復(fù)變函數(shù)與積分變換習(xí)題解答

1、練 習(xí) 一1求下列各復(fù)數(shù)的實部、虛部、模與幅角。（1）；解：=（2）解： 2將下列復(fù)數(shù)寫成三角表示式。1）解：（2）解：3利用復(fù)數(shù)的三角表示計算下列各式。（1）解：（2）解：z3z2z1+z204.設(shè)三點(diǎn)適合條件：=0，是內(nèi)接于單位圓=1的一個正三角形的項點(diǎn)。證：因所以都在圓周又因=0則，所以也在圓周上，又所以以0，為頂點(diǎn)的三角形是正三角形，所以向量之間的張角是，同理之間的張角也是，于是之間的張角是，同理與，與之間的張角都是，所以是一個正三角形的三個頂點(diǎn)。5解方程6試證：當(dāng)時，則。證：7設(shè)是Z的輻角），求證證： 則 當(dāng)時 故 當(dāng)時，同理可證。*8 .思考題：（1）復(fù)數(shù)為什么不能比較大??？答：復(fù)

2、數(shù)域不是有序域，復(fù)數(shù)的幾何意義是平面上的點(diǎn)。（2）是否任意復(fù)數(shù)都有輻角？答：否，是模為零，輻角無定義的復(fù)數(shù)。練 習(xí) 二0iy1指出滿足下列各式的點(diǎn)Z的軌跡是什么曲線？（1）解：設(shè) 則 則點(diǎn)Z的軌跡為：（2），其中為實數(shù)常數(shù)；解：設(shè) 則：y 則：0b若： 則軌跡為： 若： 則 軌跡：若： 則無意義（3），其中為復(fù)數(shù)為實常數(shù)。解：由題設(shè)可知：即：若：，則Z的軌跡為一點(diǎn)-，0y(1,1)(-1,-4)若：，則Z的軌跡為圓，圓心在-，半徑為 若：，無意義2用復(fù)參數(shù)方程表示曲線，連接與直線段。解： 則3描出下列不等式所確定和區(qū)域與閉區(qū)域，并指明它是有界的還是無界的？是單連域還是多連域？并標(biāo)出區(qū)域邊界的方

3、向。0y（1）解：由，得 又，得有界，單連域0xy-11（2）解：令 由 即：無界，單連域y（3）3/5x解：令 則：無界，多連域v4對于函數(shù)，描出當(dāng)在區(qū)域內(nèi)變化時，的變化范圍。解：令則0u 則 的變化范圍在第2,3象限,但不包括虛軸5.試證不存在。 證：= 令 則：上述極限為不確定，因而極限不存在。*6.思考題（1）怎樣理解復(fù)變函數(shù)？答：設(shè)就是 即 因此，一個復(fù)變函數(shù)與兩個實變函數(shù)和相對應(yīng)，從幾何意義上來說，復(fù)變函數(shù)可以看作是平面上的點(diǎn)集到平面上的點(diǎn)集上的映射。（2）設(shè)復(fù)變函數(shù)當(dāng)時的極限存在，此極限值與z趨于所采取的方式（取的路徑）有無關(guān)系？答：沒有關(guān)系，以任意方式趨于時，極限值都是相同的，

4、反過來說，若令沿兩條不同的曲線趨于時極限值不相等，則說明在沒有極限，這與高等數(shù)學(xué)中的情形是類似的，只是一元實函數(shù)中，只能從左、右以任何方式趨于，而這里可以從四面八方任意趨于。練 習(xí) 三1用導(dǎo)數(shù)定義，求的導(dǎo)數(shù)。 解： 當(dāng)時，導(dǎo)數(shù)不存在，當(dāng)時，導(dǎo)數(shù)為0。2下列函數(shù)在何處可導(dǎo)？何處不可導(dǎo)？何處解析？何處不解析？（1）解：當(dāng)且僅當(dāng)時， 滿足條件，故當(dāng)時可導(dǎo)，但在復(fù)平面不解析。（2） 解：令 則 因在復(fù)平面上處處滿足條件，且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，故可導(dǎo)且解析。3設(shè)為解析函數(shù)，試確定的值。解：由條件可知： 所以 又 所以 即 4.設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析，試證明在內(nèi)下列條件是彼此等價的。（1）=常數(shù)； （2）； （3）常數(shù)（

5、2）常數(shù)； （5）解析； （6）常數(shù)。證:由于在且域內(nèi)解析，則可得方程成立，即且1）2）由則在內(nèi)成立，故（2）顯然成立， 2）3）由是常數(shù) 即 常數(shù)3）4） 常數(shù) 由條件 是常數(shù) 常數(shù)4）5）若因在內(nèi)解析 即 一階偏導(dǎo)連續(xù)且滿足條件在內(nèi)解析。5）6） 因解析，則由條件， 對在內(nèi)解析，為常數(shù)6）1） 常數(shù)=常數(shù)，令分別對求偏導(dǎo)數(shù)得 若 則，因而得證 若，則，故常數(shù)，由條件為常數(shù) 常數(shù)*5.思考題：（1）復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)與在解析有什么區(qū)別？答：在解析則必在可導(dǎo)，反之不對。這是因為在解析，不但要求在可導(dǎo)，而且要求在的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，因此，在解析比在可導(dǎo)的要求高得多，如在=0處可導(dǎo)，但在處不解析。（

6、2）函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析與在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)有無區(qū)別？答：無，（兩者等價）。（3）用條件判斷解析時應(yīng)注意些什么？ 答：是否可微。（4）判斷復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性或解析性一般有哪些方法。 答：一是定義。二是充要條件。三是可導(dǎo)（解析）函數(shù)的和、差、積、商與復(fù)合仍可導(dǎo)（解析）函數(shù)。練 習(xí) 四1由下列條件求解析函數(shù)：（1） 解：由解析可知： 而則 所以 由可知（2）解：因 由解析可知： 即2設(shè)，求的值使v為調(diào)和函數(shù)，并求出解析函數(shù)。解：要使為調(diào)和函數(shù)，有：，即：時，為調(diào)和函數(shù)，要使解析，則 即： 3如果為解析函數(shù)，試證是的共軛調(diào)和函數(shù)。證：因解析，有：所以，均為調(diào)和函數(shù)， 且亦為調(diào)和函數(shù)故是v的共軛調(diào)和函數(shù)4如果

7、是一解函數(shù)，試證：也是解析函數(shù)。證：因解析，則 且均可微，從而也可微。而 可知： 即滿足條件 也是解析函數(shù)。5試解方程：（1）解： （2）解：由題設(shè)可知：6求下列各式的值：（1）解：（2）解：（3）解：*7.思考題（1）為什么復(fù)變指數(shù)函數(shù)是周期函數(shù)，而實變指數(shù)函數(shù)沒有周期？答：由于實數(shù)是復(fù)數(shù)的特例，因此在把實變函數(shù)中的一些初等函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形時，要使定義的各種復(fù)變初等函數(shù)當(dāng)取實數(shù)時與相應(yīng)的實變初等函數(shù)有相同的值并保持某些性質(zhì)不變，但不能保持所有的性質(zhì)不變。復(fù)變指數(shù)函數(shù)并不能保持實變指數(shù)函數(shù)的所有性質(zhì)。如對復(fù)數(shù)，一般沒有。而復(fù)變指數(shù)函數(shù)的周期性，僅當(dāng)周期是復(fù)數(shù)（）時才顯現(xiàn)出來。所謂實變指數(shù)函

8、數(shù)沒有周期，是指其沒有實的周期。（2）實變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有哪些異同？答：兩者在函數(shù)的奇偶性、周期性、可導(dǎo)性上是類似的，而且導(dǎo)數(shù)的形式、加法定理、正余弦函數(shù)的平方和等公式也有相同的形式。最大的區(qū)別是，實變?nèi)呛瘮?shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)都是有界函數(shù)，但在復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)中，與不再成立。因為當(dāng)時，。故（3）怎樣理解實變對數(shù)函數(shù)與復(fù)變對數(shù)函數(shù)的異同？并理解復(fù)變對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。答：因為我們把對數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。所以由復(fù)變指數(shù)函數(shù)的多值性推出復(fù)變對數(shù)函數(shù)也是多值函數(shù)，的主值即，是單值函數(shù)，當(dāng)，而時，就與高等數(shù)學(xué)中的值一致了。在復(fù)變對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)中，注意到等式要對其含義理解清

9、楚。在實變對數(shù)函數(shù)中它們的意義是明了的，但在復(fù)變指數(shù)函數(shù)中，例如， 而 ， 應(yīng)理解為：任意給定等式兩端兩個多值函數(shù)一對可能取的值，左端多值函數(shù)也必有一個值使等式成立。反過來也一樣。也就是理解為等式兩端可能取的函數(shù)值從全體上講是相同的（即不能只考慮某一單值支）。后一式也同樣理解，但對等式 和它兩端所能取的值從全體上看還是不一致的。如對，取時，設(shè)，得而從，得 兩者的實部是相同的，但虛部的可取值不完全相同。（4）調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)有什么關(guān)系？答：如果是區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，則它的實部和虛部的二階偏導(dǎo)數(shù)必連續(xù)，從而滿足拉普拉斯方程，所以是調(diào)和函數(shù)。由于解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍是解析函數(shù)，所以它的實部和虛部的任意

10、階偏導(dǎo)數(shù)都是的相應(yīng)階導(dǎo)數(shù)的實部和虛部，所以它們的任意階偏導(dǎo)數(shù)都存在且連續(xù)。故可以推出：、的任意階偏導(dǎo)數(shù)仍是調(diào)和函數(shù)。（5）若是的共軛調(diào)和函數(shù)，可以說是的共軛調(diào)和函數(shù)嗎？答：不行，兩者的地位不能顛倒。因為，若是的共軛調(diào)和函數(shù)，則應(yīng)有而是的共軛調(diào)和函數(shù)，要求兩者一般不能同時成立，所能推知的是是的共軛調(diào)和函數(shù)。練 習(xí) 五1計算積分，積分路徑：自原點(diǎn)沿實軸至1，再由1鉛直向上至1+i。0(1,i)解： 2計算積分的值，其中C為（1）（2）解：令 則 當(dāng)時，為當(dāng)時，為C1DC23求積分的值，其中C為由正向圓周與負(fù)向圓周所組成。y21解： 4計算，其中C為圓周解：5計算下列積分值：（1）解：（2）解：6當(dāng)

11、積分路徑是自沿虛軸到i，利用積分性質(zhì)證明：證：*7.思考題（1）在積分的定義中為什么要強(qiáng)調(diào)積分“沿曲線由到的積分”？它與“沿曲線由到的積分”有什么區(qū)別？答：在定積分中已有，即積分是與區(qū)間的方向有關(guān)的，這里在上的積分也與的方向有關(guān)。這從積分和式中的因子可直接看出，若改變的方向，即是沿曲線由到積分，則積分與原積分反號： 其中表示的反向曲線。（2）復(fù)函數(shù)的積分與實一元函數(shù)定積分是否一致？答：若是實軸上的區(qū)間，由定義知 即為一個實函數(shù)的積分，如果是實值的，則為一元實函數(shù)的定積分，因而這樣定義復(fù)變函數(shù)積分是合理的，而且可以把高等數(shù)學(xué)中的一元實函數(shù)的定積分當(dāng)作復(fù)積分的特例看待。應(yīng)當(dāng)注意的是，一般不能把起點(diǎn)

12、為，終點(diǎn)為的函數(shù)的積分記作，因為這是一個線積分，要受積分路線的限制，必須記作（3）應(yīng)用柯西古薩定理應(yīng)注意些什么？答：必須注意定理的條件“單連域”，被積函數(shù)雖然在內(nèi)處處解析，但只要不是單連的，定理的結(jié)論就不成立。例如在圓環(huán)域：內(nèi)解析，為域內(nèi)以原點(diǎn)為中心的正向圓周，但，就是因為不滿足“單連域”這個條件。還要注意定理不能反過來用，即不能因為有，而說在內(nèi)處處解析，例如,但在內(nèi)并不處處解析。練 習(xí) 六1計算下列積分（1）解：為奇點(diǎn)： （2）解：（3）解：=0（4），其中為負(fù)向。解：或 2若是區(qū)域內(nèi)的非常數(shù)解析函數(shù)，且在內(nèi)無零點(diǎn)，則不能在內(nèi)取到它的最小模。證：設(shè)， 因為非常數(shù)解析函數(shù)，且則為非常數(shù)解析函數(shù)

13、 所以在內(nèi)不能取得最大模即不能在內(nèi)取得最小模3.設(shè)在上解析，且在上有試證。證：因 （在上） 所以 上4設(shè)與在區(qū)域內(nèi)處處解析，為內(nèi)的任何一條簡單閉曲線，它的內(nèi)部全含于，如果=在上所有點(diǎn)處成立，試證在內(nèi)所有的點(diǎn)處=也成立。證：設(shè)，因均在內(nèi)解析，所以在內(nèi)解析。在上，有： 所以 由的任意性可知：在內(nèi)*5思考題（1）復(fù)合閉路定理在積分計算中有什么用處？要注意什么問題？ 答：由復(fù)合閉路定理，可以把沿區(qū)域外邊界線的回路積分轉(zhuǎn)化為沿區(qū)域內(nèi)邊界線的積分，從而便于計算。特別地，如果積分回路的內(nèi)域中含有被積函數(shù)的有限個奇點(diǎn)，我們就可以挖去包含這些點(diǎn)的足夠小的圓域（包括邊界），函數(shù)在剩下的復(fù)連域解析，由復(fù)合閉路定理，

14、就可以將大回路的積分換成分別沿這些小圓周的回路積分。利用復(fù)合閉路定理是計算沿閉曲線積分的最主要方法。使用復(fù)合閉路定理時，要注意曲線的方向，邊界曲線由所圍，即，這時取逆時針方向，而取順時針方向，而公式 中都取逆時針方向。（2）柯西積分公式成立的條件是什么？柯西積分公式說明了什么問題？答：柯西積分公式是建立在柯西積分定理基礎(chǔ)上的，以柯西定理成立為前提條件，因此柯西定理的條件也是柯西積分公式成立的條件。即函數(shù)在以為邊界的閉區(qū)域上解析，當(dāng)然也可以放寬到在內(nèi)解析，在上連續(xù)。柯西積分公式反映了解析函數(shù)值之間很強(qiáng)的內(nèi)在聯(lián)系，在區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的值，可以用在邊界上的值通過積分來表達(dá)。這就是說，函數(shù)在區(qū)域中任一點(diǎn)的值，

15、完全由它在區(qū)域邊界上的值所確定，這是實變量的可微函數(shù)所不具有的。（3）解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式說明解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與實函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有何不同？答：高階導(dǎo)數(shù)公式說明，函數(shù)只要在閉區(qū)域中處處可微，它就一定處處無限次可微，并且它的各階導(dǎo)數(shù)均為閉區(qū)域上的解析函數(shù)。這一點(diǎn)與實變量函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別。我們知道，對于實函數(shù)而言，即使它在某一區(qū)間上一次可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)不一定仍然可導(dǎo)，甚至可能是不連續(xù)的。練 習(xí) 七1序列是否有極限？若有，求出其極限。解：因故級數(shù)收斂，則其通項即序列有極限，亦即 2.級數(shù)是否收斂？是否絕對收斂？解：因收斂，因而絕對收斂，故原級數(shù)收斂。3試確定下列冪級數(shù)的收斂半徑。（1）解：（2）解：當(dāng)時 當(dāng)時

16、當(dāng)時 4將下列各函數(shù)展開為z的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)域。（1）解： R=1，收斂域為（2）解：，令，則 對此求導(dǎo) 故 （3）解：= 5討論級數(shù)的收斂性。解：級數(shù)的部分和為 當(dāng)時 ,級數(shù)收斂。 當(dāng)時 ,不存在，級數(shù)發(fā)散。當(dāng)時 ,級數(shù)收斂。當(dāng)時 ,不存在，級數(shù)發(fā)散。6證明在內(nèi)解析。證：當(dāng)時，顯然，令，則 ，此級數(shù)在是收斂的。 故在是解析的，此即，亦即在 內(nèi)，解析。*7.思考題（1）如何判定級數(shù)的絕對收斂性與收斂性？ 答：由于級數(shù)的各項都為非負(fù)實數(shù)，故級數(shù)的絕對收斂性可依正項級數(shù)的定理判定之。又由于級數(shù)可表示為，其中及均為數(shù)項級數(shù)，故級數(shù)的收斂性可依賴于數(shù)項級數(shù)的定理判定之。（2）判定級數(shù)收斂的必要

17、條件是什么？絕對收斂的充要條件又是什么？ 答：如同實級數(shù)一樣，收斂的必要條件是而絕對收斂的充要條件是與都是絕對收斂級數(shù)。（3）為什么說函數(shù)能展為冪級數(shù)與函數(shù)為解析函數(shù)是等價的？ 答：因為在收斂圓內(nèi)，冪級數(shù)的和函數(shù)是解析函數(shù)。同時，在某點(diǎn)鄰域內(nèi)解析的函數(shù)在其鄰域內(nèi)必然可以展成冪級數(shù)。練 習(xí) 八1求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的Taylor展式。（1）解：只有一個奇點(diǎn)，其收斂半徑為 則 ， （2）解： 或：故 2將下列各函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)展為Laurent級數(shù)。（1）解：=。（2）解：奇點(diǎn)為，故可在中展開為洛朗級數(shù)。=3將在的去心鄰域內(nèi)展為級數(shù)。解：=所以 。4證明在以z的各冪表出的Lanrent展開式中的

18、各系數(shù)為：提示：令C為單位圓，在C上取積分變量，則。證明：在上解析，令 在c上取則 而 *5.思考題 （1）實變函數(shù)中函數(shù)展成Taylor級數(shù)和復(fù)變量函數(shù)中函數(shù)展開為Taylor級數(shù)的條件有什么不同？答：在實變量函數(shù)的情形下，即使的各階導(dǎo)數(shù)都存在，欲把函數(shù)展開成冪級數(shù)也未必可能。這是因為在實變量函數(shù)里，函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的條件既要求具有各階導(dǎo)函數(shù)，還要求所展成的Taylor級數(shù)的余項趨向于零，對于一個具體的函數(shù)來說，要證明其各階導(dǎo)數(shù)都存在，已不容易，要證明其級數(shù)的余項趨近于零就更困難了。而對復(fù)變函數(shù)來講，只要函數(shù)在的鄰域內(nèi)處處解析，不僅有一階導(dǎo)數(shù)，且有各階導(dǎo)數(shù)。而實函數(shù)的可導(dǎo)性不能保證

19、導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，因而不能保證高階導(dǎo)數(shù)的存在。（2）確定的Taylor級數(shù)的收斂半徑時，應(yīng)注意什么？奇點(diǎn)為什么在收斂圓周上？答：一般地，在解析區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)的Taylor級數(shù)的收斂半徑，等于到的邊界上各點(diǎn)的最短距離。但在內(nèi)有奇點(diǎn)時，是的距最近的一個奇點(diǎn)。因此，在確定的Taylor級數(shù)的收斂半徑時，要確定在內(nèi)有無奇點(diǎn)，并找出距距離最近的一個奇點(diǎn)。奇點(diǎn)總是落在收斂圓周上，因為若在收斂圓內(nèi)，則在圓內(nèi)出現(xiàn)的不解析點(diǎn)；若在圓外，則收斂圓還可擴(kuò)大。（3）Laurent級數(shù)與Taylor級數(shù)有何關(guān)系？ 答：Laurent級數(shù)與Taylor級數(shù)的關(guān)系是：當(dāng)已給函數(shù)在點(diǎn)處解析時，中心在，半徑等于由到函數(shù)的最近奇點(diǎn)的距離的那個圓域可以看成圓環(huán)域的特殊情形。在其中就可以作出羅倫級數(shù)展開式，根據(jù)柯西積分定理，這個展式的所有系數(shù)都等于零。在此情形下，計算羅倫級數(shù)的系數(shù)公式與Taylor級數(shù)的系數(shù)公式相同，所以羅倫級數(shù)就轉(zhuǎn)化為Taylor級數(shù)。因此，Taylor級數(shù)是羅倫級數(shù)的特殊情形。練 習(xí) 九1找出下列各函數(shù)的所有零點(diǎn)，并指明其階數(shù)。（1）解：，所以為一階零點(diǎn)（2）解：（法一）令 則 為4階零點(diǎn) 為一階零點(diǎn)。（法二）令 為4階零點(diǎn)。為1階零點(diǎn)。（3），問是的幾階零點(diǎn)。解： 是的15階零點(diǎn)。2下列各函數(shù)有哪些奇點(diǎn)？各屬何類型（若是極點(diǎn)，指明它的階數(shù)）。（1）解：=