中考數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題專題講解

1、中考數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題專題講解 中考動點(diǎn)專題所謂“動點(diǎn)型問題是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點(diǎn),它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.關(guān)鍵:動中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想 函數(shù)思想 方程思想 數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想注重對幾何圖形運(yùn)動變化能力的考查從變換的角度和運(yùn)動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點(diǎn)的運(yùn)動等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇根本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力圖形在動點(diǎn)的運(yùn)動過程中觀

2、察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動點(diǎn)探究題的根本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。二期課改后數(shù)學(xué)卷中的數(shù)學(xué)壓軸性題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動態(tài)幾何、動手操作、實(shí)驗(yàn)探究等方向開展這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，OH=MH=12OH=1236-x2OP2-PH2=36-x2, .M x 在RtMPH中,MP=PH2H A +MH2=x+9-214x2=12 36+3x2圖1 .1 y=GP=23MP=1336+3x2(0<x<6).(3)PGH是等

3、腰三角形有三種可能情況: GP=PH時,131336+3x2=x,解得x=26. 經(jīng)檢驗(yàn), x=6是原方程的根,且符合題意.GP=GH時, 36+3x=2,解得x=0. 經(jīng)檢驗(yàn), x=0是原方程的根,但不符合題意.PH=GH時,x=2.綜上所述,如果PGH是等腰三角形,那么線段PH的長為6或2.二、應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式例22006年²山東如圖2,在ABC中,AB=AC=1,點(diǎn)D,E在直線BC上運(yùn)動.設(shè)BD=x,CE=y. (1)如果BAC=30°,DAE=105°,試確定y與x之間的函數(shù)解析式；(2)如果BAC的度數(shù)為a,DAE的度數(shù)為b,當(dāng)a,b滿足怎樣的關(guān)

4、系式時,(1)中y與x之間的函數(shù)解析式還成立?試說明理由.解:(1)在ABC中,AB=AC,BAC=30°,ABC=ACB=75°, ABD=ACE=105°.BAC=30°,DAE=105°, DAB+CAE=75°, 又DAB+ADB=ABC=75°, CAE=ADB,ADBEAC, AB=BD,CEACB 圖2C1y=x1, y=1x.a2(2)由于DAB+CAE=b-a,又DAB+ADB=ABC=90°-函數(shù)關(guān)系式成立,aa=90°. 90°-=b-a, 整理得b-22,且3(1)當(dāng)b-

5、a2=90°時,函數(shù)解析式y(tǒng)=1x成立.例3(2005年²上海)如圖3(1),在ABC中,ED,交射線AB于點(diǎn)P,交射線CB于點(diǎn)F.(1)求證: ADEAEP.(2)設(shè)OA=x,AP=y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域.(3)當(dāng)BF=1時,求線段AP的長.解:(1)連結(jié)OD.根據(jù)題意,得ODAB,ODA=90°,ODA=DEP.又由OD=OE,得ODE=OED.ADE=AEP, ADEAEP.(2)ABC=90°,AB=4,BC=3, AC=5. ABC=2A3(2)E OA ADO=90°, ODBC, OD=35x,AD=45OD

6、3=x5,AD4=x5,x. AE=x+35x=85x. 8x4xADEAEP, , 5=5=8APAEy5AEAD. y=x165x (0<x£258).(3)當(dāng)BF=1時，假設(shè)EP交線段CB的延長線于點(diǎn)F,如圖3(1)，那么CF=4.ADE=AEP, PDE=PEC. FBP=DEP=90°, FPB=DPE, F=PDE, F=FEC, CF=CE. 5-85x=4,得x=58.可求得y=2,即AP=2.假設(shè)EP交線段CB于點(diǎn)F,如圖3(2), 那么CF=2. 類似,可得CF=CE. 5-85x=2,得x=158.可求得y=6,即AP=6.綜上所述, 當(dāng)BF=1

7、時,線段AP的長為2或6. 三、應(yīng)用求圖形面積的方法建立函數(shù)關(guān)系式例42004年²上海如圖,在ABC中,BAC=90°,AB=AC=22,A的半徑為1.假設(shè)點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動(與點(diǎn)B、C不重合),設(shè)BO=x,AOC的面積為y.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.(2)以點(diǎn)O為圓心,BO長為半徑作圓O,求當(dāng)O與A相切時, AOC的面積.解:(1)過點(diǎn)A作AHBC,垂足為H.BAC=90°,AB=AC=22, BC=4,AH=SDAOC=1212BC=2. OC=4-x.O H 圖8COC×AH, y=-x+4 (0<x<4).(2

8、)當(dāng)O與A外切時,222在RtAOH中,OA=x+1,OH=2-x, (x+1)=2+(2-x). 解得x=76.此時,AOC的面積y=4-當(dāng)O與A(x-1)=2+(x-2). 解得x=72.此時,AOC的面積y=4-72=12.176綜上所述,當(dāng)O與A相切時,AOC的面積為或12.3 動態(tài)幾何特點(diǎn)-問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。動點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此

9、問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥。一、以動態(tài)幾何為主線的壓軸題一點(diǎn)動問題109年徐匯區(qū)如圖，DABC中，AB=AC=10，BC=12，點(diǎn)D在邊BC上，且BD=4，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作ÐEDF=ÐB，分別交邊AB于點(diǎn)E，交射線CA于點(diǎn)F1當(dāng)AE=6時，求AF的長；2當(dāng)以點(diǎn)C為圓心CF長為半徑的C和以點(diǎn)A為圓心AE長為半徑的A相切時，求BE的長；3當(dāng)以邊AC為直徑的O與線段DE相切時，求BE的長題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)此題改編自新教材九上?相似形?24.5(4)例六,典型的一線三角(三等角)問題,試題在原題的根底上改編出第一小題,當(dāng)E點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動時，滲透入圓與圓的位

10、置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了第二小題,參加直線與圓的位置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了第三小題區(qū)分度測量點(diǎn)在直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系,從而利用方程思想來求解區(qū)分度性小題處理手法1直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用d=r建立方程2圓與圓的位置關(guān)系的存在性(相切問題)的處理方法：利用d=R±r(R>r)建立方程3解題的關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段. 略解 解：1 證明DCDFDEBDCFBD=CDBEC ，代入數(shù)據(jù)得CF=8，AF=232x2 設(shè)BE=x,那么d=AC=10,AE=10-x,利用1的方法CF=相切時分外切和外切，10=10-x

11、+32x32x， ，x=42； 一個動點(diǎn)：09楊浦25題四月、五月、09靜安25題、兩個動點(diǎn)：09閘北25題、09松江25題、09盧灣25題、09青浦25題二線動問題在矩形ABCD中，AB3，點(diǎn)O在對角線AC上，直線l過點(diǎn)O，且與AC垂直交AD于點(diǎn)E.(1)假設(shè)直線l過點(diǎn)B，把ABE沿直線l翻折，點(diǎn)A與矩形ABCD的對稱中心A重合，求BC的長；4 (2)假設(shè)直線l與AB相交于點(diǎn)F，且AO14AC，設(shè)AD的長為x，五邊lA形BCDEF的面積為S.求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；探索：是否存在這樣的x，以A為圓心，以x-34長為半徑的圓與直線l相切，假設(shè)存在，請求出x的值；假設(shè)不存在，

12、請說明理由 題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)此題以矩形為背景,結(jié)合軸對稱、相似、三角等相關(guān)知識編制得到第一小題考核了學(xué)生軸對稱、矩形、勾股定理三小塊知識 略解lBCC(1)A是矩形ABCD的對稱中心ABAAAC21ABAB，AB3AC6 BC=33 (2)AC=x+9，AO=2142x+92，AF=112(x+9)，AE=2x+94x2 SDAEF=412AE×AF=(x+9)96x2，S=3x-(x+9)96x22 S=-x+270x-8196x2(3<x<33)34=14x+92假設(shè)圓A與直線l相切，那么x-類題09虹口25題 三面動問題，x1=0(舍去)，x2=85x2=85

13、<3不存在這樣的x，使圓A與直線l相切如圖，在DABC中，AB=AC=5,BC=6，D、E分別是邊AB、AC上的兩個動點(diǎn)D不與A、B重合，且保持DEBC，以DE為邊，在點(diǎn)A的異側(cè)作正方形DEFG.1試求DABC的面積；2當(dāng)邊FG與BC重合時，求正方形DEFG的邊長；3設(shè)AD=x，DABC與正方形DEFG重疊局部的面積為y，試求y關(guān)C5 于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；4當(dāng)DBDG是等腰三角形時，請直接寫出AD的長題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)此題改編自新教材九上?相似形?24.5(4)例七,典型的共角相似三角形問題,試題為了形成坡度，在原題的根底上改編出求等腰三角形面積的第一小題,當(dāng)D點(diǎn)在AB邊

14、上運(yùn)動時，正方形DEFG整體動起來，GF邊落在BC邊上時，恰好和教材中的例題對應(yīng)，可以說是相似三角形對應(yīng)的小高比大高=對應(yīng)的小邊比大邊，探尋正方形和三角形的重疊局部的面積與線段AD的關(guān)系的函數(shù)解析式形成了第三小題，仍然屬于面積類習(xí)題來設(shè)置區(qū)分測量點(diǎn)一，用等腰三角形的存在性來設(shè)置區(qū)分測量點(diǎn)二 區(qū)分度性小題處理手法CC圖3-3CC圖3-5 C圖3-1圖3-41找到三角形與正方形的重疊局部是解決此題的關(guān)鍵，如上圖3-1、3-2重疊局部分別為正方形和矩形包括兩種情況2正確的抓住等腰三角形的腰與底的分類，如上圖3-3、3-4、3-5用方程思想解決3解題的關(guān)鍵是用含x的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段. 略解解：1

15、SDABC=12.2令此時正方形的邊長為a，那么a62=4-a4，解得a=125.362æ6ö3當(dāng)0px£2時， y=çx÷=x，525èø當(dāng)2pxp5時， y=4AD=12573,65x×45(5-x)=245x-2425x.22520,. 117類題 改編自09奉賢3月考25題，將條件2“當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊BA、CA上時,去掉，同時加到第3題中.：在ABC中，AB=AC，B=30º，BC=6，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在線段DC上，DE=3，DEF是等邊三角形，邊DF、EF與邊BA、CA分別相交于點(diǎn)M、N

16、1求證：BDMCEN；2設(shè)BD=x，ABC與DEF重疊局部的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域D ECN3當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊BA、CA上時,是否存在點(diǎn)D，使以M為圓心, BM為半徑的圓與直線EF相切,6 如果存在，請求出x的值；如不存在，請說明理由例1：O的弦AB的長等于O的半徑，點(diǎn)C在O上變化不與A、B重合，求ACB的大小 .分析：點(diǎn)C的變化是否影響ACB的大小的變化呢?我們不妨將點(diǎn)C改變一下,如何變化呢？可能在優(yōu)弧AB上，也可能在劣弧AB上變化，顯然這兩者的結(jié)果不一樣。那么，當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上變化時，ACB所對的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圓心角

17、，連結(jié)AO、BO，那么由于AB=OA=OB，即三角形ABC為等邊三角形，那么AOB=600，那么由同弧所對的圓心角與圓周角的1關(guān)系得出：ACB=2AOB=300，當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上變化時，ACB所對的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由AOB=600得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-600=3000，那么由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：ACB=1500，因此，此題的答案有兩個，分別為300或1500. 反思：此題通過點(diǎn)C在圓上運(yùn)動的不確定性而引起結(jié)果的不唯一性。從而需要分類討論。這樣由點(diǎn)C的運(yùn)動變化性而引起的分類討論在解題中經(jīng)常出現(xiàn)。變式1：ABC是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，假設(shè)AB=2

18、3，求C的大小.此題與例1的區(qū)別只是AB與圓的半徑的關(guān)系發(fā)生了一些變化,其解題方法與上AB1302ÐAOB=60sinÐAOB=2OB2,那么2面一致,在三角形AOB中,即1ÐAOB=120, 01從而當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上變化時，C所對的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，即ÐC=60,當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上變化時，C所對的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由AOB=1200得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-1200=2400，那么由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：C=1200，因此ÐC=60或C=1200. 00變式2: 如圖,半經(jīng)為1的

19、半圓O上有兩個動點(diǎn)A、B，假設(shè)AB=1，判斷AOB的大小是否會隨點(diǎn)A、B的變化而變化，假設(shè)變化，求出變化范圍，假設(shè)不變化，求出它的值。四邊形ABCD的面積的最大值。解：1由于AB=OA=OB，所以三角形AOB為等邊三角形，那么AOB=600，即AOB的大小不會隨點(diǎn)A、B的變化而變化。32四邊形ABCD的面積由三個三角形組成，其中三角形AOB的面積為4，而三角7 1形AOD與三角形BOC的面積之和為2OD´AF+12OC´BG=12(AF+BG)，又由梯形1的中位線定理得三角形AOD與三角形BOC的面積之和23(AF+BG)=EH，要四邊形ABCD的面積最大，只需EH最大，顯

20、然EHOE=2，當(dāng)ABCD時，EH=OE，因此3333四邊形ABCD的面積最大值為4+2=4.對于此題同學(xué)們還可以繼續(xù)思考:四邊形ABCD的周長的變化范圍. 變式3: 如圖,有一塊半圓形的木板,現(xiàn)要把它截成三角形板塊.三角形的兩個頂點(diǎn)分別為A、B，另一個頂點(diǎn)C在半圓上，問怎樣截取才能使截出的三角形的面積最大？要求說明理由廣州市2000年考題分析：要使三角形ABC的面積最大，而三角形ABC的底邊AB為圓的直徑為常量，只需AB邊上的高最大即可。過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，連結(jié)CO，由于CDCO，當(dāng)O與D重合，CD=CO，因此，當(dāng)CO與AB垂直時，即C為半圓弧的中點(diǎn)時，其三角形ABC的面積最大。此題也可

21、以先猜測，點(diǎn)C為半圓弧的中點(diǎn)時，三角形ABC的面積最大，故只需另選一個位置C1不與C重合，證明三角形ABC的面積大于三角形ABC1的面積即可。如圖111顯然三角形 ABC1的面積=2AB³C1D，而C1D&lt; C1O=CO,那么三角形 ABC1的面積=2AB³C1D&lt;2AB³C1O=三角形 ABC的面積,因此,對于除點(diǎn)C外的任意點(diǎn)C1,都有三角形 ABC1的面積小于三角形三角形 ABC的面積,故點(diǎn)C為半圓中點(diǎn)時,三角形ABC面積最大.此題還可研究三角形ABC的周長何時最大的問題。提示：利用周長與面積之間的關(guān)系。要三角形ABC的周長最大，A

22、B為常數(shù)，只需AC+BC最大，而AC+BC2=AC2+CB2+2AC³BC=AB2+4³ABC的面積，因此ABC的面積最大時，AC+BC最大，從而ABC的周長最大。從以上一道題及其三個變式的研究我們不難發(fā)現(xiàn),解決動態(tài)幾何問題的常見方法有:一、 特殊探路，一般推證例2：2004年廣州市中考題第11題如圖，O1和O2內(nèi)切于A，O1的半徑為3，O2的半徑為2，點(diǎn)P為O1上的任一點(diǎn)與點(diǎn)A不重合，直線PA交O2于點(diǎn)C，PB切O2于點(diǎn)B，BP那么PC的值為8 36A2 B3 C2 D2 分析：此題是一道選擇題，給出四個答案有且只有一個是正確的，因此可以取一個特殊位置進(jìn)行研究，當(dāng)點(diǎn)P滿足

23、PBAB時，可以通過計算得出PB=3-1=2222ABC³AP=BP³AB，因此AB´BP=82+8=8226=426，263BC=AB2+BP2BP2-BC2=在三角形BPC中，PC=BP，A所以，PC=3選BBP=APBP，即可計算出結(jié)論。當(dāng)然，此題還可以根據(jù)三角形相似得PC作為一道選擇題，到此已經(jīng)完成，但如果是一道解答題，我們得出的結(jié)論只是一個特殊情況，還要進(jìn)一步證明對一般情況也成立。例3：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AB、AC上滑動并保持AE=CF,但點(diǎn)F不與A、C重合，點(diǎn)E不與B、A重合。 判斷DOEF的

24、形狀，并加以證明。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點(diǎn)E、F的變化而變化，假設(shè)變化，求其變化范圍，假設(shè)不變化，求它的值.DAEF的面積是否隨著點(diǎn)E、F的變化而變化，假設(shè)變化，求其變化范圍，BEFC假設(shè)不變化，求它的值。分析：此題結(jié)論很難發(fā)現(xiàn)，先從特殊情況入手。最特殊情況為E、F分別為AB、AC中點(diǎn)，顯然有EOF為等腰直角三角形。還可發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)E與A無限接近時，點(diǎn)F與點(diǎn)C無限接近，此時EOF無限接近AOC，而AOC為等腰直角三角形，幾種特殊情況都可以得出EOF為等腰直角三角形。一般情況下成立嗎？OE與OF相等嗎？EOF為直角嗎？能否證明。如果它們成立，便可以推出三角形OFC與三角形OEA全等，一般情況

25、下這兩個三角形全等嗎？不難從題目的條件可得：OA=OC，OCF=OAE，而AE=CF，那么OEAOFC，那么OE=OF，且FOC=EOA，所以EOF=EOA+AOF=FOC+FOA=900，那么EOF為直角，故EOF為等腰直角三角形。O二、 動手實(shí)踐，操作確認(rèn)例42003年廣州市中考試題在O中，C為弧AB的中點(diǎn)，D為弧AC上任一點(diǎn)與A、C不重合，那么AAC+CB=AD+DB (B) AC+CB&lt;AD+DB9 (C) AC+CB&gt;AD+DB (D) AC+CB與AD+DB的大小關(guān)系不確定分析:此題可以通過動手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的長度，可以嘗試換幾個位

26、置量一量，得出結(jié)論C例5：如圖，過兩同心圓的小圓上任一點(diǎn)C分別作小圓的直徑CA和非直徑的弦CD，延長CA和CD與大圓分別交于點(diǎn)B、E，那么以下結(jié)論中正確的選項是 * ADE=AB BDE>ABCDE<ABDDE,AB的大小不確定分析：此題可以通過度量的方法進(jìn)行，選B此題也可以可以證明得出結(jié)論，連結(jié)DO、EO，那么在三角形OED中，由于兩邊之差小于第三邊，那么OEOD&lt;DE,即OBOA&lt;DE,因此AB<ED,即DE>AB B三、 建立聯(lián)系，計算說明 ADMN例6：如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)M在邊DC上，且DM=1，N為對角線AC上任意一

27、點(diǎn)，那么DN+MN的最小值為 . 分析：能否將DN和NM進(jìn)行轉(zhuǎn)化，與建立三角形兩邊之和大于第三邊等問題，很自然地想到軸對稱問題，由于ABCD為正方形，因此連結(jié)BN，顯然有ND=NB，那么問題就轉(zhuǎn)化為BN+NM的最小值問題了，一般情況下：BN+NMBM,只有在B、N、M三點(diǎn)共線時，BN+NM=BM，因此DN+MN的最小值為BM=BC2+CM2=5此題通過建立平面上三個點(diǎn)中構(gòu)成的三角形中的兩邊之和大于第三邊及共線時的兩邊之和等于第三邊的特殊情況求最小值，最后通過勾股定理計算得出結(jié)論。例7：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,BC點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AB、AC上滑動并保持AE=

28、CF,但點(diǎn)F不與A、C重合，點(diǎn)E不與B、A重合。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點(diǎn)E、F的變化而變化，假設(shè)變化，求其變化范圍，假設(shè)不變化，求它的值.DAEF的面積是否隨著點(diǎn)E、F的變化而變化，假設(shè)變化，求其變化范圍，假設(shè)不變化，求它的值。即例3的第2、第3問A分析：(2)此題的方法很多，其一，可以建立四邊形AEOF與AE長的函數(shù)關(guān)系式，如設(shè)AE=x，那么AF=22-x，22xEF而三角形AOB的面積與三角形AOE的面積之比=1，而BOx+(22-x)三角形AOB的面積=2x´OB´OA=2C，那么三角形AOE的面積22-x=222=2，同理三角形AOF的面積=，因此四邊形AE

29、OF的面積=；即AEOF的面積不會隨點(diǎn)E、F的變化而變化，是一個定值，且為2.當(dāng)然，此題也可以這樣思考，由于三角形AOE與三角形COF全等，那么四邊形AEOF的面積與三角形AOC的面積相等，而AOC的面積為2，因此AEOF的面積不會隨點(diǎn)E、F的變化而變化，是一個定值，且為2.此題通過建立函數(shù)關(guān)系或有關(guān)圖形之間的關(guān)系,然后通過簡單的計算得出結(jié)論的方法應(yīng)用比擬廣泛.10 1第(3)問,也可以通過建立函數(shù)關(guān)系求得, DAEF的面積=2x(22-x)=-12(x-2)+12,又x的變化范圍為0<x<22,由二次函數(shù)知識得DAEF的面積的范圍為:0<DAEF的面積£1.此題也

30、可以根據(jù)三角形AEF與三角形OEF的面積關(guān)系確定DAEF的面積范圍:不難證明DAEF的面積DOEF的面積，它們公用邊EF，取EF的中點(diǎn)H，顯然由于DOEF為等1腰直角三角形，那么OHEF，作AGEF，顯然AGAH=AG=2的面積，而它們的和為2，因此0<DAEF的面積£1. EF，所以DAEF的面積DOEF此題包容的內(nèi)涵十分豐富，還可以提出很多問題研究：比方，比擬線段EF與AO長度大小等可以通過A、E、O、F四點(diǎn)在以EF為直徑的圓上得出很多結(jié)論 例8：如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度移動；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始

31、向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動。如果、同時出發(fā)，用t秒表示移動的時間0 t 6，那么：1當(dāng)t為何值時，三角形QAP為等腰三角形？2求四邊形QAPC的面積，提出一個與計算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論； DCQ3當(dāng)t為何值時，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？分析：1當(dāng)三角形QAP為等腰三角形時，由于A為直角，只能是AQ=AP，建立等量關(guān)系，2t=6-t，即t=2時，三角形QAP為等腰三角形；2四邊形QAPC的面積=ABCD的面積三角形QDC的面積三角形PBC的面積22=36，即當(dāng)P、Q運(yùn)動時，四邊形QAPC的面積不變。3顯然有兩種情況：PAQABC，QAPABC，2x6或6-x12，解之得x=3或x=1

32、.2 由相似關(guān)系得6-x建立關(guān)系求解，包含的內(nèi)容多，可以是函數(shù)關(guān)系，可以是方程組或不等式等，通過解方程、或函=122x=612´6-1´12´x-1(12-2x)´6數(shù)的最大值最小值，自變量的取值范圍等方面來解決問題；也可以是通過一些幾何上的關(guān)系，描述圖形的特征，如全等、相似、共圓等方面的知識求解。作為訓(xùn)練同學(xué)們可以綜合上述方法求解：練習(xí)1：2003年廣州市中考壓軸題全卷得分最低的一道DABC為直角三角形，AC=5，BC=12，ACB為直角，P是AB邊上的動點(diǎn)與點(diǎn)A、B不重合，Q是BC邊上動點(diǎn)與點(diǎn)B、C不重合1 如圖，當(dāng)PQAC，且Q為BC的中點(diǎn)，求線段

33、CP的長。 CQBAP當(dāng)PQ與AC不平行時，DCPQ可能為直角三角形嗎？假設(shè)有可能，求出線段CQ的長的取值范圍；假設(shè)不可能，請說明理由。11 1第1問很易得出P為AB中點(diǎn)，那么CP=2AB=132 A第2問：如果DCPQ為直角三角形，由于PQ與AC不平行，那么Q不可能為直角又點(diǎn)P不與A重合，那么PCQ也不可能為直角，只能是CPQ為直角，即以CQ為直徑的圓與AB有交點(diǎn)，設(shè)CQ=2x，CQ的中點(diǎn)D到AB的距離DM不大于CD，DMAC=DBAB，即10DM5=12-x1320DM=5(12-x)13DM=5(12-x)13CB£CD=xx³103，所以£CQ<12

34、，由，即而x<6，故3£x<6，亦即3時，DCPQ可能為直角三角形。當(dāng)然還有其它方法。同學(xué)們可以繼續(xù)研究。練習(xí)2：廣東省2003年中考試題最后一題在RtABC中，ABAC，BAC90°，O為BC的中點(diǎn)，1寫出點(diǎn)O到ABC的三個頂點(diǎn) A、B、C距離的大小關(guān)系。2如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動，移動中保持ANBM，請判斷OMN的形狀，并證明你的結(jié)論。該題與例3類似，同學(xué)們可以仿本大類習(xí)題的共性：1代數(shù)、幾何的高度綜合數(shù)形結(jié)合；著力于數(shù)學(xué)本質(zhì)及核心內(nèi)容的考查;四大數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)結(jié)合、分類討論、方程、函數(shù)2以形為載體，研究數(shù)量關(guān)系；通過設(shè)、表、列獲得函數(shù)關(guān)系式；

35、研究特殊情況下的函數(shù)值點(diǎn)動、線動、形動構(gòu)成的問題稱之為動態(tài)幾何問題. 它主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動變化為主線，集多個知識點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題. 這類題綜合性強(qiáng)，能力要求高，它能全面的考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力. 其中以靈活多變而著稱的雙動點(diǎn)問題更成為今年中考試題的熱點(diǎn)，現(xiàn)采擷幾例加以分類淺析，供讀者欣賞.1 以雙動點(diǎn)為載體，探求函數(shù)圖象問題 例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，C=90°，高CD=6cm(如圖1). 動點(diǎn)P，Q同時從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BA，AD，DC運(yùn)動到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C停止，兩點(diǎn)運(yùn)動時的速度都是

36、1cm/s.而當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時，點(diǎn)Q正好到達(dá)點(diǎn)C. 設(shè)P，Q同時從點(diǎn)B出發(fā)，經(jīng)過的時間為t(s)時，BPQ的面積為y(cm)2(如圖2). 分別以t，y為橫、縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P在AD邊上從A到D運(yùn)動時，y與t的函數(shù)圖象是圖3中的線段MN.12 (1)分別求出梯形中BA，AD的長度；(2)寫出圖3中M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)分別寫出點(diǎn)P在BA邊上和DC邊上運(yùn)動時，y與t的函數(shù)關(guān)系式(注明自變量的取值范圍)，并在圖3中補(bǔ)全整個運(yùn)動中y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象.評析 此題將點(diǎn)的運(yùn)動過程中形成的函數(shù)解析式與其相應(yīng)的函數(shù)圖象有機(jī)的結(jié)合在一起，二者相輔相成，給人以清新、淡雅之感. 此題彰顯數(shù)形結(jié)合

37、、分類討論、函數(shù)建模與參數(shù)思想在解題過程中的靈活運(yùn)用. 解決此題的關(guān)鍵是從函數(shù)圖象中確定線段AB、梯形的高與t的函數(shù)關(guān)系式，建立起y與t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)關(guān)系式補(bǔ)充函數(shù)圖象.2 以雙動點(diǎn)為載體，探求結(jié)論開放性問題例2 (2007年泰州市)如圖5，RtABC中，B=90°，CAB=30°.它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10，0)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，53)，AB=10，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿ABC的方向勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)D(0，2)出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒.(1)求BAO的度數(shù).(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時，OPQ的

38、面積S(平方單位)與時間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，(如圖6)，求點(diǎn)P的運(yùn)動速度.(3)求(2)中面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo).(4)如果點(diǎn)P，Q保持(2)中的速度不變，那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動時，OPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著BC邊運(yùn)動時，OPQ的大小隨著時間t的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動時，使OPQ=90°的點(diǎn)P有幾個?請說明理由.解 (1)BAO=60°.(2)點(diǎn)P的運(yùn)動速度為2個單位/秒.評析 此題是以雙點(diǎn)運(yùn)動構(gòu)建的集函數(shù)、開放、最值問題于一體的綜合題. 試題有難度、有梯度也有區(qū)分度，是一道具有很好的選拔功能的好題

39、. 解決此題的關(guān)鍵是從圖象中獲取P的速度為2，然后建立S與t的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)解得問題(3).此題的難點(diǎn)是題(4)，考生要從題目的信息中確定建立以B為直角頂點(diǎn)的三角形，以B為臨界點(diǎn)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而確定點(diǎn)的個數(shù)問題.3 以雙動點(diǎn)為載體，探求存在性問題例3 (2007年揚(yáng)州市)如圖8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a&gt;3).動點(diǎn)M，N同時從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿BA，BC運(yùn)動，速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q.當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t秒.(1)假設(shè)a=4厘米，t=1秒，那么PM=厘米；(2)假設(shè)a=5厘

40、米，求時間t，使PNBPAD，并求出它們的相似比；(3)假設(shè)在運(yùn)動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；(4)是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等?假設(shè)存在，求a的值；假設(shè)不存在，請說明理由.評析 此題是以雙動點(diǎn)為載體，矩形為背景創(chuàng)設(shè)的存在性問題.試題由淺入深、層層遞進(jìn)，將幾何與代數(shù)知識完美的綜合為一題，側(cè)重對相似和梯形面積等知識點(diǎn)的考查，此題的難點(diǎn)主要是題(3)，解決此題的關(guān)鍵是運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)用t的代數(shù)式表示PM，進(jìn)而利用梯形面積相等列等式求出t與a的函數(shù)關(guān)系式，再利用t的范圍確定的a取值

41、范圍. 第(4)小題是題(3)結(jié)論的拓展應(yīng)用，在解決此問題的過程中，要有全局觀念以及對問題的整體把握.4 以雙動點(diǎn)為載體，探求函數(shù)最值問題例4 (2007年吉林省)如圖9，在邊長為82cm的正方形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個動點(diǎn)，它們分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，沿對角線以1cm/s的相同速度運(yùn)動，過E作EH垂直AC交RtACD的直角邊于H；過F作FG垂直AC交RtACD的直角邊于G，連結(jié)HG、EB.設(shè)HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S1，AE、EB、BA圍成的圖形面積為S2(這里規(guī)定：線段的面積為0).E到達(dá)C，F(xiàn)到達(dá)A停止.假設(shè)E的運(yùn)動時間為x(s)，解答以下問題：13 (1)當(dāng)

42、0&lt;X(2)假設(shè)y是S1與S2的和，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (圖10為備用圖)求y的最大值.解 (1)以E、F、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長為82，所以AC=16，過B作BOAC于O，那么OB=89，因?yàn)锳E=x，所以S2=4x，因?yàn)镠E=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)，當(dāng)S1=S2時， 4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以當(dāng)x=6時， S1=S2.(2)當(dāng)0x&lt;8時，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x，當(dāng)8x16時，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x

43、-16，所以S1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.當(dāng)0x&lt;8時，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以當(dāng)x=5時，y的最大值為50.當(dāng)8x16時，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，所以當(dāng)x=13時，y的最大值為82.綜上可得，y的最大值為82.評析 此題是以雙動點(diǎn)為載體，正方形為背景創(chuàng)設(shè)的函數(shù)最值問題.要求學(xué)生認(rèn)真讀題、領(lǐng)會題意、畫出不同情況下的圖形，根據(jù)圖形建立時間變量與其它相關(guān)變量的關(guān)系式，進(jìn)而構(gòu)建面積的函數(shù)表達(dá)式. 本題在知識點(diǎn)上側(cè)重對二次函數(shù)最值問題的考查，要求學(xué)生有扎實(shí)的

44、根底知識、靈活的解題方法、良好的思維品質(zhì)；在解題思想上著重對數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建模等思想的靈活運(yùn)用.例題 如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為A2，1，且經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸的另一個交點(diǎn)為B。y=-14x2+x求拋物線的解析式；用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式為假設(shè)點(diǎn)C在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得OBP與OAB相似？假設(shè)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由。 分析:1.當(dāng)給出四邊形的兩個頂點(diǎn)時應(yīng)以兩個頂點(diǎn)的連線O、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形要分類討論

45、:按OB為邊和對角線兩種情況2. 函數(shù)中因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個解題途徑14 求相似三角形的第三個頂點(diǎn)時，先要分析三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出三角形 推導(dǎo)邊的大小。之后利用相似來列方程求解。 練習(xí)1、拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過P，Eçæö0÷及原點(diǎn)O(0，0) ç2÷èø1求拋物線的解析式由一般式得拋物線的解析式為y=-23x+23x2過P點(diǎn)作平行于x軸的直線PC交y軸于C點(diǎn)，在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線PC下方的拋物線上，任取一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線QA平行于y軸交x軸于A點(diǎn)，交直線PC于B點(diǎn)，直線

46、QA與直線PC及兩坐標(biāo)軸圍成矩形OABC是否存在點(diǎn)Q，使得OPC與PQB相似？假設(shè)存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由3如果符合2中的Q點(diǎn)在x軸的上方，連結(jié)OQ，矩形OABC內(nèi)的四個三角形OPC，PQB，OQP，OQA之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？ 練習(xí)2、如圖，四邊形OABC34軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處。折疊CE=，且tanÐEDA=1判斷OCD與ADE是否相似？請說明理由； 2求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)；。3是否存在過點(diǎn)D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直

47、線；如果不存在，請說明理由。15 練習(xí)3、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)2點(diǎn)A在點(diǎn)B的y=ax+bx+c(a¹0)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)左邊，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過點(diǎn)(2，3)和(-3，-12)1求此二次函數(shù)的表達(dá)式；由一般式得拋物線的解析式為y=-x+2x+322假設(shè)直線l:y=kx(k¹0)與線段BC交于點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合，那么是否存在這樣的直線l，使得以B，O，D為頂點(diǎn)的三角形與BAC相似？假設(shè)存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由；A(-1，0)，B(3，0),C(0，3)3假設(shè)點(diǎn)P是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象

48、上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，試比擬銳角ÐPCO與ÐACO的大小不必證明，并寫出此時點(diǎn)P的橫坐標(biāo)xp的取值范圍 O練習(xí)4圖練習(xí)3圖2練習(xí)4 (2021廣東湛江市) 如下圖，拋物線y=x-1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C 1求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)2過點(diǎn)A作APCB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積3在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MGx軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與DPCA相似假設(shè)存在，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否那么，請說明理由練習(xí)5、：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC是直角三角形，ÐACB=90，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A(-3，0)，C(1，

49、0)，tanÐBAC=34o1求過點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式；點(diǎn)A(-3，0)，C(1，0)，16 xB(1，3)，y=34x+942在x軸上找一點(diǎn)D，連接DB，使得ADB與ABC相似不包括全等，并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；3在2的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動點(diǎn)，連接PQ，設(shè)AP=DQ=m，問是否存在這樣的m使得APQ與ADB相似，如存在，請求出m的值；如不存在，請說明理由參考答案例題、解:由題意可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-2)2+1拋物線過原點(diǎn)，0=a(0-2)2+1 a=-14. 14(x-2)+1,即y=-2拋物線的解析式為y=-14x2+x如圖1,當(dāng)OB為邊即四邊形OCDB

50、是平行四邊形時,CDOB, 由0=-14(x-2)+1得x1=0,x2=4, 2B(4,0),OB4.D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6將x6代入y=-D(6,3);根據(jù)拋物線的對稱性可知,在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn)D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,3),當(dāng)OB為對角線即四邊形OCBD是平行四邊形時,D點(diǎn)即為A點(diǎn),此時D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)如圖2，由拋物線的對稱性可知:AOAB,AOBABO.假設(shè)BOP與AOB相似,必須有POBBOABPO設(shè)OP交拋物線的對稱軸于A點(diǎn),顯然A(2,1)直線OP的解析式為y=-由-12x=-14x214(x-2)+1,得y3, 212x+x,得x1=0,

51、x2=6.P(6,3)過P作PEx軸,在RtBEP中,BE2,PE3,PB4.PBOB,BOPBPO,17 PBO與BAO不相似,同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點(diǎn). 所以在該拋物線上不存在點(diǎn)P,使得BOP與AOB相似. 練習(xí)1、解：1由可得： ì3a+=3ï2ï75a+=0解之得，a=-，b=c=0í233ï4ïc=0î233因而得，拋物線的解析式為：y=-2存在設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，n)，那么n=-x+2x23m+23，要使OCPPBQ,BQCP=PBOC=33+2m-2m=m-3 解之得，m1=m2=

52、當(dāng)m1=n=2，即為Q點(diǎn)，所以得Q22要使OCPQBP,BQOC=PBCP，那么有3-n3=3+m-3= 解之得，m1=m2=m=P點(diǎn)，-3) 當(dāng)m1=n=-3，所以得Q故存在兩個Q點(diǎn)使得OCP與PBQ相似，-3) Q點(diǎn)的坐標(biāo)為CPOC=3o3在RtOCP中，因?yàn)閠anÐCOP=所以ÐCOP=30o圖1時，ÐBPQ=ÐCOP=30 當(dāng)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為所以ÐOPQ=ÐOCP=ÐB=ÐQAO=90o18因此，OPC，PQB，OPQ，OAQ都是直角三角形QA又在RtOAQ中，因?yàn)閠anÐQOA=所以ÐQOA=30o AO3即有ÐPOQ=ÐQOA=ÐQPB=ÐCOP=30o所以O(shè)PCPQBOQPOQA，又因?yàn)镼POP，QAOAÐPOQ=Ð