點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系練習(xí)題

1、第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系一、選擇題1 給出下列關(guān)于互不相同的直線m、l、n和平面、的四個(gè)命題：若；若m、l是異面直線，；若；若其中為假命題的是ABCD2.設(shè)為兩兩不重合的平面，為兩兩不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：若，則；若，則；若，則；若，則其中真命題的個(gè)數(shù)是 A1 B2 C3 D43已知m、n是兩條不重合的直線，、是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：若； 若；若；若m、n是異面直線，。其中真命題是A和B和C和D和4已知直線及平面，下列命題中的假命題是 A若，則. B若，則. C若，則. D若，則.5在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論

2、中不成立的是 ABC平面PDF BDF平面PAE C平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC6有如下三個(gè)命題：分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線；過(guò)平面的一條斜線有一個(gè)平面與平面垂直其中正確命題的個(gè)數(shù)為A0 B1 C2 D37下列命題中，正確的是A經(jīng)過(guò)不同的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面B分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線C垂直于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線D垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行8已知直線m、n與平面，給出下列三個(gè)命題： 若 若 若 其中真命題的個(gè)數(shù)是A0 B1 C2 D39已知a、b、c是直線，是平面，給出下列命題： 若；若；若；若a與

3、b異面，且相交； 若a與b異面，則至多有一條直線與a，b都垂直. 其中真命題的個(gè)數(shù)是A1B2C3D410過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共15條，其中異面直線有A18對(duì) B24對(duì) C30對(duì) D36對(duì)11正方體中，、分別是、的中點(diǎn)那么，正方體的過(guò)、的截面圖形是A三角形 B四邊形 C五邊形 D六邊形12不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面的距離都相等，這樣的平面共有A3個(gè) B4個(gè) C6個(gè) D7個(gè)13設(shè)為平面，為直線，則的一個(gè)充分條件是ABC D14設(shè)、 為兩個(gè)不同的平面，l、m為兩條不同的直線，且l，m，有如下的兩個(gè)命題：若，則lm；若lm，則那么A是真命題，是假命題 B 是假命題，是真命題C 都是真命題 D都是假命

4、題15對(duì)于不重合的兩個(gè)平面與，給定下列條件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到的距離相等；存在異面直線l、m，使得l/，l/，m/，m/，其中，可以判定與平行的條件有A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)二、填空題1已知平面和直線m，給出條件：；.（i）當(dāng)滿足條件 時(shí)，有；（ii）當(dāng)滿足條件 時(shí)，有（填所選條件的序號(hào)）2在正方形中，過(guò)對(duì)角線的一個(gè)平面交于E，交于F，則 四邊形一定是平行四邊形 四邊形有可能是正方形 四邊形在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形 四邊形有可能垂直于平面以上結(jié)論正確的為 （寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）3下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題：底面是等邊三角形，側(cè)面

5、與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐側(cè)棱與底面所成的角相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐其中，真命題的編號(hào)是_（寫出所有真命題的編號(hào)）4已知m、n是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題：若則 若則若,則m、n是兩條異面直線，若則上面命題中，真命題的序號(hào)是_(寫出所有真命題的序號(hào))5 已知m、n是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題： 若，則平行于平面內(nèi)的任意一條直線 若則 若,則若,則 上面命題中，真命題的序號(hào)是_(寫出所有真命題的序號(hào))6連接拋物線上任意

6、四點(diǎn)組成的四邊形可能是 （填寫所有正確選項(xiàng)的序號(hào)）菱形有3條邊相等的四邊形梯形平行四邊形有一組對(duì)角相等的四邊形三、計(jì)算題如圖11 如圖1所示，在四面體PABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是線段PB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上，且EFPB. （）證明：PB平面CEF； （）求二面角BCEF的大小.解（I）證明：PAC是以PAC為直角的直角三角形，同理可證PAB是以PAB為直角的直角三角形，PCB是以PCB為直角的直角三角形故PA平面ABC又而故CFPB,又已知EFPBPB平面CEF（II）由（I）知PBCE, PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE

7、在平面PAB內(nèi)，過(guò)F作FF1垂直AB交AB于F1，則FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC故FEB是二面角BCEF的平面角二面角BCEF的大小為2如圖，在五棱錐SABCDE中，SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2， 求異面直線CD與SB所成的角（用反三角函數(shù)值表示）； 證明：BC平面SAB； 用反三角函數(shù)值表示二面角BSCD的大?。ū拘?wèn)不必寫出解答過(guò)程）解（）連結(jié)BE，延長(zhǎng)BC、ED交于點(diǎn)F，則DCF=CDF=600，CDF為正三角形，CF=DF又BC=DE，BF=EF因此，BFE為正三角形，F(xiàn)BE=FCD=600，BE/CD所以SBE（或其補(bǔ)角）就是異面直線CD與

8、SB所成的角SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2，SB=，同理SE=，又BAE=1200，所以BE=，從而，cosSBE=，SBE=arccos所以異面直線CD與SB所成的角是arccos() 由題意，ABE為等腰三角形，BAE=1200，ABE=300，又FBE =600， ABC=900，BCBASA底面ABCDE，BC底面ABCDE，SABC，又SABA=A， BC平面SAB（）二面角B-SC-D的大小3 已知三棱錐PABC中，E、F分別是AC、AB的中點(diǎn),ABC，PEF都是正三角形，PFAB. （）證明PC平面PAB； （）求二面角PABC的平面角的余弦值； （）若點(diǎn)P、A、B、C

9、在一個(gè)表面積為12的 球面上，求ABC的邊長(zhǎng).解 本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，三棱錐、球的有關(guān)概念及解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力及運(yùn)用方程解未知量的基本方法。（）證明： 連結(jié)CF. （）解法一：為所求二面角的平面角. 設(shè)AB=a，則AB=a，則 解法二：設(shè)P在平面ABC內(nèi)的射影為O. 得PA=PB=PC. 于是O是ABC的中心. 為所求二面角的平面角.設(shè)AB=a，則 （）解法一：設(shè)PA=x，球半徑為R. ，的邊長(zhǎng)為. 解法二：延長(zhǎng)PO交球面于D，那么PD是球的直徑.連結(jié)OA、AD，可知PAD為直角三角形. 設(shè)AB=x，球半徑為R. 4. 已知正三棱錐的體積為，側(cè)面與底面所成的二面角

10、的大小為。 （1）證明：； （2）求底面中心到側(cè)面的距離. 證明（1）取邊的中點(diǎn)，連接、， 則，故平面. . （2）如圖， 由（1）可知平面平面，則是側(cè)面與底面所成二面角的平面角. 過(guò)點(diǎn)作為垂足，則就是點(diǎn)到側(cè)面的距離. 設(shè)為，由題意可知點(diǎn)在上， ，., ， ， . 即底面中心到側(cè)面的距離為3. 5如圖,在直四棱柱 中,，垂足為()求證;()求二面角的大小;()求異面直線與所成角的大小 解 （I）在直四棱柱ABCDAB1C1D1中，AA1底面ABCD AC是A1C在平面ABCD上的射影 BDAC BDA1C；（II）連結(jié)A1E，C1E，A1 C1 與（I）同理可證BDA1E，BDC1E， A1E

11、C1為二面角A1BDC1的平面角 ADDC， A1D1C1=ADC90°， 又A1D1=AD2，D1C1= DC2，AA1=且 ACBD， A1C14，AE1，EC3， A1E2，C1E2， 在A1EC1中，A1C12A1E2C1E2， A1EC190°， 即二面角A1BDC1的大小為90°（III）過(guò)B作 BF/AD交 AC于 F，連結(jié)FC1，則C1BF就是AD與BC1所成的角 ABAD2， BDAC，AE1， BF=2，EF1，F(xiàn)C2，BCDC， FC1=，BC1，在BFC1 中，, C1BF=即異面直線AD與BC1所成角的大小為解法二：（）同解法一（）如圖，

12、以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系 連結(jié)與(1)同理可證, 為二面角的平面角.由得 即二面角的大小為（）如圖,由,得 異面直線與所成角的大小為解法三：（）同解法一.（）如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)為E.連結(jié).與（）同理可證為二面角的平面角由得即二面角的大小為6如圖, 在直三棱柱中， ，點(diǎn)為的中點(diǎn) ()求證;() 求證;()求異面直線與所成角的余弦值 解（I）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三邊長(zhǎng)AC=3，BC=4，AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC， ACBC1；（II）設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE， D是AB的中點(diǎn)，E是BC1的中

13、點(diǎn)， DE/AC1， DE平面CDB1，AC1平面CDB1， AC1/平面CDB1；（III） DE/AC1， CED為AC1與B1C所成的角，在CED中，ED=AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=2， ， 異面直線 AC1與 B1C所成角的余弦值.解法二： 直三棱錐底面三邊長(zhǎng)，兩兩垂直如圖建立坐標(biāo)系，則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0) (),()設(shè)與的交點(diǎn)為E，則E(0,2,2) () 異面直線與所成角的余弦值為7如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3，過(guò)其中心G作BC邊的平行線，分別交AB、AC于、將沿折起到的位置，使

14、點(diǎn)在平面上的射影恰是線段BC的中點(diǎn)M求：（1）二面角的大??；（2）異面直線與所成角的大小（用反三角函數(shù)表示）解 本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系等基本知識(shí)，考查空間想象能力，羅輯思維能力和運(yùn)算能力 （）連接AM，A1GG是正三角形ABC的中心，且M為BC的中點(diǎn)，A，G，M三點(diǎn)共線，AMBCB1C1BC，B1C1AM于G，即GMB1C1，GA1B1C1，A1GM是二面角A1B1C1M的平面角點(diǎn)A1在平面BB1C1C上的射影為M，A1MMG，A1MG=90°在RtA1GM中，由A1G=AG=2GM得A1GM=90°即二面角A1B1C1M的大小是60°（）過(guò)B1作C1

15、C的平行線交BC于P，則A1B1P等于異面直線A1B1與CC1所成的角由PB1C1C是平行四邊形得B1P=C1C=1=BP，PM=BMBP=A1B1=AB1=2A1M面BB1C1C于M， A1MBC，A1MP=90°在RtA1GM中，A1M=A1G·在RtA1MP中，在A1B1P中，由余弦定理得，異面直線A1B1與CC1所成角的大小為arccos8如圖，正三棱錐SABC中，底面的邊長(zhǎng)是3，棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，M是BC的中點(diǎn).求：（）的值；（）二面角SBCA的大??；（）正三棱錐SABC的體積.解 本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系等基本知識(shí)，考查空間想象能力，羅輯思

16、維能力和運(yùn)算能力 （）SB=SC，AB=AC，M為BC中點(diǎn)， SMBC，AMBC.由棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，即（）作正三棱錐的高SG，則G為正三角形ABC的中心，G在AM上，SMBC，AMBC， SMA是二面角SBCA的平面角.在RtSGM中， SMA=SMG=60°，即二面角SBCA的大小為60°。（）ABC的邊長(zhǎng)是3，9如圖，直二面角DABE中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACE.（）求證AE平面BCE；（）求二面角BACE的大??；（）求點(diǎn)D到平面ACE的距離.解本題主要考查直線、直線和平面基點(diǎn)和平面的距離等基礎(chǔ)知識(shí)，考

17、察空間想象能力，邏輯思維能力和運(yùn)算能力（I）（II）連結(jié)AC、BD交于G，連結(jié)FG，ABCD為正方形，BDAC，BF平面ACE，F(xiàn)GAC，F(xiàn)GB為二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE平面BCE，AEEB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，在直角三角形BCE中，CE=在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中，二面角B-AC-E為（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACB的距離等于B到平面ACE的距離，BF平面ACE，線段BF的長(zhǎng)度就是點(diǎn)B到平面ACE的距離，即為D到平面ACE的距離所以D到平面的距離為另法：過(guò)點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)O. OE=1.二面角DAB

18、E為直二面角，EO平面ABCD.設(shè)D到平面ACE的距離為h， 平面BCE， 點(diǎn)D到平面ACE的距離為解法二：（）同解法一.（）以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過(guò)O點(diǎn)平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖.面BCE，BE面BCE， ，在的中點(diǎn)， 設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為，則 解得令得是平面AEC的一個(gè)法向量.又平面BAC的一個(gè)法向量為，二面角BACE的大小為（III）AD/z軸，AD=2，點(diǎn)D到平面ACE的距離10 如圖，在四棱錐PABC中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn)（）求直線AC與P

19、B所成角的余弦值；（）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離 解 解法一：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E（0，2）從而=（，1，0），=（，0，-2）設(shè)與的夾角為，則，AC與PB所成角的余弦值為（）由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0，z），則由NE面PAC可得：即化簡(jiǎn)得即N點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0，1），從而N點(diǎn)到AB、AP的距離分別為1，解法二：（）設(shè)ACBD=O，連OE，則OE/PB，EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角在AOE

20、中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，即AC與PB所成角的余弦值為（）在面ABCD內(nèi)過(guò)D作AC的垂線交AB于F，則連PF，則在RtADF中DF=設(shè)N為PF的中點(diǎn)，連NE，則NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC從而NE面PACN點(diǎn)到AB的距離=AP=1，N點(diǎn)到AP的距離=AF=11如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1 （）求BF的長(zhǎng)； （）求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離解 本小題主要考查線面關(guān)系和空間距離的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力解法1：（）過(guò)E作EH/BC交CC1于H，則CH=

21、BE=1，EH/AD，且EH=AD.又AFEC1，F(xiàn)AD=C1EH.RtADFRtEHC1. DF=C1H=2.（）延長(zhǎng)C1E與CB交于G，連AG，則平面AEC1F與平面ABCD相交于AG.過(guò)C作CMAG，垂足為M，連C1M，由三垂線定理可知AGC1M.由于AG面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F面C1MC.在RtC1CM中，作CQMC1，垂足為Q，則CQ的長(zhǎng)即為C到平面AEC1F的距離解法2：（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.設(shè)F（0，0，z）.AEC1F為平行四邊

22、形， （II）設(shè)為平面AEC1F的法向量， 的夾角為a，則C到平面AEC1F的距離為12圖1 圖2如圖1，已知ABCD是上下底邊長(zhǎng)分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸OO1折成直二面角，如圖2.（）證明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小.解 解法一（I）證明 由題設(shè)知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO1所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，圖3如圖3，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）O1（0，0，）.從而所以ACBO1. （II） 因?yàn)樗訠O1OC，由（I）A

23、CBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一個(gè)法向量.設(shè)是0平面O1AC的一個(gè)法向量，由 得. 設(shè)二面角OACO1的大小為，由、的方向可知，>，所以cos，>=即二面角OACO1的大小是解法二（I）證明 由題設(shè)知OAOO1，OBOO1，所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 從而AO平面OBCO1， OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影.因?yàn)?，圖4所以O(shè)O1B=60°，O1OC=30°，從而OCBO1由三垂線定理得ACBO1.（II）解 由（I）ACBO1，OCBO1，知BO1平面AOC.設(shè)OCO1B=E，過(guò)點(diǎn)E作EFAC于F，連結(jié)O1F（如圖4）

24、，則EF是O1E在平面AOC內(nèi)的射影，由三垂線定理得O1FAC.所以O(shè)1FE是二面角OACO1的平面角. 由題設(shè)知OA=3，OO1=，O1C=1，所以，從而，又O1E=OO1·sin30°=，所以 即二面角OACO1的大小是13 如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng). （1）證明：D1EA1D； （2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離； （3）AE等于何值時(shí)，二面角D1ECD的大小為. 解 解法（一）（1）證明：AE平面AA1DD1，A1DAD1，A1DD1E（2）設(shè)點(diǎn)E到面ACD1的距離為h，在ACD1中，

25、AC=CD1=，AD1=，故（3）過(guò)D作DHCE于H，連D1H、DE，則D1HCE， DHD1為二面角D1ECD的平面角. 設(shè)AE=x，則BE=2x 解法（二）：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，則E（1，1，0），從而，設(shè)平面ACD1的法向量為，則也即，得，從而，所以點(diǎn)E到平面AD1C的距離為（3）設(shè)平面D1EC的法向量，由 令b=1, c=2,a=2x，依題意（不合，舍去）， .AE=時(shí)，二面角D1ECD的大小為

26、.14 已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，ABDC，底面ABCD，PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點(diǎn)（）證明：面PAD面PCD；（）求AC與PB所成的角；（）求面AMC與面BMC所成二面角的大小解 本小題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識(shí)及思維能力和空間想象能力.考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力方案一：（）證明：PA面ABCD，CDAD，由三垂線定理得：CDPD.因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，CD面PAD.又CD面PCD，面PAD面PCD. （）解：過(guò)點(diǎn)B作BE/CA，且BE=CA， 則PBE是AC與PB所成的角.連結(jié)AE，可知AC=CB=

27、BE=AE=，又AB=2，所以四邊形ACBE為正方形. 由PA面ABCD得PEB=90°在RtPEB中BE=，PB=， （）解：作ANCM，垂足為N，連結(jié)BN.在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB， AMCBMC,BNCM，故ANB為所求二面角的平面角CBAC，由三垂線定理，得CBPC，在RtPCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中，AN·MC=，. AB=2，故所求的二面角為方法二：因?yàn)镻APD，PAAB，ADAB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0）

28、，P（0，0，1），M（0，1，.（）證明：因又由題設(shè)知ADDC，且AP與與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD面PCD（）解：因由此得AC與PB所成的角為（）解：在MC上取一點(diǎn)N（x，y，z），則存在使要使為所求二面角的平面角. 15 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點(diǎn)（）求證：EF垂直于平面PAB；（）設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成的角的大小解 本題主要考查直線與平面垂直、直線與平面所成角的有關(guān)知識(shí)，及思維能力和空間想象能力，考查應(yīng)用向量知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力

29、。方法一：（）證明：連接EP。PD底面ABCD，DE在平面ABCD內(nèi)， PDDE，又CE=ED，PD=AD=BC。RtBCERtPDE PE=BE.F為PB的中點(diǎn) EFPB。由三垂線定理得：PAAB。 在RtPAB中，PF=AF，又PE=BE=EA，EFPEFA。EFFAPB、FA為平面PAB內(nèi)的相交直線。 EF平面PAB。（II）解：不妨設(shè)BC=1，則AD=PD=1。 方法二： 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的長(zhǎng)為單位，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。（）。 （）解： 16 在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD（）證明AB平面VAD（）求面VAD與面VD

30、B所成的二面角的大小解 證明：（）作AD的中點(diǎn)O，則VO底面ABCD 建立如圖空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1， 則A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0），D（-，0，0），V（0，0，）， 由 又ABAV=AAB平面VAD （）由（）得是面VAD的法向量設(shè)是面VDB的法向量，則 ， 又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角，所以其大小為 17 如圖，已知長(zhǎng)方體，直線與平面所成的角為，垂直于為的中點(diǎn)（）求異面直線與所成的角；（）求平面與平面所成二面角（銳角）的大??；（）求點(diǎn)到平面的距離解 (考查知識(shí)點(diǎn)：立體幾何)解法一：（向量法）在長(zhǎng)方體中，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線

31、為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖由已知，可得又平面，從面與平面所成的角即為又從而易得（）即異面直線、所成的角為（）易知平面的一個(gè)法向量設(shè)是平面的一個(gè)法向量由 取即平面與平面所成二面角（銳角）大小為（）點(diǎn)A到平面BDF的距離，即在平面BDF的法向量上的投影的絕對(duì)值所以距離所以點(diǎn)A到平面BDF的距離為解法二：(幾何法)（）連結(jié)，過(guò)F作的垂線，垂足為K，與兩底面ABCD，都垂直，又因此為異面直線與所成的角 連結(jié)BK，由FK面得， 從而 為 在 和中， 由得 又， 異面直線與所成的角為（）由于面由作的垂線，垂足為，連結(jié)，由三垂線定理知即為平面與平面所成二面角的平面角且，在平面中，延長(zhǎng)與；交于點(diǎn)為的中點(diǎn)、分別

32、為、的中點(diǎn) 即，為等腰直角三角形，垂足點(diǎn)實(shí)為斜邊的中點(diǎn)F，即F、G重合易得，在中， ，即平面于平面所成二面角（銳角）的大小為（）由（）知平面是平面與平面所成二面角的平面角所在的平面面在中，由作AHDF于H，則AH即為點(diǎn)A到平面BDF的距離 由AHDF=ADAF，得所以點(diǎn)A到平面BDF的距離為18 已知直四棱柱中，底面是直角梯形，求異面直線與所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）解 由題意ABCD,C1BA是異面直線BC1與DC 所成的角.連結(jié)AC1與AC,在RtADC中,可得AC=. 又在RtACC1中,可得AC1=3. 在梯形ABCD中,過(guò)C作CHAD交AB于H,得CHB=90°,

33、CH=2,HB=3, CB=.又在RtCBC1中,可得BC1=,在ABC1中,cosC1BA=,C1BA=arccos異面直線BC1與DC所成角的大小為arccos另解:如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系. 則C1(0,1,2),B(2,4,0), =(2,3,2),=(0,1,0),設(shè)與所成的角為,則cos=,= arccos.異面直線BC1與DC所成角的大小為arccos19如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面與底面ABC所成的二面角為，E、F分別是棱的中點(diǎn)（）求與底面ABC所成的角（）證明平面（）求經(jīng)過(guò)四點(diǎn)的球的體積 解 （）過(guò)作平面，垂足為連結(jié)，并延

34、長(zhǎng)交于，于是為與底面所成的角，為的平分線又，且為的中點(diǎn)因此，由三垂線定理，且，于是為二面角的平面角，即由于四邊形為平行四邊形，得（）證明：設(shè)與的交點(diǎn)為，則點(diǎn)為的中點(diǎn)連結(jié)在平行四邊形中，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，故而平面，平面，所以平面（）連結(jié)在和中，由于，則，故由已知得又平面，為的外心設(shè)所求球的球心為，則，且球心與中點(diǎn)的連線在中，故所求球的半徑，球的體積20如圖，在三棱錐PABC中，ABBC，ABBCkPA，點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn)，OP底面ABC ()當(dāng)k時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的大?。?() 當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為PBC的重心？解 本題主要考查空間線面關(guān)系、空間向量的概

35、念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力方法一：() O、D分別為AC、PC ， ()，又， PA與平面PBC所成的角的大小等于， （）由()知， F是O在平面PBC內(nèi)的射影D是PC的中點(diǎn)，若點(diǎn)F是的重心，則B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線，直線OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線BD，即反之，當(dāng)時(shí)，三棱錐為正三棱錐，O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心方法二：， 以O(shè)為原點(diǎn)，射線OP為非負(fù)z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）設(shè)則，設(shè)，則()D為PC的中點(diǎn)，又， ()，即，可求得平面PBC的法向量， ，設(shè)PA與平面PBC所成的角為，則，（）的重心， ，又，即，反之，當(dāng)時(shí)，三棱錐為正三棱錐，O在平面PBC內(nèi)的射

36、影為的重心21 如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1上異于C、C1的一點(diǎn)，EAEB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求： （）異面直線AB與EB1的距離； （）二面角AEB1A1的平面角的正切值. 解 解法一： （）因AB面BB1C1C，故ABBE. 又EB1EA，且EA在面BCC1B1內(nèi)的射影為EB.由三垂線定理的逆定理知EB1BE，因此BE是異面直線AB與EB1的公垂線，在平行四邊形BCC1B1中，設(shè)EB=x，則EB1=，作BDCC1，交CC1于D，則BD=BC·在BEB1中，由面積關(guān)系得.（負(fù)根舍去）解之得CE=2，故此時(shí)E與C1重合，由題意舍去.因此x=1，即異面直線AB與EB1的