高等數(shù)學(xué)：12-4 高階線性微分方程

1、1第四節(jié)第四節(jié) 高階線性微分方程高階線性微分方程線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 二階線性微分方程二階線性微分方程線性線性(higher-order linear ordinary differential equation)第十二章第十二章 微分方程微分方程2二階二階)()(dd)(dd22xfyxQxyxPxy 時，時，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性二階線性齊次齊次微分方程微分方程時，時，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階線性二階線性非齊次非齊次微分方程微分方程微分方程微分方程)()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 形如形如一、二階線性微分方

2、程一、二階線性微分方程線性線性微分方程微分方程)(xf高階線性微分方程高階線性微分方程n階階線性線性3)()(2211xyCxyCy yxQyxPy)()(定理定理1 1,)1()()(21的兩個解的兩個解是方程是方程與與如果函數(shù)如果函數(shù)xyxy的的也也是是那那末末)1()()(2211xyCxyCy ).,(21是常數(shù)是常數(shù)CC證證 2211yCyC)(2211yCyCxP )(2211yCyCxQ )()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC 0 ,)1()()(21的兩個解的兩個解是方程是方程與與如果函數(shù)如果函數(shù)xyxy疊加原理疊加原理0一定是通解一定是通解(1)二

3、、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)解解,1.二階二階齊次齊次方程解的結(jié)構(gòu)方程解的結(jié)構(gòu)齊次齊次高階線性微分方程高階線性微分方程4線性無關(guān)線性無關(guān)定義定義nyyy,21設(shè)設(shè)02211 nnykykyk線性相關(guān)線性相關(guān). .否則稱否則稱線性無關(guān)線性無關(guān). .如如),(sin,cos122 xxx，),(,2 xeeexxx，線性相關(guān)線性相關(guān)有恒等式有恒等式取取, 1, 1321 kkk0sincos122 xx恒等式成立恒等式成立如果存在如果存在n個不全為零的常數(shù)個不全為零的常數(shù),使得當(dāng)使得當(dāng)x在該區(qū)間內(nèi)在該區(qū)間內(nèi)那末稱這那末稱這n個函數(shù)在區(qū)間個函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)為定義在區(qū)間為定義在區(qū)

4、間I內(nèi)的內(nèi)的n個函數(shù)個函數(shù).高階線性微分方程高階線性微分方程5特別地特別地如如, 0 yy,cos1xy xyytan12 且且.sincos21xCxCy 上上在在與與則則函函數(shù)數(shù)Ixyxy)()(21線性無關(guān)線性無關(guān).定理定理2 2的兩個的兩個是方程是方程與與如果函數(shù)如果函數(shù))1()()(21xyxy)()(2211xyCxyCy )1(0)()( yxQyxPy通解通解,常常數(shù)數(shù) 為了求為了求只要求它的兩個線性無關(guān)的特解只要求它的兩個線性無關(guān)的特解.,sin2xy )()(21xyxy線性無關(guān)線性無關(guān)的特解的特解,常常數(shù)數(shù) 那末那末也是也是(1)的的齊次齊次線性方程的通解線性方程的通解,

5、若在若在I上有上有通解通解.高階線性微分方程高階線性微分方程6定理定理2 2推論推論是是n 階齊次階齊次線性方程線性方程0)()()(1)1(1)( yxPyxPyxPynnnn的的n 個線性無關(guān)的解個線性無關(guān)的解, 那么那么, 此方程的通解為此方程的通解為),()()(2211xyCxyCxyCynn 其中其中nCCC,21為任意常數(shù)為任意常數(shù).可推廣到可推廣到n 階齊次線性方程階齊次線性方程.高階線性微分方程高階線性微分方程12( ),( ),( )ny xyxyx如果函數(shù)72.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu)定理定理3 3 yxQyxPy)()( y設(shè)設(shè) 的一個的

6、一個特解特解, yYy那么那么 為了求為了求非齊次線性方程的一個特解非齊次線性方程的一個特解和對應(yīng)齊次線性方程和對應(yīng)齊次線性方程只要求得只要求得:的通解的通解.)1(0)()( yxQyxPy非齊次非齊次)(xf(2)非齊次非齊次線性方程的通解線性方程的通解, Y 是與是與(2)對應(yīng)的齊次方程對應(yīng)的齊次方程(1)的通解的通解, 是二階非齊次線性微分方程是二階非齊次線性微分方程(2)的的通解通解. 是二階非齊次線性微分方程是二階非齊次線性微分方程高階線性微分方程高階線性微分方程82xyy 方程方程已知已知xCxCYsincos21 0 yy的通解的通解.又容易驗證又容易驗證22 xy是所給方程的

7、一個特解是所給方程的一個特解.是是非齊次非齊次方程的通解方程的通解. yYy如如是二階是二階非齊次非齊次線性方程線性方程xCxCsincos21 22 x是對應(yīng)齊次方程是對應(yīng)齊次方程高階線性微分方程高階線性微分方程9解的疊加原理解的疊加原理定理定理4 4是是幾幾個個函函數(shù)數(shù)的的右右端端設(shè)設(shè)非非齊齊次次方方程程)()2(xf yxQyxPy)()(如如分別是分別是與與而而 21yy)()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 21yy)2()()()(xfyxQyxPy )(xf )(1xf)(2xf之和之和,的特解的特解,那么那么就是原方程的特解就是原方程的特解.定理定理

8、3 3和和定理定理4 4也可推廣到也可推廣到n 階非齊次線性方程階非齊次線性方程.高階線性微分方程高階線性微分方程10 求解求解xexyy 解解 yy的通解是的通解是xCxCYsincos21 再考慮兩個方程再考慮兩個方程, xyy xey212 ,1xy 分別是上述兩個方程的特解分別是上述兩個方程的特解.所以原方程的通解為所以原方程的通解為 y例例xeyy xCxCsincos21 0 x xe21 yY高階線性微分方程高階線性微分方程11線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念三、小結(jié)三、小結(jié)高階線性微分方程高階線性微分方程線性微分方程的概念

9、線性微分方程的概念12 思考題思考題北方交大北方交大93級考題級考題(7分分)xexyxyy 232213,3, 3已已知知66)22()2()2(22 xyxyxyxx都是微分方程都是微分方程:求此方程的求此方程的通解通解.的解的解,高階線性微分方程高階線性微分方程13證證齊次齊次方程的特解方程的特解.非齊次非齊次線性方程的兩個特解之差線性方程的兩個特解之差是對應(yīng)是對應(yīng)結(jié)論結(jié)論66)22()2()2(11212 xyxyxyxx)1(66)22()2()2(22222 xyxyxyxx)2(得得)2()1( )(2()(2(212212 yyxyyxx)(22(21yyx 0 所以所以21yy 非齊次非齊次線性方程的兩個特解線性方程的兩個特解,是是設(shè)設(shè)21, yy則則是是齊次齊次方程的解方程的解.高階線性微分方程高階線性微分方程14方程的通解為方程的通解為3221 xeCxC yYy或或22213xeCxCyx 或或xxexeCxCy 22213,212xyy xeyy 23xex2xex ,2因而因而,齊次齊次線性方程的通解線性方程的通解xeCxCY221 解解xexyxyy 232213,3, 3已已知知66)22()2()2(22 xy