利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性(理)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上3.2利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性知識要點梳理1. 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）（函數(shù)單調(diào)性的充分條件）設(shè)函數(shù)y=f(x) 在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個區(qū)間內(nèi)>0，那么函數(shù)y=f(x) 在這個區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；如果在這個區(qū)間內(nèi)<0，那么函數(shù)y=f(x) 在這個區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)。（2）（函數(shù)單調(diào)性的必要條件）設(shè)函數(shù)y=f(x) 在某個區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果函數(shù)y=f(x) 在這個區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，那么在這個區(qū)間內(nèi)0；如果函數(shù)y=f(x) 在這個區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)。那么在這個區(qū)間內(nèi)0。2. 求可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：確定函數(shù)的定義域；計算導(dǎo)數(shù)，令，解此方

2、程，求出它們在定義域區(qū)間內(nèi)的一切實根；把函數(shù)的間斷點（即f(x)的無定義的點）的橫坐標(biāo)和上面的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把的定義域分成若干個小區(qū)間；確定在各個開區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)的符號判定函數(shù)在每個相應(yīng)小區(qū)間的增減性（若>0,則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；若<0,則f(x)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)。）疑難點、易錯點剖析：1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便，但應(yīng)注意f(x)>0（或f(x)<0）僅是f(x)在某個區(qū)間上遞增（或遞減）的充分條件。在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在（a,b）上遞增（或遞減）的充要條件應(yīng)是，x恒成立，且f

3、(x)在（a,b） 的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0。這就是說，函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在該區(qū)間內(nèi)個別點x0處有f(x0)=0,甚至可以在無窮多個點處f(x0)=0,只要這樣的點不能充滿所給區(qū)間的任何子區(qū)間，因此在已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)（或減函數(shù)）求參數(shù)的取值范圍時，應(yīng)令恒成立，解出參數(shù)的取值范圍，然后檢驗參數(shù)的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，則參數(shù)的這個值應(yīng)舍去，若f(x)不恒為0，則由，x恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定。2.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間也可按如下步驟進(jìn)行：求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x). 令f(x)0，解不等式得x的范圍就是遞增區(qū)間；令f(x)0，解不等式得x的范圍

4、，就是遞減區(qū)間。3.討論含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時，必須注意分類討論。直擊考點考點一 求不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間考例1.求函數(shù)y=x2(1x)3的單調(diào)區(qū)間.思路分析：這是一個不含參數(shù)的高次多項式函數(shù)，按照利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟進(jìn)行。解：y=x2(1x)3=2x(1x)3+x2·3(1x)2·(1)=x(1x)22(1x)3x=x(1x)2·(25x)令x(1x)2(25x)0，解得0x. y=x2(1x)3的單調(diào)增區(qū)間是(0，)令x(1x)2(25x)0，解得x0或x且x1.為拐點，y=x2(1x)3的單調(diào)減區(qū)間是(，0)，(，+)其函數(shù)的大致圖像如下圖：錦囊

5、妙計：本題中，有一個特殊之處，當(dāng)x=1時,f(1)=0,但在x=1鄰近的左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值同號（均為負(fù)），因此該函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是，而1。舉一反三：1.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）ABCD答案：C2.(05年廣東高考題)函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為( )（）（）（）（）答案：D解析：考點二 求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間考例2 （06山東卷）設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間。解：由已知得函數(shù)的定義域為，且（1）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，（2）當(dāng)時，由解得、隨的變化情況如下表0+極小值從上表可知當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在

6、上單調(diào)遞減.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.錦囊妙計:求含字母參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時要注意對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.舉一反三： （06山東卷）設(shè)函數(shù)f(x)= ()求f(x)的單調(diào)區(qū)間；() 討論f(x)的極值.解：由已知得 ，令，解得 .（）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增 當(dāng)時，隨的變化情況如下表：0+00極大值極小值從上表可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.（）由（）知， 當(dāng)時，函數(shù)沒有極值. 當(dāng)時，函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值.考點三 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式考例3. 當(dāng)x0時，證明不等式：1+2xe2x.思路分析：假設(shè)構(gòu)造函數(shù)f(x)=e2x12x.f(0)=e010=0,

7、 如果能夠證明f(x)在(0，+)上是增函數(shù)，那么f(x)0，則不等式就可以得到證明.證明：令f(x)=e2x12x. f(x)=2e2x2=2(e2x1)x0，e2xe0=1，2(e2x1)0, 即f(x)0f(x)=e2x12x在(0，+)上是增函數(shù).f(0)=e010=0.當(dāng)x0時，f(x)f(0)=0，即e2x12x0.1+2xe2x錦囊妙計：通過構(gòu)造函數(shù), 利用導(dǎo)數(shù)判斷出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，再將x賦值, 利用單調(diào)性證明一個不等式。這也是證明不等式的一個種方法.舉一反三:1.已知x>1，證明不等式x>1n(1+x)思路分析： 構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識討論的單調(diào)性,從而證得.

8、 解：令，則，在（1，上為增函數(shù) ,當(dāng)x>1時,f(x)>f(1),即x-1n(1+x) >1-1n2>0, x>1n(1+x).2.證明不等式提示:構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)是增函數(shù)。考點四 利用導(dǎo)數(shù)討論（求）函數(shù)中的參數(shù)的取值范圍考例4（06全國II）設(shè)函數(shù)f(x)(x1)ln(x1)，若對所有的x0，都有f(x)ax成立，求實數(shù)a的取值范圍解法一：令g(x)(x1)ln(x1)ax，對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， (i)當(dāng)a1時，對所有x0，g(x)0，所以g(x)在0，)上是增函數(shù)，又g(0)0，所以對x0，都

9、有g(shù)(x)g(0)，即當(dāng)a1時，對于所有x0，都有f(x)ax (ii)當(dāng)a1時，對于0xea11，g(x)0，所以g(x)在(0，ea11)是減函數(shù)，又g(0)0，所以對0xea11，都有g(shù)(x)g(0)，即當(dāng)a1時，不是對所有的x0，都有f(x)ax成立綜上，a的取值范圍是（，1 解法二：令g(x)(x1)ln(x1)ax，于是不等式f(x)ax成立即為g(x)g(0)成立對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g(x)ln(x1)1a令g(x)0，解得xea11， 當(dāng)x ea11時，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，當(dāng)1xea11，g(x)0，g(x)為減函數(shù)， 所以要對所有x0都有g(shù)(x)g(0)充要條件為

10、ea110由此得a1，即a的取值范圍是（，1 舉一反三：（06湖南卷）已知函數(shù).（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）若曲線上兩點A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.解（）由題設(shè)知.令.當(dāng)（i）a>0時，若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；（i i）當(dāng)a0時，若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是增函數(shù)；若，則，所以在區(qū)間上是減函數(shù).（）由（）的討論及題設(shè)知，曲線上的兩點A、B的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值，且函數(shù)在處分別是取得極值，.因為線段AB與x軸有公共點，所以.即.所

11、以.故.解得1a0或3a4.即所求實數(shù)a的取值范圍是-1，0)3，4.誤區(qū)警示：例已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx+d滿足以下3個條件： 在，0上為增函數(shù) 在0，2上為減函數(shù) f(2)=01）求c的值；2）求f(1)的范圍。常見錯誤：由f(x)在0，2上為減函數(shù)，f(2)=0,得，導(dǎo)致b的范圍縮小，進(jìn)而導(dǎo)致求f(1)的范圍出錯。正解：由條件知，x=0為y=f(x)的極值點 又 由于c=0 則f(x)=x3+bx2+d從而f(1)=1+b+d又知：f(2)=8+4b+d=0d=-8-4b則f(1)=-3b-7由知，f(1)(-3)×(-3)-7=2故f(1)2。緊扣考綱大演練 一.

12、單項選擇題1. （原創(chuàng)題）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是ABCD答案：B2.3. 已知函數(shù),()上任一點( ,)處的切線斜率為k=，則該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為( )A B C 和（1 2） D 答案：B4設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖像如圖，則導(dǎo)函數(shù)的圖像可能是（ C ）5已知函數(shù) ，下面四個圖象中 的圖象大致是（ C ） 6已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如右圖，則：A在(-，0)上為減函數(shù)B在x=0處取得最大值C在（4，+）上為減函數(shù)D在x=2處取得最小值6C 思路分析：由導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)知，遞增，遞減。從圖像上知，當(dāng)x>4時，在（4，+）上遞減。二.填空題7（改編題）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是_.答案：解析：首先考慮定義域及知，8. (原創(chuàng)題)函數(shù)在R內(nèi)是減函數(shù)，則k的取值范圍是_ 答案：k<0 9如圖，函數(shù)的圖象在點P處的切線方程是，則= 。10（改編題）設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時，且則不等式的解集是答案：三.解答題11.（06安徽卷）設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。（）求、的值。（）求的單調(diào)區(qū)間與極值。解析：（），。從而是一個奇函數(shù)，所以得，由奇函數(shù)定義得；（）由（）知，從而，由此可知，和是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間；是函數(shù)是單調(diào)遞減區(qū)間；在時，取得極大值，極大值為，在時，取得極小值，極小值為。13（07佛山市質(zhì)檢）已知函數(shù)(1) 若在上單調(diào)遞增，求