高等數(shù)學競賽題庫不定積分與定積分

1、高等數(shù)學競賽 不定積分不定積分的概念與性質(zhì)1、設，求2、設，求3、已知，試求函數(shù)利用基本積分法求不定積分一、 利用湊微分法求不定積分1、 求下列不定分;(1)（2）（3）（4）2、求下列不定積分（1） （2）（3） （4） （5）二、利用第二換元積分法求不定積分1、三角代換求下列積分（1） （2） （3） （4）2、倒代換（即令）求下列積分（1） （2）3、指數(shù)代換（令則）（1） （2）4、利用分部積分法求不定積分（1） （2）（3） （4）（5）5、建立下列不定積分的遞推公式（1） （2）有理函數(shù)的積分1、求下列不定積分（1） （2） （3）2、求下列不定積分（1） （2） （3） （4）簡

2、單無理函數(shù)積分1、 2、三角有理式積分1、 2、 3、4、 5、 6、含有反三角函數(shù)的不定積分1、 2、抽象函數(shù)的不定積分1、 2、分段函數(shù)的不定積分例如：設 求.高等數(shù)學競賽 定積分比較定積分大小1、 比較定積分和的大小2、 比較定積分和的大小利用積分估值定理解題一、估值問題1、試估計定積分的值2、試估計定積分的值二、不等式證明1、證明不等式：2、證明不等式：三、求極限1、 2、關于積分上限函數(shù)及牛頓-萊布尼茲公式問題1、求下列導數(shù)：（1）；（2）由方程確定的隱函數(shù)的導數(shù)2、設在上連續(xù)且滿足，求3、設為關于的連續(xù)函數(shù)，且滿足方程，求及常數(shù).4、求下列極限：（1） （2）5、設是連續(xù)函數(shù)，且，

3、求.6、已知且，求及定積分的計算一、分段函數(shù)的定積分1、設求2、求定積分二、被積函數(shù)帶有絕對值符號的積分1、求下列定積分：（1） （2）2、求定積分的值三、對稱區(qū)間上的積分1、設在上連續(xù)，計算2、設在上連續(xù)，且對任何有，計算3、計算積分4、設在區(qū)間上連續(xù)，為偶函數(shù)，且滿足條件（為常數(shù)）.（1）證明：(2) 利用（1）的結(jié)論計算定積分四、換元積分法1、求下列定積分：（1） （2） （3）五、分部積分1、設有一個原函數(shù)為，求2、 3、積分等式的證明一、換元法（適用于被積函數(shù)或其主要部分僅給出連續(xù)條件）1、若函數(shù)連續(xù)，證明：（1）（2）（3）2、設連續(xù)，求證，并計算3、設連續(xù)，且關于對稱，z證明：

4、（提示：關于對稱，即）二、分部積分法（適用于被積函數(shù)中含有或變上限積分的命題）例：設連續(xù)，證明： 三、構造輔助函數(shù)法（適用于證明在積分限中至少存在一點或使等式成立的命題）解題思路：（1）將或改成，移項使等式一端為零，則另一端即為所作的輔助函數(shù)或。（2）驗證滿足介值定理或微分中值定理的條件。（3）由介值定理或微分中值定理，即可證得命題。1、設在上連續(xù)，證明：至少存在一點，使得： 2、設在上連續(xù)，在內(nèi)可導，.求證：在內(nèi)至少存在一點使四、積分不等式的證明常用的證明積分不等式的定理有：定積分的比較定理，估值定理，函數(shù)的單調(diào)性，積分與微分中值定理。1、設在上連續(xù)，且嚴格遞增，證明： 2、設在上連續(xù)且單調(diào)

5、減少，求證： 3、設在上可導，且.證明： 廣義積分1、求下列廣義積分（1） （2） （3） （4）2、證明：無窮積分當時收斂，當時發(fā)散.3、當時，是以為瑕點的瑕積分，證明它在時收斂，在時發(fā)散.高等數(shù)學競賽 導數(shù)與微分練習利用導數(shù)定義解題1、 設函數(shù) 又在處可導，求復合函數(shù)在處的導數(shù)。2、 已知在處可導，求3、 設 求在點處的導數(shù)4、 設函數(shù)在處可導，且試求5、 設求極限6、 設在上有定義，且又，求導數(shù)在幾何上的應用1、 設函數(shù)由方程確定，求曲線在處的法線方程2、 已知是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在的某個領域內(nèi)有關系式 其中是當時比高階的無窮小，且在處可導，求曲線在點處的切線方程.利用導數(shù)公式及求導法則求導1、已知，求2、若，求3、若4、設函數(shù)由方程確定。求5、設函數(shù)由所確定，求6、設函數(shù)，其中具有二階導數(shù)，且其一階導數(shù)不等于1，求求高階導數(shù)常用方法：（1）將函數(shù)變形。利用已知函數(shù)的階導數(shù)公式； （2）利用萊布尼茲公式求某些積的階導數(shù)。1、設函數(shù)