數(shù)碼相機的定位全國大學生數(shù)學建模A題一等獎

1、數(shù)碼相機的定位摘要本文運用相機標定模型確定了相機像平面的像坐標，利用本質矩陣標定雙目相機，快速找出了相機的相對位置關系；利用MATAB軟件和圖像處理進行編程求解；通過對圖像的預處理和灰度質心法對模型進行了驗證，得出模型的精度。針對問題一，根據(jù)數(shù)碼相機的特點，提出了一個新的標定方法，建立相機標定模型，確定了靶標上圓的圓心在該相機像平面的像坐標，為問題二的計算提供了一個好的算法。針對問題二，我們利用問題一建立的模型和方法運用MATLAB編程精確的計算了靶標上五個圓的圓心在像平面上的像坐標。ABCDEx86.2453110.8411168.2104155.171273.2152y50.009950.

2、797652.6354134.09100.2646針對問題三，我們引入了灰度質心法及像差模型對前述問題的模型的穩(wěn)定性和坐標值精度進行檢驗后，發(fā)現(xiàn)兩種模型的中心坐標值的誤差值在03個像素區(qū)間內(nèi)，說明前述模型的計算結果的精度很高，通過像差模型得出其徑向畸變系數(shù)趨于無窮小，認為前述模型有很好的穩(wěn)定性。針對問題四，我們提出了一種改進的的立體攝像機標定方法，通過雙目匹配點，線性地求解本質矩陣，快速找出攝像機的相對位置關系。關鍵詞：雙目定位 系統(tǒng)定標 灰度質心法 像差模型 本質矩陣1. 問題重述數(shù)碼相機定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應用。所謂數(shù)碼相機定位是指用數(shù)碼相機攝制物體的相片確定物體表面某

3、些特征點的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機來定位。對物體上一個特征點，用兩部固定于不同位置的相機攝得物體的像，分別獲得該點在兩部相機像平面上的坐標。只要知道兩部相機精確的相對位置，就可用幾何的方法得到該特征點在固定一部相機的坐標系中的坐標，即確定了特征點的位置。于是對雙目定位，精確地確定兩部相機的相對位置就是關鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標定。標定的一種做法是：在一塊平板上畫若干個點， 同時用這兩部相機照相，分別得到這些點在它們像平面上的像點，利用這兩組像點的幾何關系就可以得到這兩部相機的相對位置。然而，無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點”。實際的做法是在物平面上

4、畫若干個圓（稱為靶標），它們的圓心就是幾何的點了。而它們的像一般會變形，如圖1所示，所以必須從靶標上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標定就可實現(xiàn)。 圖 1 靶標上圓的像有人設計靶標如下，取1個邊長為100mm的正方形，分別以四個頂點（對應為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，用一位置固定的數(shù)碼相機攝得其像。請你們：（1） 建立數(shù)學模型和算法以確定靶標上圓的圓心在該相機像平面的像坐標, 這里坐標系原點取在該相機的光學中心，x-y平面平行于像平面；（2） 對由圖2、圖3分別給出的靶標及其像，計算靶標上圓的圓心在像平面上的像坐標

5、, 該相機的像距（即光學中心到像平面的距離）是1577個像素單位(1毫米約為3.78個像素單位)，相機分辨率為1024768；（3） 設計一種方法檢驗你們的模型，并對方法的精度和穩(wěn)定性進行討論；（4） 建立用此靶標給出兩部固定相機相對位置的數(shù)學模型和方法。2. 模型假設1、假設拍攝靶標的像的數(shù)碼照相機的光學系統(tǒng)在制造和安裝過程中產(chǎn)生的各種畸變誤差很小，可忽略不計；2、假設拍攝靶標的相機的焦距是固定的，且相機的焦距等于像距；3、設像面中心相對光軸與像面的焦點在 方向和 方向的偏移為0；4、假設像面的傾斜程度為0。3. 符號說明問題一：世界坐標系坐標的表示：圖像坐標系的坐標表示：像坐標系的坐標表示

6、：光心坐標系坐標表示：焦距：33階的旋轉矩陣:位移向量：圖像坐標系原點在像素坐標系中的橫坐標：圖像坐標系原點在像素坐標系中的縱坐標：像素坐標系在方向相鄰像素間的距離:像素坐標系在方向相鄰像素間的距離:數(shù)碼相機的內(nèi)部參數(shù)矩陣：數(shù)碼相機的外部參數(shù)矩陣：數(shù)碼相機的投影矩陣問題二：靶標上A圓圓心在成像平面上對應的像素坐標：靶標上B圓圓心在成像平面上對應的像素坐標：靶標上C圓圓心在成像平面上對應的像素坐標：靶標上D圓圓心在成像平面上對應的像素坐標：靶標上D圓圓心在成像平面上對應的像素坐標：靶標上A圓圓心在成像平面上對應的像坐標：靶標上B圓圓心在成像平面上對應的像坐標：靶標上C圓圓心在成像平面上對應的像坐

7、標：靶標上D圓圓心在成像平面上對應的像坐標：靶標上E圓圓心在成像平面上對應的像素坐標問題三：i ： 表示坐標點底數(shù)， ： 表示第i個質點的位置坐標n ： 表示圖像的像素個數(shù) ： 表示第i個像素的坐標 ： 表示第i個像素的灰度值 ： 表示第i個質點的質量x0，y0 ： 表示全部n個離散質點的重心坐標（注：問題四的符號說明已在問題中給出）4. 問題分析計算機視覺是一門新興的學科。隨著計算機硬件、軟件、圖像采集、處理技術的迅速發(fā)展，計算機視覺的理論和技術已被廣泛地應用于醫(yī)學圖像處理、機器人技術、文字識別、工業(yè)檢測、軍事勘察、地面勘察和現(xiàn)場檢測等。計算機視覺在多種測量中的應用是一種定量分析系統(tǒng)，有確定

8、的精度要求。一般運用于現(xiàn)場不可到達、現(xiàn)場復雜不便直接測量、保留現(xiàn)場狀態(tài)以便測量、補測和事后重構現(xiàn)場等場合。這主要是由于數(shù)碼相機有如下幾個特點：有較多像素的CCD；可以根據(jù)測量的需要選擇不同的像素大??；可直接與計算機進行通訊；可選定多種焦距進行頂焦距拍攝。上述特點，給圖像采集和圖像處理帶來了許多方便之處。在應用計算機視覺的測量系統(tǒng)中，無論是采用攝像機還是數(shù)碼相機作為原始圖像的采集設備，都必須進行系統(tǒng)標定。系統(tǒng)標定是應用計算機視覺進行現(xiàn)場測量和圖像處理的第一步，也是關鍵的一步。標定矩陣的精度直接影響到最終的測量精度。我們運用數(shù)碼相機成像的幾何模型，并將次模型分解成內(nèi)、外參數(shù)矩陣。根據(jù)數(shù)碼相機的特點

9、，提出了一種新的標定方法。這種方法是先求解有較高精度的內(nèi)部參數(shù)矩陣，在此基礎上再來求解外部參數(shù)矩陣，由此獲得高精度的內(nèi)、外參數(shù)矩陣。5. 模型的建立與求解5.1 問題一 建立數(shù)學模型和算法以確定靶標上圓的圓心在該相機像平面的像坐標，這里坐標系原點取在該相機的光學中心，x-y平面平行于像平面。問題的分析本題要求我們通過建立合適的模型以確定靶標上的圓的圓心在相機平面的像的像坐標。數(shù)碼相機是將空間三維圖像轉換為平面二維圖像的傳感設備，我們先建立空間三維物體坐標點與二維圖像坐標點的對應關系，建立數(shù)碼相機的幾何模型。通過此模型可以求出空間特征點的圖像坐標值。相機的定標主要是確定數(shù)碼相機的內(nèi)外參數(shù)。外部參

10、數(shù)用來把目標的世界坐標系轉換為數(shù)碼相機坐標系。內(nèi)部參數(shù)用來確定數(shù)碼相機的內(nèi)部幾何與光學系統(tǒng)。5.1.2模型的建立和求解數(shù)碼相機圖像拍攝實際上是一個光學成像過程?？梢詫⒋诉^程分為三個步驟、隸屬于四個坐標系。這四個坐標系分別為：（1）世界坐標系根據(jù)自然環(huán)境所選定的坐標系，坐標值用表示。（2）圖像坐標系坐標原點在CCD圖像平面的中心，X軸，Y軸分別為平行于圖像平面的倆條垂直邊，坐標值用（x,y）表示。（3）像素坐標系坐標系在CCD圖像平面的左上角，X軸，Y軸分別平行于圖像坐標系的X軸和Y軸，坐標值用（u,v）來表示，且為離散的整數(shù)值。（4）光心坐標系以相機的光心為坐標系點，X軸，Y軸分別為平行于圖像

11、坐標系的X軸和Y軸，相機的光軸為Z軸，坐標值用表示。3個步驟是分別將世界坐標系中的信息轉換到光心光標系，再有光心坐標系轉換到圖像坐標系，最后有圖像坐標系轉換到像素坐標系。光學光學成像的理論模型為針孔模型。根據(jù)這個模型有光心坐標系向圖像坐標系的過程符合中心影射或透視投影，可用齊次坐標與矩陣表示其中，是光心坐標系中空間點P的坐標，是對應圖像坐標系中P點的坐標，f是相機的焦距?？捎谬R次坐標與矩陣到光心坐標系的轉換關系為：其中，R為旋轉矩陣，t為位移向量， 元素為0的列向量。由圖像坐標到像素坐標系的轉換關系為其中，是圖像坐標系圓點在像素坐標系中的坐標，（dx,dy）分別是像素坐標系在X方向和Y方向相鄰

12、像素間的距離。將式代入的可將式簡化成N為式4右邊地1項即相機的內(nèi)部參數(shù)矩陣，M為式4右邊第2項即相機外部參數(shù)，Q為投影矩陣。5.2問題二的分析 問題分析：本題要求我們利用問題一建立的模型或方法來精確計算靶標上五個圓的圓心在靶標圖上的像的坐標。由相機的像距及相機的分辨率等信息估計出相機的內(nèi)部參數(shù)，然后基于圓的特征性質以及透視投影的光學原理在靶標和其像上采集六對坐標點。代入模型計算出投影矩陣后便可計算靶標上圓的圓心的像點坐標。問題求解具體計算過程如下：首先建立相應坐標系，使靶標及其像圖坐標化。如圖5.1所示。對于靶標建立如下的三維坐標體系。靶標上所有點的世界坐標為0.12mm /mm 100mm1

13、3mm /mm 0 圖5.1 世界三維坐標系對于靶標在像平面的像圖，建立如圖二維坐標系為了高精度提取像圖上與靶標上點對應的點的坐標值，將圖像網(wǎng)格化處理。 圖5.2 圖像像素坐標圖我們在A、B、C、D五個圓像上采集六對點的坐標值（其中在A 、B、C、D上采一個點，E上采集倆個點 ），六對點的坐標在附錄中給出。 然后將六對點代入模型求得參數(shù)如下：f=417.1958; dx=0.2646; dy=0.2646;已知靶標上A、B、C、D、E圓的圓心坐標為：A（13，113）、B（43，113）、C（113，113）、D（113，13）、E（13，13）靶標上圓圓心在成像平面上對應的像素坐標為：靶標上

14、圓圓心在成像平面上對應的像坐標為：5.3模型的檢驗模型檢驗的方法說明由問題一中建立的數(shù)碼相機像坐標標定的模型，我們通過數(shù)碼相機的內(nèi)部和外部參數(shù)計算出了問題二中各圓的像坐標值。但我們并未知道問題二中所計算得出的像坐標值的精確度到底有多高，以及數(shù)碼相機的一階畸變系數(shù)的大小。因此我們對問題一中提出的模型得到的像坐標值進行檢驗，通過對各種傳統(tǒng)標定方法、自標定方法和基于主動視覺的標定方法的學習，我們采用了一種灰度質心法和像差模型相結合檢驗的數(shù)學檢驗方法。 要使用灰度質心模型對前述問題的模型進行檢驗，首先，我們在matlab下對題目所給圖騙進行了灰度處理（灰度處理程序見附件三）；其次，通過其他方式確定圖像

15、中圓或者橢圓的內(nèi)中心點附近的像素點坐標值，最后即可運用灰度模型進行求解灰度質心法在高等數(shù)學中，我們都知道平面上n個離散的質點，它們的質量重心坐標可以表示為： (1) (2)考慮到圓或者橢圓的中心對稱性，其密度均勻的圓或者橢圓上的中心是重合的，其中將（1）、（2）式中的點質量用點的灰度值替換，質量重心變成了灰度重心，由此圓形或者橢圓形光斑的中心也可以通過求取光斑在像平面上上網(wǎng)灰度重心來得到。 原始圖像結果在matlab中進行灰度處理后，把其明暗對比度加深，得到被測特征點成像的特征區(qū)域成圓形或者橢圓形的光斑，設各圓形或者橢圓形光斑所占像素數(shù)量為，于是灰度質心法計算各圓形或者橢圓形光斑中心的坐標可表

16、示為； (3) .(4)根據(jù)上面的模型，第一中方式我們采用的是：通過一種計算機軟件對圖像的像素坐標進行多點的坐標取值，根據(jù)這些坐標值運用matlab軟件編程(程序見附件三)求出其圖像中心點在像素坐標系的值，然后運用灰度質心法中 (3)、(4)關系式，把各像素坐標值帶入相應的程序中，求出畸變下的像素坐標值，求的各圖像的像素坐標值如下表所示： 表5.1各圓和橢圓圖像的像素坐標ABCDEX325.1000418.8000641.3529584.0714282.7000Y189.2632195.1500207502.8571502.8500（注：表中個坐標值的單位是像素）其對應的像坐標值有題目所購的換

17、算關系的出： 表5.2 各圖像的像坐標值ABCDEXc86.0053110.7937169.6701110.793774.7884Yc50.069651.627054.7619133.0291133.0310（注：表中個坐標值的單位是毫米）從表中，我們經(jīng)過與問題二中求解的值進行對比可以得出：問題一中所建立的模型的求解的值精度較高。 但在攝像機模型中全面考慮的話，我們還需要引入鏡頭產(chǎn)生的徑向畸變和且想畸變在攝像機攝像過程中對成像效果的影響，因此我們建立了一個關于畸變參數(shù)求解的模型像差數(shù)學模型。其數(shù)學表達式如下： .(5) .(6)式中： -畸變坐標 -徑向畸變系數(shù) -切向畸變系數(shù)由上述數(shù)學關系式

18、，我們通過在matlab下編程(程序見附件三)的到了各畸變系數(shù)的值，下表所示： 表5.3徑向、切向畸變系數(shù)k1k2k3k4-Inf-Inf-2.5289e-006-1.4292e-006有上述各表可以知道，通過該模型對像素坐標值和像坐標值以及畸變系數(shù)的計算的到的結果值，和問題一建立模型計算得出的數(shù)值進行比較后，得出其精度很高，像素坐標的各坐標值的誤差值B在像素點這樣一個小區(qū)間里。所以說明攝像機的攝像精度較高。而畸變系數(shù)的值較小，有此認為攝像機在不同角度對物體進行攝像時，其圖像的畸變較小，圖像不會產(chǎn)生嚴重失真。通過模型的檢驗，我們認為問題一的模型適合運用在定點攝像的場所，比如，公路電子監(jiān)控、室內(nèi)

19、攝像的場所。5.4一種改進的立體數(shù)碼相機標定方法對于物體上的一個特征點，用兩部固定于不同位置的相機攝得物體的像，分別獲得該點在兩部相機像平面上的坐標。只要知道兩部相機精確的相對位置，就可用幾何的方法得到該特征點在固定一部相機的坐標系中的坐標，即確定了特征點的位置。于是根據(jù)這一方法我們建立了雙目模型并利用本質矩陣標定雙目攝像機，解決了兩部固定相機的相對位置。雙目模型的建立(5.12)在雙目攝像機系統(tǒng)中，每個攝像機都分別符合圖所描述的成像模型 。而通過單個攝像機模型，可以分別知道左、右攝像機的圖像點與3維世界坐標的點的對應關系，即及的對應關系已分別知道。而雙目標定所需要解決的問題是兩個攝像機坐標系

20、之間的對應關系 ,即Pc1=(xc1,yc1,zc1)與Pc2= ( xc2，yc2，z c2)之間的轉換關系 。而由于它們分別屬于3維直角坐標系，因此它們之間的轉換包含有旋轉以及平移的關系，形如 其中，旋轉矩陣R以及平移向量T就是雙目標定所要求的內(nèi)容。 圖5.3 雙目攝像機模型 本質矩陣的基本原理1）、符號說明1. 對左攝像機成像平面的2維坐標，對應于攝像機坐標系的點，將其改寫為其次向量的形式；同理，對右攝像機，；2. 把3維的世界坐標亦記作齊次向量的形式；3. 世界坐標到成像平面的 2維坐標的變換都是線性的 ，因此可以把左右攝像機的針孔成像過程寫成以下的矩陣形式：，其中，A1,A2都是34

21、的矩陣4. 為下面討論方便起見，把Ai看作是一個方陣與一個向量的組合，即 和，其中Mi 是3的方陣，Ti 是31的向量；5. 向量，定義運算定義表示兩個矩陣只相差一個比例因子，即為實數(shù)。不難看出，這樣定義的符號“”滿足交換性和傳遞性。2）、本質矩陣及其性質使用符號說明中的記號方法，把左右攝像機成像平面的坐標分別記為向量形式， 文獻9指出，必然存在一個33的方陣Q，使得矩陣Q被稱為本質矩陣。如何利用Q求解兩臺攝像機的相對位置呢？下面先考察本質矩陣的性質。定理1：若左右攝像機的投影矩陣分別是=和，那么相應于這兩臺攝像機的本質矩陣為。由這個定理知道，本質矩陣Q可以分解為一個滿秩的方陣R與一個反對稱矩

22、陣S的乘積，即。以下的定理表明，這樣的分解幾乎是唯一的（最多相差一個尺度因子）。定理2：若一個33的方陣Q能夠有兩種的分解方法，其中Si是非零反對稱矩陣，Ri是滿秩的方陣，那么必然有，并且，如果，那么，是某個3維的向量。定理3：若左右攝像機的相對位置固定，A1,A2和A1,A2對應于相同的本質矩陣Q當且僅當存在著一個滿秩的44的方陣H，使得P1HP1且P2HP2.以上三條定理的詳細證明可以參考文獻8和9.利用本質矩陣標定雙目攝像機上一節(jié)的定理反映了一個事實：兩臺攝像機的相對位置關系與本質矩陣幾乎是等價的。即給定了兩臺攝像機的相對位置關系R和T，就給定了本質矩陣Q，兩臺攝像機的旋轉平移關系R和T

23、也幾乎確定了，最多像差一個比例常數(shù)因子，“幾乎”的意思就是R和T的確定關系還需要標定一個比列因子K。 有參考文獻【】給出了一個方便的通過Q求解R和T的方法，即先把Q進行特征值分解的，根據(jù)上街定理1得到， , 其中, ,而t是把平移矩陣T的三個元素看成向量。 如此，我們確定了旋轉矩陣和平移關系的基本形勢R，T。而R，T與R，T相差一個比列因子k，即R=kR，T=kT，k的標定可以借助世界坐標中已知距離的兩個點和。 本質矩陣的求解 本小節(jié)給出一種新的本質矩陣的求解方法。與已有的算法相比，新方法顯得更為容易理解和實現(xiàn)。本質矩陣Q的定義本身就是求解的依據(jù)。假設是左右眼匹配點坐標構成的向量，記和，滿足展

24、開，得 ()其中，q11，q12，q13,.,q33為矩陣Q的九個元素，也是要求接的未知數(shù)。一般地，可以帶入九個匹配點的坐標組成方程組來求解。但根據(jù)線性代數(shù)理論，這是一個齊次方程組，當系數(shù)矩陣的行列式為零時，有無窮多解。若找到一個特解Q0。那么通解的形式是Q=。下面我們只需要找到這樣的一個特解Q0令q33=1.則（）變?yōu)?.()則方程組不再是齊次的，而存在唯一的解。下面是用最小二乘法來求得方程組的解。 在左右眼找到N個匹配點和，i=1，k，N代入式（），得到一個過約束方程組其中，A是的系數(shù)矩陣，q-（q11，q12q13，.,q33）是一個的解向量，過約束方程組的解 如此，就求得了Q的一個特解

25、Q0，Q=。這里，是一個特定的常數(shù)，它的確定可以結合的待定常數(shù)k一起進行。具體標定步驟 1. 利用傳統(tǒng)的方法分別對左右兩臺攝像機的內(nèi)部參數(shù)進行標定?？刂泣c通過精確打印的靶標圖案提取，該圖案沿著平行于光軸方向多次放置，精確記下各次放置的位置。 2.把已完成單目標定的兩臺攝像機安裝到時間系統(tǒng)中，固定。 3.分別在左右影像中確立匹配像素度，列出方程，并按照和5.4.4接觸本質矩陣Q,匹配點的位置沒有嚴格要求，但力求均勻分布。同時，因為方程的求解用了最小二乘法，所以匹配點的數(shù)量越多，方程的解越精確。為了精確的在圖像上提取匹配點，建議使用一種被廣泛采用的類似于靶標的圖案的擺放位置?？刂泣c的分布根據(jù)兩臺攝

26、像機的基線長度而定，盡可能的遍布攝像機的公共視角。4.根據(jù)的原理求出兩臺攝像機的相對位置R和T。待定比列因子k。5.最后，標定比列因子k。具體做法是先設定兩個表定點，測出他們的距離d0;其次，通過R和T求出其在攝像機坐標系下的距離d，因為R和T是k的線性函數(shù)，所以d也是k的線性函數(shù)，即。解一個一次的線性方程（f（k）=k0）即可得到比例因子k。6模型的評價與改進 參考文獻：附件：1問題二的MATLAB算法程序：f=417.1958; %焦距dx=0.2646;%水平方向上的點距dy=0.2646;%垂直方向上的點距u0=512;v0=384;Zc=417.1958A=322,146,1;462

27、,190,1;677,209,1;574,536,1;287,462,1;242,502,1%像素坐標值B=13,125,0,1;55,113,0,1;125,113,0,1;113,1,0,1;13,25,0,1;1,13,0,1%與像素坐標相對應的世界坐標值Q=(Zc*A)/B %系數(shù)的確定D1=Q*13,113,0,1;43,113,0,1;113,113,0,1;113,13,0,1;13,13,0,1/417.1958 %像素坐標的個像素坐標值D=Q*13,113,0,1;43,113,0,1;113,113,0,1;113,13,0,1;13,13,0,1/(417.1958*3.

28、78) %像坐標中各坐標點的值D1=326.0413 418.9795 635.8352 586.5473 276.7535 189.0375 192.0148 198.9619 506.8640 496.9396 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000D =86.2543 110.8411 168.2104 155.1712 73.2152 50.0099 50.7976 52.6354 134.0910 131.46550.2646 0.2646 0.2646 0.2646 0.26462.灰度質心法的MATLAB程序%灰度處理附件三（1）a=imread(1

29、.jpg);a=rgb2gray(a);imhist(a,256);imshow(a);b=imadjust(a,0/255,150/255,);figure,imshow(b);figure,imhist(b,256);%方式一附件三（2）%AX=305,319,334,348,286,303,320,336,353,283,303,319,336,351,303,319,333,399,319,333;K=length(X);Pxy=1;Sx=sum(X.*Pxy);XA=Sx/(K*Pxy)Y=158,159,159,159,175,166,167,190,190,190,190,192

30、,206,207,209,209,223,223,224;Sy=sum(Y.*Pxy);N=length(Y);Ya=Sy/(N*Pxy)XA =325.1000YA =189.2632%BX=416,429,398,415,429,449,384,401,415,432,449,385,399,415,430,447,401,416,444,422;Y=159,159,173,176,176,175,190,189,192,190,189,207,207,207,207,209,223,221,223,231;K=length(X);Pxy=1;Sx=sum(X.*Pxy);XB=Sx/(K

31、*Pxy)Sy=sum(Y.*Pxy);N=length(Y);YB=Sy/(N*Pxy)XB=418.8000YB=195.1500%CX=638,653,624,639,655,672,608,622,639,655,670,607,622,638,653,622,639,653,642;Y=177,176,192,190,190,191,206,209,209,206,206,223,224,223,221,240,240,240,248;K=length(X);Pxy=1;Sx=sum(X.*Pxy);XC=Sx/(K*Pxy)Sy=sum(Y.*Pxy);N=length(Y);YC

32、=Sy/(N*Pxy)XC=641.3529YC=207%DX=573,605,607,560,576,591,608,560,574,591,608,557,576,591;Y=478,478,478,494,495,495,497,512,511,511,511,526,526,528;K=length(X);Pxy=1;Sx=sum(X.*Pxy);XD=Sx/(K*Pxy)Sy=sum(Y.*Pxy);N=length(Y);YD=Sy/(N*Pxy)XD = 584.0714YD =502.8571%E%X=272,288,305,255,369,388,305,319,254,269,288,303,269,286,320;%Y=478,480,477,495,495,497,494,495,511,509,509,511,528,526,497;%K=length(X);%Pxy=1;%Sx=sum(X.*Pxy);%XE=Sx/(K*Pxy)%Sy=sum