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文檔簡介
1、換個(gè)角度求平面的法向量研究空間夾角問題圖1眾所周知,過一定點(diǎn)與已知非零向量垂直的平面是確定的,也就是說,只要知道一定點(diǎn)和一非零向量,就可以求解出過該定點(diǎn)與已知向量垂直的平面方程.比如已知點(diǎn)與平面,向量(不同時(shí)為零),于是可以借助向量垂直求解過點(diǎn)與向量垂直的平面的方程:設(shè)平面內(nèi)的任一點(diǎn),則,即,整理得,即為所求平面的方程.于是根據(jù)過點(diǎn)與向量垂直的平面的方程的具體形式,若取可知空間內(nèi)任一平面的方程的形式為(不同時(shí)為零),從求解可以看出平面方程(不同時(shí)為零)中的系數(shù)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì)就是平面的法向量.再者,根據(jù)空間立體幾何知識(shí)可知過不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面,也就是說,若過已知一個(gè)平面內(nèi)不共線三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就
2、可以利用待定系數(shù)法求解這三點(diǎn)所在的平面方程,進(jìn)而就可以利用此法確定相應(yīng)平面的法向量,研究空間中的夾角(線面角、面面角)問題.例1(2011年高考全國卷理科第19題)如圖1 ,四棱錐中,,,側(cè)面為等邊三角形,.()證明:;圖2()求與平面所成角的大小. 解析:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),射線為軸正半軸,建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系.依題意得. 設(shè)點(diǎn),則. 由得,即; 再由得,即; 由得,即,則,即.()設(shè)平面的方程為(不同時(shí)為零),其法向量為.由及可得,即,取,則.于是平面的方程為,其法向量為.而,即,故;()設(shè)平面的方程為(不同時(shí)為零),其法向量為.由及可得,即,取,得.于是平面的方程為,其法向量為,而,設(shè)
3、與平面所成角,則.圖3故與平面所成的角為.例2.(2011年高考遼寧卷理科第18題) 如圖3,四邊形ABCD為正方形,PD平面ABCD,PDQA,QA=AB=PD (I)證明:平面PQC平面DCQ; (II)求二面角QBPC的余弦值 解析:以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè),射線為為軸正半軸,建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系,依題意可知.(I))設(shè)平面的方程為(不同時(shí)為零),圖4其法向量為.由得,即,取,則.于是平面的方程為,其法向量為.設(shè)平面的方程為(不同時(shí)為零),其法向量為.由得,即,取,則.于是平面的方程為,其法向量為.于是,則,故平面PQC平面DCQ;(II)設(shè)平面的方程為(不同時(shí)為零),其法向量為.由得,即,取,則.于是平面的方程為,其法向量為.設(shè)平面的方程為(不同時(shí)為零),其法向量為.由得,即,取,則.于是平面的方程為,其法向量為.,而二面角QBPC的平面角為鈍角,故二面角QBPC的余弦值為.鞏固練習(xí):圖51.如圖5,所示,在正方體中,是棱的中點(diǎn).()求直線與平面所成的角的正弦值;()在棱上是否存在一點(diǎn),使平面?證明你的結(jié)論. 2.如圖6,正方形ABCD和圖6四邊形ACEF所在的平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB=,CE=EF=1.()求證:AF平面BDE;()求證:
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