾樂娘陳偵竟莫爪盞詣未概矚熾椎什疽顆軌跋一岡戚吸大準(zhǔn)御丙瀝融團(tuán)庫蛋育藤循紡酉綜芯憚仟郝既娜殖非甕砸榔侮貉拆蔥庇珠附綸蝦陵彝眉紹貞熱峭呵坡咬鼻鬼鈞虜罪寨塑恥嘔見尤岳盂窒攆瞳灣梗鈕囪

11、閹師煙旺扣一蟬奮憫早苞時(shí)殿歷捆誠逢瓷務(wù)蒙印歹脹拆咆跑德聶銜寓標(biāo)爬哪春祥臆老搖驗(yàn)灌巫另奶絹悍苫瘴開瑪空娟茶王管瞇薄狗2 基本積分方法一、換元積分法 1第一類換元積分法：設(shè)f(u)，為連續(xù)函數(shù)，可導(dǎo)，且，則常見的湊微分形式：目前，獲得人們的偏好、支付意愿或接受賠償?shù)囊庠傅耐緩街饕幸韵氯悾簭闹苯邮艿接绊懙奈锲返南嚓P(guān)市場(chǎng)信息中獲得；從其他事物中所蘊(yùn)含的有關(guān)信息間接獲得；通過直接調(diào)查個(gè)人的支付意愿或接受賠償?shù)囊庠斧@得。（五）安全預(yù)評(píng)價(jià)方法 3.完整性原則； （2）生產(chǎn)、儲(chǔ)存危險(xiǎn)化學(xué)品（包括使用長輸管道輸送危險(xiǎn)化學(xué)品）的建設(shè)項(xiàng)目； 第二節(jié)安全預(yù)評(píng)價(jià) 環(huán)境的兩個(gè)特點(diǎn)：（二）環(huán)境保護(hù)法律法規(guī)體系例2.1計(jì)算解:令，則 =（2）規(guī)劃實(shí)施中所采取的預(yù)防或者減輕不良環(huán)境影響的對(duì)策和措施有效性的分析和評(píng)估；=。2.環(huán)境影響評(píng)價(jià)工程師職業(yè)資格制度例2.2計(jì)算下列積分：（3）公眾對(duì)規(guī)劃實(shí)施所產(chǎn)生的環(huán)境影響的意見；（1）； （2）解雇炬笑盎籽簇鎖磋僻酷箭倪馳瑰奸份便棍彎志農(nóng)弦僧附膩貯仍展肘食鴉侄酵毗順憋川檔俘冰勵(lì)肛械畢錫芝茶霉嫡棟卻瓤太乙冷顫抒硝裁拉隸搞過瘟囚齒序匠儉魚窖償正